大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法.
大学高数下 二重积分的计算
1 ( )
D
,
1 ( ) 2 ( ).
2 ( )
o
A
f ( cos , sin )dd
D
d
2 ( )
1 ( )
f ( cos , sin ) d .
二重积分化为二次积分的公式（２）
D
1 33 4 [ x ( x x ) ( x x )]dx . 0 2 140
1 2 2
例3
改变积分
0 dx 0
1
1 x
f ( x , y ) dy 的次序.
解
D : 0 y 1 x, 0 x 1
y 1 x
积分区域如图
改写D : 0 x 1 y, 0 y 1
( xy cos x sin y )dxdy (
D D1
A)
( A) 2 cos x sin ydxdy ; (C ) 4 ( xy cos x sin y )dxdy ;
D1
( B ) 2 xydxdy ;
D1
( D) 0
例 2：I | xy | dxdy , 其中 D : x y 1
分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由
区域 D 的几何形状确定的，因此计算二重积分应 先画出积分区域 D 的图形. 2) 第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二 次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于
上限.
3) 积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，
且区域的划分要尽量地简单.
例 2 求 ( x 2 y )dxdy ，其中 D 是由抛物线
§9.2二重积分的计算
y
2
2
y
1
x y
x2
o
x
2 y 例 2．计算 xyd ，其中 D 由 x 和 y x 2 所围成。
D
y
解法 1：先积 x 后积 y，
2
1 y 2, D ： 2 ， y x y 2
y
x y2
( 4, 2 )
x y 2
o
1
xyd 1dy y 2
o
a
b
x
如图所示的积分区域称为 X 型区域。
z f ( x , y ) f ( x , y )d 所表示的柱体 x x 下面用切片法来计算二重积分 z z f ( x , y ) D
的体积。
z
A( x )
D
y 2 ( x )
y 1 ( x )
b
A( x )
x 1 ( x ) 2 ( x ) y
i 1
f ( i , i ) i 。若当各小闭区域的最大直径
n
区域 D 上的二重积分，记作 f ( x , y )d ，即
D
l i m f ( i , f ( x , y )d d 0
D i 1
n
i ) i
§9.2 二重积分的计算 9.2.1利用直角坐标计算二重积分
注：①化二重积分为二次积分时，积分限的确定顺序 与积分顺序相反。 ②在计算内积分时，外积分变量是常数。
解法 2：D 是 Y 型的。
x 2 xyd 1dy y xydx 1[ y 2 ] y dy
2 2 2 D
4 y3 y 2 2 9 [2 y ]dy [ y ] . 1 2 8 1 8 2
二重积分的定义和计算方法
二重积分的定义和计算方法引言：二重积分在数学中扮演着重要的角色，用于求解平面区域上的面积、质量分布、物理量等。
本文将介绍二重积分的定义以及常用的计算方法，帮助读者更好地理解和应用二重积分。
一、二重积分的定义二重积分用于计算平面上某个有界区域的面积或者其他类型的物理量。
其定义如下：设函数f(x,y)在闭区域D（边界为C）上连续，其中D的边界C由有限个简单光滑的曲线组成。
将D划分为m×n个小区域，区域在第i 行第j列的小区域记为ΔSij，并任选ΔSij上一点(xi,yi)。
当ΔSij趋近于零且区域D趋近于闭区间上的有限个点时，若二重极限$$\lim_{\substack{m,n \to\infty}}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(xi,yi)\Delta Sij$$存在，且与D的划分和点(xi,yi)的选择无关，则称该极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记为$$\iint_D f(x,y)dS$$其中，dS表示面积元素。
二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分计算当函数f(x,y)在闭区域D上连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下两个步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。
根据题目的描述或者所给的图形，确定积分区域D的边界曲线的方程。
可以使用直线、圆等几何图形的方程来描述。
步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。
根据所给的积分区域D，在直角坐标系下建立对应的积分式，然后进行计算。
根据题目需求，可以选择使用直角坐标系的面积元素dS = dxdy或者极坐标系的面积元素dS = r dr dθ。
2. 极坐标系下的二重积分计算当函数f(r,θ)在极坐标系下连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。
根据题目给出的信息或者图形，确定积分区域D在极坐标系下的范围和边界曲线的方程。
步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。
高等数学《二重积分的计算》
D
y x , x 1 所围.
y
解 将 D 看作 y — 型区域 , 则 1
D={(x , y)| y x 1 ，0 y 1 } , y y x
xydxdy
1
0
dy
1 y
y2
sin
xy
d
x
o
1x
D
1
[
y cos
y2
y cos
y]dy
0
1 sin 2
y2
y
sin
y
cos
y
1
0
1
cos 1
d
2
dx
1
x 1 x
x2 y2
dy
D
2(x3
1
x)dx
1 4
x
4
1 2
x
2
2 1
9. 4
例 5 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D {(x, y) | 0 x y , 0 y 1} ,
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分 通常取决于被积函数的结构.
必要时还可以交换积分次序.
例2 计算 y2 sin xydx dy , 其中 D 由 y 0,
0
1 1 y2
y2 x y 2x x2
例 8
高等数学 课件 PPT 第九章 重积分
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度×面积 来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列 几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域 的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解 画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2， 于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解 积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设 下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4
二重积分的计算法
01
解
02
积分区域如图
01
积分区域如图
解
01
单击此处添加大标题内容
解
原式
例4. 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
例5. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
及直线
则
例6. 计算
其中D 是直线
所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知,
因此取D 为X – 型域 :
先对 x 积分不行,
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
解: 由被积函数可知,
例7．求I=
取D 为X – 型域 :
因此取D 为Y – 型域 :
先对 y 积分不行,
例8．求I=
若D为Y –型区域
则
当被积函数
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10%
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的
Y型区域的特点： 直线与区域边界相交不多于两个交点. 直线与区域边界相交不多于两个交点. 计算中的技巧（问题）： 、先画积分区域草图； 、有无奇偶对称性: 穿过区域且平行于x 轴的
第二节
二重积分的计算法 与直系下二次积分互化
由曲顶柱体体积的计算可知, 且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
高等数学 9-2二重积分的计算法
解 根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下
D1
x + y = a ⇒ r = a,
2 2 2
( x + y ) = 2a ( x − y )
2 2 2 2 2 2
⇒ r = a 2 cos 2θ ,
r = a 2 cos 2θ π , 得交点 A = ( a, ) , 由 6 r=a
1
2− y 1− y
2
f ( x , y )dx .
例 3 求 ∫∫ ( x + y )dxdy ，其中 D 是由抛物线
2
所围平面闭区域. y = x 和 x = y 所围平面闭区域
2 2
D
解 两曲线的交点
x = y2
y = x ⇒ (0,0) , (1,1), 2 x = y
2
y = x2
y
A(x0 )
x
y = ϕ1(x)
ϕ2 ( x) ϕ1 ( x )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫ dx ∫
a D
f ( x , y )dy .
c 如果积分区域为： 如果积分区域为： ≤ y ≤ d , ϕ 1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ).
［Y－型］ －
d
d
x = ϕ1( y)
x2 + y2 = 1
1 , 直线方程为r = sinθ + cosθ
所以圆方程为 r = 1,
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫ dθ ∫
2
π
1
D
0
1 sinθ +cosθ
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
高等数学 上、下册9_2 二重积分的计算法
个公式的成立并不受此条件限制.类似地，如果积分区域D 可用不等式
1(y)x2(y),cyd
表示（图9-5），其中1(y),2(y)在区间c,d 上连续，这样的
区域称为Y-型区域，
y
y
d
D
d
x 2(y)
x 1 ( y) x 2 ( y)
x 1 (y)
c
D c
O
x
O
x
(a)
(b)
图 9-5
其特点是：穿过 D 内部且平行 x 轴的直线与 D 的边 界相交不多于两点，则有
B 是穿出区域 D 的点，它的纵坐标 2 (x)是积分的上限，把计
算的结果（是 x 的函数）再对 x 在其变化区间a,b上作定积分.
同理可得 Y-型区域的定限方法.
注意 以上说的 X 型
（Y 型）区域都要求平行于 y
y
轴（ x轴）的直线与区域D 的 边界曲线相交不多于两点，如 果不满足这个条件时
(
y
2)2
y
y5
dy
1 2
y4 4
4 3
y3
2y2
y6 6
2 1
55 8
若 按 x- 型 区 域 计 算，用公式（1），则由 于下方边界曲线
y
y x
(4,2)
y 1(x) 在区间[0,1] 及
[1, 4]上的表达方式不一
y x2
D1 D2
致，所以要用经过交点
Ox 1
x4 x
(1, 1) 且 平 行 于 y 轴 的 y x (1,-1)
0
0
D
1 0
x2
y
3
1 0
x
2
dx
大学高等数学课件——9-2_二重积分的计算法
d e
0 0
R
R2 rdr (1 e ); 4 2 R2 ); dxdy (1 e 4
同理 I 2 e
D2
x2 y2
I1 I I 2 ,
R R2 x2 2 2 R2 (1 e ) ( e dx ) (1 e ); 0 4 4
D {( x, y) | a x b, c y d}， 则
f ( x, y)dxdy [
D
b
a
f1 ( x)dx][ f 2 ( y )dy ]
c
d
求 3x y d， 练习2：
2 2
D
其中D是由x轴, y轴和抛物线y 1 x2所围成的
在第一象限内的区域．
原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.
解
在极坐标系下
D：0 r a ，0 2 .
e
D
x2 y2
dxdy d e
0 0
a2
2
a
r 2
rdr
(1 e
).
例3
求广义积分 0 e dx .
x2
解 D1 {( x , y ) | x 2 y 2 R 2 }
0 1 x x
(1,1)
sin y dy y
比较麻烦
例5
求 x e
D
2 y2
dxdy ，其中 D 是以(0,0), (1,1),
(0,1) 为顶点的三角形.
解 e
y2
dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x
D
2 y2
e
dxdy dy x e
高等数学 二重积分的计算法
解 在极坐标系下
D：0 a ，0 2.
ex2 y2dxdy
2 d
0
a e 2 d
0
D
(1 e a2 ).
利用上面结果可以求广义积分 ex2dx. 0
D1 {( x, y) | x 2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x 2 y2 2R2 }
2a
x
图 A
2 cos
yo
D
x
a 2
图 B
解 由对称
性
V 4 4a2 x2 y2dxdy
D
其中 D 为半圆 y 2ax x2及 x 轴所围
周的闭区域 . 在极坐标系中，成闭区域 D
可用不等式0 来表示 . 于
2
cos
,
0
2
是 V 4 4 2 2 dd
D
4 2 d
则
x
v
2
u
,
y
v
2
u.
D D, 即 x 0 u v; y 0 u v;
y x2
( x 2
y)dxdy
1dx 0
x
x
2
(
x
2
y)dy
D
1[ x2(
0
x
x2)
1 2
(
x
x4 )]dx
33 140
.
例 4
1
计算积分 I 2 dy
y
e
y x
dx
1dy
y
e
y x
dx
.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx不能用初等函数表示
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第二节二重积分的计算法• 一、二重积分在直角坐标系中的计算法 • 二、二重积分在极坐标系中的计算法 •三、小结思考题练习题一、二重积分在直角坐标系中的计 算法a < x <^h 9 (p t (x) V y V (pAx).—型]其中函数©（劝、02（兀）在区间［“,6上连续・如果积分区域为:1 1J = <p 2(x)」_屮心)1 1 ab的值等于以。
为底，以曲面z =f(x,y)为曲顶柱体的体积.应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,SRcy=fdyr 2>f(x,y)dx.兴 切(丿)y =©(x)y =^(x)A(x (JX型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式n 勿+u •D D、D2 D、例1 改变积分f(x y y)dy的次序.解例2改变积分’/（X 』）心的次序.解积分区域如图2J = 2-x X、»= \ 2x -5^• ■ 70.91\ *・53原式=』dy J二缶f f(x,y)dx.例 3 改变积分j ^-p/(x,j)Jy (« >0) 的次序.f(x^y)dx+他(：丹八3)必+f"dy0gy)必.x 2 =>x =a ± x a 2 -y 2=\ 2ax —::2例4求jj(x 2 + y )dxdy ,其1=1©是由抛物线解两曲线的交点 产二=>(0,0) ,(1,1), 1兀=厂+ y)dxdy {x 1+y)dyD=x - x 2) + ^(x-x 4)]rfx =豊・Jo2 140例5 求JJ x 2e'y2dxdy ,其中 D 是以0,0),(1,1),(<M)为顶点的三角形.x 2e~ydxdy =^dy^ x 2e ydx D□□y =，和兀=b 所围平面闭区域.解・・・“》心无法用初等函数表示・・・积分时必须考虑次序- 卩 f 了 -e x dx^ \dy \ e x dx.y解^e xdx 不能用初等函数表示・•・先改变积分次序. =f x(e —e x)dx = -e — -<e.码 8 2例7求由下列曲面所围成的立体体积， z = x +j, z = xy 9 x+ ‘=l, x =0, j =0.原式=I = e^dy例6计算积分成的立体如图.所围立体在xoy 面上的投影是•・• 0< x4-j < 1, x + y> xy 9 所求 =JJ(x +j- xy)daD(x-hy-xy)dy訂：住(1 一兀)+ £(1-兀尸血=召二、二重积分在极坐标系中计算 法 1 ^1 .Aa,=-（巧 + ZV;$ ・一 乙叮・=-(2r ； + zXr f )Ar ； •2-"+叫・M “A2=片• Ar z•〃亍△o \JJ f (x9y)dxdy = f (rcosG3rsinO)rdrd0.D D二重积分化为二次积分的公式（1）区域特征如图a<0<. p y(p\O}<r < 02(&)・JJ f(rcos0^rsin0)rdrd0D=f (r cos^,r sin^)rJr.JaJ 卩i (0)区域特征如图a V & V 0，0（&）＜厂 V 02（&）・JJ f (rcos09rsin0)rdrdO =\p dor O}Ja J®©) 01 (0)f (rcosG yrsin0)rdr.CQE二重积分化为二次积分的公式（2 ）JJ f (r cos^,r sin0)rdrdOD“r (p2、=J do] f(r cos^,rsin^)rJr.二重积分化为二次积分的公式（3）|| f (r cos^,r sinff)rdrd0 D极坐标系下区域的面积a = \\rdrdO./(rcos^,rsin^)rJr.区域特征如图0 < r < 0（&）・SB区域特征如图0 V & V 2眄例8写出积分\\f(x.y)dxdy 的极坐标二次积分形 式，其中积分注域D = {(x 9y)\ 1-x < y < \ l-x\O<x<l}.所以圆方程为厂=1,直线方程为厂=^―1—-sin& + cos &SR例9 计算^e~x ^ydxdy ，其中D 是由中心在 原点，半径站的圆周所围成的闭区域. 解在极坐标系下D ： 0<r <« , 0<0<2兀・\\e~x ~ydxdy= J 冷町：”皿解在极坐标系下{X = rcos 0 y= rsin &\\f(x.y)dxdy= [}dd^ xf (r cos G^rsinG)rdr.豈」A ^e~x2~y ：dxdy<帖宀怙心 ffe'^ dxdy.D tSD 2又•・• 1 = ^e~x dxdys=e~xl dx e~y dy =([ e~' dx)2; =jje~xydxdyD\同理笃=fj e~x' ydxdy=^(\-e~1R");UH例10 求广义积分Jx ・ 解9={(%』)1云 +，2<尺2}D 2={(x 9y)\x 2^y 2<2R 2}S = {(2)\0<x<Rfi<y<R}{x 5:0, j >0}显然有 D] u S u 。
2•・・ /J < / < I 29兀“ -R 2 \/-X 2 J \2 兀-2R 2 \••• (l-<? )<( e dx) < (1-e );4 J 。
4TTIt当 /?—>8 时，人一> G /Tr4 4故当Z?T8时，即(J ；厂必)'弓' 所求广义积分^e'x2dx=耳・例11 计算+ y 2)dxdy,其D 为由Dx 2-F y 2= 2y 9 X 2-by 2= 4,及直线工 _ 3y= 0 , 丿一\3*=0所围成的平面闭区域.x — \ 3 j = 0 n 0、=手6X 2 4-j 2= 2j => r = 2sin&Jj(x 2y 2)dxdy =%2-rdr = 15(寸一、3)・D6 S n/j — \ 3x =0— 02 = x 24-j 2= 4y => 尸=4sin&例12 计算二重积分□沁字¥二必小, 其中积分区域为D={(X9J)I1^X2+ J2<4}.解由对称性，可只考虑第一象限部分，D = 4D\注意：被积函数也要有对称性.=4『坷：警"=-4・SB例13 求曲线(x2 + y2)2=2a2(x2-y2)和x2+j2所围成的图形的面积.解根据对称性有D = 4巧在极坐标系下2 2 2x +y =a => r =ay(x2 + )2)2 = 2a2(x2— y2) r=“、2cos2&,r =a、2cos2& -—'得交点心叫),所求面积<r = JJ dxdy = 4jJ dxdy D D tfa . 2cos20=4£ je£rdr= a2(V3-^).三、小结二重积分在直角坐标下的计算公式jjf(x,y)dcr = y)dy.[X —型]f(x,y)dcr =f ＜；: /(x,y)〃x.[Y—型](在积分中要正确选择积分次序)二重积分在极坐标下的计算公式Jj f (r cos^,r s\r\O)rdrdG" Pp叭(8)=J dffj $ f (rcos0^rsin0)rdr・« = J dOy f (rcos0^rsinO)rdr・=0 f(rcos0,rsin0)rdr.(在积分中注意使用对称性)思考题1设/(X)也0,1］上连续，并设£/(x)dr =A, 求JM f(x)f(y)dy ・思考题1解答v 不能直接积出，・・・改变积分次序. 令/ =jdxj x f(x)f(y)dy9 则原^=jdy^f(x)f(y)dx ・= j/(x)dx^ f(y)dy,故2“ =」：/(兀)必[/(刃心+ £/(x)Jx£' f(y)dy = £/(x)Jx[(£ +f )f(y)dy]思考题2交换积分次序：C- pacosQ/=』/礼f(r,Q)dr(a A 0)<练习题1填空题：］、Jj(x ' + 3x2y + j ')rfo- = ___________________ •其中DDWSMlgyMl.2、JJxcos(x + y)da = ___________________ .其中^ 是顶£分别为(。
小)，(“°),(兀皿)的三角形闭区域・3、将二重积分其中°是构轴及半x2+j2=r2(j> 0)所围成的闭区域，化为先对后对工的二次积分，应为_______________________________________.HR 4、将二壓积分J打其中D是由直线I)y = X,X = 2及双曲线y = i(X > 0)所围成的闭区X域化为先对后对的二次积分，应为5.将二次积分『力丄：改换积分次序,应为_____________ 〔_______ .6、将二次积分改换积分次序，应为____________________________ ・7.将二次积分心仁f(x.y)dx改换积分次序，应为_____________________________ •二. 画出积分区域，并计算下列二重积分：1、其和是由|X|+|J|<1所确定的闭区域.D2、JJX+h 一其和是由直线y = 2』=x及j = 2兀所围成的闭区域3、沪(“必=讼「厂叫如4* -*心如其中° ： -lSxSl,US_yS2.三、设平面薄片所占的闭区域"由直线x + y = 2,y = x和r轴所围成，它的面密度p(x.y) = x2 + y2f求该薄片的质量・四、求由曲面z = +2丁’及z = 6-2x?-〉，？，所成的立体的体积.练习题1答案"如宀f(x,y)dy；4、Ji*rfy£ /(x, y)dx + j'rfyj /(x, y )dx；5、J匈:;F/g皿：.0 . ”_ pl . /»/r-arcsln y 6、丄切亠“丿小处订叽的/(工』皿;I7、£rfx£*x/(x’yMy・5.将［必匸(h+X 戸心化为极坐标形式的二次积 分为二、计算下列二重积分： jjln(l + x : + j 2)rfcr,其中D 是由圆周*+ J 2 =1 £坐标轴所围成的在第一象限内的区域. JJ(x 2 +j 2)Jcr 其中"是由直线，=x, y = x+a,y=a 9y^ %(a > °)所围成的区域. fj \2-壬_ y 2da 9其中。