06第六章 弯曲内力
6. 材料力学第六章弯曲内力
工程力学系
第六章 弯曲内力
轴力图和剪力图可画在杆轴的任意一侧，但必须注明正负
号。弯矩图画在杆件受压一侧，不必再标正负。
FA
1 2
qa
FD
1 2
qa
FHD qa
B
AB段：FN
( x1 )
1 2
qa
(0
x1
a)
x3 C
刚结点
FQ (x1) qx1(0 x1 a)
M
(x1 )
1 2
qx12(0
x1
工程力学系
第六章 弯曲内力
例6-3 如图受集中力偶 M e作用的简支梁，设 M e、a、b 及 l 均
为已知，试绘梁的剪力图与弯矩图。
FA
x1 x2
解 1.求支反力
FB
FA
Me l
FB
Me l
2.列剪力与弯矩方程式
AC段： FQ
( x1 )
FA
Me l
(0 x1 a)
M (x1)
CB段：
FA x1
a)
x1
DC段：FN (x2 )
1 2
qa (0
x2
a)
FQ (x2 ) qa (0 x2 a)
FA
qa
x2
FHD
FD
M (x2 ) qax2(0 x2 a)
CB段：FN (x3) qa (0 x3 a)
FQ (x3 )
1 2
qa
(0
x3
a)
M
( x3 )
qa2
1 2
qx3(0
x3
工程力学系
第六章 弯曲内力
§6-5 叠加法作弯矩图
例6-6 如图外伸梁，已知：q 、l 、F ql ，按叠加法画弯矩图。
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
材料力学课件 第六章弯 曲 内 力(土木专业)
M
A
0
FRA
A
a
F1
C
F2
D
FRB
B
FRB l F1a F2b 0
MB 0
c
E
F
d
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l
b l
FRB
F1a F2b l
第六章
记 E 截面处的剪力为
FRA
A
弯曲内力
a F1 C F2 D B
FSE 和弯矩 ME ，且假设
FSE 和弯矩ME 的指向和转 向均为正值.取左段为研究
E
c b l
F
d
对象。
Fy 0 , M 0,
E
FRA FS E 0
M E FRA c 0
FRA
A E
FSE
解得 FSE FRA
ME
M E FRA c
第六章
6.1引言
1.弯曲的概念
弯曲内力
工程实例
第六章
工程实例
弯曲内力
第六章
弯曲内力
车刀轴
第六章
弯曲内力
火车轮轴
第六章
弯曲内力
起重机大梁
第六章
弯曲内力
镗刀杆轴
第六章
基本概念
弯曲内力
1.弯曲变形 （1） 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. （2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2.梁 以弯曲变形为主的杆件 3.平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
理论力学 第六章 弯曲应力
Fs 2 q( x2 a L)
qL
图（a） B M2 x2 Fs2
mB (Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x2 a)2 0 2
M2
1 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
从上面例题的计算过程，可以总结出如下 规律： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面 左侧或右侧梁段上外力的代数和。 左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上 向下的外力将引起正值的剪力；反之，则
x
Fab l
Fa l
x
M
a
F
C
l
b * 在 集中力F 作用 处，剪力图有突变， 突变值为集中力的 大小；弯矩图有尖 角转折
A
x Fb l
FS
Fa l
x
Fab l
x
M
a b l / 2时，M max
Fl 为极大值。 4
讨论 由剪力图可见，在梁上 的集中力(包括集中荷载和约
束力)作用处剪力图有突变，
y
F
2.求截面1－1上的内力
FS D
2 FA F 3
2 M D FA a Fa 3
同理,对于C左截面： 2 FSC左 FA F 3 2 l 2 M C左＝ F Fl 3 3 9 对于C右截面：
F l 2 FSC右 FA F M C右 FA Fl 3 3 9 FSC左 FSC右 , M C左＝M C右
M2
FS2
FB
建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设，这 样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正 的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩 正负号也作同样判断。
•
§6-3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
材料力学 第六章弯曲内力(3,4)分析
均布载荷(q=c)
q0 q0
q0 q0
F
突变F
尖角
C C
M
突变M
C
无变化
[例6-5]作外伸梁的内力图
q
ql FA 8
A
5ql
FB 8
FA
FS
B
lC l
FB 2
ql / 2
ql / 8 ql2 / 8
M
例5-10 试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。
MA FAy
FAx
M
qa2 2
[练习6-2] qa 2 / 2
q
q
a
a
qa / 2 qa / 2
FS
qa
qa / 2
qa / 2
qa2 8
M
qa2 / 2 •
[练习6-3]
q 2qa
7qa
a
a 5qa
4
7qa / 4
4
FS
3qa / 4
5qa / 4
M
• 5qa2 / 4
[例6-8]已知FS图，作M图及荷
载图（梁上无集中力偶）
弯矩图斜率为常量C，M（x）图为 C>0 C<0
斜直线。 2、梁上作用有均布荷载（平斜曲）：M q（x）=C
由：
dFS (x) dx
q(x)
C
FS
Hale Waihona Puke (x)CxD
剪力图斜率为q（常量），FS（x）斜直线。
由：
d
M (x) dx
FS
(x)
Cx
D
M (x) 1 Cx 2 Dx E 2
（弯矩图为二次抛物线）
FBy
弯曲内力的知识点总结
弯曲内力的知识点总结1. 弯曲内力的产生原因弯曲内力的产生原因主要是由于外力作用在梁上产生的弯矩。
当梁在弯曲作用下，上部会产生拉应力，下部产生压应力，由于这些应力的存在，会产生相应的应变。
这些内部的应力和应变就是弯曲内力。
2. 弯曲内力的计算弯曲内力可以通过弯曲方程进行计算。
弯曲方程描述了弯曲时材料内部应力的大小和分布。
在梁的不同截面上，受到的弯曲内力的大小和方向是不同的，需要通过弯曲方程计算得出。
3. 弯曲内力的影响因素弯曲内力的大小和分布受多种因素影响，包括弯矩的大小和方向、梁的截面形状和尺寸、材料的力学性质等。
在进行结构设计时，需要综合考虑这些因素，确保结构受力合理、安全可靠。
4. 弯曲内力的作用弯曲内力是结构中非常重要的一种内力，直接影响结构的稳定性和安全性。
对于梁、柱、桁架等结构，弯曲内力是决定其受力性能的关键因素之一。
合理地分析和设计弯曲内力，可以保证结构的稳定性和安全性。
5. 弯曲内力的分布规律弯曲内力的分布规律是指在杆件或梁上受弯矩作用时，内部产生的应力和应变的分布规律。
这些规律直接影响结构的受力性能和变形特性。
通过对弯曲内力的分布规律进行研究，可以更好地理解结构的受力行为并进行合理的设计与分析。
6. 弯曲内力的应力分析弯曲内力还涉及到应力分析的问题，因为在杆件或梁上不同位置受到的弯曲内力有所不同，从而产生的应力也不同。
合理地进行弯曲内力的应力分析可以帮助工程师更好地理解结构的受力性能，进行合理的设计和施工。
7. 弯曲内力的变形分析弯曲内力还会引起结构的变形，这种变形对于结构的使用性能和安全性都有很大的影响。
通过对弯曲内力的变形分析，可以帮助工程师更好地理解结构的变形特性，并进行合理的设计和施工。
总之，弯曲内力是结构工程中非常重要的一种内力，对结构的稳定性和安全性有着直接的影响。
对弯曲内力的认识和分析是结构工程设计的重要内容之一。
希望以上的知识点总结对您有所帮助。
建筑力学第六章梁的弯曲内力
M1
2--2 截面
qL
q
Fs 2
x2
q( x2 a) qL Fs 2 0 1 2 qLx M q ( x a ) 0 mC 0 , 2 2 2 2 M2 Fs 2 q( x2 a L)
y
F
0,
1 M 2 q( x2 a)2 qLx2 2
MA
FAY
[例] 列出梁内力方程并画出内力图。
A
L
F B
解：①求支反力
FAY F ; M A FL
x
F(x) F
②写出内力方程
Fs ( x) FAY F
M ( x) FAY x M A F ( x L)
(0 x l )
FL
x
(0 x l )
③根据方程画内力图
第 6章
梁的弯曲内力
一、弯曲实例
工厂厂房的天车大梁
1
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
2. 平面弯曲
工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、 T形、十字形、槽形等
它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所 组成的平面通常称为纵向对称平面 。
平面弯曲
纵向对称面
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。 三、平面弯曲的概念：
RA
q
M
NB
F1
q
F2
M
材料力学第6章 弯曲内力
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6.1 梁的内力—剪力和弯矩
例题 6-2
（2）计算(jìsuàn)指定截面上的剪力和 弯矩
C截截面面C左（以侧梁的左力半：边为研究对象）：
FAy 2 kN () (+)
FSC Fy FAy 2kN
C截面左侧的力矩：
FAy * 2m (+)
M e 8kN m (-)
M C
M F 2m - M -4kN m O
19
精品文档
6.2 剪力图和弯矩图
例题 6-3
(2) 作剪力图(lìtú)和弯矩图
由剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图。
注意： 画图时应将剪力图、弯矩图与计算简图 对齐，并注明图名（FS图、M图）、 峰值点的值及正负号。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内
20
力
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6.2 剪力图和弯矩图
(plane bending)。当所有外力均作用在纵向对称面内时，梁只发生平面弯曲。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内力
6
精品文档
6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯 矩
梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法确定。
（1）截：在横截面m-m处假想地将梁分为两段
原来处于平衡状态的梁，被截出的任意段也处于平衡状态。
秦飞A编y 著《材料力学(cái lieào lìxué)》 第6章 弯
16
曲内力
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6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯矩 例题 6-2
截面B（以梁右半边为研究对象）：
B左截面
F 2kN (+)
FBy 4kN (-)
FSB左 F FBy -2kN
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2§6–1 引言§6–2 剪力和弯矩§6–3 剪力图和弯矩图§6–4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系§6–5 按叠加原理作弯矩图§6–6 平面刚架和曲杆的弯曲内力弯曲内力习题课第六章 弯曲内力§6–1 引言一、弯曲的概念1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时,其轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
3. 受力特点：外力垂直于杆轴线,力偶作用于轴线所在平面内。
4. 变形特点：杆轴线由直变弯。
35. 工程实例4566. 平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。
对称弯曲（如下图）—— 平面弯曲的特例。
纵向对称面M P 1P 2q7对称弯曲—— 若梁具有纵向对称面，当所有外力(包括支反力,力偶)都作用在梁的纵向对称面内时，这种弯曲称为对称弯曲。
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
二、梁的计算简图梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化8①固定铰支座2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。
②可动铰支座1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
9③固定端3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。
X AY AM A4. 梁的三种基本形式①简支梁M—集中力偶q(x)—分布力②悬臂梁10③外伸梁q—均布力—集中力P5. 静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
11[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径D=1m，壁厚t =10mm，钢的密度为：7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³ ,液面高0.8m，外伸端长1m，试求贮液罐的计算简图。
解：q—均布力θ1213θLg L A g L A L g V L mg q 2211γγγ+=∑=∑=rad855131060..==θgR R g Dt 2221)]sin (21[γθθπγπ−−+=gA g A 2211γγ+=9.81000)]sin106.3(1.8550.521 0.5[3.14897800010114322××°−×−×+××××=...q —均布力)/(9m kN =14§6–2 剪力和弯矩一、弯曲内力：[例]已知：如图，P ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
PaPlY AX A R BAA B B解：①求外力la l P Y Y l Pa R m X X A B A A )( , 0 , 00 , 0−=∑∴==∑∴==∑∴=15A B PY AX A R Bm m x ②求内力——截面法x Y M m l a l P Y Q Y A C A ⋅=∑∴=−==∑∴=, 0)(, 0AY AQ M R BPMQ ∴ 弯曲构件内力剪力Q弯矩M1. 弯矩：M构件受弯时，横截面上位于轴线所在平面内的内力偶矩.矩心为横截面形心.CC162. 剪力：Q构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。
3.内力的正负规定:①剪力Q : 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
②弯矩M ：使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。
Q (+)Q (–)Q (–)Q (+)M (+)M (+)M (–)M (–)上弯为正左上右下为正17[例2]：求图（a ）所示梁1--1、2--2截面处的内力。
xy qLQ Q qL Y −=∴=+=∑11 0解：截面法求内力。
1--1截面处截取的分离体如图（b ）示。
图（a ）1111 0)(qLx M M qLx F m i A −=∴=+=∑二、数值计算q qLa b1122qLQ 1AM 1图（b ）x 118L)a x q Q −−=∴22(a x q M qLx F m i B 0)(21,0)(2222=−−+=∑2--2截面处截取的分离体如图（c ）)a x (q Q qL Y 022=−−+=∑2222)(21qLx a x q M −−=xy 图（a ）qqLab1122qLQ 2BM 2x 2图（c ）19L)a x q a x q qL Q −−=−+−=∴222()(梁任一截面上的剪力, 在数值上等于该截面一侧所有横向外力的代数和.2222)(21qLx a x q M −−=qqLa b1122x 2梁任一截面上的弯矩, 在数值上等于该截面一侧所有外力(包括力偶)对该截面形心之矩的代数和.201. 内力方程：内力与横截面位置坐标（x ）间的函数关系式。
2. 剪力图和弯矩图：)(x Q Q =剪力方程)(x M M =弯矩方程)(x Q Q =剪力图的图线表示)(x M M =弯矩图的图线表示§6–3 剪力图和弯矩图21[例3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
PY )x (Q O ==解：①求支反力)L x (P M x Y )x (M O O −=−= ②写出内力方程PLM P Y O O == ; PY O L ③根据方程画内力图M (x )xQ (x )Q (x )M (x )xxP–PLM O22解：①写出内力方程②根据方程画内力图qx)x (Q −=221qx)x (M −=L qM (x )x Q (x )Q (x )x M (x )x– qL22qL −23)3(6220x L Lq )x (Q −=解：①求支反力②内力方程3; 600L q R L q R B A ==q 0R A③根据方程画内力图R BL)x L (Lx q x M 2206)(−=L 33Q (x )x620L q 320L q x27320L q M (x )24一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系对d x 段进行平衡分析，有：[]0d d 0=+−+=∑)x (Q )x (Q x )x (q )x (Q Y )x (Q x )x (q d d = §6–4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系d x xq (x )q (x )M (x )+d M (x )Q (x )+d Q (x )Q (x )M (x )d xAy ()()x q xx Q =d d 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。
25q (x )M (x )+d M (x )Q (x )+d Q (x )Q (x )M (x )d x Ay 0)](d )([)())(d (21)d (,0)(2=+−++=∑x M x M x M x x q x x Q F m i A )(d )(d x Q xx M =弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
)(d )(d 22x q xx M =弯矩与荷载集度的关系是：略去二阶微量)26二、剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Q图特征M 图特征CPCm 水平直线xQ Q>0QQ<0x斜直线增函数xQxQ 降函数x QCQ 1Q 2Q 1–Q 2=P自左向右突变xQ C无变化斜直线曲线自左向右折角自左向右突变与m 同xM增函数xM降函数MxM折向与P 反向xMMxM 2M 1mM M =−1227简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。
[例4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。
特殊点:端点、分区点（外力变化点）和驻点等。
aa qaqA282230qaM ;Q −==0; =−=M qa Q 2;qaM qa Q −=−=223; 0qaM Q −==a aqaqA 左端点：线形：根据)(d )(d x Q x x M =)(d )(d 22x q xx M =；()()x q xx Q =d d ；及集中载荷点的规律确定。
分区点A ：M 的驻点：右端点：Q xqa –xMqa 2223qa29[例5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
解：求支反力↑=↓=2 ; 2qa R qa R D A 0;2=−=M qa Q 左端点A ：221;2qa M qa Q −=−=B 点左：221;2qa M qa Q −==B 点右：221;2qa M qa Q −=−=C 点左：M 的驻点：283; 0qa M Q −==221;2qa M qa Q =−=C 点右：0 ; 21=−=M qa Q 右端点D ：q qa 2qa R A R DQ x qa/2qa/2qa/2––+ABC D qa 2/2x M qa 2/23qa 2/8qa 2/230§6–5 按叠加原理作弯矩图一、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。
)()()(),(221121n n n P Q P Q P Q P P P Q +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅)()()(),(221121n n n P M P M P M P P P M +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅适用条件：小变形. 使所求参数（内力、应力、位移）与荷载 满足线性关系。
即在弹性限度内满足虎克定律。
步骤：①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。
31[例6]按叠加原理作弯矩图(AB =2a ，力P 作用在梁AB 的中点处）。
q q P PA AAB BBxM 2xM 1xM2Pa+ ++22qa 222qa Pa +三、对称性与反对称性的应用：对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
3233[例7] 作下列图示梁的内力图。
PPL PPLLLL L L L0.5P0.5P0.5P0.5PPQx Q 1xQ 2x–0.5P0.5P0.5P–+–P34PPLPPLLLL L L L0.5P0.5P0.5P0.5PPMxM 1xM 2x0.5PLPL0.5PL–++0.5PL+35[例8] 改内力图之错。
a2aaq qa 2ABQxxM––++qa/4qa/43qa/47qa/4qa 2/449qa 2/323qa 2/25qa 2/447;4qa R qa R B A ==36[例9] 已知Q 图，求外载及M 图（梁上无集中力偶）。