卷积

13
四、拉氏变换的几个重要定理
1、线性性质 2、微分定理
∞
L[a f1(t) ± b f 2(t)] = a F1(s) ± b F2(s)
L[ f ′(t )] = s ⋅ F (s ) − f (0 )
∞
∞ ∞
证明： 证明：
-st − st 左 = ∫ f ′(t ) ⋅ e − st dt = ∫ e − st df (t ) = [e f (t )]0 − ∫ f (t ) de
2
此外，还有一些信号，如单边指数信号 eαtε(t) (α>0)，则根本不存在傅里叶变 换，因此，傅里叶变换的运用便受到一定 的限制，其次，求取傅里叶反变换有时也 是比较困难的，此处尤其要指出的是傅里 叶变换分析法只能确定零状态响应，这对 具有初始状态的系统确定其响应也是十分 不便的。因此，有必要寻求更有效而简便 的方法，人们将傅里叶变换推广为拉普拉 斯变换（LT: Laplace Transform）。
t →∞
s→0
例6
F (s ) =
ω s 2 + ω2
f (∞ ) = sin ωt t → ∞ ≠ lim s
s→0
ω =0 2 2 s +ω
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课程小结(1) 常用时间函数的拉氏变换 课程小结
原函数 f(t)
δ(t)
象函数F(s) 象函数
1 1/s A/s
u(t)
A
t n/n!
1/sn+1 1/(s+α) 1/(s+α)n+1 s/(s2+ β2) β/(s2+ β2) (s+α)/[(s+α)2 + β2] β/[(s+α)2 +β2]
第二章 系统的数学模型
补充 拉氏变换及反变换
1

拉普拉斯的产生和发展
傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面 如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、 （如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、 抽样、滤波等）是十分有效的。 抽样、滤波等）是十分有效的。但在应用这一方法 信号f(t)必须满足狄里赫勒条件。 f(t)必须满足狄里赫勒条件 时，信号f(t)必须满足狄里赫勒条件。而实际中会 遇到许多信号，例如阶跃信号ε(t)、 遇到许多信号，例如阶跃信号ε(t)、斜坡信号 (t)、单边正弦信号sint (t)等 sintε tε(t)、单边正弦信号sintε(t)等，它们并不满足 绝对可积条件， 绝对可积条件，从而不能直接从定义而导出它们的 傅里叶变换。 傅里叶变换。虽然通过求极限的方法可以求得它们 的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数， 的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数， 使分析计算较为麻烦。 使分析计算较为麻烦。
2、指数函数
∞
f ( t ) = e at
∞
L[ f ( t )] = ∫ e at ⋅ e − st dt = ∫ e − ( s − a )t dt
= − 1 − (s − a)t e s−a
0
[
]
0
∞ 0
=
1 −1 (0−1) = s−a s−a
10
三、 常见函数的拉氏变换
0 3、单位脉冲函数 δ (t ) = ∞ t≠0 t=0
4
拉普拉斯变换的变换域是复频率域。拉普拉斯 变换方法是对连续时间系统进行分析的重要方法 之一，同时也是其他一些新变换方法的基础。它 在电学、力学等众多科学与工程领域中得到了广 泛应用。 在20世纪70年代以后，计算机辅助设计(CAD) 技术迅速发展，人们借助于CAD程序(如SPICE程 序)，可以很方便地求解电路分析问题，这样就导 致拉氏变换在这方面的应用相对减少了。此外， 随着技术的发展和实际的需要，离散的、非线性 的、时变的等类型系统的研究与应用日益广泛， 而拉氏变换在这些方面却无能为力，于是，它长 期占据的传统重要地位正让位给一些新的方法。
3
十九世纪末，英国工程师亥维赛德 (O.Heaviside, 1850~1925)发明了算子法， 很好地解决了电力工程计算中遇到的一些 基本问题，但缺乏严密的数学论证。 法国数学家拉普拉斯(place， 1749—1825)在著作中对这种方法给予严密 的数学定义。于是这种方法便被取名为拉 普拉斯变换，简称拉氏变换。----因为是 “拉普拉斯”这个人定义的。
L[ f ( t )] = F ( s ) = ∫ f ( t ) ⋅ e dt
− ts 0 ∞
F ( s ) = L[ 。f(t)称为 f (t )]
。 f (t ) = L−1 [ F ( s)]
F ( s) 像 f ( t ) 原像
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三、 常见函数的拉氏变换
1 t ≥ 0 1、单位阶跃函数 f (t ) = 0 t < 0 ∞ − 1 − st ∞ − 1 [e ]0 = (0 − 1) = 1 L [u (t )] = ∫ u ⋅ e − st dt = s s s 0
0
0
0
= [0 -f (0)] + s ∫ f (t ) e − st dt = sF (s ) − f (0 ) = 右
∞
[ f ( ) (t )] = s F (s ) − s
n n
0
n- 1
f (0 ) − s n- 2 f ′(0 ) − L − sf (n- 2 ) (0 ) − f (n −1) (0 )
0 t= t
t<0 t≥0
1 ∞ − st 1 − st ∞ 1 ∞ − st L[t ] = ∫ te dt = − ∫0 tde = − te |0 + ∫0 e dt s s s
∞ 0 − st
1 − st ∞ 1 ∞ − st 1 ∞ − st 1 − st ∞ 1 = − te |0 + ∫0 e dt = ∫0 e dt = − 2 e |0 = 2 s s s s s
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拉普拉斯变换的优点
利用拉普拉斯变换可以将系统在时域内的 微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算， 微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算， 将微分积分方程转换为代数方程， 将微分积分方程转换为代数方程，从而使计 算量大大减少。 算量大大减少。利用拉氏变换还可以将时域 中两个信号的卷积运算转换为s 中两个信号的卷积运算转换为s域中的乘法运 在此基础上建立了线性时不变电路s 算。在此基础上建立了线性时不变电路s域分 析的运算法，为线性系统的分析提供了便利。 析的运算法，为线性系统的分析提供了便利。 同时还引出了系统函数的概念。 同时还引出了系统函数的概念。
1 1 1 1 = 2 解. L [t ] = L ∫ u (t )dt = ⋅ + t t = 0 s s s s t2 t2 = ∫ t dt 例3 求 L = ? 2 2 1 1 1 t2 1 2 = 3 解. L t 2 = L t dt = ⋅ 2 + ⋅ ∫ s s s 2 t=0 s
f(t) δ(t)
∫
有特性： 且 δ (t ) 有特性：
∞
1/a
−∞
δ (t )dt = 1
t 0 a t 0
∫
∞
−∞
δ (t ) f (t )dt = f (0)
∞ − st − st
L[δ (t )] = ∫ δ (t )e dt = e
0
|t =0 = 1
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三、 常见函数的拉氏变换
4、单位斜坡函数
12
三、 常见函数的拉氏变换
5、正弦函数
∞
t<0 0 f(t) = sin ωt t ≥ 0
∞
L[ f(t)] = ∫ sin ω t ⋅ e − st dt = ∫
0 0
1 jω t e − e − jωt ⋅ e − st dt 2j
[
]
=∫
0
∞
1 -(s-jω)t e − e − (s + jω)t dt 2j
(n ) n 0初条件下有： L f (t ) = s F (s ) 初条件下有： ( )
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[
]
例1 求 解.
L[cos(ω t )] = ?
1
cos ω t =
s ω = 2 L[cos ω t ] = L[sin′ ω t ] = ⋅ s ⋅ 2 2 s +ω2 ω s +ω ω 1 1
ω
[sin′ ω t ]
6
微分方程求解方法
7
一 、复数有关概念
复数、 1、复数、复函数 复数 复函数
s = σ + jω
F ( s ) = Fx + jFy
例 1 F ( s ) = s + 2 = σ + 2 + jω 2、模、相角
F (s ) = Fx2 + F y2 Fy 相角 ∠F (s ) = arctan Fx
∞ 0
[
]
1 − 1 − (s − jω)t = s − jω e 2j
− 1 − (s + jω)t ∞ e − 0 s + jω
1 1 1 1 2 jω ω = − = ⋅ 2 = 2 2 j s − jω s + jω 2 j s + ω 2 s + ω 2
模 3、复数的共轭
F ( s ) = Fx − jF y
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二、拉氏变换的定义
时间函数f(t)，当t<0时，f(t)＝0，当t>=0时有定义， 而且积分 存在，则称F(s)是f(t)的拉普 F ( s) = ∫ f (t )e − st dt
0 ∞
拉斯变换。 简称拉氏变换。记为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
f (t ) = u (t ) − u (t − a)