2020丰台二模数学(理)试题.doc
2020年丰台区初三二模数学试题含答案
将 5 000 000 000 用科学记数法表示为
（A） 0.5 1010
（B） 5 1010
（C） 5 109 （D） 50 108
2．为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动. 现
在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更是成为人们休闲的好去处. 下列图书
馆标志的图形中不．是．轴对称图形的是
23．某校七年级 6 个班的 180 名学生即将参加北京市中学生开放性科学实践活动送课 到校课程的学习. 学习内容包括以下 7 个领域：A.自然与环境，B.健康与安全， C.结构与机械，D.电子与控制，E.数据与信息，F.能源与材料，G.人文与历史. 为 了解学生喜欢的课程领域，学生会开展了一次调查研究，请将下面的过程补全. 收集数据 学生会计划调查 30 名学生喜欢的课程领域作为样本，下面抽样调 查的对象选择合理的是___________；（填序号） ① 选择七年级 1 班、2 班各 15 名学生作为调查对象 ② 选择机器人社团的 30 名学生作为调查对象 ③ 选择各班学号为 6 的倍数的 30 名学生作为调查对象 调查对象确定后，调查小组获得了 30 名学生喜欢的课程领域如下： A，C，D，D，G，G，F，E，B，G， C，C，G，D，B，A，G，F，F，A， G，B，F，G，E，G，A，B，G，G
D
C
（3）当 AB = 3，BE = 2 时，求线段 BG 的长．
E
A
B
28．在平面直角坐标系 xOy 中，将任意两点 Px1, y1 与 Qx2，y2 之间的“直距”定义
为： DPQ x1 x2 y1 y2 . 例如：点 M（1， 2 ），点 N（3， 5 ），则 DMN 1 3 2 (5) 5 .
丰台区2020届初三数学二模试题及答案6月
(C) 2
(D)-6
6. 一组数据1, 2, 2, 3, 5, 将这组数据中 的每一个数都加上 a(a ¥- 0)，得到一组新
数据l+a,2+a,2+a,3+a,5+a, 这两组数据的以下统计量相等的是
(A)平均数
(B)众数
(C) 中 位数
(D)方差
初三数学 第1页（共8页）
28. 过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆． 特别地， 半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆 在平面直角坐标系xOy中 ，点P(0,2). (1)已知点 A(0,1),B(l,1),C(2,2)，分别以A,B为圆心，l为半径作0A,0B，以C 为圆心，2 为半径作 0C，其中是点P和x轴的点线圆的是 (2)记点P和x轴的点线圆为 0D，如果OD与直线y =/fx + 3没有公共点 ，求OD 的半径r的取值范围； (3) 直接写出点P和直线y=kx(k ¥- 0)的最小点线圆的圆心的横坐标t的取值范围
一、 选择题（本题共16分， 每小题2分）
第1-8 题均有四个 选项，符合题意的选项只有一个．
1. 右图 是某个几何体的展开图，该几何体是
(A) 三棱柱
(B) 三棱锥
(C)圆柱
(D) 圆锥
2. 熔喷布， 俗称口罩的 “ 心脏＂， 是口罩中间的过滤层， 能过滤细菌， 阻止病菌传播．
经测最， 医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米， 将0.000156 用科学记数法
∴直线 PA，PB 为⊙O 的切线.（经 过半径的外端，并且垂直于这条半
径的直线是圆的切线）. ……5 分
18.解：原式= 4 2 2 2 4 π 3 2
2020北京丰台高三二模数学含答案
Tn = (a1 − b1) + (a2 − b2 ) + + (an − bn )
= (a1 + a2 + + an ) − (b1 + b2 + + bn )
= n(a1 + an ) − b1(1− qn )
2
1− q
= n(n + 3) + 26−n − 64 . 2
若选择条件③ q
（A）3
（B） 6
（C） 7
（D） 8
5． 设 a，b 为非零向量,则“ a ⊥ b ”是“ a +b = a − b ”的
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
6． 已知抛物线 M : x2= 2 py( p 0) 的焦点与双曲线 N : y2 − x2 = 1 的一个焦点重合，则 p = 3
集合 A, B 互为“完美加法补集”.
（Ⅰ）已知集合 A = a a = 2m +1, m N , B = b b = 2n, n N .判断 2019 和 2020 是否属于集合 A + B ，并说
明理由；
（Ⅱ）设集合 A = x x = 0 +2 22 +4 24 + +2i 22i + +2s 22s,2i = 0,1;i = 0,1, , s, s N ,
（A） 2
（B）2
（C） 2 2
（D）4
7． 已知函数 f (x) = ln(1− x) − ln(1+ x) ，则 f (x)
（A）是奇函数，且在定义域上是增函数
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2020年北京市丰台区高三数学二模试卷及参考答案
2020年北京市丰台区高三二模试卷 数 学 2020.06第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1． 集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（A ）4 （B ）6 （C ）7 （D ）82． 函数()f x =（A ）(02),（B ）[02],（C ）(0)(2)-∞+∞U ,,（D ）(0][2)-∞+∞U ,,3． 下列函数中，最小正周期为π的是（A ）1sin 2y x =（B ）1sin2y x =（C ）cos()4y x π=+（D ）12tan y x =4． 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则23a a +=（A ）3（B ）6（C ）7（D ）85． 设，a b 为非零向量,则“⊥a b ”是“+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6． 已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A（B ）2（C ）（D ）47． 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数 （B ）是奇函数，且在定义域上是减函数 （C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数 （D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（A ）233 （B ）43（C ）433（D ）239. 在△ABC 中，3AC =，7BC =，2AB =，则AB 边上的高等于（A ）23 （B ）33（C ）26 （D ）3210. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是 （A ）每场比赛的第一名得分a 为4 （B ）甲至少有一场比赛获得第二名 （C ）乙在四场比赛中没有获得过第二名 （D ）丙至少有一场比赛获得第三名第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知复数2i z =-，则z = ．12. 已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α= ．13. 双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为 .14． 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 ┈ 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 ┈干支 纪年甲子年乙丑年丙 寅年丁 卯年戊 辰年己 巳年庚 午年辛 未年壬 申年癸 酉年甲 戌年乙 亥年丙子年┈ 纪年法，2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.15．已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）；②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）如图，四边形ABCD 为正方形， MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，1MA =，2AB PB ==.（Ⅰ）求证：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值.17.（本小题共14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅰ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从Ⅰ2q =；Ⅰ12q =；Ⅰ1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查. 求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X 为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.19.（本小题共15分）已知函数1()exx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 的面积为4. 过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围.21.（本小题共14分）已知无穷集合,A B ,且,A B ⊆⊆N N ，记{},A B a b a A b B +=+∈∈，定义：满足*()A B ⊆+N 时，则称集合,A B 互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合{}21,,A a a m m ==+∈N {}2,B b b n n ==∈N .判断2019和2020是否属于集合A B +，并说明理由； （Ⅱ）设集合{}2422024222+2+2++2++2,0,1;0,1,,,N ,i s i s i A x x i s s εεεεεε==⨯⨯⨯⨯==∈L L L {}132121*132121212+2++2++2,0,11,,,N i s i s i B x x i s s εεεεε-----==⨯⨯⨯⨯==∈L L L ；.(ⅰ)求证：集合,A B 互为“完美加法补集”；（ⅱ）记()A n 和()B n 分别表示集合,A B 中不大于*()n n ∈N 的元素个数，写出满足()A n ()1B n n =+的元素n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2020北京丰台高三二模数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCDBCDBABC11．5 12．22-13．2y x =±14. 己卯；60 15. ②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为MA BC ⊥ ，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，AB BC B =I ，所以PB ⊥平面ABCD . ………5分 （Ⅱ）因为PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PB AB ⊥，PB AD ⊥. 因为四边形ABCD 为正方形， 所以AB BC ⊥.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(020)C ,,，(220)D ,,，(022)PC =-u u u r,,，(222)PD =-u u u r ,,，(201)PM =-u u u r,,.设平面PDM 的法向量为()x y z =,,u ，则00PD PM ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,u u 即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,. 令2z =，则1x =，1y =-.于是(112)=,,u . 平面PDM 的法向量为(112)=,,u . 设直线PC 与平面PDM 所成的角为θ，所以sin cos 6PC PC PC θ⋅=<>==u u u ru u u ru u u r,uu u. 所以直线PC 与平面PDM所成角的正弦值为6. ………14分17.（本小题共14分）解： （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+，且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =.所以1n a n =+. ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =.若选择条件①2q =，可得41312b b q==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--1(3)1222n n n -+=-+. ………14分若选择条件②12q =，可得41332b b q ==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--6(3)2642n n n -+=+-.若选择条件③1q =-，可得4134b b q==-，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--(3)+2(1(1))2n n n +=--.18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ，参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共246C =种，所以242104322()109152C P S C ⨯===⨯. ………4分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.02462101(0)3C C P X C ⋅===，11462108(1)15C C P X C ⋅===，20462102(2)15C C P X C ⋅===.X 的分布列为：()012315155E X =⨯+⨯+⨯=. ………11分（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化． 答案示例2：无法确定．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化． ………14分19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为1()exx f x +=，定义域R ，所以'()exxf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值. ……5分（Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g xf x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()eeex xxxx g x x x x --+=-=.由0x >得e 10x->，于是'()0g x >，故函数()g x 是[0)∞,+上的增函数.所以当(0)x ∈∞,+时，()(0)0g x g >=，即21()12f x x >-+. ………9分（Ⅲ）当12a ≤-时，由（Ⅱ）知221()121f x x ax >-+≥+，满足题意.令221()()11e xx h x f x ax ax +=--=--，1'()2(2)eexxx x ax x a h =--=-+.当102a -<<时，若1(0ln())2x a∈-，，'()0h x <，则()h x 在1[0ln()]2a-，上是减函数.所以1(0ln())2x a∈-，时，()(0)0h x h <=，不合题意.当0a ≥时'()0h x <，则()h x 在(0)∞,+上是减函数， 所以()(0)0h x h <=，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围1(]2-∞-,. ………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C ab+=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB 的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=． ………3分（Ⅱ) 设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞． ………7分（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,, 所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--.令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,.同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,.所以11(01)1y PS x -=--u u r,,22(01)1y PT x -=--u u u r,,(01)PO =-u u u r,.由,,PO PT PO PS μλ==可得：12121111y y x x λμ---=--=---,，所以111111111y kx x x λ+=+=+--．同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121k x x x x k k +=-=++,，所以 121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)1 21k k k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)． ………14分21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）由21a m =+，2b n =得2)1a b m n +=++（是奇数， 当210091a =⨯+，20=0b =⨯时，2019a b +=，所以2019A B ∈+，2020A B ∉+. ………4分（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数p 可表示为唯一一数组012i k εεεεε（，，，，，，）L L ，其中0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ， 使得1210121+2+2++2+2++20101i i k i i k i p i k k εεεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯==∈N ,;,,,,，L L L ，由于12112101210+2+2++2+2++22+2++2++221i i k i k k i i k εεεεεε+++≤⨯⨯⨯⨯⨯≤=-L L L L这种形式的自然数p 至多有12k +个，且最大数不超过121k +-.由0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ，每个i ε都有两种可能， 所以这种形式的自然数p 共有1122222k k ++⨯⨯⨯=L 14444244443个个结果.下证1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L121121+2+2++2+2++2i i k i i kεεεεεε++''''''=⨯⨯⨯⨯⨯L L 其中010101i i i k k εε===∈'N ,；,；,,,,L ，则i i εε'= 假设存在i i εε'≠中，取i 最大数为j ，则12112101210121(+2+2++2+2++2)+2+2++2+2++2()i i k i i k i i k i i k εεεεεεεεεεεε++++''''''⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-L L L L1001111001111110111111=()+()2++()2()2()+()2++()2()2(+2++2))2(122)1j j j i j j j j j jj j j j j j j εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε-------'''--⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯≥-+++=L L L L所以01≥ 不可能.综上，任意正整数p 可唯一表示为1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L 2130213(+2)(2+2+)εεεε=⨯++⨯⨯L L显然2130213(+2)(2+2+)A B εεεε⨯+∈⨯⨯∈,L L ，满足*()A B ⊆+N ，所以集合,A B 互为“完美加法补集”. ………11分（ⅱ）{}*21k n n k =-∈N,. ………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京市丰台区初三2020年统一练习-数学二模试题-参考答案和评分标准-20206.17
∴∠OGB=∠ODC=90°. F
G
B
即 OD⊥BF.
E
D
C
∴ D 为 BF 的中点.
……2 分
（2）在 Rt△COD 中，sinC＝ OD 3 , OC 5
设⊙O 的半径为 r.
∴ r 3. r5 5
∴r＝ 15 . 2
……3 分
由（1）得∠ABF =∠C,
y
4
3
2C
D
AB
E
-3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
丰台区 2020 年初三统一练习（二）
数学评分标准及参考答案
一、 选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 A
C
D
C
B
D
B
C
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9. 50
10. 0，1
1
11.
3
12. AC∥DE；内错角相等，两直线平行
13. 3
14. 1
15. ①
∴∠ADC=90°.
∴CE⊥AF.
∴四边形 ACFE 是菱形. …3 分
E
3 2x 6 x 3.
…..2 分
A1 GD
2F
3x 0 .
x 0.
……4 分
经检验， x 0 是原方程的解.
∴原方程的解是 x 0 . ……5 分
20. 解：（1） b2 4ac
m 22 8m
m2 4m 4
-1
∵-2 AC=2AB，
-3
∴-4 BE=
3
2
AD=3.
2020年北京市丰台区中考数学二模试卷-解析版
2020年北京市丰台区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图是某个几何体的展开图，该几何体是()A. 三棱柱B. 三棱锥C. 圆柱D. 圆锥2.熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为()A. 0.156×10−3B. 1.56×10−3C. 1.56×10−4D. 15.6×10−43.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是()A. a>b>cB. |b|>|a|C. b+c<0D. ab>4.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是()A. 35°B. 70°C. 85°D. 95°5.如果a2−a=6，那么代数式(a−1a )⋅a2a+1的值为()A. 12B. 6C. 2D. −66.一组数据1，2，2，3，5，将这组数据中的每一个数都加上a(a≠0)，得到一组新数据1+a，2+a，2+a，3+a，5+a，这两组数据的以下统计量相等的是()A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差7.如图，点A，B是⊙O上的定点，点P为优弧AB上的动点(不与点A，B重合)，在点P运动的过程中，以下结论正确的是()A. ∠APB的大小改变B. 点P到弦AB所在直线的距离存在最大值C. 线段PA与PB的长度之和不变D. 图中阴影部分的面积不变8.如图，抛物线y=x2−1.将该抛物线在x轴和x轴下方的部分记作C1，将C1沿x轴翻折记作C2，C1和C2构成的图形记作C3.关于图形C3，给出如下四个结论，其中错误的是()A. 图形C3恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点)B. 图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1C. 图形C3的周长大于2πD. 图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.如图，已知∠AOB，用量角器度量∠AOB的度数为______°.10.不等式组{2x>−1x≤1的所有整数解是______．11.一个不透明的盒子中装有3个黄球，6个红球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为______．12.小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，可以得到______//______，依据是______．13.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为______．14.如图，正比例函数y=kx的图象和反比例函数y=1的图x象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足为点C，D，则△AOC与△BOD的面积之和为______．15.经济学家在研究市场供求关系时，一般用纵轴表示产品单价(自变量)，而用横轴表示产品数量(因变量)，下列两条曲线分别表示某种产品数量与单价之间的供求关系，一条表示厂商希望的供应曲线，另一条表示客户希望的需求曲线，其中表示客户希望的需求曲线的是______(填入序号即可)．16.小志自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有盒装草莓、荔枝、山竹，价格依次为40元/盒、60元/盒、80元/盒．为增加销量，小志对这三种水果进行促销：一次性购买水果的总价超过100元时，超过的部分打5折，每笔订单限购3盒．顾客支付成功后，小志会得到支付款的80%作为货款．(1)顾客一笔订单购买了上述三种水果各一盒，则小志收到的货款是______元；(2)小志在两笔订单中共售出原价180元的水果，则他收到的货款最少是______元．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）)−2+|3−π|．17.计算：4sin45°−√8+(12四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；③作直线PA，PB；所以直线PA，PB为⊙O的切线．根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP为⊙M的直径，∴∠OAP=∠______=______°(______)(填推理的依据)．∴OA⊥AP，______⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB为⊙O的切线(______)(填推理的依据)．19.解分式方程：3x2−9−2x−3=1x+3．20.关于x的方程2x2+(m+2)x+m=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)请你选择一个合适的m的值，使得方程的两个根都是整数，并求此时方程的根．21.如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE=CD，连接AC，AE，过点C作CF//AE交AD的延长线于点F，连接EF．(1)求证：四边形ACFE是菱形；(2)连接BE交AD于点G.当AB=2，∠ACB=30°时，求BG的长．22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+n的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(2,1)和点B，与y轴交于点C．(1)求k的值；(2)如果AC=2AB，求一次函数的表达式．23.如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O的切线，切点为D，AE⊥CD于点E，且AE与⊙O交于点F．(1)求证：点D为BF⏜的中点；(2)如果BC=5，sinC=3，求AF的长．524.2020年3月至5月，某校开展了一系列居家阅读活动．学生利用“宅家”时光，在书海中遨游，从阅读中获得精神慰藉和自我提升，为了解学生居家阅读的情况，学校从七、八两个年级各随机抽取50名学生，进行了居家阅读情况调查、下面给出了部分数据信息：a.两个年级学生平均每周阅读时长x(单位：小时)的频数分布直方图如下(数据分成4组：0≤x<3，3≤x<6，6≤x<9，9≤x≤12)：b.七年级学生平均每周阅读时长在6≤x<9这一组的是：66777778888888888平均数中位数众数方差七年级 6.3m87.0八年级 6.077 6.3根据以上信息，回答下列问题：(1)补全图2；(2)写出表中m的值；(3)返校后，学校计划将平均每周阅读时长不低于9小时的学生授予“阅读之星”称号，小丽说：“根据频数分布直方图中的数据信息，估计七年级约有20%的学生获得该称号，八年级约有18%的学生获得该称号，所以七年级获得该称号的人数一定比八年级获得该称号的人数多．”你认为她的说法______(填入“正确”或“错误“)；(4)请你结合数据对两个年级的居家阅读情况进行评价．25.小腾的爸爸计划将一笔资金用于不超过10天的短期投资，针对这笔资金，银行专属客户经理提供了三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每一天回报30元；方案二：第一天回报8元，以后每一天比前一天多回报8元；方案三：第一天回报0.5元，以后每一天的回报是前一天的2倍．下面是小腾帮助爸爸选择方案的探究过程，请补充完整：天数12345678910方案一30303030303030303030方案二8162432404856647280方案三0.51248163264128m其中m=．(2)计算累计回报金额，设投资天数为x(单位：天)，所得累计回报金额是y(单位：)y1y2y3xx12345678910方案一306090120150180210240270300方案二8244880120168224288360440方案三0.5 1.5 3.57.515.531.563.5127.5255.5n其中．(3)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1)，(x,y2)，(x,y3)，并画出y1，y2，y3的图象；(4)结合图象，小腾给出了依据不同的天数而选择对应方案的建议：______．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+3a与y轴交于点A．(1)求点A的坐标(用含a的式子表示)；(2)求抛物线与x轴的交点坐标；(3)已知点P(a,0)，Q(0,a−2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．(1)根据题意补全图形；(2)判断△ACD的形状，并证明；(3)连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第(3)问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF=AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME．解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN=a，EN=b，用含a或b的式子表示AB，BC．……．28.过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆．特别地，半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆．在平面直角坐标系xOy中，点P(0,2)．(1)已知点A(0,1)，B(1,1)，C(2,2)，分别以A，B为圆心，1为半径作⊙A，⊙B，以C为圆心，2为半径作⊙C，其中是点P和x轴的点线圆的是______；(2)记点P和x轴的点线圆为⊙D，如果⊙D与直线y=√3x+3没有公共点，求⊙D的半径r的取值范围；(3)直接写出点P和直线y=kx(k≠0)的最小点线圆的圆心的横坐标t的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选：A．侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱．本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．2.【答案】C【解析】解：0.000156=1.56×10−4．故选：C．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】D【解析】解：由数轴上的点所表示的数可知，−4<a<−3，−1<b<0，2<c<3，因此有a<b<c，|a|>|b|，b+c>0，ab>0，故选：D．根据实数a，b，c在数轴上的对应点的位置，可以得到−4<a<−3，−1<b<0，2< c<3，进而对每一个选项进行判断即可．考查数轴表示数的意义，绝对值和符号是确定有理数的两个必要条件．4.【答案】C【解析】解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=50°，∴∠BAC=180°−60°−50°=70°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=35°．∵在△ABD中，∠BDA=180°−∠B−∠BAC．∴∠BDA=180°−60°−35°=85°故选：C．先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再根据角平分线的性质得到∠BAD的度数，最后再由三角形的内角和定理求得∠ADB的度数．本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义．5.【答案】B【解析】解：原式=a2−1a ⋅a2a+1=(a+1)(a−1)a⋅a2a+1 =a(a−1)=a2−a，∵a2−a=6，∴原式=6．故选：B．先把括号内通分，再约分得到原式=a2−a，然后利于整体代入的方法得到代数式的值．本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．6.【答案】D【解析】解：数据1，2，2，3，5的平均数为135，众数为2，中位数为2，方差为：15[(1−135)2+(2−135)2+(2−135)2+(3−135)2+(5−135)2]=4625．数据1+a，2+a，2+a，3+a，5+a的平均数为135+a，众数为2+a，中位数为2+a，方差为：15[(1+a−135−a)2+(2+a−135−a)2+(2+a−135−a)2+(3+a−135−a)2+(5+a−135−a)2]=15[(1−135)2+(2−135)2+(2−135)2+(3−135)2+(5−135)2]=4625．故选：D．可通过计算两组数据的平均数、众数、中位数、方差，比较得结论．本题考查了平均数、众数、中位数及方差．掌握求一组数据的平均数、众数、中位数、方差的方法，是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：A.无论P运动到什么位置，∠APB所对的弧为AB⏜始终不变，则∠APB的大小不改变，故A错误；B.当P运动到优弧的中点时，P点到AB的距离最大，则B选项正确；C.P点位置改变PA+PB值会发生变化，则C错误；D.P点在运动过程中，P到AB的距离会改变，则△PAB的面积会改变，而弓形AB面积不改变，于是阴影部分的面积会改变，则D错误；故选：B．根据圆周解的性质，点到直线的距离，三角形的面积进行解答便可．本题主要考查了圆的性质，点到直线距离，三角形的面积计算，扇形的面积计算，关键是掌握这些知识．8.【答案】C【解析】解：如图所示，A、图形C3恰好经过(1,0)、(−1,0)、(0,1)、(0,−1)4个整点，故正确；B、由图象可知，图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1，故正确；C、图形C3的周长小于⊙O的周长，所以图形C3的周长小于2π，故错误；D、图形C3所围成的区域的面积小于⊙O的面积，大于⊙O内接正方形的面积，所以图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π，故正确；故选：C．画出图象C3，以及以O为圆心，以1为半径的圆，再作出⊙O内接正方形，根据图象即可判断．本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．9.【答案】47【解析】解：如图所示：用量角器度量∠AOB的度数为：47°．故答案为：47．直接利用量角器得出∠AOB的度数．此题主要考查了角的概念，正确使用量角器是解题关键．10.【答案】−12<x≤1【解析】解：解不等式2x>−1，得：x>−12，则不等式组的解集为−12<x≤1，故答案为：−12<x≤1．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11.【答案】13【解析】解：∵一个不透明的盒子中装有3个黄球，6个红球，这些球除了颜色外无其他差别，∴从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为：33+6=13．故答案为：13．由于一个不透明的盒子中装有3个黄球，6个红球，这些球除了颜色外无其他差别，直接利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.【答案】AC DE内错角相等，两直线平行【解析】解：小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，可以得到AC//DE，依据是内错角相等，两直线平行．故答案为：AC，DE，内错角相等，两直线平行．根据平行线的判定方法即可解决问题．本题考查平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．13.【答案】3【解析】解：连接OC；Rt△OCE中，OC=12AB=5，CE=12CD=4；由勾股定理，得：OE=√OC2−CE2=3；即线段OE的长为3．连接OC，由垂径定理可求出CE的长度，在Rt△OCE中，根据CE和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OE的长．此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用．14.【答案】1【解析】解：由函数的对称性知，△AOC与△BOD的面积相等，由反比例函数y=1x 中k=1的意义，知△AOC的面积为12，故△AOC与△BOD的面积之和为1．由函数的对称性知，△AOC与△BOD的面积相等，由反比例函数y=1x中k=1的意义知△AOC的面积为12，即可求解．本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是正确理解y=kx中k的意义．15.【答案】②【解析】解：图①是产品单价随产品数量的增加而增加，是厂商希望的供应曲线，图②是产品单价随产品数量的增加而减小，是客户希望的需求曲线，故答案为：②．根据函数图象、结合实际意义解答．本题考查的是函数的图象，从函数图象获取正确的信息是解题的关键．16.【答案】112 128【解析】解：(1)[100+(40+60+80−100)×0.5]×80%=112(元)．故答案为：112．(2)设两次共售出x盒草莓，y盒荔枝，z盒山竹，依题意，得：40x+60y+80z=180，∴y=3−23x−43z.∵x，y，z均为非负整数，∴{x=0y=3z=0，{x=3y=1z=0，{x=1y=1z=1．(i)当x=0，y=3，z=0时，一笔订单售出2盒荔枝，另一笔订单售出1盒荔枝，∴此时小志收到的货款为[100+(60×2−100)×0.5+60]×80%=136(元)；(ii)当x=3，y=1，x=0时，分三种情况考虑：①一笔订单售出3盒草莓，另一笔订单售出1盒荔枝；②一笔订单售出2盒草莓，另一笔订单售出1盒草莓、1盒荔枝；③一笔订单售出1盒草莓，另一笔订单售出2盒草莓、1盒荔枝，按照售出方式①，小志收到的货款为[100+(40×3−100)×0.5+60]×80%=136(元)；按照售出方式②，小志收到的货款为[40×2+(40+60)]×80%=144(元)；按照售出方式③，小志收到的货款为[40+100+(40×2+60−100)×0.5]×80%= 128(元)；(iii)当x=1，y=1，z=1时，分三种情况考虑：①一笔订单售出1盒草莓、1盒荔枝，另一笔订单售出1盒山竹；②一笔订单售出1盒草莓、1盒山竹，另一笔订单售出1盒荔枝；③一笔订单售出1盒荔枝、1盒山竹，另一笔订单售出1盒草莓，按照售出方式①，小志收到的货款为[(40+60)+100]×80%=144(元)；按照售出方式②，小志收到的货款为[100+(40+80−100)×0.5+60]×80%=136(元)；按照售出方式③，小志收到的货款为[100+(60+80−100)×0.5+40]×80%=128(元)．∵128<136<144，∴小志收到的货款最少是128元．故答案为：128．(1)根据小志收到的货款=(100+超出100元的部分×0.5)×80%，即可得出结论；(2)设两次共售出x盒草莓，y盒荔枝，z盒山竹，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y，z的三元一次方程，结合x，y，z均为非负整数，即可得出x，y，z的可能值，再分各种出售方式求出小志收到的货款，比较后即可得出结论．本题考查了应用类问题以及三元一次方程的应用，解题的关键是：(1)根据促销方案，求出小志收到的货款；(2)找准等量关系，正确列出三元一次方程．17.【答案】解：4sin45°−√8+(12)−2+|3−π|=4×√22−2√2+4+π−3=2√2−2√2+4+π−3=π+1．【解析】根据绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简的计算法则进行计算即可求得结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式等知识点的运算．18.【答案】OBP90 直径所对的圆周角是直角OB过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线【解析】证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°(直径所对的圆周角是直角)．∴OA⊥AP，OB⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB为⊙O的切线(过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线)．故答案为：OBP，90，直径所对的圆周角是直角，OB，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线．根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】解：去分母得：3−2(x+3)=x−3，去括号得：3−2x−6=x−3，移项合并得：−3x=0，解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了．转化的思想，解分式方程注意要检验20.【答案】(1)证明：△=(m+2)2−4×2×m，=(m−2)2，无论m取任何实数，(m−2)2≥0，即△≥0，∴原方程总有两个实数根．(2)解：∵△=(m−2)2，由求根公式，得x1=−(m+2)+√(m−2)24，x2=−(m+2)−√(m−2)24，∴原方程的根为：x1=−1，x2=−m2，∵方程的两个根都是整数，∴取m=−2，方程的两根为x1=1，x2=−1．【解析】(1)先求出判别式△的值，再根据“△”的意义证明即可；(2)根据求根公式得出x1=−1，x2=−m2，即可求出m的值和方程的根．本题考查了求根公式和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键．21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴AF⊥CE，∵CD=DE，∴AE=AC，EF=CF，∴∠EAD=∠CAD，∵AE//CF，∴∠EAD=∠AFC，∴∠CAD=∠CFA，∴AC=CF，∴AE=EF=AC=CF，∴四边形ACFE是菱形；(2)解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCE=90°，CD=AB，∵AB=2，CD=DE，∴BC=2√3，CE=4，∴BE=√BC2+CE2=2√7，∵AB=CD=DE，∠BAE=∠EDG=90°，∠AGB=∠DGE，∴△ABG≌△DEG(AAS)，∴BG=EG，∴BG =12BE =√7． 【解析】(1)根据矩形的性质得到∠ADC =90°，求得AE =AC ，EF =CF ，根据平行线的性质得到∠EAD =∠AFC ，求得AE =EF =AC =CF ，于是得到结论；(2)如图，根据矩形的性质得到∠ABC =∠BCE =90°，CD =AB ，根据直角三角形的性质得到BC =2√3，CE =4，由勾股定理得到BE =√BC 2+CE 2=2√7，根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．22.【答案】解：(1)把点A(2,1)代入y =k x (x >0)得，1=k 2，∴k =2；(2)如图，由(1)知，反比例函数的解析式为y =2x， ∵AC =2AB ，∴AB =BC ，∴B 点的横坐标为1，∵点B 在y =2x (x >0)的图象上，∴y =2，∴B(1,2)，把A(2,1)，B(1,2)代入y =mx +n 得，{2m +n =1m +n =2， 解得：{m =−1n =3， ∴一次函数的表达式为y =−x +3．【解析】(1)把点A(2,1)代入y =k x (x >0)即可得到结论；(2)如图，由(1)知，反比例函数的解析式为y =2x ，求得B 点的横坐标为1，由于点B 在y =2x (x >0)的图象上，得到B(1,2)，把A(2,1)，B(1,2)代入y =mx +n 即可得到结论． 本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．23.【答案】(1)证明：如图，连接OD ，AD ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EC ，∵AE ⊥EC ，∴OD//AE ，∴∠ADO =∠EAD ，∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∴∠OAD =∠EAD ，∴DF⏜=DB⏜，即点D是BF⏜的中点．(2)解：过点O作OH⊥AE于H，则AH=HF.设OA=OB=OD=r，∵∠ODC=90°，∴sin∠C=ODOC，∴rr+5=35，解得r=152，∵OH⊥AE，EC⊥AE，∴OH//EC，∴∠AOH=∠C，∴sin∠AOH=sin∠C=35，∴AHAO =35，∴AH=92，∴AF=2AH=9．【解析】(1)证明OD//AE可得结论．(2)在Rt△ODC中，根据sin∠C=ODOC =35，求出半径r，再在Rt△AOH中，求出AH即可解决问题．本题考查解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．24.【答案】错误【解析】解：(1)八年级学生每周阅读时间在6≤x<9人数为：50−6−13−9=22(人)，补全的统计图如图所示：(2)将七年级学生每周阅读时间从小到大排列后处在第25、26位的两个数的平均数为6+72=6.5，即，m=6.5；(3)根据频数分布直方图中的数据估计七年级约有20%的学生获得该称号，八年级约有18%的学生获得该称号，由于不知道各个年级的人数，虽然七年级学生获得称号的比例大，也不能说七年级获得该称号的人数一定比八年级的多，因此这种说法不正确，故答案为：错误；(4)从平均数上看，七年级学生每周阅读时间要高于八年级，而七年级的方差较大，说明七年级学生阅读时间的离散程度较大，不稳定，从中位数上看，八年级的高于七年级，说明八年级学生每周阅读时间小于7小时，大约占一半，八年级的方差较小，八年级学生的阅读时间比较稳定，比较集中在某个数的附近，波动不大．(1)求出八年级学生每周阅读时间在6≤x<9的人数，即可补全频数分布直方图，(2)求出七年级学生每周阅读时间从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数，即为中位数m的值；(3)虽然七年级获得称号所占的比例较高，由于七、八年级的人数未知，也无法判断获得称号的人数多少，因此是错误的；(4)从平均数、众数、中位数、方差等方面对学生在家阅读情况进行分析判断．考查平均数、众数、中位数的意义及计算方法，理解平均数、中位数、众数的意义是正确判断的前提．25.【答案】256 511.5投资7天以内，选用方案一，投资7天到10天选用方案二，投资10天，选用方案三【解析】解：(1)由于第9天的回报金额是128元，所以，第10天的回报金额是128×2=256元，即m=256，故答案为：256；(2)由(1)知，第10天的回报金额是256元，由于第9天时，累计回报金额为255.5元，所以，第10天时，累计回报金额为255.5+256=511.5元，即n=511.5，故答案为：511.5；(3)画出函数图象如下图所示；(4)由(3)的图象得，投资7天以内，选用方案一，投资7天到10天选用方案二，投资10天，选用方案三，故答案为：投资7天以内，选用方案一，投资7天到10天选用方案二，投资10天，选用方案三．(1)根据每一天的回报是前一天的2倍，即可列式计算；(2)根据累计回报金额的计算方法列式计算即可得出结论；(3)根据(2)中的表格，描点，即可得出结论；(4)根据(3)的图象，即可得出结论．此题主要考查了函数的图象，方案问题，掌握三种方案的累计回报金额的计算方法是解本题的关键．26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2−4ax+3a与y轴交于点A，∴A的坐标为(0,3a)；(2)当y=0时．即ax2−4ax+3a=0，解得：x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)；(3)当抛物线过点Q(0,a−2)时，a=−1，∴P(−1,0)，此时，抛物线与线段PQ有一个公共点．当抛物线过点P(a,0)时，a=1或a=3(不合题意舍去)，此时，Q(0,−1)，抛物线与线段PQ有一个公共点；综上所述，当−1≤a<0或0<a<1时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．【解析】(1)根据抛物线y=ax2−4ax+3a与y轴交于点A即可直接写出点A的坐标；(2)解方程即可得到结论；(3)根据点P(a,0)，Q(0,a−2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，即可求a的取值范围．本题考查了二次函数的综合题，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是结合图象解答．27.【答案】解：(1)图形如图所示：(2)结论：△ACD是等腰直角三角形．理由：∵A，D关于CP对称，∴AD⊥CP，∠ACP=∠PCD=45°，CA=CD，∴∠ACD=90°，∴△ACD是等边三角形．(3)结论：BC+BA=√2BE．理由：延长BC至点F，使CF=AB，连接EF．∵∠ABC=∠AEC=90°，∴∠BAE+∠BCE=180°，∵∠BCE+∠ECF=180°，∴∠BAE=∠ECF，∵△ACD是等腰直角三角形，CE⊥AD，∴AE=DE，∴CE=AE=EC，∵AB=CF，∴△EAB≌△ECF(SAS)，∴BE=EF，∠AEB=∠CEF，∴∠BEF=∠AEC=90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF=√2BE，∵BF=BC+CF=BC+BA，∴BC+BA=√2BE．【解析】(1)根据要求画出图形即可．(2)结论：△ACD是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的定义判断即可．(3)结论：BC+BA=√2BE.延长BC至点F，使CF=AB，连接EF.证明△EAB≌△ECF(SAS)，推出BE=EF，∠AEB=∠CEF可得结论．本题考查作图−复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．28.【答案】⊙A，⊙C【解析】解：(1)如图1，由点线圆的定义可知：⊙A是点P和x轴的点线圆，如图2，⊙B不经过点P，故不是点P和x轴的点线圆，如图3，由点线圆的定义可知：⊙C是点P和x轴的点线圆，故答案为：⊙A，⊙C．(2)如图4，⊙D1经过点P，且与x轴和直线y=√3x+3都相切，此时⊙D1的半径r=1，如图5，⊙D2经过点P，且与x轴和直线y=√3x+3都相切，切点分别为M，N，连接D2M，D2N，D2P，过D2作D2Q⊥y轴于点Q，设D2M=r，∴D2P=D2M=r，∴OQ=D2M=r，∴PQ=r−2，∵∠MEN=60°，∴∠D2EM=30°，∴EM=√3r，∴OM=D2Q=√3r−√3．由勾股定理得，D2P2=D2Q2+QP2，即r2=(√3r−√3)2+(r−2)2．解得：r1=1(舍去)，r2=73，∴1<r<73．(3)如图6，点P和直线y=kx(k≠0)的最小点线圆的圆心E在直径为1的圆上，∵k≠0，∴x≠0，∴圆心的横坐标t的取值范围是−12≤x<0或0<x≤12．(1)由点线圆的定义画出图形可得出答案；(2)，⊙D1经过点P，且与x轴和直线y=√3x+3都相切，此时⊙D1的半径r=1，⊙D2经过点P，且与x轴和直线y=√3x+3都相切，切点分别为M，N，连接D2M，D2N，D2P，过D2作D2Q⊥y轴于点Q，设D2M=r，即得出r2=(√3r−√3)2+(r−2)2.解出r=7.可得出答案；3(3)画图可知点P和直线y=kx(k≠0)的最小点线圆的圆心的轨迹，则可得出答案．本题属于圆综合题，直线和圆的位置关系，勾股定理，一次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
北京市丰台区2020届高三下学期综合练习(二)(二模)数学试题 Word版含答案
丰台区2020年高三年级第二学期综合练习（二）数学 2020.06第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． 集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（A ）4 （B ）6 （C ）7 （D ）82． 函数()f x =（A ）(02),（B ）[02],（C ）(0)(2)-∞+∞U ,,（D ）(0][2)-∞+∞U ,,3． 下列函数中，最小正周期为π的是（A ）1sin 2y x = （B ）1sin 2y x =（C ）cos()4y x π=+（D ）12tan y x =4． 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则23a a +=（A ）3（B ）6（C ）7（D ）85． 设，a b 为非零向量,则“⊥a b ”是“+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6． 已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A（B ）2（C ）（D ）47． 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数 （B ）是奇函数，且在定义域上是减函数 （C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数 （D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为 等腰直角三角形，则该棱锥的体积为 （A ）233 （B ）43（C ）433（D ）239. 在△ABC 中，3AC =，7BC =，2AB =，则AB 边上的高等于（A ）23（B ）33（C ）26 （D ）3210. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（A ）每场比赛的第一名得分a 为4 （B ）甲至少有一场比赛获得第二名 （C ）乙在四场比赛中没有获得过第二名 （D ）丙至少有一场比赛获得第三名第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知复数2i z =-，则z = ．12. 已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α= ．13. 双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为 .14． 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：天干 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙┈地支 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子┈干支 纪年甲子年乙丑年丙 寅年丁 卯年戊 辰年己 巳年庚 午年辛 未年壬 申年癸 酉年甲 戌年乙 亥年丙 子年┈2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.15．已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）如图，四边形ABCD 为正方形， MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，1MA =，2AB PB ==.（Ⅰ）求证：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值.17.（本小题共14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从①2q =；②12q =；③1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查. 求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X 为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.19.（本小题共15分）已知函数1()exx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 的面积为4. 过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围.21.（本小题共14分）已知无穷集合,A B ,且,A B ⊆⊆N N ，记{},A B a b a A b B +=+∈∈，定义：满足*()A B ⊆+N 时，则称集合,A B 互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合{}21,,A a a m m ==+∈N {}2,B b b n n ==∈N .判断2019和2020是否属于集合A B +，并说明理由；（Ⅱ）设集合{}2422024222+2+2++2++2,0,1;0,1,,,N ,i si s i A x x i s s εεεεεε==⨯⨯⨯⨯==∈L L L{}132121*132121212+2++2++2,0,11,,,N i s i s i B x x i s s εεεεε-----==⨯⨯⨯⨯==∈L L L ；.(ⅰ)求证：集合,A B 互为“完美加法补集”；（ⅱ）记()A n 和()B n 分别表示集合,A B 中不大于*()n n ∈N 的元素个数，写出满足()A n ()1B n n =+的元素n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2020年高三年级第二学期综合练习（二）数学 参考答案及评分参考2020．06 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCDBCDBABC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．5 12．22-13．2y x =±14. 己卯；60 15. ②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为MA BC ⊥ ，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，AB BC B =I ，所以PB ⊥平面ABCD . ………5分 （Ⅱ）因为PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PB AB ⊥，PB AD ⊥. 因为四边形ABCD 为正方形， 所以AB BC ⊥.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(020)C ,,，(220)D ,,，(022)PC =-u u u r,,，(222)PD =-u u u r ,,，(201)PM =-u u u r,,.设平面PDM 的法向量为()x y z =,,u ，则00PD PM ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u ru u u r,,u u 即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,. 令2z =，则1x =，1y =-.于是(112)=,,u . 平面PDM 的法向量为(112)=,,u . 设直线PC 与平面PDM 所成的角为θ，所以sin cos 6PC PC PC θ⋅=<>==u u u ru u u ru u u r,uu u. 所以直线PC 与平面PDM所成角的正弦值为6. ………14分17.（本小题共14分）解： （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+，且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =.所以1n a n =+. ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =.若选择条件①2q =，可得41312b b q ==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--1(3)1222n n n -+=-+. ………14分若选择条件②12q =，可得41332b b q==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--6(3)2642n n n -+=+-.若选择条件③1q =-，可得4134b b q==-，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--(3)+2(1(1))2n n n +=--.18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ，参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共246C =种，所以242104322()109152C P S C ⨯===⨯. ………4分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.02462101(0)3C C P X C ⋅===，11462108(1)15C C P X C ⋅===，20462102(2)15C C P X C ⋅===.X1824()012315155E X =⨯+⨯+⨯=. ………11分（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核 达到“优”的概率发生了变化． 答案示例2：无法确定．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化． ………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为1()exx f x +=，定义域R ，所以'()e xxf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值. ………5分 （Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g x f x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()e e e x xxxx g x x x x --+=-=.由0x >得e 10x->，于是'()0g x >，故函数()g x 是[0)∞,+上的增函数.所以当(0)x ∈∞,+时，()(0)0g x g >=，即21()12f x x >-+. ………9分（Ⅲ）当12a ≤-时，由（Ⅱ）知221()121f x x ax >-+≥+，满足题意.令221()()11e x x h x f x ax ax +=--=--，1'()2(2)e e xxx x ax x a h =--=-+.当102a -<<时，若1(0ln())2x a∈-，，'()0h x <，则()h x 在1[0ln()]2a -，上是减函数.所以1(0ln())2x a∈-，时，()(0)0h x h <=，不合题意. 当0a ≥时'()0h x <，则()h x 在(0)∞,+上是减函数， 所以()(0)0h x h <=，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围1(]2-∞-,. ………15分20．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C a b +=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB 的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=． ………3分（Ⅱ) 设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k 的取值范围是)2+∞,． ………7分（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,, 所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--.令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,.同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,. 所以11(01)1y PS x -=--u u r ,,22(01)1yPT x -=--u u u r ,,(01)PO =-u u u r ,. 由,,PO PT PO PS μλ== 可得：12121111y y x x λμ---=--=---,， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--． 同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121kx x x x k k +=-=++,，所以 121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)121kk k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)．………14分 21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）由21a m =+，2b n =得2)1a b m n +=++（是奇数，当210091a =⨯+，20=0b =⨯时，2019a b +=，所以2019A B ∈+，2020A B ∉+.………4分（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数p 可表示为唯一一数组012i k εεεεε（，，，，，，）L L ，其中0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ， 使得1210121+2+2++2+2++20101i i k i i k i p i k k εεεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯==∈N ,;,,,,，L L L ， 由于12112101210+2+2++2+2++22+2++2++221i i k i k k i i k εεεεεε+++≤⨯⨯⨯⨯⨯≤=-L L L L这种形式的自然数p 至多有12k +个，且最大数不超过121k +-.由0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ，每个i ε都有两种可能， 所以这种形式的自然数p 共有1122222k k ++⨯⨯⨯=L 14444244443个个结果.下证1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L1210121+2+2++2+2++2i i k i i k εεεεεε++''''''=⨯⨯⨯⨯⨯L L 其中010101i i i k k εε===∈'N ,；,；,,,,L ，则i i εε'=假设存在i i εε'≠中，取i 最大数为j ，则12112101210121(+2+2++2+2++2)+2+2++2+2++2()i i k i i k i i k i i k εεεεεεεεεεεε++++''''''⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-L L L L 10011110011111100111111=()+()2++()2()2()+()2++()2()2(+2++2))2(122)1j j j i j j j j j j j j j j j j j εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε-------'''--⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯≥-+++=L L L L所以01≥ 不可能.综上，任意正整数p 可唯一表示为 1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L2130213(+2)(2+2+)εεεε=⨯++⨯⨯L L显然2130213(+2)(2+2+)A B εεεε⨯+∈⨯⨯∈,L L ，满足*()A B ⊆+N ，所以集合,A B 互为“完美加法补集”. ………11分（ⅱ）{}*21k n n k =-∈N,. ………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京市丰台区2020届高三第二学期综合练习(二模)数学试题 含答案
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、
酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：
天甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 ┈
干 地子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子
┈ 支 干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙 支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11. 已知复数 z = 2 − i ，则 z =
．
12. 已知直线 x + y +1 = 0 的倾斜角为 ，则 cos =
．
13.
双曲线 M
x2 : a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b 0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
.
14． 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：
9. 在△ ABC 中， AC = 3 ， BC = 7 ， AB = 2 ，则 AB 边上的高等于
（A） 2 3
（B） 3 3 2
（C） 26 2
（D） 3 2
10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四
场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 a,b, c(a b c, 且 a,b, c N) ；选手总分为各
北京市丰台区 2020 年高三年级第二学期综合练习（二）
数 学 2020.06
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1． 集合 A = x Z − 2 x 214 分）
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北京市丰台区2020年高三二模
数学（理科）
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项． 1．复数
1i
2i
-+的虚部是 (A) i -
(B) 3i 5
-
(C) –1
(D) 35
-
2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正 视图的面积为
(A)
(B)
(C) 2 (D) 4
3．由曲线1
y x =
与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316
(C) 1
ln 42
+ (D) ln41+
4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填
(A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >
5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机 取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次
数恰为3次的概率是
(A) 18125 (B)
36125 (C) 44125
(D) 81125
6．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅u u u r u u u r
(A) 7- (B) 72
-
(C)
72
(D) 7
7．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是
俯视图
(A)
(B)
(C)
(D)
8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2(23,2)A ，3(234,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形
1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为
(A) 2
(B) 4
(C) 8
(D) 16
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．
10．已知椭圆22
221(7)7
x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的
离心率为______．
11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆
于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______．
12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：
年份x 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y (%)
47
45.5
43.5
41
P
D
C
B
A
从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25y
bx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．
13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1
人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；
②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数
2
4,0,()2,0,
x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩ 的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()x
g x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
已知函数()cos sin )f x x x x =-- （Ⅰ）求()3
f π的值；
（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2
π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．
16.（本小题共13分）
某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的数学期望E ξ=22．
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．
17.（本小题共14分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º，
AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．
（Ⅰ）若P 是DF 的中点，
(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；
(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角D -AP -C
PF 的长度． P
F
E
D
C
A
B
18.（本小题共13分）
已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *
∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3
a 成等差数列．
（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n }满足2
n n n b a n
=-，证明：49n b ≤．
19.（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．
（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；
（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．
20.（本小题共13分）
设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；
（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-； （Ⅲ）若
21
1n
i
i x
==∑，证明：21
ln ln 2n
n i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。