直线倾斜角与斜率说课稿
直线的倾斜角与斜率说课1说课稿
课题：§3.1.1直线的倾斜角与斜率夏春艳各位老师大家好！我说课的内容是必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率。
下面我分别从教材分析、学情分析与目标设置、教法和学法以及教学过程四个环节谈一谈我对本节课的理解和处理。
（一）教材分析在欧氏几何中，我们用点、线、面的关系研究图形的性质。
解析几何是借助坐标系用代数方法研究几何问题，通过代数运算的结果反馈几何图形的性质。
直线的倾斜角和斜率是解析几何的第一课，担负着为全章开篇的重任。
本节课有两个概念――倾斜角和斜率。
倾斜角是几何概念，把这个几何特征代数化，引出斜率，完成数到形的过渡，为后续的用方程表示直线，并借助方程研究直线的位置关系奠定基础。
也为整个解析几何奠基。
（二）学情分析与目标设置高一学生通过初中的学习，已经具备了直角坐标系的相关知识，也具备一定的数形结合的能力，因此有些问题可以大胆的放手让他们自己去探究。
但概念的形成、发展和应用过程，要过渡自然，让学生感受而不是接受。
结合高中数学课程标准和教材，考虑到学生的认知规律，将制定学习目标及重点和难点如下【知识与技能目标】理解倾斜角和斜率的概念，掌握两点的斜率公式，初步体会用代数方法解决几何问题的思想方法，提高抽象概括能力。
【过程与方法目标】通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力，体会几何问题代数化的思想方法。
【情感态度与价值观目标】通过合作探索，互相交流来感受数学学习的乐趣。
通过斜率的小故事培养学生顺境不盲目乐观，逆境不绝望放弃的意志品质。
【重点】直线的倾斜角和斜率概念的理解，掌握过两点的直线斜率公式。
【难点】两点斜率公式的推导，斜率与倾斜角的关系。
（三）教法和学法【教法】应用多媒体设备和几何画板软件直观演示法，引导发现法，设疑讨论法等教学方法。
【学法】以促进学生发展为出发点，着眼于知识的形成和发展，多给学生操作与思考的空间。
（四）教学过程1.整体思路新课程的基本理念指出，教师应该是教学的引导者。
《直线的倾斜角和斜率》优质课比赛说课稿
以 x1 � y1 ,可令 x1 �1,则 y1 �1 ,于是点 A1 的坐标为(1,1).此时过原点和点(1,1), 可作直线 l1
同理,可作直线 l2 , l3 , l4 . (五)让学生完成课堂巩固练习:P86 1. 2. 3. 4.处理方式�找两位 同学板书演示。 (六)小结:
(1)直线的倾斜角和斜率的概念� (2)直线的斜率公式. 拓展运用�如何利用斜率公式判断两直线平行和垂直� (七)课后作业:P89习题 3.1A组 1.2.3.4. (八)板书设计:
说课 高中数学必修二
3.1.1直线的倾斜角与斜率
这些知识学生只有学了三角函数才更清楚。
②在推导
k
�
y2 x2
� �
y1 x1
�x1
�
x2 �时�可以引导学生联想“坡度”来发现辅助线的作
法�采用把求钝角的正切转化为求锐角的正切的方法较好�推导公式时需要讨
论倾斜角是锐角还是钝角�明确斜率 k 的值与直线上点 P1, P2 的位置无关�这些可 以通过几何画板演示�增加学生的直观想象�学生易于接受。
�4�3 7
直线 BC的斜率 k BC � � 1 � 0 ,所以直线 BC的倾斜角是钝角;
2
直线 CA的斜率 kCA �1 � 0 ,所以直线 CA的倾斜角是锐角. 精讲点拨�
例 2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为 1,-1,2,及-3的 直线 l1 , l2 , l3 及 l4 .
此例题的设计意图�训练斜率公式的应用�完成点斜定线与两点定线的转
锐角的斜率为正值�钝角的斜率为负值。
� � 求1350 的正切值时�给出下列诱导公式� �是锐角时�tan1800 �� � � tan� �有利于
《直线的倾斜角和斜率》说课稿(附教学设计)
《直线的倾斜角和斜率》说课稿一、教材分析1、教材分析本节课是人教版数学必修第一节直线的倾斜角和斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。
直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。
通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。
直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念。
直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。
建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。
本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。
倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。
2、教学的目标定位在此之前，学生已经对直线有了直观的认识，如：两点确定一条直线，它具有平直性，并向两方无限延伸等。
但是这只是定性的研究，用这种方法，并不能具体刻画或描述一条直线。
在初中阶段，学生也认识了一次函数的图象是一条直线，但研究途径是先有数量关系（一次函数表达式），后建立其直观表示：直线。
在解析几何中，我们是先有图形（或曲线），然后根据图形（或曲线）的几何特征确定图形（或曲线）的代数表达式——方程。
因此，本节课的主要目的就是让学生在已有知识的基础上，将直线放入平面直角系，利用代数方法对它进行研究，从中体会解析几何的一些重要的数学思想。
直线的倾斜角与斜率说课
直线的倾斜角与斜率
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3、教学目标
情感态度价值观 ➢体会数学源于生活，又用于实生活的应用价值，增 强学生“用数学”的意识 ➢通过合作探索，互相交流，享受获取数学知识的喜 悦
直线的倾斜角与斜率
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4、重点与难点 重点： 直线的倾斜角和斜率概念的理解，初步掌 握过两点的直线斜率公式。
难点： 直线的倾斜角概念的形成，斜率公式的建 构
直线的倾斜角与斜率
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• 倾斜角、斜率概念的生成――情景观察，活动探
活动 究
A
P
• 概念理解、斜率公式推导――启发引导，动态演
O
S
过程
示
理
论
• 倾斜角与斜率的知识运用――小组讨论、讲练结
操作 合
教学手段：PPT 几何画板
直线的倾斜角与斜率
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求m的值.
解:kAB=kAC
23 32
m 1
3 2
m
1 2
2
变式2 变式3 变式4
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情景导入
活动探究 过程体验
学生能解答开头提出的疑问，弥合学习的心理“缺 口”。在这里让学生体会数学来应用于生活的价值。
法一：用量角器（倾斜角）
法二：用比例（斜率）
操作建构
LO教G材O
普通高中课程标准实验教科书《数学》必修二3.1.1节
直线的倾斜角与斜率
数学科学学院 08级1班 陈晓妹
直线的倾斜角与斜率
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1、教材的地位和作用
直
倾斜角与斜率 说课稿 教案 教学设计
倾斜角与斜率●三维目标1．知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率概念．(2)经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2．过程与方法(1)探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程．(2)通过教学，使学生从生活中坡度的概念自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想．(3)充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想．3．情感、态度与价值观(1)通过对直线倾斜角的概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．●重点难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式．难点：倾斜角与斜率的关系及斜率公式的导出过程．重难点突破：以确定直线位置的几何要素为切入点，通过让学生“实验——猜想——操作——定义”四个环节，给出直线倾斜角的概念，重点之一得以解决；然后从学生熟知的概念“坡角”入手，充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念，难点之一得以解决；对于斜率公式的导出过程，教学时可采用数形结合及分类讨论思想，化几何问题为代数运算，从而化难为易，突破难点．【课前自主导学】直线的倾斜角【问题导思】1．在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？ 【提示】 不能．2．在平面直角坐标系中，过定点P (2,2)的四条直线如图所示，每条直线与x 轴的相对倾斜程度是否相同？【提示】 不同． 1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．直线的斜率【问题导思】如图(1)(2)，在日常生活中，我们常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”． 1．上图(1)(2)中的坡度相同吗？ 【提示】 不同，因为32≠22.2．上图中的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？【提示】 存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中坡度＝tan β. 1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. 2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角 (范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°斜率 (范围)k >0不存在k <0过两点的直线的斜率公式【问题导思】直线l 上已知三点A (－1，－2)，B (2,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5，则由斜率公式k AB 、k BC 分别为多少？由此你能得到什么结论？【提示】 均为2，用斜率公式求直线的斜率时，与直线上选取的点无关． 直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．【课堂互动探究】直线的倾斜角设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾角为α－135°【思路探究】 画出图象辅助理解，由于条件中未指明α的范围，所以需综合考虑α的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在大于或等于0°而小于180°的范围内．【自主解答】 根据题意，画出图形，如图所示： 因为0°≤α＜180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面， 不合题意．通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α＜135°，l 1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 【答案】 D1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角α2为________． 【解析】 当α1＝0°时，α2＝0°，当0°<α1<180°时，α2＝180°－α1.【答案】0°或180°－α1求直线的斜率求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角．(1)(－3,0)，(－2，3)；(2)(1，－2)，(5，－2)；(3)(3,4)，(－2,9)；(4)(3,0)；(3，3)．【思路探究】依据直线的斜率公式求解，注意公式使用的条件．【自主解答】(1)直线的斜率k＝3－0－2－－3＝3＝tan 60°，此直线的斜率为3，倾斜角为60°.(2)直线的斜率k＝－2＋25－1＝0，此直线的斜率为0，故倾斜角为0°.(3)直线的斜率k＝9－4－2－3＝－1＝tan 135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°.(4)因为两点的横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°.1．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求直线AB斜率和倾斜角的步骤：(1)当x1＝x2时，直线斜率不存在，其倾斜角为90°；(2)当x1≠x2时，直线的斜率k＝y2－y1x2－x1，倾斜角α利用k＝tan α求得．2．数形结合是解决数学问题常用的思想方法，当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐减小至－∞(即斜率不存在)．已知直线的倾斜角，求直线的斜率．(1)α＝0°.(2)α＝60°.(3)α＝90°.【解】(1)因为tan 0°＝0，所以倾斜角为0°的直线斜率为0.(2)因为tan 60°＝3，所以倾斜角为60°的直线斜率为 3.(3)因为tan 90°不存在，所以倾斜角为90°的直线斜率不存在．斜率与倾斜角的应用已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．【思路探究】直线l的倾斜角已知可以求出其斜率且P1、P2、P3均在直线l上，故任两点的斜率均等于直线l 的斜率，从而可以解出x 2，y 1的值．【自主解答】 ∵α＝45°，∴直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∵P 1，P 2，P 3都在直线l 上，∴kP 1P 2＝kP 2P 3＝k . ∴5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1， 解之得：x 2＝7，y 1＝0.用斜率公式可解决三点共线问题：如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值． 【解】 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74. ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC .即1－m 4＝74，∴m ＝－6. 【易错易误辨析】因忽略直线斜率不存在的情况致误求经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．【错解】 由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1. ①当m >1时，k ＝1m －1>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k ＝1m －1<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 【错因分析】 在上述解题过程中遗漏了m ＝1的情况，当m ＝1时，斜率不存在．【防范措施】 斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1的适用前提条件为x 1≠x 2，因此在含字母的点的坐标中，需计算直线的斜率时，要保证斜率公式有意义．【正解】 当m ＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1. ①当m >1时，k ＝1m －1>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°.②当m<1时，k＝1m－1<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.【课堂小结】1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．2．直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系．学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系．3．运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝y2－y1x2－x1应注意的问题：(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)．(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在．。
直线的倾斜角和斜率教案说课材料
直线的倾斜角和斜率(3.1.1)教学目标：知识与技能(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.(2) 理解直线的倾斜角的唯一性.(3) 理解直线的斜率的存在性.(4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式. 情感态度与价值观(1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.重点与难点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学用具：计算机教学方法：启发、引导、讨论.教学过程：(一) 直线的倾斜角的概念我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线.那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见，答案是否定的.这些直线有什么联系呢？(1)它们都经过点P. (2)它们的’倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’ 的不同？引入直线的倾斜角的概念：当直线I与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线I向上方向之间所成的角a叫做直线I的倾斜角.特别地，当直线I与X轴平行或重合时，规定a = 0 ° .问：倾斜角a的取值范围是什么？0° < aV 180° .当直线I与X轴垂直时,a = 90° .因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角a来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度•Y如图,直线a// b // c,那么它们的倾斜角a相等吗？答案是肯定的•所以一个倾斜角a不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角a .(二) 直线的斜率：一条直线的倾斜角a ( aM 90° )的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,也就是k = tan a⑴当直线I与x轴平行或重合时,a =0° , k = tan0 ° =0;⑵当直线I与X轴垂直时,a = 90° , k不存在.由此可知，一条直线I的倾斜角a—定存在，但是斜率k不一定存在. 例如,a =45° 时，k = tan45 ° = 1;a =135 °时,k = tan135 ° = tan( 180 ° - 45° ) = - tan45 ° = - 1.学习了斜率之后，我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.(三) 直线的斜率公式：给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 工x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率？可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式:对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1) 当X仁X2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角a = 90° ,直线与x 轴垂直；(2) k与P1、P2的顺序无关，即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;(3) 斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当y仁y2时，斜率k = 0,直线的倾斜角a =0°,直线与x轴平行或重合.(5) 求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．( 四) 例题:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)分析：已知两点坐标,而且x1工x2,由斜率公式代入即可求得k的值；而当k = tan a <0时，倾斜角a是钝角；而当k = tan a >0时，倾斜角a是锐角；而当k = tan a =0时，倾斜角a是0° .略解：直线AB的斜率k1=1/7>0,所以它的倾斜角a是锐角；直线BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的倾斜角a是钝角；直线CA的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角a是锐角.例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.分析:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k=tan a =1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.略解：设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有1=(y－0)／(x－0)所以x = y可令x = 1, 则y = 1, 于是点M 的坐标为(1,1). 此时过原点和点M(1,1), 可作直线a.同理，可作直线b, c, 1.(用计算机作动画演示画直线过程)(五) 练习：P91 1. 2. 3. 4.(六) 小结：(1) 直线的倾斜角和斜率的概念．(2) 直线的斜率公式.(七) 课后作业： P94 习题3.1 1. 3.(八)板书设计：两条直线的平行与垂直（3.1.2）教学目标（一） 知识教学理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直（二） 能力训练通过探究两直线平行或垂直的条件， 培养学生运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.（三）学科渗透通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式 激发学生的学习兴趣.重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用. 难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题 系问题. 注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况 决好这个问题.教学过程（一）先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课，我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念表示直线相对于 x 轴的倾斜程度，并推导出了斜率的坐标计算公式•现在，我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直. 讨论：两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°,它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为 0时，一条直线的倾斜角为90 ° ,另一条直线的倾斜角为 0°,两直线互相垂直.（二）两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直设直线L1和L2的斜率分别为 k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线 的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的 .所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或垂直的直线 ，它们的斜率有什么关系 ？首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果 L1 // L2（图1-29），那么它们的倾斜角相等：a 1= a 2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a 1，a 2的关系）,转化为研究两条直线的斜率的关 ,在课堂上老师应提醒学生注意解,而且知道，可以用倾斜角和斜率来• •• tg a 1=tg a 2. 即k仁k2 .反过来，如果两条直线的斜率相等：即k仁k2，那么tg a仁tg a 2 .由于O°Wa 1V 180°, O°WaV 180°,--a 1=x 2 .又•••两条直线不重合，• L1 // L2 .结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即「-!J® '注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k仁k2,那么一定有L1 // L2;反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形.如果L1丄L2，这时a 1 Ma 2,否则两直线平行.设a2Va 1（图1-30），甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有a 1=90 + a 2.因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即a 1 M 90°，所以a 2工0°.即咕=-占或讹空=反过耒，女嗥kj=-丄，即kj * = -1 ■不失一般性》设冷＜0,◊o,那么即产诂厂+U可以推出：a仁90 ° +a 2. L1丄L2 .结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它1Ill's 0叫=--k l k3 = 1 们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即團1-30注意：结论成立的条件•即如果k1 • k2 = -1,那么一定有L1丄L2;反之则不一定.(借助计算机，让学生通过度量，感知k1, k2的关系，并使L1(或L2)转动起来，但仍保持L1 丄L2,观察k1, k2的关系，得到猜想，再加以验证•转动时，可使a 1为锐角，钝角等). 例题例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论•分析：借助计算机作图，通过观察猜想:BA // PQ,再通过计算加以验证.(图略)解：直线BA 的斜率k仁(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ 的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为k仁k2=0.5,所以直线BA // PQ.例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3),试判断四边形ABCD的形状，并给出证明•(借助计算机作图，通过观察猜想：四边形ABCD是平行四边形, 再通过计算加以验证)解同上•例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系•解：直线AB 的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ 的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,因为k1 • k2 = -1 所以AB丄PQ.例4已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3),试判断三角形ABC的形状•分析：借助计算机作图，通过观察猜想：三角形ABC是直角三角形，其中AB丄BC, 再通过计算加以验证•(图略)课堂练习P94 练习1. 2.课后小结(1) 两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件，判定两条直线平行或垂直(3)应用直线平行的条件，判定三点共线• 布置作业P94 习题3.1 5. 8.板书设计3.2.1直线的点斜式方程一、教学目标1、知识与技能（1 ）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
直线的倾斜角与斜率(说课稿)
《直线的倾斜角与斜率》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的课题是《直线的倾斜角与斜率》.荷兰著名数学家弗兰登塔尔曾说过：“要把数学冰冷的美丽转化为学生火热的思考”.有效的数学教学，不仅让不同层次的学生都经历概念的形成、发展和应用过程，也让学生在获取新知的过程中形成缜密的思维，养成探究的习惯，从而体会到学习数学的快乐.基于这样的认识，结合多次教学实践，我将从以下四个维度阐述我的教学设计. 一、纵横联系，分析教材1．课题选材本节课选自李广全、李尚志两位老师主编的高等教育出版社出版的《数学(基础模块)(下册)》第八章第二节第一课时《直线的倾斜角与斜率》.2．教材地位直线的倾斜角和斜率，分别从几何和代数的角度刻画了直线的倾斜程度，两者的联系桥梁是正切函数值，是解析几何的重要概念之一，也是研究直线方程及其位置关系等思维的起点. 因此，本节课起到“开启全章、承前启后”的作用.同时，本节课内容在机械工程等方面有着广泛应用，为生活生产提供了理论依据.3．学情分析本节课的授课对象是职高“3+2”机械专业二年级七班的学生，40个清一色的男生.相对其它班级，该班学生数学基础较好，中考数学平均分为97.8分（满分120分）.经过一年的职高数学学习，他们的数学基础有了不同层次的提高，已初步具备解析几何的基本思想，有一定的数学素养.学生思维活跃，动手能力强，善于交流，这些特点为本堂课的有效教学提供了质的保障.4．教学目标分析根据新课程理念，结合教学大纲及学生原有的知识结构，制定三维目标如下：◆知识与技能：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；（2）会求过两点的直线的斜率；◆过程与方法：（1）经历倾斜角与斜率概念的形成过程,初步领悟解析几何思想；（2）借助过两点的直线斜率公式的推导过程，进一步渗透分类讨论思想；◆情感态度价值观：通过情境贯串教学，让学生感知数学来源于生活，又应用于生活，从而激发学生的学习激情.5．重点、难点分析◆重点：直线倾斜角是联系新旧知识的纽带，而斜率是后续内容展开的主线，在平面解析几何中发挥着重要的作用，因此直线倾斜角和斜率的概念是本节课的重点；斜率坐标化比使用直线倾斜角更方便，是研究直线方程的基础，因此确定过两点的直线斜率公式为本节课的又一个重点.◆难点：斜率公式的推导需要学生一定的逻辑思维能力，因此过两点的直线斜率公式推导过程是本节课的难点.在教学过程中，我将借助几何画板的动态演示，从斜率公式的必要性、合理性、完备性三个角度进行分层突破.6．设计理念在教学过程中，以一个情境贯串教学始终，层层深入，采用问题引领的探究式教学法，借助一个教学平台，贯串两条教学主线，再现三次教学情境，设置多次学生活动，通过“情境创设生活化，问题探究活动化，辨析质疑及时化，习题设置梯度化”，呈现教学的关键，从而使教学重点得到彰显，教学难点得以分层突破.二、联系实际，优化方法◆教法：教无定法，贵在得法.本节课主要采用情境教学法、问题驱动法、演示实验法.遵循“探究为主线，教师为主导，学生为主体”原则，具体方法：（1）采用情境教学，一境到底，激发学生兴趣；（2）通过问题驱动，循序渐进，引发学生思考；（3）借助几何画板的动态演示，增强直观感，诱发学生对概念的理解.◆学法：教师如何“教”转变为引领学生如何“学”，本节课主要采用观察讨论法、自主探究法、类比归纳法.学法指导上“以设疑为导向，探究解疑为主线”，还课堂给学生，具体方法: （1）在观察讨论中培养学生的合作交流能力；（2）在自主探究中激发学生的独立创新思维；（3）在类比归纳中提升学生的知识迁移能力，充分体现学生的主体地位.三、循序渐进，阐述过程为寻找教学的着力点，实现有效教学，教学过程按照“情境创设—以境导学—学以致用—知识梳理”四个环节展开.【情境创设 导入新知】 （时间分配：约4分钟）课前，与学生重温三十届伦敦奥运会的精彩赛事；呈现历届奥运会中国代表团所获金牌数的统计表，并请同学们在活动作业纸上作出相应的折线统计图. 教师巡视、指导；学生审题、作图.【以境导学 探究新知】（时间分配：约30分钟）为突出重点，突破难点，以折线图为载体，完成三次探究.每次探究，都采用统一的方法：利用情境引入概念，借助媒体深化概念，设置练习巩固概念.通过“设疑—析疑—答疑”三个环节，环环相扣，层层深入，步步推进，从而提高学生的认知水平，培养学生的数学思维，提高学生的数学素养.通过“初研、细研、深研”折线图，充分发挥生生合作，师生合作的作用，实现教与学的和谐互动.探究一：直线倾斜角概念的建立1.情境—设疑：教师根据折线图设置三个开放性的问题：问题1：从折线图中，你能获得哪些数学信息？问题2：请同学们预测第31届奥运会中国所获金牌数的情况，记作点P, 将图补充完整；问题3：建立以奥运会届数为x 轴，金牌数为y 轴的直角坐标系，思考：过点H 的这些线段所在直线有何区别？学生思考、作图、作答.2.媒体—析疑：教师利用几何画板动态演示直线绕点P 的旋转过程，引导学生根据直线的变化情况，归纳倾斜角的四种情形及直线倾斜角的范围.3．练习—答疑：教师设置两道习题.练习1：测量折线图中同学们所作直线HP 的倾斜角；练习2：在折线图中，过点H 作一条倾斜角为60°的直线.探究二：斜率概念的形成以及直线倾斜角与斜率之间的关系1.情境—设疑：教师截取部分折线图设置两个问题：问题4：比较相邻两届金牌数的增长量；并分析两个直角三角形的异同.问题5：在日常生活中我们经常会遇到上坡下坡问题，那么对于斜坡的倾斜程度可以用什么量来反映？教师引导学生类比坡比概念，结合三角函数知识得到斜率概念.2.媒体—析疑：教师引导学生完成表格，并设置“扫雷”小游戏. 学生填表，积极参与游戏.教师引导学生深入观察表中数据，探索直线倾斜角与斜率之间的关系. 教师利用几何画板演示直线倾斜角与斜率之间的关系.教师设置两道练习.练习3：问题大挑战.（1）是否每条直线都有斜率？（2）是否每条直线都有倾斜角？（3）直线的倾斜角越大，则直线的斜率是否越大？练习4：根据探究一所得直线HP 的倾斜角，计算直线HP 的斜率.探究三：过两点的直线斜率公式的推导1.情境—设疑：教师截取部分折线图设置两个疑问：问题6：在没有量角器的情况下，已知直线两点坐标，如何求直线FG 的斜率？问题7：若直线倾斜角为钝角，公式是否成立？问题8：若改变F 、G 两点的顺序，公式是否成立？（当倾斜角为钝角时，过两点的斜率公式证明过程留给学生作为课后探究作业； 从代数的角度加以分析，分子分母同时提取一个负号，公式仍然成立.）学生根据三角函数知识计算斜率,猜想、讨论；师生共同推导过两点斜率公式. 2.媒体—析疑：几何画动态演示直线倾斜角为钝角的情况以及改变F 、G 两点顺序的情形. 教师紧追两个问题：问题9： 当直线平行于x 轴，公式还适用吗？问题10：当直线平行于y 轴，公式还适用吗？学生观察、思考、验证猜想.教师设计一道练习并引导学生总结归纳本节课中求直线斜率的方法. 练习5：在统计图中，直线GH 的斜率为多少？【学以致用 巩固新知】 （时间分配：约5分钟）教师设计一题直线倾斜角与斜率知识在机械手工编程中应用的习题：现欲加工如图所示零件，根据零件标注的要求，采用手动编程完成该零件，在用手工编程过程中，以O 点为坐标原点进行编程，A 点坐标为（0，15），需要计算以下内容才能完成手工编程：（1）若直线AB 斜率为1，则B 点的坐标为多少？（2）尺寸如图所标，求直线CD 的斜率是多少？【知识梳理 归纳新知】 （时间分配：约4分钟）学生自主归纳本节课所学的新知.教师从相关概念、思想方法两个方面点拨. 【作业布置 拓展新知】 （时间分配：约2分钟）作业布置：必做题：1. 完成课本50P 的练习1、2；2. （1）如右图所示，已知直线1l 的倾斜角为30α=，直线12l l ⊥，求12,l l 的斜率.（2）直线过点(,2)A a 与(3,1)B -,斜率为1，求a 的值.选做题：探究：当直线倾斜角为钝角时，过两点的直线斜率公式.【板书设计 展现新知】非多媒体板书设计安排如下：五、自我提升，总结反思本节课以三个知识点的探究为主线，以学生为中心，实现四个注重： 注重几何画板辅助教学——化静为动，让概念的内涵得到动态的呈现； 注重学生活动参与教学——化动为静，让热闹的活动留下冷静的思考；注重情境创设贯串教学——化零为整，让零散的概念串成清晰的脉络； 注重数学思想渗透教学——化繁为简，让无形的思想熏陶严密的思维； 立足教材，贴近生活，贴近专业，贴近学生，让学生真正成为课堂的主人，在探究中学习，在学习中操作，在操作中感悟，从而提高学生的认知水平，培养学生的数学思维，提升学生的数学素养.数学是自然的，数学是严谨的，数学是美妙的，数学是水到渠成的……将数学“冰冷的美丽”转化为学生“火热的思考”将是我追求的终极目标.衷心感谢在座的各位老师给我一个展示自我的平台！感谢您的倾听！。
《直线的倾斜角和斜率》说课稿 高二数学说课稿
《直线的倾斜角和斜率》说课稿高二数学说课稿
《直线的倾斜角和斜率》说课稿
我说课的题目是高中数学第二册上，第七章第一节《直线的倾斜角和斜率》，我把说课内容分成教材分析、教学方法与手段、学法指导、教学程序四个部分。
一．教材分析
1.教材的地位：直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，也是直线的重要的几何要素。
学生在原有的对直线的有关性质及平面向量的相关知识理解的基础上，重新以坐标化（解析化）的方式来研究直线相关性质，而本节直线的倾斜角和斜率，是直线的重要的几何性质，是研究直线的方程形式，直线的位置关系等的思维的起点;另外，本节也初步向学生渗透解析几何的基本思想和基本方法。
因此，本节课的有着开启全章，奠定基调，渗透方法，明确方向，承前启后的作用。
2．教学目标
本节课的设计以新的课程标准所反映的新的理念，教学大纲的要求和学生原有的认知结构为依据，采用问题牵引实验探索式教学方式，一节概念课，让学生去主动的探索和感受一个概念的发生，发展的过程。
教学过程中，，坚持以学生为主体，注重学生探究能力的培养，还课堂给学生，让学生去亲身体验问题解决的过程，拓展学生的创造性思维。
根据以上的想法，确定本节课的教学目标如下……。
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课题：§3.1.1 倾斜角与斜率
一、课题介绍
内容选自人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修（二）第三章第1小节，教学课共分三个课时，本节课是第一课时，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、板书设计四个部分进行我的说课．
二、教材分析
1、地位及作用：
该节是继学了空间几何后学习用代数方法研究解析几何问题的第一堂课，直线的倾斜角与斜率是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任．倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带；斜率不但是本节课的核心内容，更是整个解析几何的重要概念之一，也为后续学习微积分奠定了基础．
2、教学目标：
基于上述分析，结合数学课程标准的要求，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，制定如下的三维目标：
（1）知识目标：理解倾斜角和斜率的概念，掌握两点斜率公式及应用．
（2）能力目标：通过坐标法的引入，培养学生观察归纳、对比、转化等辩证思维，初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，提高抽象概括能力．（3）情感目标：通过主动探索、合作交流来感受数学学习的乐趣．鼓励学生积极、主动的参与教学过程，激发求知的欲望．
3、教学重难点：
（4）重点：直线倾斜角和斜率的概念，两点斜率公式及其应用．
（5）难点：斜率概念的理解，两点斜率公式的推导．
三、教学方法
本节课作为直线与方程的第一节起始课，需要建立概念模型．考虑到高一学生的认知结构，我以讲解法为主.为提高学生的参与度，让学生亲身体验知识的形成过程，以探究式教学法为辅．在教学过程中师生互动，小组讨论，借助多媒体，积极开展探究活动．
三、教学过程
教学过程中主要分为复习思考、探究新知、讲练结合、总结归纳、分层练习五个环节.
1、复习思考
首先通过两个问题，“直角坐标系中怎么确定一条直线”“过一个定点能确定一条直线吗”，引导学生注意过定点的直线束其倾斜程度不同.
设计意图：
者，体现了奥苏泊尔的同化理论学说. 2、探究新知
（探究活动一：倾斜角概念的得出）
将过定点的直线束抽象出来，如图1
“经过一点P 的直线有无数条，怎样借助x 度？”请看大屏幕，我借助【PPT 】在图1中动态展示倾斜角的定义，以此引导学生通过观察，自主定义倾斜角，培养学生的观察归纳能力.
知识注重应用.因而，当这部分知识讲解完后，我将通过例1中前三个题来强化学生对知识的理解.利用第四个题引出对倾斜角取值范围的探究，并借助几何画板动态展示，得出倾斜角的范围.
例
1 请同学们画出前3条直线的倾斜角．
（探究活动二：斜率概念的得出）
为得出斜率，我首先提问：“生活中，有没有表示倾斜程度的量？”，学生不难想到初中经常遇到的坡度实例.【PPT 】上展示坡，强调坡度等于升高量比上前进量.将坡放到直角坐标系中，画出坡面所在直线.如图
2 由老师提出问题：“坡度是表示坡倾斜程度的量， 坡面所在直线倾斜程度是否可以用类似于坡度的
量表示”，学生得出结论.进一步提问：“这个量与刚才所学倾斜角有何关系”.在问题驱动下让学生观察、类比得出斜率的概念.这个过程让学生感受数学源于生活，并体验从直观到抽象的过程，培养学生观察、归纳、联想的能力.为了巩固这个陈述性知识，设计了两个练习题，一个口答题：“例2 当倾斜角时30α=o ，45α=o ，135α=o 这条直线的斜率分别等于多少？”一个关于倾斜角与斜率关系的表格题：“例3 当倾斜角分别为零角、锐角、直角、钝角的直线的斜率的取值范围分别是什么？”
表格题直观清晰，有助于加深学生对倾斜角与斜率关系的理解. （探究活动三：斜率公式的发现）
斜率概念已经建立，在此基础上向学生提出问题：“坐标系中，两点确定，直线确定，直线斜率确定，两点与直线斜率有何关系呢？”，并让学生思考【PPT 】上的问题.这个问题直接指向了本节课的一个重点和难点即两点斜率公式的发现.怎样能更好的突出重点，突破难点，设计了如下环节.
首先我会在讲斜率时着重强调了坡度的定义：升高量比上前进量.此时提示学生可以转化到直角三角形中求斜率.新课标中提出：学生是学习的主体，老师是学习的引导者。
因此提示之后我把学生分为两个组，同时讨论倾斜角为锐角的情况.大胆放手，把课堂交给学生，学生相互讨论，老师巡视观察并适时给予一定的指导.之后请学生代表阐述自己小组的成果，无论学生能否找到正确方法，对于其过程都予以肯定.对于思路正确的学生，老师用多媒体配合学生，师生共同交流探讨，进而得出斜率公式：21
2121
()y y k x x x x -=
≠-.对于倾斜角为钝角的情况，引导学生将钝角转化成锐角，
提示tan tan()tan απαθ=--=-，剩余证明过程作为课后作业，让学生完成.为了深化对公式的理解，我设计了如下两个思考问题：
思考1：当直线平行于x 轴，或与x 轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 思考2：当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 设计意图：知识是师生合作的产物，通过探究活动，让学生深刻理解体会斜率公式的本质.体现了新课改中的探究学习、合作学习的教学理念.其中问题层层深入，不断突破教学难点，突出教学重点.既符合布鲁纳和奥苏泊尔的认知观点，又体现出夸美纽
斯的直观性特点，还展示出数学的简洁美.
3 讲练结合
为了把陈述性知识转化为程序性知识，我引用了书上的一个例题.
例1 已知点(3,2)
A，(4,1)
C-，求直线AB，BC，CA的斜率, 并判断
B-，(0,1)
它们的倾斜角是钝角还是锐角.
这个题综合考察了倾斜角、斜率、两点斜率公式，让学生体会到三者内在关系.本题老师完成一个小问，其它两个小问请学生上台练习.
让学生上台板书，主要为了发现学生解题时有可能出现的错误，及时纠正，给学生一个示范.体现了陶行知先生的“教学做”合一的教育思想.
4 总结归纳
（1）知识梳理：倾斜角、斜率概念；两点斜率公式.
（2）方法归纳：定义法、数形结合解题法.
（3）思想提炼：几何问题代数化，数形结合的思想.
让学生在表格提示下自主归纳本节课所学知识，学生可能会有很多形式各异的体会、观点，既培养学生的归纳概括能力，又使学生更多的参与到教学的每一个环节，然后从知识梳理、方法归纳、思想提炼三个方面进行点拨，使得知识结构板块化，网络化.让学生具有完整的认知结构，掌握学习数学的方法技巧，体会数学思想，真正做到授之以渔.
5 分层练习
必做部分——基础练习题：
（1）已知直线l经过(18,8)
C，(4,4)
D-两点，则l的倾斜角为( )
(A)锐角(B)钝角(C)直角(D)不确定
P练习：2，3
（2）86
选做部分——综合题：
P习题3.1B组：5，6.
90
设计意图：首先布置基础练习题，对所学知识进行及时巩固，同时注重个体差异，布置综合题，加强作业的针对性，使不同的学生得到不同的发展．
四、板书设计
主要设计了多媒体辅助教学和非多媒体板书教学两种板书，这样的设计有利于学生把握主干，提高教学效果．。