轴向拉压3
轴向拉伸和压缩
第七章轴向拉伸和压缩一、内容提要轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，是建筑工程中常见的一种变形。
(一)、基本概念1. 内力 由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。
这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。
2. 轴力 轴向拉（压）时，杆件横截面上的内力。
它通过截面形心，与横截面相垂直。
拉力为正，压力为负。
3. 应力 截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。
与截面相垂直的分量σ称为正应力，与截面相切的分量τ称为切应力。
轴拉（压）杆横截面上只有正应力。
4. 应变 单位尺寸上构件的变形量。
5. 轴向拉（压） 杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短的变形，称为轴向拉（压）。
6. 极限应力 材料固有的能承受应力的上限，用σ0表示。
7. 许用应力与安全系数 材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。
极限应力与许用应力的比值称为安全系数。
8. 应力集中 由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
(二)、基本计算1. 轴向拉（压）杆的轴力计算求轴力的基本方法是截面法。
用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。
求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图。
画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。
2. 轴向拉（压）杆横截面上应力的计算任一截面的应力计算公式 AF N =σ 等直杆的最大应力计算公式 AF max N max =σ 3. 轴向拉（压）杆的变形计算虎克定律 A E l F l N =∆εσE =或 虎克定律的适用范围为弹性范围。
泊松比 εε=μ'4. 轴向拉（压）杆的强度计算强度条件塑性材料：σma x ≤[σ] 脆性材料： σt ma x ≤[σt ]σ c ma x ≤[σc ]强度条件在工程中的三类应用（1）对杆进行强度校核在已知材料、荷载、截面的情况下，判断σma x是否不超过许用值[σ]，杆是否能安全工作。
材料力学第3章 轴向拉压变形
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线 代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By
BB'
l2 sin 45
l1
tan
45
(1
2
2) Fa EA
()
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan
l2
sin
l3
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题 解法
（3）物性（物理）关系
l1
FN1l1 E1 A1
项目三 轴向拉压杆习题
项目三轴向拉伸与压缩一、填空题：1、内力是由引起的杆件内个部分间的。
2、求内力的基本方法是。
3、直杆的作用内力称。
其正负号规定为：当杆件受拉而伸长时为正，其方向截面。
4、截面法就轴力的步骤为：、、。
5、轴力图用来表达，画轴力图时用的坐标表示横截面位置，坐标表示横截面上的轴力。
6、轴力图中，正轴力表示拉力，画在轴的。
7、轴力的大小与外力有关。
与杆件截面尺寸、材料（有关、无关）。
8、应力是，反应了内力的分布集度。
单位，简称。
9、1pa= N/mm2 = N/m2。
1Mpa= pa。
10、直杆受轴力作用时的变形满足假设，根据这个假设，应力在横截面上分布，计算公式为。
11、正应力是指。
12、在荷载作用下生产的应力叫。
发生破坏是的应力叫。
许用应力是工作应力的；三者分别用符号、、表示。
13、当保证杆件轴向拉压时的安全，工作应力与许用应力应满足关系式：。
14、等截面直杆，受轴向拉压力作用时，危险截面发生在处。
而变截面杆，强度计算应分别进行检验。
15、轴向拉压杆的破坏往往从开始。
16、杆件在轴向力作用下长度的改变量叫，用表示。
17、胡克定律表明在范围内，杆件的纵向变形与及，与杆件的成正比。
18、材料的抗拉、压弹性模量用表示，反映材料的能力。
19、EA称作材料的，它反映了材料制成一定截面尺寸后的杆件的抗拉、压能力。
EA越大，变形越。
20、ε叫作，指单位长度的变形。
21、泊松比又叫，ν= ，应用范围为弹性受力范围。
二、计算题：1、试计算轴向拉压杆指定截面的轴力。
2、绘制图示杆件的轴力图。
3、求图示结构中各杆的轴力。
4、用绳索起吊管子如图所示。
若构件重W=10KN ，绳索的直径d=40mm ，许用30 20KNB 45C 455、图示支架中，荷载P=100KN。
杆1为圆形截面钢杆，其许用应力[σ]拉=150MPa，杆2位正方形截面木杆，其许用应力[σ]压=4MPa。
试确定钢杆的直径d和木杆截面的边长c。
C6、钢杆长ｌ=2m，截面面积A=200 mm2，受到拉力P=32KN的作用，钢杆的弹性模量E=2.0×105MPa，试计算此钢杆的伸长量Δｌ。
轴向拉压
D 2
4
p 8.84 kN
N 4F 6 2 34.7 10 Pa A d
强度足够
应用2：设计截面尺寸
N
A
P35例2-3 起重链条，承受的轴向最大拉力 F=15kN，许用应力 [ ] 40 MPa ，试 确定圆钢的直径d
应用3：确定许可载荷
(MPa)
400
低碳钢压缩 应力应变曲线
E(b)
C(s上) (e) B 200 D(s下) A(p)
f1(f)
低碳钢拉伸 应力应变曲线
g
Ey= E=tg tg O O1 O2 0.1 0.2
2 灰铸铁拉压时的力学性能
by
灰铸铁的 压缩曲线
bL
灰铸铁的 拉伸曲线
= 45o~55o
强度 刚度 稳定性 材料抵抗塑性变形和断裂的能力 材料抵抗弹性变形的能力 构件保持其原有平衡形态能力
3.
构件受力的情况 载荷：机构或者机械工作时，作用在构件上的力
集中载荷 通过极小的面积（构件本身相比）传递给构 件的压力称为集中载荷 均匀分布载荷 分布载荷 均匀分布作用于构件某段长度或者面积上的外力 线性载荷 不均匀分布载荷
一等截面直杆，受轴向内力P1、 P2、P3的作用，已知 P1=8kN,P2=10kN，P3=6kN ， 试求AB、BC、CD各段上轴力。 N1
解：N1=P1=8KN N2=P1-P2=-2KN N3=P1+P2-P3=4KN
N2 N3
应 力
内力的大小是否直接决定了构件被破坏？ 比较两材料相同而粗细不同拉杆， 在相同拉力作用下，当拉力增大时 的，试想那根杆先被拉断？ 单位面积上承受的内力称为应力 其单位是兆帕（MPa），N/mm2
材料力学课件-第三章-轴向拉压变形
Δ
F
f
o
d
A
d
•弹性体功能原理：Vε W ,
f df
• 拉压杆应变能
2 FN l V ε 2 EA
Page28
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
*非线性弹性材料
F
f
•外力功计算
W fd
0
F W 2
•功能原理是否成立? •应变能如何计算计算?
dx
dz
dy
x
•单向受力体应变能
V v dxdydz dxdydz 2E
2
z
单向受力
Page30
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
2 dxdydz •单向受力体应变能 V v dxdydz 2E FN ( x ) •拉压杆 (x)= , dydz A A 2 FN ( x ) V dx （变力变截面杆） y 2 EA( x ) l 2 FN l dx （常应力等直杆） V dz 2 EA •纯剪应变能密度 dy dxdz dy dxdydz dVε 2 2 2 1 2 z v G 纯剪切
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
第三章
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4
§3-5 §3-6
轴向拉压变形
引言 拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移 拉压与剪切应变能
简单拉压静不定问题 热应力与预应力
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
本章主要研究:
Page7
材料力学ch3-拉压变形
FN2 F2
F2 ( l1 l2 ) F1l1 ( l )分段 EA EA
2. 分解载荷法
F2 ( l1 l2F ) ( lF1 l1 l ) F l 1 1 )分段 l 2 1 2 lF1( l F2 EA EA EA EA
( l )分解载荷 lF1 lF2
FN2 F ( 压缩)
FN1 l1 2F 2l 2Fl ( 伸长) l1 EA E1 A1 EA
FN2 l2 Fl l 2 (缩短) E2 A2 EA
2. 作图法求节点位移 圆弧法 作圆弧A1A’、A2A’ 切线代圆弧法 将圆弧A1A’用 其切线A1A3代替 3. 节点位移计算
l
A1
B
A
l f A l cos a l tg a sin a AA cos a
(l l ) A1 B A1 A
切线代圆弧
节点位移分析
图示桁架，试求节点 A 的水平与铅垂位移， 已知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l
1. 轴力与变形分析
FN1 2F ( 拉伸)
横截面内任一点， 任意面内方向上的应变
横向变形与泊松比 泊松比
'
试验表明：在比例极限内，’ ，并异号
－泊松比 (横向变形系数）
Poisson’s Ratio
0 0.5
• 对于绝大多数各向同性材料
• 弹性理论证明： 等温下各向同性线弹性材料 1 0.5
线弹性杆的拉压应变能V来自ε WF l V ε 2 EA
2 N
拉压与剪切应变能密度
拉压应变能密度
dV ε
dxdz dy
2
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
材料力学之四大基本变形
WZ
IZ ymax
一、变形几何关系
( y)d d y
d
d
y
z
y
dx
y
CL8TU3-2
bh3
bh2
I Z 12 , WZ 6
d4
I Z 64
d3
, WZ 32
IZ
(D4 d 4)
64
D4
64
(1 4 )
WZ
D3
32
(1 4 )
（1）求支座反力
M A 0, M 0 RBl 0 M B 0, RAl M 0 0
（2）列剪力方程和弯矩方程
RB
M0 l
RA
M0 l
AC段 :
Q1
RA
M0 l
M1
RA x
M0 l
x
(0 x a)
CB段 :
Q2
返回
例3-1: 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率NB= 10KW，A、 C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
先计算外力偶矩
A
B
C x
mA
9550
NA n
9550 4 500
76.4Nm
mB
9550 NB n
9550 10 500
四大基本变形复习
1.轴向拉伸与压缩 2.剪切 3.扭转 4.弯曲
1.轴向拉压
受力特征：受一对等值、反向的纵向力，力的作用线与杆轴线 重合。 变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0.5%
ε
4）延伸率很小。 延伸率很小。 强度极限。 σb——强度极限。 强度极限
割线的弹性模量。 E——割线的弹性模量。 割线的弹性模量
铸铁的拉伸破坏
二、 材料在压缩时的力学性质
低碳钢的压缩试验 弹性阶段， 弹性阶段，屈服阶 段均与拉伸时大致 相同。 相同。 超过屈服阶段后， 超过屈服阶段后， 外力增加面积同时 相应增加， 相应增加，无破裂 现象产生。 现象产生。
其他材料的拉伸试验
（一）、其它工程塑性材料的拉伸时的力学性能 ）、其它工程塑性材料的拉伸时的力学性能
1200MPa
30铬锰硅钢 30铬锰硅钢 50钢 50钢
共有的特点： 共有的特点： 断裂时具有较大的残余 变形，均属塑性材料。 变形，均属塑性材料。 硬铝 有些材料没有明显的屈 服阶段。 服阶段。
对于没有明显屈服阶 段的材料用名义屈服应 力表示－ 力表示－ σ 0.2 。
⑴、弹性阶段:oA 弹性阶段: oA’为直线段；σ 为直线段； 为直线段
= Eε
AA’为微弯曲线段 为微弯曲线段。 为微弯曲线段
σ p —比例极限； 比例极限； 比例极限 σ e —弹性极限。 弹性极限。 弹性极限
⑵、屈服阶段:B’C。 屈服阶段:
σ s —屈服极限 屈服极限
屈服段内最低的应力值。 屈服段内最低的应力值。
低碳钢拉伸时的四个阶段 ⑴、弹性阶段:oA, 弹性阶段: ⑵、屈服阶段:B’C。 屈服阶段: C
滑移线
⑶、强化阶段：CD 强化阶段：
⌠b —强度极限 强度极限
（拉伸过程中最高的应力值）。 拉伸过程中最高的应力值）。
⑷、局部变形阶段（颈缩阶段）：DE。 局部变形阶段（颈缩阶段）：DE。 ）：DE 在此阶段内试件的某一横截面发生明显的变形，至到试件断裂。 在此阶段内试件的某一横截面发生明显的变形，至到试件断裂。
铸铁的压缩试验
压 拉 1 : σ b ≈ (4 ~ 5)σ b
2：破坏面大约为450的斜面。 ：破坏面大约为45 的斜面。
其它脆性材料压缩 时的力学性质大致 同铸铁， 同铸铁，工程上一 般作为抗压材料。 般作为抗压材料。
温度对力学性能的影响
材料强度、弹性常数随温度变化的关系
中炭钢
硬铝
600
400
200
510 ε (%)来自1520名义屈服极限 σ 0.2 ）、铸铁拉伸试验 （二）、铸铁拉伸试验 σ 产生 0.2 00 的塑性应变 时所对应的应力值。 时所对应的应力值。
σ
150
1）无明显的直线段； 无明显的直线段； 2）无屈服阶段； 无屈服阶段； 3）无颈缩现象； 无颈缩现象；
σ0.2
§2-5 材料在拉压时的力学性质
力学性能：材料在受力后的表现出的变形和破坏特性。 力学性能：材料在受力后的表现出的变形和破坏特性。 不同的材料具有不同的力学性能 材料的力学性能可通过实验得到。 材料的力学性能可通过实验得到。 通过实验得到 ——常温静载下的拉伸压缩试验 常温静载下的拉伸压缩试验
拉伸标准试样
∆l0 ×100 0 0 δ= l
l－试验段原长（标距） －试验段原长（标距） ∆l0－试验段残余变形
断面收缩率
A− A 1 ψ= ×10000 A
A －试验段横截面原面积 A1－断口的横截面面积
塑性与脆性材料
塑性材料： 塑性材料： δ ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 脆性材料： 脆性材料： δ <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等 5
l =10d 或 l = 5d
l =11.3 A 或 l = 5.65 A
压缩试件——很短的圆柱型： 很短的圆柱型： 压缩试件 很短的圆柱型
h = (1.5——3.0)d
d
h
试验装置
变形传感器
拉伸试验与拉伸图 ( F-∆l 曲线 ) -
一、 材料在拉伸时的力学性质 四个阶段) 1、低碳钢轴向拉伸时的力学性质 (四个阶段)
缩颈与断裂
σp-比例极限 比例极限 σs-屈服极限 屈服极限
σb-强度极限 强度极限 E= tanα - 弹性模量
卸载定律及冷作硬化
卸载定律： 卸载定律： 当拉伸超过屈服阶段后， 当拉伸超过屈服阶段后， 如果逐渐卸载， 如果逐渐卸载，在卸载过程 应力——应变将按直线 中，应力 应变将按直线 规律变化。 规律变化。
σ e－弹性极限 ε p－塑性应变 ε e －弹性应变
冷作硬化：在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段， 冷作硬化：在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载后短 期内又继续加载， 期内又继续加载，材料的比例极限提高而塑性变形降低的 现象。 现象。 预加塑性变形, 预加塑性变形 可使σ e 或σ p 提高
材料的塑性 塑性 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力 延伸率