江苏省涟水县第一中学2014-2015学年高二数学下学期期末调研试题 文

2014－2015学年度高二调查测试数 学 试 卷（文）本试卷满分共160分；考试时间120分钟。

一．填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合{0,1,2}{|A B x y ===，，则=B A ． 2．已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则p ⌝为 ． 3．已知233m +-ii为实数，其中i 是虚数单位，则实数m 的值为 ． 4．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=．若12l l ⊥，则实数a 的值是 ． 5．已知1cos()33πα+=-，则sin()6πα-的值为_____． 6．已知函数sin ,1()(1),1x x f x f x x π⎧=⎨->⎩≤，则43f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ．7．已知函数141)(-+=x a x f 的图象关于原点对称，则实数a 的值是 ． 8. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第○n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数是 ．9．已知抛物线24y x =与双曲线1222=-y ax 的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若3MF =，则该双曲线的离心率为 ．10．已知过点()2P --的直线l 与圆O ：224x y +=有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ．11．将函数)0)(3sin(2)(>+=ωπωx x f 的图象向右平移3πω个单位，得到函数()y g x =y第15题图的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为 ．12．已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，若关于x 的不等式()()2f x a f a x +-≥在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的最大值是 ．13．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项为n2，则数列{n a }的前n 项和n S = .14．已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中正确命题的个数为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作角α和β，0,,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其终边分别交单位圆于A B ，两点．若A B ，两点的横坐标分别是53，102-． 试求（1）αtan ，βtan 的值； （2）AOB ∠的值．M第16题图16．如图，已知多面体ABCDFEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，若四边形ADEF 为矩形，AB ∥CD ，12AB CD ，BC ⊥BD ，M 为EC 中点．（1）求证：BC ⊥平面BDE ； （2）求证：BM //平面ADEF ．17．某校为调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？ （3）在（2）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？18．已知函数0),1(log )1(log )(>--+=a x x x f a a ，且1≠a ． （1）求)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性并予以证明； （3）若1>a 时，求使)(x f >0的x 的集合．19．已知椭圆：M 22221x y a b+=（0a b >>），点1F (1,0)-、C (2,0)-分别是椭圆M 的左焦点、左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点． （1）求椭圆M 的标准方程；（2）若A ，求△AOB 的面积；（3）是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20．已知函数()ln xx kf x +=e（其中, 2.71828k ∈=e R 是自然对数的底数），()f x '为()f x 导函数．（1）当2k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若(]0,1x ∈时，方程()0f x '=有解，求实数k 的取值范围；（3）若()10f '=，试证明：对任意()2210,x f x x x-+'><+e 恒成立．MN2014－2015学年度高二调查测试数学试卷参考答案与评分标准（文）本试卷满分共160分；考试时间120分钟。

一．填空题:1．}1,0{ 2．1sin ,>∈∃x R x 3．2- 4．0或－3 5．316．23 7．218. 62n + 9．⎡⎣ 11．2 12．2- 13．122n +- 14．3 二、解答题：15．（1）因为,A B 两点分别是角,αβ的终边与单位圆的交点，所以,A B 两点的坐标为()()cos ,sin ,cos ,sin A B ααββ，…………………………………4分又因为A B ，两点的横坐标分别是53，102-，且0,,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，3cos ,cos 5αβ==，解得4sin ,sin 5αβ==，……………………………6分所以34tan =α，7tan -=β；……………………………………………………………8分 （2）因为134)7(1347tan tan 1tan tan )tan(tan =⨯-+--=+-=-=∠αβαβαβAOB ，…………12分 又因为20πα<<，πβπ<<2，所以παβ<-<0， 所以4παβ=-．………14分16．（1）因为四边形ADEF 为矩形，所以DE AD ⊥， …………………………………1分 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 平面ADEF ∩平面ABCD AD =，所以DE ⊥平面ABCD ，…………………3分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BC ，……………………………5分又因为BC ⊥BD ，DE BD D =，所以BC ⊥平面BDE ； …………………………7分 （2）取DE 中点N ，连接,AN MN ，因为,M N 分别为,EC DE 中点，所以MN CD ，12MN CD =，……………………………………………………………9分又因为AB CD ，12AB CD =，所以,MN AB MN AB = ，所以四边形ABMN 为平行四边形， …………………………………………………11分 所以BM AN ，又AN ⊂平面ADEF ，BM ⊄平面ADEF ，所以BM 平面ADEF ．……………………………………………………………………14分 17．（1）由频率分布表可知，第2组的频数为1000.1515⨯=（人），………………………………………………2分 第3组的频率为300.3100=； …………………………………………………………4分 （2）因为第2、5组共有35名学生，所以利用分层抽样在35名学生中抽取7名学生，每组分别为:第3组:157335⨯=(人)， ………………………………………………………6分 第5组:207435⨯=(人)，………………………………………………………8分 所以第2、5组分别抽取3人、4人．（3）设第2组的3位同学为123,,A A A ，第5组的4位同学为1234,,,B B B B ，则从7位同学中抽2位同学有21种可能情况：121311121314(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A B A B 2321222324(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B 31323334(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B 121314(,),(,),(,),B B B B B B 2324(,),(,),B B B B34(,),B B ……………………………………………………………………………12分其中第5组的4位同学1234,,,B B B B 中至少有一位同学入选的有18种，故至少有1名学生来自第5组的概率为67．………………………………………14分 18．（1）因为0),1(log )1(log )(>--+=a x x x f a a ， 所以⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，所以)(x f 的定义域为)1,1(-；…………………4分（2）x xx f a-+=11log )(，)1,1(-∈x 因为x x x f a +-=-11log )(1)11(log --+=x x a xxa -+-=11log )(x f -= 所以)(x f 为奇函数．………………………………………………………………………8分 （3）因为xx x f a-+=11log )(，所以()00f =，又12111x y x x +==-+--在)1,1(-上递增， 因为1>a ，所以)(x f 在)1,1(-上为递增函数， ……………………………………12分 由)(x f >)0(f 得，0>x ，又因为)1,1(-∈x ，所以使)(x f >)0(f 的x 的集合为)1,0(．………………………………………………16分 19．（1）由1(1,0)F -、(2,0)C -得：2,a b ==．…………………………………2分所以椭圆M 的标准方程为22143x y +=； ……………………………………………4分（2）因为A ，1F )0,1(-，所以过1,A F 的直线l的方程为：11x +=-，0y -=， ………………………………………………………………6分解方程组220143y x y -+=⎨+=⎪⎩，得12y y ==8分1211||2ABC S y y ∆=⨯⨯-=；……………………………………………………………10分 （2）设000(,)(22)B x y x -<<，则2200143x y +=．因为1(2,0),(1,0)C F --， 所以 10000(1,)(2,)BF BC x y x y ⋅=---⋅--- 2200023x x y =+++ 20013504x x =++=，………………………………………………………12分 解得：02x =-或6-，………………………………………………………………………14分 又因为026x -<<-，所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上． …………………………………16分20．（1,(0,)x ∈+∞, ………………………1分所以曲线()y f x =在点()()1,1f …………………………2分所以曲线()y f x =切线方程为 即13y x =-+e e；……………………………………………………………………………4分（2）由()0f x '=得 ………………………………………………………5分 令1ln ()x x F x x -=, 因为01x <≤,所以21()0x F x x+'=-<,………………………………6分 所以()F x 在(0,1]上单调递减，又当x 趋向于0时，()F x 趋向于正无穷大，故()1F x ≥， 即1k ≥； ……………………………………………………………………………8分 （3）由'(1)0f =，得1k =, ………………………………………………………………9分因此,当2(0,)x -∈e 时,因为()0h x '>,所以()h x 单调递增； 当2(,)x -∈+∞e 时，因为()0h x '<，所以()h x 单调递减，所以()h x 的最大值为22()1h --=+e e ,故21ln 1x x x ---+e ≤， …………………………12分 设()(1)x x x ϕ=-+e ，因为()1x x ϕ'=-e ，所以(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>， 所以()x ϕ在()0,+∞上单调递增,所以()(0)0x ϕϕ>=,故(0,)x ∈+∞时,()(1)0xx x ϕ=-+>e ,14分即对任意0x >,……16分。