河北省石家庄市2017届高三第一次模拟考试数学(理科)试题.doc
【河北省石家庄市】2017届高三冲刺模考理科数学试卷-答案
河北省石家庄市2017届高三冲刺模考理科数学试卷答 案一、选择题1~5．BADDC ． 6~10．DBACC ． 11~12．DD ．二、填空题13． 14． 15． 16．．三、解答题17．解析：（Ⅰ）由()cos2cos22sin sinA sin B A C C -=- ，可得222sin sin sin sin sin A B C A C +-= ． 根据正弦定理得222a c b ac +-= ， 由余弦定理，得2221cos 22a cb B ac +-== ， 0,.3B B <<∴=ππ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：22sin b B==R ，其中，πsin cos 03ϕϕϕ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 220,,33A A ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ， ∴ 当π=2A ϕ+当2π3A ϕϕ+=+当A ϕ=ϕ+所以()].A ϕ+∈18．（Ⅰ）证明：由顶点在上投影为点，可知，． 取的中点为，连结，．4521038F AC G FG AC ⊥AC O OB GB在中，，所以． 在 中，，所以． 所以，，即．∵ ∴面．又面，所以面面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，且 所以 面，且面．以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，，， 设平面，的法向量分别为，则，则， ，则Rt FGC∆FG=2CF =32CG =Rt GBO ∆OB=12OG=2BG =222BGGF FB +=FG BG ⊥,,FG AC FG GB AC BG G ⊥⊥=FG ⊥ABC FG ⊆FGB FGB ⊥ABC OB FG ⊥OB AC ⊥AC FG G =OB ⊥AFC FG ⊥ABC OB x OC y O ABC z 1(0,1,0),(0,2A B F --32E -(1,0)BA =--351(,,3),(3,442BE BF =--=--ABE ABF ,m n 00m BA m BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(1,1)m =--00n BA n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，所以二面角的余弦值为．19．解析：根据列联表中的数据，可得所以，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”． （Ⅱ）由表可知在8 的可能取值为：0，1，2，3，∴ ∴ 20．解析：（Ⅰ）依题意有，， 且，1(1,3,)2n =-785cos 85m nm n θ⋅==E AB F --8522⨯0.025X 4EA QE EQ PE +=+=4QA <所以点（Ⅱ）依题意设直线的方程为：，代入椭圆方程得： 且：①，② ∵直线：，直线： 由题知，的交点的横坐标为4，得：，即即：，整理得：③将①②代入③得： 化简可得：当变化时，上式恒成立，故可得：所以直线恒过一定点．21．解析：（Ⅰ）． ①当0a ≤ 时，则()0f x '> ，则函数在是单调增函数．②当0a > 时，令()0f x '= ，则， 若ln x a < ，()0f x '<，所以()f x 在上是单调减函数； 若ln x a >，()0f x '>，所以()f x 在上是单调增函数． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，函数其图像与轴交于两点，则有E CD x my n =+2244x y +=222(4)2(4)0m y mny n +++-=12224mn y y m +=-+212244n y y m -=+TM 11(2)2y y x x =++TN 22(2)2y y x x =--TM TN T 1212322y y x x =+-12213(2)(2)y x y x -=+12213(2)(2)y my n y my n +-=++12212(2)3(2)my y n y n y =+--211222(4)2(2)()3(2)44m n mn n y n y m m --=+---++21(1)[(2)(4)]0n m n y m -+++=1,m y 1n =CD (1,0)()e x f x a '=-()f x (,)-∞+∞ln x a =(ln )a -∞，(ln )a +∞，0a >()y f x =xe 0i x i ax a -+= ，则()()1e 01i 1,2i x i i a x x -=>⇒>= ． 于是122e x x += ，在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，所以，即 ()00=0y f x < ，由直角三角形斜边的中线性质，可知， 所以，即()12+12212e +022x x x x a x x a --++= ， 所以， 即． 因为，则，，所以， 即，则所以． 22．解析：（Ⅰ）因为圆的极坐标方程为π=4cos 6ρθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 所以21=4+sin 2ρρθθ⎫⎪⎪⎝⎭所以圆的普通方程 （Ⅱ）由圆的方程 所以圆的圆心是，半径是2，将11+2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又直线，圆的半径是2，所以22t -≤≤ ， 的取值范围是．12012()2x x x x x +=∈，2102x x y -=-21002x x y -+=2112()022x x a x x a --+++=2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=110x -≠()2211111110212x x x a x ----++=-t 221(1)(1)022a at t t -++-=211a t =+-(1)(1) 2.a t --=()1at a t -+=C C C C 4u t =-l C [2,6]23．解析：（Ⅰ）因为()+1+x 5156f x x x x =-≥+-+= ， 所以．（Ⅱ）∵ 2222222,2,2a b a b a c a c c b c b +≥+≥+≥ ∴ ()()2222+2a b c a b a c b c +≥++ ．∴ ()()22222223222+a b c a b c a b a c b c a b c ++≥+++++=+ ， 又，所以，∴ 22212a b c ++≥ ．6m =6m =6a b c ++=。
河北省石家庄市2017届高三一模考试文数试题含答案
已知函数 f ( x) | 2x 4 | | x a | ． （Ⅰ）当 a 2 时， f ( x) 的最小值为 1，求实数 a 的值； （Ⅱ）当 f ( x) | x a 4 |时，求 x 的取值范围．
2017 届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学 一、选择题
(文科 )A 卷答案
S SAD
1 23
2
且 S SAB
1 6
2
2 3 sin120 3 3 ， 7 3 7 ， BD 面 SAD ，
则 VB SAD
1 VD SAB ，即 3 3 2
1 3 7 h ，则 h
2 21
，
3
3
7
即点 C 到平面 ABF 的距离为 h
2 21
．
7
2.5 12 3 12 3.5 17 4 20 4.5 15 5 13 5.5 8 6 3
C．①④
D ．②④
x
12.已知函数 f ( x) e kx（ e 为自然对数的底数） 有且只有一个零点， 则实数 k 的取值范 x
围是（ ）
A ． (0, 2)
e2 B ． (0, )
4
C． (0, e)
D ． (0, )
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
1
A．
3
1
B．
2
C． 2
D．3
10.已知 x ， y 满足约束条件
x y 2 0, x 2 y 2 0, 且 b 2x y 2 0,
2x y ，当 b 取得最大值时，直线
2x y b 0 被圆 ( x 1)2 ( y 2) 2 25 截得的弦长为（
河北省石家庄市2017届高三第一次复习教学质量检测数学(理)试题
石家庄市2017届高三复习教学质量检测（一）数学（理科答案）一、选择题：1-5 DBDCC 6-10 ABDDB 11-12AD二、填空题:13. 20 14.15．16..三、解答题：本大题共5小题，共60分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由，可得……………2分∴，……………4分即．………………6分（Ⅱ）∵，由余弦定理，得又∵、、的值成等差数列，由正弦定理，得∴，解得．……………8分由，得，……………10分∴△的面积．……………12分18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H,连接AH,在△PBC中,NH∥BC,且 ,又,∴NH∥AM且NH=AM,∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH，………………2分，MN平面PAB∴MN∥平面PAB.…………………4分（II）在平面ABCD内作AE∥CD交BC于E，， .分别以AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则，，，……………6分设平面AMN的法向量则……………8分设平面PAN的法向量……………10分则二面角……………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由茎叶图可得二维列联表……………2分…………4分所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系。
………………………5分（II ）由样本数据可知，男性正常的概率为，女性正常的概率为。
…………6分此项血液指标为正常的人数X 的可能取值为====所以X的分布列为………………11分所以EX==2.8此项血液指标为正常的人数X的数学期望为2.8……………12分20.（本小题满分12分）.解：（Ⅰ）由题意得，点到直线的距离等于它到定点的距离，…………2分点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，点的轨迹的方程为…………………4分（Ⅱ）解法一：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则．由，得，即由，得到．∴，……………………6分解法二：由，当时，，以为切点的切线的斜率为以为切点的切线为即，整理………………6分令则，令则，………………7分点到切线的距离(当且仅当时，取等号)．∴当时，满足题意的圆的面积最小．………………9分∴，．，．……………11分∴．△与△面积之比为．………………12分21．（本小题满分12分）解：（I），，且以点为切点的切线方程为即：…………………2分由得，代入得：又为单调递增函数……………………4分所以可得；……………………………5分（II）由（I）可知，思路：易知：，证明如下：令则当时，,即：……………………………7分思路：易知：，证明如下：，显然，当，，即又，（当时取等号）. ……………………7分要证：，即：只需证：，即证：令则，令……………………………9分则（只有时，等号成立）在为增函数，在为增函数，，即.…………………………12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请把所选题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：.解：（I）……..2分恒过的定点为…….4分（II）把直线方程代入曲线C方程得：分由的几何意义知.因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以………………7分，，，……………9分因此，直线直线的方程或分23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）解：分分解得：分（II）法1.化简得当时……..6分当时……..7分由于题意得：即…….8分或即…….9分……..10分法2.分分分。
河北省曲周县第一中学2017届高三下学期第一次模拟考试
2017届高三三月第一次模拟理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足25)43(=+z i ，则复平面内表示z 的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知集合}0|{2>-=x x x A ，}33|{<<-=x x B ，则（ ） A ．R B A = B ．A B ⊆ C ．B A ⊆ D ．∅=B A3.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-1,51,)(21x x x e x f x ，则=))2((f f （ ） A ．4 B ．0 C ．25e - D ．1 4.一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．42+πB ．4+π C. 22+π D ．2+π5.在ABC ∆中，90=∠B ，)2,1(-=，),3(λ=，则=λ（ ）A ．1B ．23C. 4 D ．1- 6.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若6,464=-=S S ，则=5S （ ） A ．0 B ．2- C.4 D ．17. 已知双曲线C ：1322=-y x 的右顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与C 的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B ，则=∆ABF S （ ） A ．3 B ．433 C. 833 D ．238. 二项式7)(a x -的展开式中，含4x 项的系数为280-，则=⎰eedx x21（ ） A ．12ln + B ．1 C. 2241e e - D ．2ln9. 一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如下图所示的程序框图，若输入的n 为6时，输出结果为2.45，则m 可以是（ ）A ．0.1B ．0.01 C. 0.05 D ．0.6 10.已知0>ω，将函数x x f ωcos )(=的图象向右平移2π个单位后得到函数)4sin()(πω-=x x g 的图象，则ω的最小值是（ ） A ．3 B ．34 C. 32 D ．2311.在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不．与甲相邻出场的概率为（ ） A ．51 B ．52 C. 103 D ．10112.已知0>>b a ,abb a =,有如下四个结论：①e b <， ②e b >， ③b a ,∃满足2e b a <⋅， ④2e b a >⋅则正确结论的序号是（ ）A ．②③B ．①④ C. ②④ D ．①③第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≤34120y x y x y ，则y x z +=的最小值是 ．14.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且3)14(1-=n n a S ，若324=a ，则=1a ．15. 已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，)3,0(A ，抛物线C 上的点B 满足AF AB ⊥，且4||=BF ，则=p ．16.在三棱锥ABC P -中，PC PB PA ,,两两互相垂直，且5,4==AC AB ，则BC 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，ab b a λ=+22. （1）若6=λ，65π=B ，求A sin ； （2）若4=λ，AB 边上的高为63c，求C .18.某市春节期间7家超市的广告费支出i x （万元）和销售额i y （万元）数据如下：（1）若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（2）用二次函数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程：22ln 12ˆ+=x y，计算二次函数回归模型和线性回归模型的2R 分别约为0.75和0.97，请用2R 说明选择个回归模型更合适，并用此模型预测A 超市广告费支出为8万元时的销售额. 参考数据：7.02ln ,ˆˆ,ˆ,708,2794,42,8122171271≈-=-⋅-=====∑∑∑∑====x b y axn x yx n yx bx y x y x n i i ni ii i i i i i . 19.如图，三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ，2,90===∠CB AC ACB ，M ，N 分别为AB ，C A 1的中点.（1）求证： //MN 平面C C BB 11；（2）若平面⊥CMN 平面MN B 1，求直线AB 与平面MN B 1所成角的正弦值.20.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，点),(b a b Q 在椭圆上，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点N M P ,,为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明：四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值.21.已知函数x x x x f 2tan sin 2)(-+=. （1）证明：函数)(x f 在)2,2(ππ-上单调递增；（2）若)2,0(π∈x ，2)(mx x f <，求m 的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+-==ϕϕsin 2cos t y t x （t 为参数，πϕ<≤0），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1=ρ，l 与C 交于不同的两点21,P P .（1）求ϕ的取值范围；（2）以ϕ为参数，求线段21P P 中点轨迹的参数方程. 23.选修4-5：不等式选讲已知),0(,+∞∈y x ，y x y x +=+22（1）求yx 11+的最小值； （2）是否存在y x ,，满足5)1)(1(=++y x ？并说明理由.理科数学参考答案一．选择题：DADBD ADBAD CB二．填空题： （13）2- （14）21（15）2或6（16）)41,3(三．解答题：（17）解：（Ⅰ）由已知65π=B ，b a b a 622=+结合正弦定理得： 01sin 62sin 42=+-A A ，于是426sin ±=A ．因为60π<<A ，所以21sin <A ，取426sin -=A（Ⅱ）由题意可知2123sin 21c C ab S ABC ==∆，得： )cos 24(123)cos 2(123sin 2122C ab ab C ab b a C ab -=-+=． 从而有：2cos sin 3=+C C ，即1)6sin(=+πC又6766πππ<+<C ，所以，3π=C ．（18）解：（Ⅰ）7.1877084287279421221=⨯-⨯⨯-=⋅-⋅⋅-=∑∑==ni ini ii xn xy x n yx b4.28ˆˆ=-=x b y a所以，y 关于x 的线性回归方程是4.287.1ˆ+=x y（Ⅱ）∵97.075.0<，∴对数回归模型更合适.当8=x 万元时，预测A 超市销售额为47.2万元．（19）解：（Ⅰ）连接11,BC AC ，则1AC N ∈且N 为1AC 的中点，又∵M 为AB 的中点，，∴1//BC MN ， 又⊂1BC 平面C C BB 11，⊄MN 平面C C BB 11， 故//MN 平面C C BB 11．（Ⅱ）由⊥1AA 平面ABC ，得11,CC BC CC AC ⊥⊥．以C 为原点，分别以CA CC CB ,,1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设)0(21>=λλCC ，则)0,2,2(),1,,0(),1,0,1(1λλB N M ，)1,0,1(=CM ，)0,,1(λ-=MN ，)1,,2(1-=λNB ．取平面CMN 的一个法向量为),,(z y x m =， 由0=⋅m CM ，0=⋅m MN 得：⎩⎨⎧=+-=+00y x z x λ令1=y ，得),1,(λλ-=m 同理可得平面MN B 1的一个法向量为)3,1,(λλ=n∵平面⊥CMN 平面MN B 1，∴03122=-+=⋅λλ解得22=λ，得)223,1,22(=，又)2,0,2(-=AB ， 设直线AB 与平面MN B 1所成角为θ，则66|||||,cos |sin ==><=AB n AB n θ． 所以，直线AB 与平面MN B 1所成角的正弦值是66．（20）解：（Ⅰ）由21222==a c e ，得2122=a b ，将Q 代入椭圆C 的方程可得42=b ，所以82=a ，故椭圆C 的方程为14822=+y x ．（Ⅱ）当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 方程为：2=x 或2-=x ，从而有32||=PN ，所以62223221||||21=⨯⨯=⋅=OM PN S ．当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 方程为：)0(≠+=m m kx y ，),(),,(2211y x N y x P ． 将PN 的方程代入C 整理得：0824)21(2222=-+++m kmx x k ，所以221214k km x x +-=+，22212182k m x x +-=⋅，221212122)(k mm x x k y y +=++=+，由ON OP OM +=得：)212,214(22k mk km M ++-， 将M 点坐标代入椭圆C 方程得：2221k m +=．点O 到直线PN 的距离21||km d +=，||1||212x x k PN -+=，6232816||21||||||2221221=+-=-⋅+=-⋅=⋅=m k x x k x x m PN d S ．综上，平行四边形OPMN 的面积S 为定值62．（21）解：（Ⅰ）2cos 1cos )('2-+=xx x f因为)2,2(ππ-∈x ，所以]1,0(cos ∈x ，于是 02cos 1cos 2cos 1cos 2)('222≥-+≥-+=xx x x x f （等号当且仅当0=x 时成立）．故函数)(x f 在)2,2(ππ-上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得)(x f 在)2,0(π上单调递增，又0)0(=f ，所以0)(>x f ，（ⅰ）当0≤m 时，20)(mx x f ≥>成立．（ⅱ）当0>m 时，令x x x p -=sin )(，则1cos )('-=x x p ， 当)2,0(π∈x 时，0)('<x p ，)(x p 单调递减，又0)0(=p ，所以0)(<x p ， 故)2,0(π∈x 时，x x <sin ．（*）由（*）式可得222tan 2tan sin )(mx x x mx x x x mx x f --<--+=-， 令2tan )(mx x x x g --=，则mx x x g 2tan )('2-=由（*）式可得)cos 2(cos 2cos )('2222x m x xxmx x x x g -=-< 令x m x x h 2cos 2)(-=，得)(x h 在)2,0(π上单调递增，又0)0(<h ，0)2(>πh ，所以存在)2,0(π∈t 使得0)(=t h ，即),0(t x ∈时，0)(<x h ，所以),0(t x ∈时，0)('<x g ，)(x g 单调递减，又0)0(=g ，所以0)(<x g ， 即),0(t x ∈时，0)(2<-mx x f ，与2)(mx x f >矛盾． 综上，满足条件的m 的取值范围是]0,(-∞．（22）解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为122=+y x ，将⎩⎨⎧+-==ϕϕsin 2cos t y t x 代入122=+y x 得03sin 42=+-ϕt t （*）由012sin162>-ϕ，得23|sin |>ϕ，又πϕ<≤0， 所以，ϕ的取值范围是)32,3(ππ；（Ⅱ）由（*）可知，ϕsin 2221=+t t ，代入⎩⎨⎧+-==ϕϕsin 2cos t y t x 中， 整理得21P P 的中点的轨迹方程为⎩⎨⎧--==ϕϕ2cos 12sin y x (ϕ为参数，)323πϕπ<<（23）解：（Ⅰ）221122=≥+=+=+xyxyxy y x xy y x y x ，当且仅当1==y x 时，等号成立．所以yx 11+的最小值为2．（Ⅱ）不存在． 因为xy y x 222≥+，所以)(2)(2)(222y x y x y x +=+≤+， 又),0(,+∞∈y x ，所以2≤+y x ． 从而有4]2)1()1([)1)(1(2=+++≤++y x y x ，因此不存在y x ,，满足5)1)(1(=++y x ．。
【河北省石家庄市】2017届高三冲刺模考理科数学试卷-答案
河北省石家庄市2017届高三冲刺模考理科数学试卷答 案一、选择题1~5．BADDC ． 6~10．DBACC ． 11~12．DD ．二、填空题13． 14． 15． 16．．三、解答题17．解析：（Ⅰ）由()cos2cos22sin sin A sin B A C C -=-g ，可得222sin sin sin sin sin A B C A C +-=g ． 根据正弦定理得222a c b ac +-= ， 由余弦定理，得2221cos 22a c b B ac +-== ， 0,.3B B <<∴=ππQ ．（Ⅰ）由（Ⅰ）得：22sin b B==R ，其中，πsin cos 03ϕϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 220,,33A A ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ， ∴ 当π=2A ϕ+当2π3A ϕϕ+=+当A ϕ=ϕ+所以()].A ϕ+∈18．（Ⅰ）证明：由顶点在上投影为点，可知，． 取的中点为，连结，．4521038F AC G FG AC ⊥AC O OB GB在中，，所以． 在 中，，所以． 所以，，即．∵∴ 面．又面，所以面面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，且 所以 面，且面．以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，，， 设平面，的法向量分别为，则 ，则， ，则 Rt FGC∆FG=2CF =32CG =Rt GBO ∆OB=12OG=2BG =222BGGF FB +=FG BG ⊥,,FG AC FG GB AC BG G⊥⊥=I FG ⊥ABCFG ⊆FGB FGB⊥ABC OB FG ⊥OBAC ⊥AC FG G =I OB ⊥AFC FG ⊥ABC OB x OC y O ABC z 1(0,1,0),(0,2A B F --32E -(1,0)BA =-u u u r51((42BE BF =-=-u u u r u u u r ABE ABF ,m n u r r00m BA m BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r (1,1)m =-u r 00n BA n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，所以二面角19．解析：根据列联表中的数据，可得所以，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”． （Ⅱ）由表可知在8 的可能取值为：0，1，2，3，∴ 的分布列为：∴ 20．解析：（Ⅰ）依题意有，， 且，1(1,)2n =r cos m n m nθ⋅==u r r u r r E AB F --22⨯0.025X X 4EA QE EQ PE +=+=4QA <所以点（Ⅱ）依题意设直线的方程为：，代入椭圆方程得： 且：①，② ∵直线：，直线： 由题知，的交点的横坐标为4，得：，即即：，整理得：③将①②代入③得： 化简可得：当变化时，上式恒成立，故可得：所以直线恒过一定点．21．解析：（Ⅰ）． ①当0a ≤ 时，则()0f x '> ，则函数在是单调增函数． ②当0a > 时，令()0f x '= ，则， 若ln x a < ，()0f x '<，所以()f x 在上是单调减函数； 若ln x a >，()0f x '>，所以()f x 在上是单调增函数． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，函数其图像与轴交于两点，则有E CD x my n =+2244x y +=222(4)2(4)0m y mny n +++-=12224mn y y m +=-+212244n y y m -=+TM 11(2)2y y x x =++TN 22(2)2y y x x =--TM TN T 1212322y y x x =+-12213(2)(2)y x y x -=+12213(2)(2)y my n y my n +-=++12212(2)3(2)my y n y n y =+--211222(4)2(2)()3(2)44m n mn n y n y m m --=+---++21(1)[(2)(4)]0n m n y m -+++=1,m y 1n =CD (1,0)()e x f x a '=-()f x (,)-∞+∞ln x a =(ln )a -∞，(ln )a +∞，0a >()y f x =xe 0i x i ax a -+= ，则()()1e 01i 1,2i x i i a x x -=>⇒>= ． 于是122e x x += ，在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，所以，即 ()00=0y f x < ，由直角三角形斜边的中线性质，可知， 所以，即()12+12212e +022x x x x a x x a --++= ， 所以， 即． 因为，则，，所以， 即，则所以． 22．解析：（Ⅰ）因为圆的极坐标方程为π=4cos 6ρθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 所以21=4+sin 2ρρθθ⎫⎪⎪⎝⎭所以圆的普通方程（Ⅰ）由圆的方程 所以圆的圆心是，半径是2，将11+2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又直线，圆的半径是2，所以22t -≤≤ ， 的取值范围是．12012()2x x x x x +=∈，2102x x y -=-21002x x y -+=2112()022x x a x x a -+++=2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=110x -≠()2211111110212x x x a x ----++=-t 221(1)(1)022a at t t -++-=211a t =+-(1)(1) 2.a t --=()1at a t -+=C C C C 4u t =-l C [2,6]23．解析：（Ⅰ）因为()+1+x 5156f x x x x =-≥+-+= ， 所以．（Ⅰ）∵ 2222222,2,2a b ab a c ac c b cb +≥+≥+≥ ∴ ()()2222+2a b c ab ac bc +≥++ ．∴ ()()22222223222+a b c a b c ab ac bc a b c ++≥+++++=+ ， 又，所以，∴ 22212a b c ++≥ ．6m =6m =6a b c ++=。
金卷：河北省石家庄市2017届高三第一次模拟考试(A)文数(解析版)
河北省石家庄市2017届高三第一次模拟考试（A ）文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B = ( ) A ．{}|13x x ≤≤ B ．{}|03x x ≤≤C ．{}1,2,3D ． {}0,1,2,3【答案】C 【解析】试题分析：因为{*|3}{1,2,3}B x N x =∈≤=，所以{1,2,3}A B = ，故选C ． 考点：集合的交集运算． 2.设1sin()3πθ-=,则cos 2θ=( )A ．B ．79C ．D ．79-【答案】B 【解析】试题分析：因为{*|3}{1,2,3}B x N x =∈≤=，所以{1,2,3}A B = ，故选C ． 考点：1、诱导公式；2、倍角公式 3. 若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．52D ．1【答案】C考点：复数的运算．【方法点睛】复数代数形式运算问题的解题策略：(1)复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；(2)复数的除法运算关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．4.下列说法错误的是( )A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程 0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量 y 平均增加0.2个单位D ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 【答案】D 【解析】试题分析：根据相关定义分析知A 、B 、C 正确；C 中对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的招把握程度越大，故C 不正确，故选D ． 考点：命题真假的判断．5.若定义在R 上的函数()f x 当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得()()f x f x -=，则称()f x 为类偶函数，则下列函数中为类偶函数的是（ ） A ．()cos f x x = B ．()sin f x x = C ．2()2f x x x =- D ．3()2f x x x =-【答案】D考点：1、新定义；2、方程的解6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤-⎦B ．⎡⎣C ．1,1⎤-⎦D ．【答案】A 【解析】试题分析：因为0a b ⋅= ，所以222||22a b a a b b +=+⋅+= ，所以||a b += 2||a b c +- ＝22222()a b c a b a b c +++⋅-+⋅ ＝32()a b c -+⋅ ，则当c 与()a b + 同向时()a b c +⋅ 最大，2||a b c +- 最小，此时()||||cos 0a b c a b c +⋅=+︒= 2||3a b c +-=- min ||a b c +- 1-；当c 与()a b + 反向时()a b c +⋅ 最小，2||a b c +- 最大，此时()a b c +⋅ ＝||||cos a b c +π=，2||3a b c +-=+ max ||1a b c +-=+ ，所以||a b c +-的取值范围为1]-，故选A ．考点：1、向量数量积的性质及其运算；2、向量的模．7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．60D ．64【答案】C 【解析】试题分析：根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积163642S =⨯+⨯⨯＋11235656022⨯⨯⨯+⨯⨯=，故选C ．考点：空间几何体的三视图及表面积．8.已知函数()f x 的图象关于1x =-对称，且()f x 在(1,)-+∞上单调，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且5051()()f a f a =，则{}n a 的前100项的和为（ ） A ．200- B ．100-C ．50-D ．0【答案】B 【解析】试题分析：因为函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于1x =-对称，又函数()f x 在(1,)-+∞上单调，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且5051()()f a f a =，所以50512a a +=-，所以11001005051100()50()1002a a S a a +==+=-，故选B ．考点：1、函数的图象；2、等差数列的性质及前n 项和公式．9.已知抛物线22(0)y px p =>过点1(2A ，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB AB λ=，则实数λ为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】C考点：1、直线与抛物线的位置关系；2、向量的坐标运算．【举一反三】求解与向量交汇的圆锥曲线问题，通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化，然后再利用解析几何的知识求解．10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且2b x y =--，当b 取得最大值时，直线20x y b ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长为（ ）A ．10 B．C．D．【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，由图知，当目标函数2b x y =--经过点(22)A --时取得最大值，即max 2(2)(2)6b =-⨯---=，所以6b ≥．因为圆心(1,2)到直线20x y b ++=的距离d ==L ==，所以当6b =时，L取得最大值B ．考点：1、简单的线性规划问题；2、直线与圆的位置关系．11.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④【答案】C 【解析】试题分析：设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆半径为h ，则截面圆环的面积为22()R h π-；②中截面圆的半径为R h -，则截面圆的面积为2()R h π-；③中截面圆的半径为2hR -，则截面圆的面积为2()2hR π-；，则截面圆的面积为22()R h π-，所以①④中截面的面积相等，故选C ．考点：1、数学文化；2、空间几何体的体积．【举一反三】处理球的截面问题，主要利用截面圆的半径r ，球的半径R ，球心到截面距离为d 三者之间的勾股关系，即222d R r =-．12.已知函数()xe f x kx x=-（e 为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．2(0,)4eC ．(0,)eD ．(0,)+∞【答案】B考点：1、函数的零点；2、函数图象的应用；3、利用导数研究函数的单调性．【技巧点拨】函数图象的应用常与函数零点、方程有关，一般为讨论函数()f x 零点（方程()0f x =的根）的个数或由零点(根)的个数求参数取值（范围），，此时题中涉及的函数()f x 的图象一般不易直接画出，但可将其转化为与()f x 有一定关系的函数()F x 和()G x 的图象问题，且()F x 与()G x 的图象易得．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p ：n N ∀∈，22n n <，则p ⌝为 ． 【答案】0n N ∃∈，0202nn ≥ 【解析】试题分析：由全称命题的否定为特称命题，得p ⌝为0200,2nn N n ∃∈≥．考点：全称命题的否定．【注意事项】求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；另外，要注意一些量词的否定的书写方法，如：“都是”的否定为“不都是”，别弄成“都不是．14.程序框图如图所示，若输入1S =，1k =，则输出的S 为 ．【答案】57 【解析】试题分析：第一次循环，得2,4k S ==；第二次循环，得3,11k S ==；第三次循环，得4,26k S ==；第四次循环，得5,57k S ==，不满足循环条件，退出循环，输出57S =． 考点：程序框图．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）． 【答案】13试题分析：设12PF F ∆内切圆的半径为r ，则由题意，有1211||||22PF r PF r ⨯⨯=⨯⨯＋121||2F F r λ⨯⨯⨯，即1212||||||2PF PF F F c λλ-==⋅，又由双曲线的定义知12||||2PF PF a -=，所以22a c λ=⋅，即113a c e λ===． 考点：双曲线的定义及几何性质．【易错点睛】不能根据三角形的内心特点，把各面积之间的关系转化为大三角形边长之间的关系，从而利用双曲线的定义建立起双曲线参数,,a b c 的等量关系，进而根据离心率求解参数．16.已知等比数列{}n b 满足1132n n n a a -++=⋅，*n N ∈.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2n n S ka >-对一切*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围为 ．【答案】(,2]-∞考点：1、等比数列的通项公式及前n 和公式；2、不等式恒成立问题．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）6．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理将已知等式中的角化为边，由此得到,,a b c 间的关系，然后由余弦定理求得cos B ，从而求角B 的大小；（Ⅱ）首先利用余弦定理得到,a c 间的关系，然后利用基本不等式即可求得最大值． 试题解析：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6．考点：1、正弦定理与余弦定理；2、基本不等式．18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求点C 到平面SAB 的距离．【答案】（Ⅰ）见解析；． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理求得sin ADB ∠，由此可推出AD BD ⊥，然后利用勾股定理推出SD BD ⊥，从而使问题得证；（Ⅱ）利用等积法将问题转化为B SAD D SAB V V --=求解即可．试题解析：（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =， 解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥,∵BD ⊄平面SAD ,SD AD D = ,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）由题意可知，//CD 平面SAB ，则C 到面SAB 的距离等于D 到面SAB 的距离， 在SAD ∆中，易求6SA =，1sin1202SAD S ∆=⨯︒=，且162SAB S ∆=⨯=BD ⊥面SAD ，则B SAD D SAB V V --=，即11233h ⨯=⨯，则h =，即点C 到平面ABF 的距离为h =考点：1、面垂直的判定定理；2、点到平面的距离；3、棱锥的体积．【思路点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型，（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．19.某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如表：（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率． 【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）1136． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据平均值的定义求解即可；（Ⅱ）设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，然后根据题意列出,x y 满足的条件不等式组，从而根据几何概型概率问题求解． 试题解析：（Ⅰ） 2.512312 3.517420 4.515513 5.58634100a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．（Ⅱ）设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，则024,024,x y <<⎧⎨<<⎩若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则||4y x -<， 所以必须等待的概率为22201112436P =-=． 答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为1136．考点：1、平均值；2、几何概型．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值；（Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，然后根据MF NF ⊥求得mn 的值，从而得到AMFN S 的表达式，从而利用基本不等式求出最小值，；（Ⅱ）首先设出直线AM 的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理得到点,E D 坐标间的关系，从而使问题得证．试题解析：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立．∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =同理可得D x =， ∵1m n ⋅=-，∵D x ==② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E D E Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．考点：1、直线与椭圆的位置关系；2、基本不等式．【方法点睛】解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法．21.已知函数21()ln 2f x x x a x =-+，a R ∈. （Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当209a <<时，函数()f x 的两个极值点为1x ，2x ，且12x x <.证明：12()51ln 3123f x x >--. 【答案】（Ⅰ）14a ≥；（Ⅱ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得函数的定义域与导函数，然后结合判别式判断导函数的符号，得到函数的单调性，从而求得a 的取值范围；（Ⅱ）首先将问题转化为20x x a -+=有两个不等的实根1x ，2x ，由此得到a 的范围，从而得到1x 的范围，然后根据1221()()f x f x x x -的表达式构造新函数，由此通过求导研究新函数的单调性使问题得证．试题解析：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 由题意'()1a f x x x=-+2x x a x -+=，0x >，14a ∆=-. ①若140a ∆=-≤，即14a ≥，则20x x a -+≥恒成立，则()f x 在(0,)+∞上为单调减函数； ②若140a ∆=->，即14a <，方程20x x a -+=的两个根为1x =，2x =，当21(,)2x x ∈时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意．综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为14a ≥. （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在0x >上有两个不等的实根，即20x x a -+=有两个不等的实根1x ，2x ，可得14a <，且12121,x x x x a+=⎧⎨⋅=⎩， 因为2(0,)9a ∈，则1120(1)9x x <-<，可得11(0,)3x ∈. 2211111121122211ln ln ()22x x a x x x x x x f x x x x -+-+==21111112ln 1x x x x x -=+-，11(0,)3x ∈. 令212()ln 1x x g x x x x -=+-，212()1x x h x x-=-，()ln m x x x =， ∵211'()02(1)2h x x =--<-， 又'()1ln m x x =+，1(0,)x e ∈时，'()0m x <， 而113e <，故'()0m x <在1(0,)3x ∈上恒成立， 所以'()()()0g x h x m x =+<在1(0,)3x ∈上恒成立， 即212()ln 1x x g x x x x -=+-在1(0,)3x ∈上单调递减， 所以151()()ln 33123g x g >=--，得证． 考点：1、导数研究函数的单调性；2、函数极值与导数的关系请从下面所给的22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程．【答案】（Ⅰ）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩；（Ⅱ）14y x =． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得2C 的普通方程，由此可求得2C 的参数方程；（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，点(2cos ,sin )A θθ，然后得到l 与θ的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得1l 的普通方程．考点：1、极坐标方程与参数方程间的互化；2、辅助角的应用．【易错点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的,x y (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．【答案】（Ⅰ）3a =-；（Ⅱ）当2a <-时， {}|2x a x ≤≤-；当2a =-时，{}2-；当2a >-时， {}|2x x a -≤≤．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用零点分段法将函数()f x 的解析式写在分段函数，然后求得()f x 的最小值，从而求得实数a 的值；（Ⅱ）首先利用绝对值三角不等式的性质求得函数()f x 的最小值，然后分2a <-、2a =-、2a >-求得x 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-．（Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++，当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立，所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-；当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．考点：1、函数的最值；2、绝对值三角不等式的性质．。
【河北省石家庄】2017届高三冲刺模考理科数学年试题
河北省石家庄二中2017年高考模拟数学试卷（理科）答 案1~5．DBCBC 6~10．ABBAD 11~12．BC 13．240 1415．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦16．217．解：（Ⅰ）当3n ≥时,可得()()1121,424202,4n n n n n n S S S S n n a a ---------=≥∈∴=Z ．又因为12a =,代入表达式可得28a =,满足上式．所以数列{}n a 是首项为12a =,公比为4的等比数列,故：121242n n n a --=⨯=．（Ⅱ）证明：2log 21n n b a n ==-．()21212n n n T n +-==2n ≥时,211111(1)1n T n n n n n=<=---． 111111*********-1ni KT n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．18．证明：（Ⅰ）因为,A B 是PQ 的三等分点, 所以PA AB BQ CA CB ====, 所以ABC △是等边三角形,又因为M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥．因为,,DB AB DB BC ABBC B ⊥⊥=所以DB ⊥平面ABC ,又EA DB ∥, 所以EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥．因为AMEA A =,所以CM ⊥平面EAM ．因为EA ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥．解：（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴, 过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -． 因为DB ⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角． 由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =, 从而BD AC =．不防设2AC =,又2AC AE +,则1CM AE =． 故())()()0,1,0,,0,1,2,0,1,1B C D E -．于是()()()()3,1,0,0,0,2,3,,3,1,2BC BD CE CD =-==-=-1,1-设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为()(),,,,,m x y z n a b c ==,由3-020m BC x y m BD z ⎧==⎪⎨==⎪⎩,令1x =,得()1,3,0m =． 由3-0320n CE b c n CD b c ⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩,令1a =,得31,n ⎛=- ⎝⎭, 所以cos ,0m n <>=所以二面角B CD E --的平面角大小为90︒．19．解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得：180x =,又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101600⨯=人；选修文学写作的人数为：60101600⨯=人； （Ⅰ）现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性都相同,令事件A ：选中的3人至少两人选修线性代数,事件B ：选中的3人有两人选修线性代数,事件C ：选中的3人都选修线性代数,且,B C 为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+= （Ⅱ）记X 为3人中选修线性代数的代数,X 的可能取值为0,1,2,3,记Y 为3人中选修微积分的人数；Y 的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||X Y ξ=﹣的可能取值为0,1,2,3；()()()00,01,1P P X Y P X Y ξ====+===1113334433101013C C C C C C +=； ()()()()()10,11,01,22,12P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==+===⨯121234333310109220C C C C C C +⨯=, ()()()20,22,02P P X Y P X Y ξ====+===⨯213431015C C C =,()()()33310130,33,0260C P P X Y P X Y C ξ====+===⨯=；所以ξ的分布列为：所以0123=32056010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯20．解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ,由题意可得：2b b =由题意的离心率c e a =,解得：26a =,则2224c a b -==,故椭圆方程为：22162x y +=； （Ⅱ）①证明：由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程：y kx m =+,由点()3,M t 在直线上,则3t k m =+,联立直线与椭圆方程：22360y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩, 可得：()222136360k x kmx m +-++=,又直线与椭圆只有一个公共点,故0∆=,即2262m k =+；由韦达定理,可得P 点坐标223,1313km m k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭-, 由直线PQ 过椭圆右焦点为()2,0F ,则直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k ==---；而直线OM 的斜率,则333OM t k m k +==： ()()22222331311••••33263333263OM PQk m m km m km m k k km k km k km m +++====------+-+．②由()1,FM t =,222326,1313km k m FP k k ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭,则22326013mt km k FM FP k ---==+, 即FMPF ⊥,∴三角形的面积1||||2PQM S PQ MF =△, MF =丨丨由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程：()()1122,2,,,,x ty P x y Q x y =-+ 与椭圆方程联立可得：222162x ty x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()223420t y ty +-=-,则12243t y y t +=+,12223y y t =+﹣, 则())212213t PQ y y t ++=+丨丨,则()()3222163PQM t S t+=+△令()23,0t m m +=＞,则1326PQM S m m ⎛ =-⎝△由函数的单调性可知：y =单调递增, 故()()3222163PQM t S t+=+△,当0t =时,PQM △． ∴PQM △． 21．解：（Ⅰ）由题意可得：()()121121f x ax f a x'=-'=-=-，,可得：1a =；又()()()2216ln 31,,0x y f x xf x x x y x x-=+'=-+'=>所以,当x ⎛∈ ⎝⎭时,0y y '>，单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时,0,y y '<单调递减；故函数的单调增区间为⎛ ⎝⎭． （Ⅱ）()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++'=-，,因为12,x x 是()g x 的两个极值点,故12,x x 是方程()2110x b x ++=-的两个根,由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩；12x x <,可知101x <<,又11111x b e x e +=+≥+,令1t x x =+,可证()t x 在()0,1递减,由()11h x h e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,从而可证110x e <≤． 所以()()()()2211212121112211111lnln 0222x g x g x x x x x x x x x x e ⎛⎫-=--+<≤ ⎪⎝⎭=-+ 令()222111ln ,0,22h x x x x x e ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦-,()()22310x h x x--'=≤,所以()h x 单调减, 故()22min11222eh x h e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以2212,22e k e ≤--即221222max e k e=--．22．解：（Ⅰ）1C 的普通方程为24y x =,2C 的普通方程为()2211x y +-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=, 与直线θα=联立可得：24cos =sin αρα,即24cos =sin OP αα,同理可得2|i |s n OQ α=．所以|||8tan |OP OQ α=,在π4π,6α⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以||||OP OQ 的最大值是23．解：（Ⅰ）当3a =时,不等式()6f x ≤,即||2-336,x +≤故有3233x -≤-≤,求得03x ≤≤,即不等式()6f x ≤的解集为[]0,3．（Ⅱ）()()22-13f x g x a +≥,即222121||||3x a a x a +-≥--+恒成立,()||||||||2212211x a a x x a x a a a -++-≥---+=-+,2121||3a a a ∴-+≥-①．当1a ≤时,①等价于21213a a a --+≥,解得1a ≤；当1a >时,①等价于21213a a a --+≥,即260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦河北省石家庄二中2017年高考模拟数学试卷（理科）解析1．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A,B,根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵log2x＞1=log22,∴x＞2,∴B=（2,+∞）,∵x2﹣4x+3＜0,∴（x﹣3）（x﹣1）＜0,解得1＜x＜3,∴A=（1,3）,∴A∩B=（2,3）,故选：D2．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足=i,∴z+i=﹣2﹣zi,化为：z===﹣+i．=﹣﹣i．则|+1|===．故选：B3．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意,M的坐标为（2cos（π+θ）,2sin（π+θ））,即可得出结论．【解答】解：由题意,M的坐标为（2cos（π+θ）,2sin（π+θ））,即（﹣2cosθ,﹣2sinθ）,故选C4．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断．【解答】解：∵0＜a＜b＜1,c＞1,∴ac＜bc,abc＞bac,∴logab＞logba,logac＞logbc,故选：B5．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值,模拟程序的运行过程,可得答案．【解答】解：当输入的x为2017时,第1次执行循环体后,x=2015,输出y=3﹣2015+1；第2次执行循环体后,x=2013,输出y=3﹣2013+1；第3次执行循环体后,x=2011,输出y=3﹣2011+1；…第1007次执行循环体后,x=3,输出y=3﹣3+1；第1008次执行循环体后,x=1,输出y=3﹣1+1；第1009次执行循环体后,x=﹣1,输出y=31+1=4；第1010次执行循环体后,x=﹣3,输出y=33+1=28；此时不满足x≥﹣1,输出y=28,故选：C6．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺,因此前两天两鼠共打3+1．5=4．5．第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺,因此第三天相遇．设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0．5﹣y尺,则=,解得y即可得出．【解答】解：由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺,因此前两天两鼠共打3+1．5=4．5．第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺,因此第三天相遇．设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0．5﹣y尺,则=,解得y=．相见时大鼠打了1+2+=3尺长的洞,小鼠打了1++=1尺长的洞,x=2+=2天,故选：A7．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求解即可．在a﹣o﹣b坐标系中,画出f（1）＞0对应的区域,和a、b都是在区间[0,4]内表示的区域,计算它们的比值即得．【解答】解：f（1）=﹣1+a﹣b＞0,即a﹣b＞1,如图,A（1,0）,B（4,0）,C（4,3）,S△ABC=,P==,故选：B8．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先求得m=sin（2•）=,故把函数y=sin2x图象上的点P（,）,向右平移n个单位,可得Q （+n,）,根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上,求得n的最小值值,可得mn的最小值．【解答】解：函数y=sin2x图象上的某点P（,m）可以由函数y=cos（2x﹣）上的某点Q向左平移n（n＞0）个单位长度得到,∴m=sin（2•）=．故把函数y=sin2x图象上的点P（,）,向右平移n个单位,可得Q（+n,）,根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上,∴m=cos[2（+n）﹣]=cos（2n﹣）=,∴应有2n﹣=,∴n=,则mn的最小值为,故选：B9．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,在平面PAB内,过点P作PD⊥AB,垂足为D,连接CD,CD⊥AD．进而得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,在平面PAB内,过点P作PD⊥AB,垂足为D,连接CD,CD⊥AD．该几何体的表面积S=×2++=2+2+．故选：A10．【考点】进行简单的合情推理．【分析】依题记f（m1,m2）=f（m1,m2﹣1）+5×1=f（m1,1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1,1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1,1）+4×（m1﹣1）+5×f（m1,1）,将m1=60,m2=50,f（1,1）=2,代入得结论．【解答】解：依题记f（m1,m2）=f（m1,m2﹣1）+5×1=f（m1,1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1,1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1,1）+4×（m1﹣1）+5×（m2﹣1）,将m1=60,m2=50,f（1,1）=2,代入得483．故选D11．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由A,B代入双曲线方程,作差整理可得k==,化简得a2=bc,即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（b,yM）,由A,B代入双曲线方程,作差整理可得k==,化简得a2=bc,即a4=（c2﹣a2）c2,有e4﹣e2﹣1=0,得e=．故选B12．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】判断f（x）的单调性,求出极值,得出方程f（x）=t的解的情况,得出关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0的根的分布区间,利用二次函数的性质列不等式解出m的范围．【解答】解：f（x）=,∴f′（x）=．∴当0＜x＜1或x＞e时,f′（x）＞0,当1＜x＜e时,f′（x）＜0,∴f（x）在（0,1）上单调递增,在（1,e）上单调递减,在（e,+∞）上单调递增,作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）=t,则当0＜t＜e时,方程f（x）=t有1解,当t=e时,方程f（x）=t有2解,当t＞e时,方程f（x）=t有3解,∵关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2+m=0,恰好有4个不相等的实数根,∴关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0在（0,e）和（e,+∞）上各有一解,∴,解得e﹣1＜m＜e．故选C．13．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为4,求出r的值,将r的值代入通项求出展开式中含x4项的系数【解答】解：展开式的通项为Tr+1=C6r（﹣2）rx,令得18﹣r=4,解得r=4,∴展开式中含x4项的系数为（﹣2）4C64=240,故答案为：240．14．【考点】向量的模．【分析】求出+2,求出|+2|的解析式,根据三角函数的运算性质计算即可．【解答】解：=（cos5°,sin5°）,=（cos65°,sin65°）,则+2=（cos5°+2cos65°,sin5°+2sin65°）,则|+2|===,故答案为：．15．【考点】利用导数研究函数的极值；分段函数的应用．【分析】由f'（x）=6x2﹣6,x＞t,知x＞t时,f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间,从而要使无论t取何值,函数f（x）在区间（﹣∞,+∞）总是不单调,必须有f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数,由此能求出a的取值范围．【解答】解：对于函数f（x）=2x3﹣6x,f'（x）=6x2﹣6,x＞t当6x2﹣6＞0时,即x＞1或x＜﹣1,此时f（x）=2x3﹣6x,为增函数当6x2﹣6＜0时,﹣1＜x＜1,∵x＞t,∴f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间要使无论t取何值,函数f（x）在区间（﹣∞,+∞）总是不单调∴f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数∴4a﹣3≤0,∴a≤．故a 的取值范围是（﹣∞,]． 故答案为：（﹣∞,]．16．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设∠DBM =θ,在△CDA 中,由正弦定理可得=,在△AMB 中,由正弦定理可得=,继而可得=,问题得以解决【解答】解：设∠DBM =θ,则∠ADC =2θ,∠DAC =﹣2θ,∠AMB =﹣2θ,在△CDA 中,由正弦定理可得=,在△AMB 中,由正弦定理可得=,∴===,从而MA =2, 故答案为：2．17．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出． （II ）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当3n ≥时,可得()()11214242024n n n n n n S S S S n n a a ---------=≥∈∴=Z ,．，又因为12a =,代入表达式可得28a =,满足上式．所以数列{}n a 是首项为12a =,公比为4的等比数列,故：121242n n n a --=⨯=．（Ⅱ）证明：2log 21n n b a n ==-． ()21212n n n T n +-==2n ≥时,211111(1)1n T n n n n n=<=-+-． 111111*********-1ni nT n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．18．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）推导出△ABC 是等边三角形,从而CM ⊥AB ,再由DB ⊥AB ,DB ⊥BC ,知DB ⊥平面ABC ,又EA ∥DB ,从而EA ⊥平面ABC ,进而CM ⊥EA ．由此CM ⊥平面EAM ．进而能证明CM ⊥EM ．（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴,过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M ﹣xyz ．利用向量法能求出二面角B ﹣CD ﹣E 的平面角． 【解答】证明：（Ⅰ）因为A B ，是PQ 的三等分点, 所以PA AB BQ CA CB ====, 所以ABC △是等边三角形,又因为M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥．因为DB AB DB BC ABBC B ⊥⊥=,,所以DB ⊥，平面ABC ,又//EA DB , 所以EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥．因为AMEA A =,所以CM ⊥平面EAM ．因为EA ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥．解：（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴, 过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -． 因为DB⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角． 由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =, 从而BD AC =．不防设2AC =,又2AC AE +,则1CM AE =． 故())()()0,1,00,1,20,1,1B C D E -，，，．于是()()()()3,100,0,23,3,1,2BC BD CE CD =-==-=，，,-1,1,-设平面BCD ，与平面CDE 的法向量分别为()(),,,m x y z n a b c ==,,, 由3-020m BC x y m BD z ⎧==⎪⎨==⎪⎩,令1x =,得()1,3,0m =．由3-0320n CE b c n CD b c ⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩,令1a =,得31,n ⎛=- ⎝⎭, 所以cos 0m n <>=,所以二面角B CD E --的平面角大小为90︒．19．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样求出各个选修人数,利用互斥事件的概率求解从选出的10名学生中随机抽取3人,求这3人中至少2人选修线性代数的概率；（Ⅱ）从选出的10名学生中随机抽取3人,记ξ为选修线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值．求出ξ的可能值,就是概率,即可得到随机变量ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得：180x =,又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101600⨯=人；选修文学写作的人数为：60101600⨯=人；（Ⅰ）现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性都相同,令事件A ：选中的3人至少两人选修线性代数,事件B ：选中的3人有两人选修线性代数,事件C ：选中的3人都选修线性代数,且B C，为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+= （Ⅱ）记X 为3人中选修线性代数的代数,X 的可能取值为0,1,2,3,记Y 为3人中选修微积分的人数；Y 的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||X Y ξ=﹣的可能取值为0,1,2,3；()()()00,01,1P P X Y P X Y ξ====+===1113334433101013C C C C C C +=；()()()()()10,1101,22,12P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==+===⨯，121234333310109220C C C C C C +⨯=, ()()()20,22,02P P X Y P X Y ξ====+===⨯213431015C C C =,()()()33310130,33,0260C P P X Y P X Y C ξ====+===⨯=；所以ξ的分布列为：所以0123320560Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 20．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）由b =,椭圆的离心率公式,即可求得a 和c 的值,求得椭圆方程；（Ⅱ）①设直线方程,代入椭圆方程,由△=0,分别求得kOM ,kPQ ,即可求得kOM •为定值； ②设直线方程,代入椭圆方程,由韦达定理,弦长公式,求得S △PQM =•,根据函数的单调性即可求得△PQM 面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ,由题意可得：2b b ==,由题意的离心率c e a =,解得：26a =,则2224c a b -==,故椭圆方程为：22162x y +=；（Ⅱ）①证明：由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程：y kx m =+,由点()3,M t 在直线上,则3t k m =+,联立直线与椭圆方程：22360y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩, 可得：()222136360k x kmx m +-++=,又直线与椭圆只有一个公共点,故0=△,即2262m k =+；由韦达定理,可得P 点坐标223,1313km m k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭-,由直线PQ 过椭圆右焦点为()20F ，,则直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k ==---；而直线OM 的斜率,则333OM t k m k +==：()()22222331311••••33263333263OM PQk m m km m km m k k km k km k km m +++====------+-+．①由()1FM t =，,222326,1313km k m FP k k ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭,则22326013mt km k FM FP k ---==+, 即FMPF ⊥,∴三角形的面积1||||2PQM S PQ MF =△, MF =丨丨由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程：()()1122,,2x ty P x y Q x y =-+，，， 与椭圆方程联立可得：222162x ty x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()223420t y ty +-=-,则12243t y y t +=+,12223y y t =+﹣,则)2213t PQ t +==+丨丨,则PQM S =△令()23,0t m m +=＞,则PQMS =△, 由函数的单调性可知：y =单调递增,故PQMS =≥△,当0t =时,PQM △面积的最小值．∴PQM △． 21．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可； （Ⅱ）求出g （x ）的导数,求出g （x1）﹣g （x2）的解析式,令h （x ）=lnx2﹣x2+,x ∈（0,],根据函数的单调性求出k 的最大值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：()()121121f x ax f a x'=-'=-=-，,可得：1a =；又()()()2216ln 310x y f x xf x x x y x x-=+'=-+'=>，所以，,当x ⎛∈ ⎝⎭时,0y y '>，单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时,0y y '<，单调递减；故函数的单调增区间为⎛ ⎝⎭． （Ⅱ）()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++'=-，,因为12x x ，是()g x 的两个极值点,故12x x ，是方程()2110x b x ++=-的两个根,由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩；12x x <,可知101x <<,又11111x b e x e +=+≥+,令1t x x =+,可证()t x 在()0,1递减,由()11h x h e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,从而可证110x e <≤． 所以()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++-'=，令()222111ln 0,22h x x x x x e ⎛⎤=+∈ ⎥⎝-⎦，()()22310x h x x--'=≤,所以()h x 单调减, 故()22min11222eh x h e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以221222e k e ≤--，即221222max e k e=--．22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法,即可求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,与直线θ=α联立可得：ρ=,即|OP |=,同理可得|OQ |=2sinα．求出|OP |•|OQ |=,在α∈[,]上单调递减,即可求|OP |•|OQ |的最大值．【解答】解：（Ⅰ）1C 的普通方程为24y x =,2C 的普通方程为()2211x y +-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=,与直线θα=联立可得：24cos =sin αρα,即24cos =sin OP αα,同理可得2|i |s n OQ α=．所以|||8tan |OP OQ α∙=,在π4π6α⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减,所以||||OP OQ ∙的最大值是23．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a =3时,不等式即|2x ﹣3|+3≤6,可得﹣3≤2x ﹣3≤3,由此求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得|2x ﹣a |+a +|2x ﹣1|≥2a2﹣13恒成立,利用绝对值三角不等式求得|2x ﹣a |+a +|2x ﹣1|的最小值为|1﹣a |+a ,可得|1﹣a |+a ≥2a2﹣13,分类讨论,去掉绝对值,求得a 的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当3a =时,不等式()6f x ≤,即||2-336x +≤，故有3233x -≤-≤,求得03x ≤≤,即不等式()6f x ≤的解集为[]03,． （Ⅱ）()()22-13f x g x a +≥,即222121||||3x a a x a +-≥--+恒成立,()||||||||2212211x a a x x a x a a a -++-≥---+=-+2121||3a a a ∴-+≥-①．当1a ≤时,①等价于21213a a a --+≥,解得1a ≤；当1a >时,①等价于21213a a a --+≥,即260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦。
河北省石家庄市2017届高三一模考试文数试题Word版含答案
2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(文科)A 卷第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的•1.已知集合 A - lx |0 岂 x 乞 5f , B -\x N*|X -1E2.',V A B=( ) A . C X |1EX 乞 3?B . 7x|0 _ x _3lC . 「1,2,31D .10,1,2,3}12.设sin (二-打 ，则 cos2二=()4运 A .B .9 7 C .4.2D .7 999“一1 -2i3.若 z 是复数,z ,则z Z =()1 +iA .B .2_! 2 C . 52D .14. 下列说法错误的是()A .回归直线过样本点的中心(x, y)B •两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于144C .在回归直线方程 y=0.2x ・0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加 0.2个单位D •对分类变量X 与Y ,随机变量K 2的观测值k 越大,则判断“ X 与Y 有关系”的把握程度越 小 5.若定义在R 上的函数f (x)当且仅当存在有限个非零自变量x ,使得f (-X )二f (x),则称f(x)为类偶函数，则下列函数中为类偶函数的是()23A . f(x) =cosxB . f(x)二 sinxC . f (x)二 x -2xD . f (x)二 x -2x6.已知三个向量a , b , c 共面，且均为单位向量，ab=0，贝V |a 'b-c|的取值范围是。
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2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷 数学(理科)B卷 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合|05Axx,*|12BxNx,则AB( ) A．|13xx B．|03xx C．0,1,2,3 D．1,2,3 2.若z是复数,121izi,则zz( )
A．102 B．52 C．1 D．52 3.下列说法错误的是( ) A．回归直线过样本点的中心(,)xy B．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1 C．对分类变量X与Y,随机变量2K的观测值k越大,则判断“X与Y有关系”的把握程度越小 D．在回归直线方程0.20.8yx中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量y平均增加0.2个单位 4.函数()31xfxex(e为自然对数的底数)的图象大致是( )
5.函数()sin()fxAx(0A,0)的最小正周期为,其图象关于直线3x对称,则||的最小值为( ) A．12 B．6 C．56 D．512 6.已知三个向量a，b，c共面，且均为单位向量，0ab，则||abc的取值范围是（ ） A．21,21 B．1,2 C．2,3 D．21,1 7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）
A．48 B．54 C．64 D．60 8.已知函数()fx在(1,)上单调,且函数(2)yfx的图象关于1x对称,若数列na是公差不为0的等差数列,且5051()()fafa,则na的前100项的和为( )
A．200 B．100 C．0 D．50 9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 10.已知x，y满足约束条件20,220,220,xyxyxy若20xyk恒成立,则直线20xyk被圆22(1)(2)25xy截得的弦长的最大值为( )
A．10 B．25 C．45 D．35 11.已知过抛物线22(0)ypxp的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且3AFFB,抛物线的准线l与x轴交于点C,1AAl于点1A,若四边形1AACF的面积为
123,则准线l的方程为( )
A．2x B．22x C．2x D．1x 12.已知函数()lnfxaxex与2()lnxgxxex的图象有三个不同的公共点,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围为( ) A．ae B．1a C．ae D．3a或1a 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题p:nN，22nn，则p为． 14.程序框图如图所示,若输入0s,10n,0i,则输出的s为． 15.已知1F、2F分别为双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M为12PFF的内心，满足1212MPFMPFMFFSSS，若该双曲线的离心率为3，则（注：1MPFS、2MPFS、12MFFS分别为1MPF、2MPF、12MFF的面积）． 16.已知数列na中,1aa,1386nnaan,若na为递增数列,则实数a的取值范围为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinsinsinCabABac. （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）点D满足2BDBC，且线段3AD，求2ac的最大值. 18.在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，60DBA，30SAD，23ADSD，4BABS.
（Ⅰ）证明：BD平面SAD； （Ⅱ）求二面角ASBC的余弦值． 19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图： （Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X，求X的分布列与数学期望； （Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a，2a，3a，4a（其中1a，2a，
3a，4a为1,2,3,4的一个排列）．若Y为两次排序偏离程度的一种描述，
1234|1||2||3||4|Yaaaa，求2Y的概率．
20.已知椭圆C：2212xy的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MFNF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．
（Ⅰ）求MFN的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E，O，D三点共线. 21.已知函数2()1ln(1)fxxax，aR． （Ⅰ）若函数()fx为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数()fx存在两个极值点1x，2x，且12xx，证明：1221()()fxfxxx． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系，将曲线1C上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C的极坐标方程为2． （Ⅰ）求曲线2C的参数方程； （Ⅱ）过原点O且关于y轴对称的两条直线1l与2l分别交曲线2C于A、C和B、D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线1l的普通方程． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|24|||fxxxa．
（Ⅰ）当2a时，()fx的最小值为1，求实数a的值； （Ⅱ）当()|4|fxxa时，求x的取值范围． 2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B卷答案 一、选择题 1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题 13.0nN，0202nn 14.1024 15.13 16.7a 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sinsinsinCabABac，由正弦定理得cababac， ∴()()()cacabab， 即222acbac， 又∵2222cosacbacB， ∴1cos2B， ∵(0,)B，∴3B． （Ⅱ）在ABC中由余弦定理知：222(2)22cos603caac， ∴2(2)932acac， ∵ 222()2acac， ∴223(2)9(2)4acac，即2(2)36ac，当且仅当2ac，即32a，3c时取等号， 所以2ac的最大值为6． 18.（Ⅰ）证明：在ABD中，sinsinABADADBDBA，由已知60DBA，23AD，4BA，
解得sin1ADB，所以90ADB，即ADBD，可求得2BD． 在SBD中，
∵23SD,4BS,2BD, ∴222DBSDBS,∴SDBD, ∵BD平面SAD,SDADD,∴BD平面SAD． （Ⅱ）过D作直线l垂直于AD，以D为坐标原点，以DA为x轴，以DB为y轴，以l为z轴，建立空间直角坐标系．
∵由（Ⅰ）可知，平面SAD平面ABCD，∴S在平面ABCD上的投影一定在AD上，过S作SEAD于E，则3DE，3SE，则(3,0,3)S， 易求(23,0,0)A，(0,2,0)B，(23,2,0)C， 则(3,2,3)SB，(33,0,3)SA，(3,2,3)SC，
设平面SBC的法向量1(,,)nxyz，3230,3230,xyzxyz解得1(0,3,2)n． 同理可求得平面SAB的法向量2(1,3,3)n， ∴1212
535273cos91||||137nnnn
.
19.解：（Ⅰ）X的可能取值为：0,1,2,3,4． 4641015(0)210CPXC，134641080(1)210CCPXC，2246410
90(2)210CCPXC，