2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第2章+基本初等函数(1)和答案

指数函数(1)有理指数幂的含义及其运算性质a＞0，b＞0且r，s，t∈Q.a s·a t＝a s＋t；(a s)t＝a st；(ab)r＝a rb r.(2)函数y＝a x(a＞0且a≠1)叫做指数函数．(3)指数函数的图象和性质1．(2017·1月广东学考)下列等式恒成立的是()A.13x＝x－23(x≠0)B．(3x)2＝3x2C．log3(x2＋1)＋log32＝log3(x2＋3)D．log313x＝－xD[A.13x＝x－13(x≠0)；B.(3x)2＝32x；C.log3(x2＋1)＋log32＝log32(x2＋1)．]2．(2019·1月广东学考)已知a>0，则a3a2＝()A ．a 12B ．a 32C ．a 23D ．a 13D [a 3a 2＝aa23)＝a 1－23)＝a 13.]指数函数的性质及应用问题解题策略：(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题，解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．[最新模拟快练]1．(2018·汕头市高一期中)函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图象一定经过点( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(0,1)A [对于任意a >0且a ≠1，由x －1＝0可得x ＝1，当x ＝1时，f (1)＝3，所以函数f (x )＝a x －1＋2的图象一定经过点(1,3)，本题选择A 选项．]2．计算：(6a 9)4·(3a 6)4等于( ) A ．a 16 B ．a 14 C ．a 8 D ．a 2B [将根式化为分数指数幂的运算可得结果为a 14.]3．(2019·东莞学考模拟题)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在区间[－2,2]上的最小值是( )A ．－14B.14C ．－4D ．4B [函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在定义域R 上单调递减，∴f (x )在区间[－2,2]上的最小值为f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.]4．(2018·汕头市高一期中)函数y ＝a x －a (a >0，a ≠1)的图象可能是( )C [由于当x ＝1时，y ＝0，即函数y ＝a x －a 的图象过点(1,0)，故排除A 、B 、D.故选C.]5．(2019·中山学考模拟题)已知a ＝log 30.2，b ＝30.2，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >b >aC [a ＝log 30.2＜0，b ＝30.2＞1，c ＝0.30.2∈(0,1)， ∴a ＜c ＜b .]6．(2019·广州高一期中)已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]上的最大值和最小值的和为6，则a ＝________.2 [当x ＝1时，f (x )取得最大值，那么x ＝2取得最小值，或者x ＝1时，f (x )取得最小值，那么x ＝2取得最大值．∴a ＋a 2＝6，∵a ＞0，a ≠1，∴a ＝2.]7．(2019·深圳高一期末)已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x 2x ＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数； [解] (1)因为f (x )为R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，b ＝1. 又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.经检验a＝1，b＝1符合题意．(2)任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1－2x12x1＋1－1－2x22x2＋1＝(1－2x1)(2x2＋1)－(1－2x2)(2x1＋1)(2x1＋1)(2x2＋1)＝2(2x2－2x1) (2x1＋1)(2x2＋1).因为x1<x2，所以2x2－2x1>0，又因为(2x1＋1)(2x2＋1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x)为R上的减函数．对数及对数函数(1)对数的概念：一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N 的对数．记作：x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)对数的运算性质：如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么：log a a＝1；log a1＝0；a log a N＝N；log a M＋log a N＝log a(MN)；log a M－log a N＝log a M N；log a M n＝n log a M(n∈R)；换底公式：log a b＝log c blog c a(a＞0且a≠1，c＞0且c≠1)，log a b·log b a＝1.(3)对数函数的图象和性质(2018·1月广东学考)对任意的正实数x ，y ，下列等式不成立的是( ) A ．lg y －lg x ＝lg y x B ．lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y C ．lg x 3＝3lg x D ．lg x ＝ln xln 10B [对于B 项，令x ＝y ＝1，则lg(x ＋y )＝lg 2，而lg x ＋lg y ＝0，显然不成立，故选B.]应用对数型函数的图象可求解的问题：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[最新模拟快练]1．(2019·佛山学考模拟题)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )A [由于函数为偶函数又过(0,0)，所以直接选A.]2．(2019·深圳学考模拟题)设a ＝20.1，b ＝lg 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >c >aB ．a >c >bC ．b >a >cD ．a >b >cD [∵20.1>20＝1＝lg10>lg 52>0>log 3910，∴a >b >c .]3．(2018·广州市学考模拟题)计算log 318－log 32＝________. 2 [log 318－log 32＝log 3182＝log 39＝2.]4．(2019·中山高一期中)已知函数f (x )＝4－log 2x ，x ∈[2,8]，则f (x )的值域是________．[1,3] [∵函数f (x )＝4－log 2x 在x ∈[2,8]时单调递减，∴当x ＝2时函数取最大值4－log 22＝3，当x ＝8时函数取最小值4－log 28＝1，∴函数f (x )的值域为[1,3]．]5．(2018·中山高一期末)已知f (x )＝log 3(3＋x )＋log 3(3－x )． (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由．[解] (1)根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3＋x >03－x >0，解不等式可得－3<x <3，∴定义域为(－3,3)．(2)∵定义域为(－3,3)关于原点对称，∴f (－x )＝log 3(3－x )＋log 3(3＋x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数.幂函数(1)函数y＝xα叫做幂函数(只考虑α＝1,2,3，12，－1的图象)．(2)画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1的图象(如图)，观察它们的性质：1．(2019·揭阳学考模拟题)已知幂函数f(x)＝x n的图象经过点(3，3)，则f(9)的值为()A．3 B．±3C.12D．3 3A[∵幂函数f(x)＝x n的图象经过点(3，3)，∴f(3)＝3n＝3，解得n＝1 2，∴f (x )＝x 12，∴f (9)＝912＝3.]2．(2019·云浮学考模拟题)函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )A.174 B.14 C ．4D ．－4C [易知y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，所以当x ＝12时，函数y ＝x －2的最大值是⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4.] 3．(2019·佛山学考模拟题)如图，函数y ＝x 23的图象是( )D [幂函数y ＝x 23是偶函数，图象关于y 轴对称，所以可排除选项A ，B ，C ，选D.]4．(2018·韶关市高一月考)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m5<(5－2a )－m 5的a 的取值范围．[解] 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，所以m ＝1,2.因为函数的图象关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)－15<(5－2a )－15，因为y ＝x －15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3.一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f (2)的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．2D ．－2A [设幂函数y ＝f (x )＝x α，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入可得22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，即f (x )＝x 12，故f (2)＝212＝2，故选A.]2．log 42－log 48等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2B [log 42－log 48＝log 428 ＝log 44－1＝－1，故选B.] 3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝lg xD ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC [f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，f (x )＝－x ，f (x )＝1x ，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数，故选C.]4．函数f (x )＝log a (2x －1)(a >0且a ≠1)的定义域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)A [要使函数有意义，需满足2x －1>0，解得x >0，即函数的定义域为(0，＋∞)，故选A.]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >02x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a 的值是( )A ．－1B ．－1或12 C ．－1或 2D. 2C [当log 2x ＝12，解得x ＝2，当2x ＝12，解得x ＝－1，故选C.] 6．已知x －23＝4，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8 C.344D ．±232 A [由题意，可知x －23＝4，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A.]7．已知f (x )＝log 5x ，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，下列关系中成立的是( ) A ．f (a ＋b )＝f (a )＋f (b ) B ．f (ab )＝f (a )＋f (b ) C ．f (a ＋b )＝f (a )f (b ) D ．f (ab )＝f (a )f (b )B [∵f (x )＝log 5x ，a ，b ∈(0，＋∞)，∴f (ab )＝log 5 (ab )＝log 5a ＋log 5b ＝f (a )＋f (b )．故选B.]8．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )A [观察四个图的不同发现，A 、C 图中的图象过原点，而当x ＝0时，y ＝0，故排除B 、D ；剩下A 和C.又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除C.故选A.]9．设实数a ＝log 312，b ＝20.1，c ＝0.932，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜cA [∵a ＝log 312＜log 31＝0，b ＝20.1＞20＝1,0＜c ＝0.932＜0.90＝1. ∴a ＜c ＜b ，故选A.]10．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y ＝x 12的图象是( )A ．①B ．②C ．③D ．④D [幂函数y ＝x 12为增函数，且增加的速度比较缓慢，只有④符合．故选D.]11．已知2a ＞2b ＞1，则下列不等关系式中正确的是( ) A ． sin a ＞sin bB ． l og 2a ＜log 2b C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13b D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13bD [∵2a ＞2b ＞1，∴a ＞b ＞0，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 成立，故选D.]12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜aC [a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝f (log 32)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43.∵0＜log 32＜1,1＜43＜3，∴3＞43＞log 32.∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＞c ＞b .] 13．函数f (x )＝|log 2x |的图象是( )A [结合y ＝log 2x 可知，f (x )＝|log 2x |的图象可由函数y ＝log 2x 的图象上不动下翻得到，故A 正确．]14．已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则( ) A ．a ∈(5,6) B ．a ∈(7,8) C ．a ∈(8,9)D ．a ∈(9,10)A [因为f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝a ＋log 2a ＝8, 令g (a )＝a ＋log 2a －8，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (5)＝5＋log 25－8<0，g (6)＝6＋log 26－8>0，所以存在零点a ∈(5,6)．故选A.]15．已知函数f (x )＝3－x －1，则( ) A ．它的定义域是R ，值域是R B ．它的定义域是R ，值域是(0，＋∞)C ．它的定义域是R ，值域是(－1，＋∞)D ．以上说法都不对C [f (x )＝3－x －1＝13x －1＞－1，故选C.] 二、填空题16．34________36.(填“>”或“<”)． < [由y ＝3x 为增函数可得34<36.]17．计算0.008114＋log 26－log 23的值是________． 1．3 [0.008114＋log 26－log 23＝0.34×14＋log 22＋log 23－log 23＝0.3＋1＝1.3.]18．关于x 的不等式2x ≤2x ＋1－12的解集是________．{x |x ≥－1} [令2x ＝t ，则原不等式可化为t ≤2t －12，解得t ≥12，即2x ≥12＝2－1，由指数函数y ＝2x 单调递增可得x ≥－1.] 19．下列说法中，正确的是________．(填序号) ①任取x ＞0，均有3x ＞2x ； ②当a ＞0，且a ≠1时，有a 3＞a 2； ③y ＝(3)－x 是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称． ①④⑤ [对于①，可知任取x ＞0,3x ＞2x 一定成立． 对于②，当0＜a ＜1时，a 3＜a 2，故②不一定正确．对于③，y ＝(3)－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x，因为0＜33＜1，故y ＝(3)－x 是减函数，故③不正确．对于④，因为|x |≥0，∴y ＝2|x |的最小值为1，正确．对于⑤，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称是正确的．] 三、解答题 20．化简或求值： (1)(27)－13＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5－3e 0；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋|lg 2－2|.[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12713＋100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－3＝13＋100＋53－3＝99.(2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋(2－lg 2)＝lg 2＋(2－lg 2)＝2. 21．已知函数f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )． (1)判断并证明函数f (x )的奇偶性； (2)若f (m )－f (－m )＝2，求实数m 的值． [解] (1)f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )是奇函数． 证明：f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )的定义域为(－1,1)， 设任意x ∈(－1,1)，则－x ∈(－1,1)，f (－x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝－[ln(1－x )－ln(1＋x )]＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知，f (x )是奇函数，则f (－m )＝－f (m ) ∴f (m )－f (－m )＝f (m )＋f (m )＝2f (m )＝2， 即f (m )＝1， ∴ln1－m 1＋m ＝1，即1－m 1＋m ＝e ，解得m ＝1－e1＋e.。