2019-2020学年度高中数学第二章解析几何初步2
2019_2020学年高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式学案新人教B版必修2
2．4．2 空间两点的距离公式1．了解空间两点的距离的定义．2．理解空间两点的距离公式的推导思路．3．掌握空间两点的距离公式．空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是d(A，B)＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2．特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为d(O，A)＝x2＋y2＋z2．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例．( )(2)将距离公式中两点的坐标顺序互换，结果不变．( )答案：(1)√(2)√2．点P(1，2，3)到原点O的距离是( )A． 6 B． 5C．2 D． 3答案：A3．求下列两点间的距离．(1)A(1，1，0)，B(1，1，1)；(2)C(－3，1，5)，D(0，－2，3)．解：(1)d(A，B)＝(1－1)2＋(1－1)2＋(0－1)2＝1．(2)d(C，D)＝(－3－0)2＋[1－(－2)]2＋(5－3)2＝22．求两点间的距离在如图所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C′的坐标为(4，4，2)，E，F分别为BC，A′B′的中点，求|EF|的长．【解】由C′(4，4，2)知：B(4，0，0)，C(4，4，0)，A′(0，0，2)，B′(4，0，2)，由中点坐标公式得，E(4，2，0)，F(2，0，2)．所以|EF|＝(4－2)2＋(2－0)2＋(0－2)2＝23．利用空间两点的距离公式求线段长度的一般步骤在空间直角坐标系中，点A(2，3，0)关于平面xOy的对称点为A′，点B(5，1，0)关于平面yOz的对称点为B′，求A′、B′两点间的距离．解：因为点A(2，3，0)关于平面xOy的对称点为A′，所以A′(2，3，0)．因为点B(5，1，0)关于平面yOz的对称点为B′，所以B′(－5，1，0)．所以|A′B′|＝[2－(－5)]2＋(3－1)2＋(0－0)2＝72＋22＝53，所以A′、B′两点间的距离为53．利用距离公式求点的坐标(1)在z轴上求一点使得它到点A(4，5，6)与到点B(－5，0，10)的距离相等；(2)已知点P到坐标原点O的距离等于23，且它的x坐标、y坐标、z坐标均相等，求该点的坐标．【解】(1)由题意可设该点的坐标为P(0，0，z)，则|PA|＝(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z)2，|PB|＝(－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z)2．又|PA|＝|PB|，所以z＝6，所以所求点的坐标为(0，0，6)．(2)由题意可设P点的坐标为(x，y，z)．所以|OP|＝x2＋y2＋z2＝23．又x＝y＝z，所以3x2＝23．所以x＝y＝z＝2或x＝y＝z＝－2．所以该点的坐标为(2，2，2)或(－2，－2，－2)．已知点在某轴上(或者在坐标平面内)，又满足某些条件，求该点的坐标时，一般根据点所在的位置，先设出点的坐标，再由已知条件列出方程求解．在设点的坐标时，一般要根据点的特征设参数，这样不但可以减少参数，也能简化计算．点的位置与相应特征如下表：位置坐标特征 x 轴上 (x ，0，0) y 轴上 (0，y ，0) z 轴上 (0，0，z ) xOy 平面内 (x ，y ，0) yOz 平面内 (0，y ，z ) xOz 平面内(x ，0，z )已知空间中两点A (－3，－1，1)、B (－2，2，3)，在z 轴上有一点C ，它到A 、B 两点的距离相等，求点C 的坐标．解：设C 点的坐标为(0，0，z )， 则 32＋12＋(z －1)2＝ 22＋(－2)2＋(z －3)2， 即10＋(z －1)2＝8＋(z －3)2， 解得z ＝32，所以点C 的坐标为(0，0，32)．空间两点距离公式的应用在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使M 到点N (6，5，1)的距离最小． 【解】 由已知可设M (x ，1－x ，0)， 则|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2＝2(x －1)2＋51．所以当x ＝1时，|MN |min ＝51．所以xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上到点N 的距离最小的点为M (1，0，0)．本题利用空间两点的距离公式，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，分析函数即可．在空间直角坐标系中，已知△ABC 的顶点分别是A (－1，2，3)，B (2，－2，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，3．求证：△ABC 是直角三角形． 证明：d (A ，B )＝ (－1－2)2＋(2＋2)2＋(3－3)2＝5，d (A ，C )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－522＋(3－3)2 ＝102， d (B ，C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋⎝⎛⎭⎪⎫－2－522＋(3－3)2 ＝3102． 故[d (B ，C )]2＋[d (A ，C )]2＝904＋104＝25＝[d (A ，B )]2， 所以△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形．(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下，任意给定坐标的两个点之间的距离．其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．(2)求距离的步骤：①建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；②代入空间两点间的距离公式求值．对于空间几何体建立空间直角坐标系后，就把点和坐标联系起来，这样就可以把空间中的线段长、距离及位置关系等几何问题转化成代数式再用代数的方法来解决，从而借助代数中最基本最普遍的函数与方程的思想，解决几何问题，使许多复杂的几何问题迎刃而解．1．点A (2，－3，5)关于xOy 平面的对称点是A ′，则|AA ′|等于( ) A ．4 B ．6 C ．10D ．38解析：选C ．因为点A 到平面xOy 的距离为5，所以|AA ′|＝10．2．若O (0，0，0)，P (x ，y ，z )，且|OP |＝1，则x 2＋y 2＋z 2＝1表示的图形是________________．解析：由题意知，P 点满足球的定义．答案：以原点O 为球心，以1为半径的球面3．点A 与坐标原点的距离为9，且它在x 、y 、z 轴上的坐标都相等，则点A 坐标为________． 答案：(33，33，33)或(－33，－33，－33)[学生用书P131(单独成册)])[A 基础达标]1．空间直角坐标系中，点A (－3，4，0)和点B (2，－1，6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9D ．86解析：选D ．由空间两点间的距离公式可得|AB |＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86． 2．已知点A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于( )A ．534B ．532C ．532D ．132解析：选B ．AB 的中点M (2，32，3)，它到点C 的距离d (M ，C )＝ (2－0)2＋(32－1)2＋(3－0)2＝532．3．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若D (0，0，0)、A (4，0，0)、B (4，2，0)、A 1(4，0，3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9B ．29C ．5D ．2 6解析：选B ．由已知易求得C 1(0，2，3)，所以|AC 1|＝42＋22＋32＝29． 4．已知点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析：选B ．|AB |＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89， |BC |＝ (4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14， |AC |＝ (1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75， 所以|AB |2＝|BC |2＋|AC |2．所以△ABC 为直角三角形．5．一束光线自点P (1，1，1)出发，被xOy 平面反射到达点Q (3，3，6)被吸收，那么光线所经过的距离是( )A ．37B ．33C ．47D ．57解析：选D ．P 关于xOy 平面对称的点为P ′(1，1，－1)，则光线所经过的距离为 |P ′Q |＝(3－1)2＋(3－1)2＋(6＋1)2＝57．6．在空间直角坐标系中，点M (1，0，3)与N (－1，1，a )两点间的距离为6，则a ＝________．答案：2或47．已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标为________．解析：设点P (0，0，z )，由|PA |＝|PB |， 所以(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2，解得z ＝3． 答案：(0，0，3)8．点A (1－t ，1－t ，t )和B (2，t ，t )的距离的最小值为________． 解析：|AB |2＝(1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2． 当t ＝15时，|AB |2min ＝95，即|AB |min ＝355．答案：3559．已知A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，求|AB |取最小值时，A 、B 两点的坐标，并求此时的|AB |．解：由空间两点间的距离公式得|AB |＝(1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， 当x ＝87时，|AB |有最小值57＝357． 此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，227，67．10．如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是正方体对角线D 1B 的中点，点Q 在棱CC 1上．(1)当2|C 1Q |＝|QC |时，求|PQ |；(2)当点Q 在棱CC 1上移动时，求|PQ |的最小值．解：(1)由题意知点C 1(0，1，1)，点D 1(0，0，1)，点C (0，1，0)，点B (1，1，0)，点P 是体对角线D 1B 的中点，则点P (12，12，12)．因为点Q 在棱CC 1上，且2|C 1Q |＝|QC |，所以点Q 为(0，1，23)．由空间两点的距离公式，得|PQ |＝(12－0)2＋(12－1)2＋(12－23)2＝1936＝196． (2)当点Q 在棱CC 1上移动时，则点Q (0，1，a )，a ∈[0，1]．由空间两点的距离公式有|PQ |＝(12－0)2＋(12－1)2＋(12－a )2＝ (a －12)2＋12．故当a ＝12时，|PQ |取得最小值22，此时点Q (0，1，12)．[B 能力提升]11．若P (x ，2，1)到Q (1，1，2)，R (2，1，1)的距离相等，则x 的值为( ) A ．12 B ．1 C ．32D ．2解析：选B ．由(x －1)2＋(2－1)2＋(1－2)2＝(x －2)2＋(2－1)2＋(1－1)2，解得x ＝1．12．若点P (x ，y ，z )到平面xOz 与到y 轴距离相等，则P 点坐标满足的关系式为________． 解析：由题意得|y |＝x 2＋z 2即x 2＋z 2－y 2＝0． 答案：x 2＋z 2－y 2＝013．如图所示，在长方体OABC O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，E 是BC 的中点，作OD ⊥AC 于点D ，求线段B 1E 的长度及顶点O 1到点D 的距离．解：由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长方体的各个顶点的坐标分别为：O (0，0，0)、A (2，0，0)、B (2，3，0)、C (0，3，0)、O 1(0，0，2)、A 1(2，0，2)、B 1(2，3，2)、C 1(0，3，2)．因为E 是BC 的中点，所以点E 的坐标为(1，3，0)， 所以由两点间的距离公式得|B 1E |＝(2－1)2＋(3－3)2＋(2－0)2＝5． 设D (x ，y ，0)，在Rt △AOC 中， |OA |＝2，|OC |＝3，|AC |＝13， 所以|OD |＝2×313＝61313．在Rt △ODA 中， |OD |2＝x ·|OA |， 所以x ＝36132＝1813．在Rt △ODC 中，|OD |2＝y ·|OC |， 所以y ＝36133＝1213．所以点D (1813，1213，0)，由两点间的距离公式得 |O 1D |＝ (0－1813)2＋(0－1213)2＋(2－0)2＝1 144132＝228613． 14．(选做题)已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)，求：(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小？解：(1)因为面ABCD ⊥面ABEF ， 面ABCD ∩面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，BE ⊂面ABEF ，所以BE ⊥面ABCD ． 所以AB 、BC 、BE 两两垂直．所以以B 为坐标原点，分别以BA 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0．所以|MN | ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝ a 2－2a ＋1 ＝(a －22)2＋12(0<a <2)． (2)因为|MN |＝ (a －22)2＋12， 故当a ＝22时，|MN |min ＝22．。
2019_2020学年高中数学第2章解析几何初步2_1_4两条直线的交点课件北师大版必修2
由25xx＋＋34yy＝＝a2，a＋1， 得xy＝ ＝2aa－7＋ 723，，
由 2aa－7＋ 723<>00，，
得 a>－32， a<2.
∴－32<a<2.
[答案] －32，2
[引申探究] 若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第 三象限，则 a 的取值范围又如何？
[解] 由典例得交点坐标为2a＋ 7 3，a－7 2，
因为 l 过原点，所以 λ＝8. 则所求直线方程为 2x－y＝0.
[答案] B
[针对训练 3] 直线 l 经过原点，且经过另两条直线 2x＋3y ＋8＝0，x－y－1＝0 的交点，则直线 l 的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
[解析] 设所求直线方程为 2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2 ＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，
则由 2aa－7＋ 723<<00，，
得 a<－32.
解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程， 求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等 式组而求得参数的取值范围．
[针对训练 1] 若直线 l1：y＝kx＋k＋2 与 l2：y＝－2x＋4 的 交点在第一象限，则实数 k 的取值范围是( )
所以两直线的交点坐标为－35，－75. 又所求直线与直线 3x＋y－1＝0 平行，所以所求直线的斜率 为－3. 故所求直线方程为 y＋75＝－3x＋35， 即 15x＋5y＋16＝0.
[解] 解法一：解方程组x2＋x－y＋3y2－＝30＝，0，
得 xy＝ ＝－ －3575， ，
所以两直线的交点坐标为－35，－75. 又所求直线与直线 3x＋y－1＝0 平行，所以所求直线的斜率 为－3.
2019_2020学年高中数学第2章解析几何初步2_1_5平面直角坐标系中的距离公式课件北师大版必修2
[解] (1)直线 y＝34x＋14化为一般式为 3x－4y＋1＝0，由点到 直线的距离公式可得
d＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158. (2)因为直线 y＝6 与 y 轴垂直，所以点 P 到它的距离 d＝|－2 －6|＝8. (3)因为直线 x＝4 与 x 轴垂直，所以点 P 到它的距离 d＝|3－ 4|＝1.
[解] 设点 P 的坐标为(x,0)，由|PA|＝10， 得 x－32＋0－62＝10， 解得：x＝11 或 x＝－5. 所以点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0).
题型二 点到直线的距离 【典例 2】 求点 P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4. [思路导引] 利用点到直线距离公式时，注意把直线化为一 般式，对于特殊的直线，数列结合，求距离即可．
题型四 距离公式的综合应用 【典例 4】 求过点 M(－1,2)，且与点 A(2,3)，B(－4,5)距离 相等的直线 l 的方程． [思路导引] 过点 M(－1,2)的直线可以优先考虑点斜式，利 用点 A(2,3)，B(－4,5)到直线的距离相等确定斜率，注意斜率不存 在的情况，或者考虑数形结合，过 A(2,3)，B(－4,5)的中点或与过 A(2,3)，B(－4,5)两点直线平行．
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为 0，公式仍然适用． (3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中，A＝0 或 B＝0 公式也成立， 但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
∴l1 的方程为 12x－5y＋5＝0， l2 的方程为 12x－5y－60＝0. 若直线 l1，l2 的斜率不存在，则 l1 的方程为 x＝0，l2 的方程 为 x＝5， 它们之间的距离为 5，满足条件． 则满足条件的直线方程有以下两组： l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0； l1：x＝0，l2：x＝5.
2019-2020学年高中数学 第2章平面解析几何初步复习与小结教案 苏教版必修2.doc
2019-2020学年高中数学第2章平面解析几何初步复习与小结教案
苏教版必修2
教学目标：
1．复习《平面解析几何初步》的相关知识及基本应用；
2．掌握典型题型及其处理方法．
教材分析及教材内容的定位：
本章研究平面直角坐标系中直线与圆的有关知识以及空间直角坐标系，是高中知识的重点内容，也是高考的高频考点；充分体现了高中数学的坐标法方程法的解题思想．
教学重点：
《平面解析几何初步》的知识梳理和题型归类．
教学难点：
《平面解析几何初步》的重点题型的处理方法．
教学方法：
导学点拨法．
教学过程：
一、问题情境
1．情境；
2．问题：本章我们学了哪些内容？
二、学生活动
1．回顾本章所学内容；
2．在教师引导下归纳本章知识结构；
3．在教师引导下做例题和习题．
三、建构数学
1．知识分析；
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．全章知识总结；
2．题型与方法总结；
3．数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想总结．。
2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.2.2直线与圆的位置关系讲义苏教版必修2
2.2.2 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系及判断方法直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系及判断1.思考辨析(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( )(2)若直线与圆相交，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解．(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆联立消元后的一元二次方程无解．[答案](1)×(2)√(3)√2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．相交[由题意知点M(a，b)在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2<1，故直线与圆相交．]3．直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m 的值为________． 2 [由直线与圆的距离d ＝|m |2＝m ，解得m ＝2.]4．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2， 所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]思路探究：法一：利用代数法；法二：利用几何法；法三：利用直线方程(此题直线过定点(0，1))．[解] 法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x 2＋y 2＝4，∴5x 2＋4x －3＝0.判别式Δ＝42－4×5×(－3)＝76>0. ∴直线与圆相交． 法二：∵x 2＋y 2＝4， ∴圆心为(0，0)，半径r ＝2. 又∵y ＝2x ＋1，∴圆心到直线的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋12＝55<2＝r . ∴直线与圆相交．法三：由题意知，直线过定点(0，1)． 而02＋12＝1<4.所以点(0，1)在圆内，从而直线与圆相交．直线与圆位置关系的判定方法1．已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．[解] 法一：将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，(1)当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0，即－43<m <0时， 直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为C (2，1)，半径r ＝2.圆心C (2，1)到直线mx －y －m －1＝0的距离d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m2. (1)当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．数a 的值是__________．(2)已知过点(2，5)的直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为4，则直线l 的方程为__________．思路探究：(1)将圆的一般方程化为标准方程，利用弦心距、半弦长和半径构成直角三角形求解．(2)设出直线方程、利用弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形得关于斜率的方程求解，验证斜率不存在的情况．(1)－4 (2)x －2＝0或4x －3y ＋7＝0 [(1)将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4. (2)当直线斜率不存在时，x －2＝0满足题意； 当直线斜率存在时，设方程为y －5＝k (x －2)， 即kx －y －2k ＋5＝0.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，因为直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为4，所以25－⎝ ⎛⎭⎪⎫|k －2－2k ＋5|k 2＋12＝4，所以k ＝43，所以直线l 的方程为4x －3y ＋7＝0. 综上所述，直线l 的方程为x －2＝0或4x －3y ＋7＝0.]解决与圆有关的弦长问题时，多采用几何法，即在弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形中求解．2．过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短的弦长为________． 22 [最短的弦为过点(3，1)且与圆心(2，2)和点(3，1)连线的垂直的弦， 弦长l ＝24－（3－2）2－（1－2）2＝2 2.]1．求过点P (3，4)的圆C ：x 2＋y 2＝25的切线方程．[提示] ∵点P (3，4)在圆上，∴切点为P ，设切线斜率为k . 则k ·k PC ＝－1，∴k ＝－3－04－0＝－34.切线方程为y －4＝－34(x －3)，即3x ＋4y －25＝0.2．求过点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－5，52的圆x 2＋y 2＝25的切线方程．[提示] ∵(－5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522>25，∴点Q 在圆外． 若所求直线斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y －52＝k [x －(－5)]，即kx －y ＋5k ＋52＝0.因圆心C (0，0)到切线的距离等于半径5，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k ＋52k 2＋1＝5，∴k ＝34.故所求切线方程为34x －y ＋154＋52＝0，即3x －4y ＋25＝0. 若所求直线斜率不存在，则直线方程为x ＝－5，圆心C (0，0)到x ＝－5的距离为5，符合题意． 综上，过点Q 的切线方程为x ＋5＝0或3x －4y ＋25＝0. 【例3】 已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1. (1)过点A (3，2)，求圆的切线方程； (2)过点B (4，－3)，求圆的切线方程．思路探究：(1)直线和圆相切，则过圆心和切点的直线与切线垂直．(2)直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径．[解] (1)∵(3－3)2＋(2－1)2＝1， ∴A 在圆上．由题意知圆心C (3，1)，直线CA 无斜率， ∴切线斜率为0， ∴所求切线方程为y ＝2.(2)∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， ∴点B 在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3，1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0；②若切线斜率不存在，圆心C (3，1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4.综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．对于填空题可以直接利用以下两个结论：(1)当点(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上时，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)当点(x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上时，切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝13，它与斜率为－23的直线相切，求该切线的方程．[解] 设切线方程为y ＝－23x ＋b ，即2x ＋3y －3b ＝0，依题意得：|2×0＋3×0－3b |22＋32＝13， 解得b ＝±133.∴切线方程为2x ＋3y ＋13＝0或2x ＋3y －13＝0.1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)直线与圆位置关系的判断方法． (2)求圆的切线的方法．(3)求直线与圆相交时弦长的方法．3．本节课的易错点是在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜率不存在的情况．1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心D [圆心(1，－1)到直线的距离为|3×1－4×1＋12|5＝115<3，∴直线与圆相交．又圆心(1，－1)不在直线上，故选D.]2．由点P (1，3)引圆x 2＋y 2＝9的切线的长是________． 1 [点P 到原点O 的距离为PO ＝10，∵r ＝3， ∴切线长为10－9＝1.]3．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 22 [由题意知圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径长为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1＋1|2＝2，所以|AB |＝222－（2）2＝2 2.]4．已知圆x 2＋y 2＝8，定点P (4，0)，问过P 点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相切，(2)相交，(3)相离？[解] 设圆心到直线的距离为d ，过P 点的直线斜率为k ，由题意， 知斜率k 存在，则其方程为y ＝k (x －4)， 则d ＝|k ·0－0－4k |1＋k 2＝4|k |1＋k 2. (1)d ＝r ，即4|k |1＋k 2＝8，∴k 2＝1，∴k ＝±1时，直线与圆相切．(2)d <r ，即4|k |1＋k2<8，∴k 2<1，即－1<k <1时， 直线与圆相交． (3)d >r ，即4|k |1＋k2>8，∴k2>1，即k<－1或k>1时，直线与圆相离．。
2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步章末复习课件北师大版必修2
类题通法 常用待定系数法求直线方程
求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用 条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备 时要另行讨论条件不满足的情况．
[变式训练1] 将直线的方程 x－2y＋6＝0； (1)化成斜截式，并指出它的斜率与在 y 轴上的截距； (2)化成截距式，并指出它在 x 轴、y 轴上的截距． 解 (1)将原方程移项得 2y＝x＋6，两边同除以 2，得斜截式 y＝12x＋3， 因此它的斜率 k＝12，在 y 轴上的截距为 3. (2)将原方程移项得 x－2y＝－6，两边同除以－6，得截距式－x6＋3y＝1. 由方程可知，直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为－6,3.
答案
D＝－2，
代入①②，得E＝4， F＝3
D＝－18，
或E＝36， F＝67.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y＋3＝0 或 x2＋y2－18x＋36y＋67＝0.
答案
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． ∵圆心在直线 y＝－2x 上，∴b＝－2a，即圆心为(a，－2a)． 又圆与直线 x－y－1＝0 相切，且过点(2，－1)， ∴|a＋2a2－1|＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2， 即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)2，解得 a＝1 或 a＝9. ∴a＝1，b＝－2，r＝ 2或 a＝9，b＝－18，r＝ 338， 故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.
答案
当 k＝1 时，直线 l 的方程为 y＝x＋b， 把 P(8,6)代入得 6＝8＋b，解得 b＝－2， ∴直线 l 的方程为 y＝x－2，即 x－y－2＝0； 当 k＝－1 时，直线 l 的方程为 y＝－x＋b， 把 P(8,6)代入得 6＝－8＋b，解得 b＝14， ∴直线 l 的方程为 y＝－x＋14，即 x＋y－14＝0. 综上所述，直线 l 的方程为 x＋y－14＝0 或 x－y－2＝0.
2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆的一般方程练习(含解析)北师大版必修2
2．2 圆的一般方程填一填二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形(1)变形：把方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.(2)结论：①当D 2＋E 2－4F >0时，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆．②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有一组解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－D 2，y ＝－E2，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2.③当D 2＋E 2－4F <0时，方程无实数解，所以不表示任何图形．当D 2＋E 2－4F >0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程.判一判1.2．圆的一般方程和圆的标准方程可以互化．(√)3．若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.(√)4．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．(×)5．圆x 2＋y 2＋ax －2ay ＝0过原点．(√)6．圆x 2＋y 2－Dx －Ey ＋F ＝0的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.(×)7．若D 2＋E 2－4F <0，则方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形．(√)8．若直线l 将圆x 221)．(√)想一想1.提示：x 2＋y 2＋F ＝02．若二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，需满足什么条件？提示：①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4AF >0. 3．待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？提示：(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. (2)根据已知条件，建立关于D ，E ，F 的方程组． (3)解此方程组，求出D ，E ，F 的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 4．求与圆有关的轨迹问题的方法有哪些？提示：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 思考感悟：练一练1．若方程x 2＋y 2＋x －y ＋m ＝0表示的曲线是一个圆，则m 的取值范围是( )A ．m ≤12B ．m ＝12C ．m >12D ．m <12答案：D2．圆x 2＋y 2＋2x －3y ＝0的圆心坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(2,3) D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－32 答案：A 3．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43 答案：B4．圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0的周长为________． 答案：22π5．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的一般方程为________．答案：x 2＋y 2－4y ＋3＝0知识点一 二元二次方程与圆的关系1.(1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)．解析：(1)D ＝1，E ＝0，F ＝1，D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3<0，所以方程(1)不表示任何图形．(2)D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0，所以方程(2)表示点(－a,0)． 2．下列方程能表示圆吗？若能表示圆，求出圆心坐标和半径．(1)2x 2＋y 2－7x ＋5＝0；(2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋yt ＝0.解析：(1)不能表示圆，因为方程中x 2，y 2的系数不相同． (2)知识点二 求圆的一般方程3.与圆x 2A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋m ＝0，由该圆过点(1，－1)，得m ＝8，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0.答案：B4．已知圆过A (2,2)，C (3，－1)，且圆关于直线y ＝x 对称，求圆的一般方程．解析：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，9＋1＋3D －E ＋F ＝0，－D 2＝－E 2，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝1，F ＝－12.所以所求的圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋y －12＝0.知识点三 求动点的轨迹方程(或轨迹)5.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，则圆C 的圆心的轨迹是( ) A ．点 B ．直线 C ．线段 D ．圆解析：∵圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，∴(1－a )2＋(0－b )2＝1，即(a －1)2＋b 2＝1，∴圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆． 答案：D 6.如图，经过圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q .求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．解析：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.所以x 2＋2综合知识 圆的一般方程7.已知A 解析：方法一 设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.所以△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 方法二 设所求的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋2－b 2＝r 2，5－a2＋3－b2＝r 2，3－a2＋－1－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，r 2＝5.故所求的圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝5.8．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解析：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分， 故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.基础达标一、选择题1．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和4 B ．(3,2)和4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和192 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和19解析：由一般方程的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，易知圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1，半径为192.答案：C2．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( ) A ．圆内 B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外解析：先化成标准方程(x －a )2＋(y －1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0－a )2＋(0－1)2＝a 2＋1>2a ，即原点在圆外．答案：B3．若动圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝0解析：圆心M 的坐标(x ，y )应满足y ＝x 或y ＝－x ，等价于x 2－y 2＝0. 答案：D4．已知点P (2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(1,2) 解析：由题意圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，1在直线x ＋y －1＝0上，从而有－a2＋1－1＝0，所以a ＝0，所以圆C 的圆心坐标为(0,1)，故选A.答案：A5．下列四条直线中，将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：由题意，知圆心是(1,2)，将圆平分的直线必过圆心，所以将圆心的坐标代入各选项验证知选C.答案：C6．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4解析：由题知直线l 1，l 2过已知圆的圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，所以D ＋E ＝4.答案：D7．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：设圆心为C (m,0)(m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2， 整理，得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A. 答案：A 二、填空题8．圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的圆心为________，半径为________．解析：圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2其圆心为(－a,0)，半径为|a |. 答案：(－a,0) |a |9．已知圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，则a ＝________.解析：圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心C (1,4)，因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，所以d ＝|a －4＋1|a 2＋1＝1，解得a ＝43.答案：4310．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为(x 2－2x ＋1)＋(y 2＋2y ＋1)＝2，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，由题意即为在圆上找一点到线段AB 的距离最小即可，k AB ＝2－00－－2＝1，直线AB ：y －2＝x ，所以线段AB ：y ＝x ＋2(－2≤x ≤0)，圆心(1，－1)到其距离d ＝|1＋2－－1|12＋12＝22， 所以圆上某点到线段AB 的距离最小值为22－2＝2，因为|AB |＝－2－02＋0－22＝22，所以S △ABC min ＝12|AB |×2＝12×22×2＝2.答案：211．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析：由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.答案：512．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆圆心为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4m ＋22＝2m ＋1，y ＝2m2＝m ，整理得x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝0三、解答题13．判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径．(1)x 2＋y 2－x ＋14＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)；(3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆，关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4后，D 2＋E 2－4F 是否大于0，若大于0则表示圆，否则不表示圆．方法一 (1)将原方程转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝0，表示一个点，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.(2)将原方程转化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2(a ≠0)， 表示圆，圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)将原方程转化为x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，表示圆，圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.方法二 (1)因为D 2＋E 2－4F ＝(－1)2＋02－4×14＝0，所以表示一个点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. (2)因为D 2＋E 2－4F ＝4a 2＋0－0＝4a 2>0(a ≠0)，所以表示圆．又因为－D 2＝－a ，－E 2＝0，12D 2＋E 2－4F ＝12·4a 2＝|a |，所以圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)因为D 2＋E 2－4F ＝02＋(2a )2＋4＝4(1＋a )2>0， 所以表示圆．又因为－D 2＝0，－E2＝－a ，12D 2＋E 2－4F ＝1＋a 2， 所以圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.14．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，求它的外接圆的方程．解析：由题意得，等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0，－5)．当顶点坐标为(0,5)时，设三角形外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋5E ＋F ＝0，16－4D ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝－95，F ＝－16.所以圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0.当顶点坐标是(0，－5)时，同理可得圆的方程为x 2＋y 2＋95y －16＝0.综上，它的外接圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0或x 2＋y 2＋95y －16＝0.能力提升15.已知曲线C ：(1＋a )x (1)当a 取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点； (3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．解析：(1)当a ＝－1时，方程为x ＋2y ＝0，为一条直线；当a ≠－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －21＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4a 1＋a 2＝4＋16a 21＋a 2表示圆． (2)证明：方程变形为x 2＋y 2－4x ＋a (x 2＋y 2＋8y )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋8y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝165，y ＝－85.故C 过定点A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－85.(3)因为圆恒过点A ，B ，所以以AB 为直径的圆面积最小，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－45.所以21＋a ＝85，解得a ＝14.16．已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．解析：(1)方法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)． 方法二 同方法一得x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16，化简得x 2＋y 2－2x－3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．方法三 设AB 中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．设C (x ，y )，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．。
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故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
所以d＝
22－（ 3）2 ＝1.由点到直线的距离公式得d＝
|1－k（1－＋3k－2 4）|，从而k(24k＋7)＝0，
即k＝0或k＝－274，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－
a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－
此时|3－22－m|＝1，∴m＝1± 2， ∴x－y的最大值为1＋ 2，最小值为1－ 2.
(3)设PA2＋PB2＝m2，则有x2＋y2＝m22－2，m2≥2.
当C相切时，PA2＋PB2取得最值，此时
m22－2±1＝ 13，解得m2＝30±4 13.
∴PA2＋PB2的最大值为30＋4 13，最小值为30－4 13.
(2)设P(x0，y0)，由已知得|x0－2y0|＝
2 2.
又P在曲线y2－x2＝1上，从而得|yx200－－xy200＝|＝11. ，
由xy020－ －yx020＝ ＝11， ，得xy00＝ ＝－0，1.此时，圆P的半径r＝ 3.
由xy020－－yx020＝ ＝－ 1，1，得xy00＝ ＝01， . 此时，圆P的半径r＝ 3.
(1)求圆A的方程； (2)当MN＝2 19时，求直线l的方程．
[解] (1)设圆A的半径为R.由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相 切，∴R＝|－1＋54＋7|＝2 5.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意； ②当直线l与x轴不垂直时，设MN的中点为Q，直线l的方程为y ＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连结AQ，则AQ⊥MN. ∵MN＝2 19，∴AQ＝ 20－19＝1， 则由AQ＝ |kk－2＋2|1＝1，得k＝34.直线方程为3x－4y＋6＝0. 综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步章末复习学案北师大版必修2
第二章 解析几何初步知识网络构建高频考点例析考点一 直线的方程例1 直线l 过点P (8,6)，且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程． [解] 解法一：直线l 与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，必须且只需直线l 在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，故设直线l 的方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y－a＝1(a ≠0)， 当直线l 的方程为x a ＋y a＝1时， 把P (8,6)代入得8a ＋6a＝1，解得a ＝14，∴直线l 的方程为x ＋y －14＝0； 当直线l 的方程为x a ＋y－a＝1时， 把P (8,6)代入得8a －6a＝1，解得a ＝2，∴直线l 的方程为x －y －2＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 解法二：设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)， 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b k. ∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形， ∴|b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b k .∵b ≠0，∴k ＝±1.当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝8＋b ，解得b ＝－2， ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 即x －y －2＝0；当k ＝－1时，直线l 的方程为y ＝－x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝－8＋b ，解得b ＝14， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋14，即x ＋y －14＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 类题通法常用待定系数法求直线方程求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．[变式训练1] 将直线的方程x －2y ＋6＝0；(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在y 轴上的截距； (2)化成截距式，并指出它在x 轴、y 轴上的截距．解 (1)将原方程移项得2y ＝x ＋6，两边同除以2，得斜截式y ＝12x ＋3，因此它的斜率k ＝12，在y 轴上的截距为3.(2)将原方程移项得x －2y ＝－6，两边同除以－6，得截距式x －6＋y3＝1.由方程可知，直线在x 轴、y 轴上的截距分别为－6,3.考点二 直线的位置关系例2 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a 、b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1、l 2的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0， 即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a ，∴l 1的斜率也存在，a b ＝1－a ，即b ＝a1－a .故l 1和l 2的方程可分别表示为l 1：(a －1)x ＋y ＋a －a＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0. ∵原点到l 1与l 2的距离相等，∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，解得a ＝2或a ＝23. 因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.类题通法两条直线位置的判定方法两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．[变式训练2] 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值． 解 (1)若l 1∥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a a －－2×1＝0，a a 2－－6×1≠0.∴a ＝－1.∴a ＝－1时，l 1∥l 2. (2)当l 2的斜率不存在时，a ＝1. 则l 2：x ＝0，l 1：x ＋2y ＋6＝0. 显然l 1与l 2不垂直． 当l 2斜率存在时，a ≠1. 则k 2＝11－a ，k 1＝－a2. ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝11－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1.∴a ＝23.考点三 求圆的方程例3 有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程．[解] 解法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋b －2＝a －2＋b －2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254，∴圆的方程为(x －5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －922＝254.解法二：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)、B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.解法三：设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 方程为y －6＝－34(x －3)，即3x ＋4y －33＝0. 又k AB ＝6－23－5＝－2，∴k BP ＝12，∴直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴P (7,3)．∴圆心为AP 中心⎝ ⎛⎭⎪⎫5，92，半径为|AC |＝52.∴所求圆的方程为(x －5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －922＝254.类题通法求圆的方程常用的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)；(3)解出a ，b ，r (或D ，E ，F )；(4)代入圆的方程．[变式训练3] 已知圆经过点A (2，－1)，圆心在直线2x ＋y ＝0上且与直线x －y －1＝0相切，求圆的方程．解 解法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.∵圆过点A (2，－1)， ∴5＋2D －E ＋F ＝0，① 又圆心在直线2x ＋y ＝0上，∴2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，即2D ＋E ＝0.②将y ＝x －1代入圆方程得 2x 2＋(D ＋E －2)x ＋(1－E ＋F )＝0. Δ＝(D ＋E －2)2－8(1－E ＋F )＝0.③将①②代入③中，得(－D －2)2－8(1－2D －5)＝0，即D 2＋20D ＋36＝0，∴D ＝－2或D ＝－18.代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－18，E ＝36，F ＝67.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0 或x 2＋y 2－18x ＋36y ＋67＝0.解法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． ∵圆心在直线y ＝－2x 上，∴b ＝－2a ， 即圆心为(a ，－2a )．又圆与直线x －y －1＝0相切，且过点(2，－1)， ∴|a ＋2a －1|2＝r ，(2－a )2＋(－1＋2a )2＝r 2， 即(3a －1)2＝2(2－a )2＋2(－1＋2a )2， 解得a ＝1或a ＝9.∴a ＝1，b ＝－2，r ＝2或a ＝9，b ＝－18，r ＝338， 故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y ＋2)2＝2， 或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338.考点四 直线与圆、圆与圆的位置关系例4 已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点；若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] 假设存在斜率为1的直线l ，满足题意， 则OA ⊥OB ，设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y ，得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0. 所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)，③ 把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4. 类题通法开放性题的解题思路解答这类题的思路是先假设存在，再运用直线与圆相交时满足的几何性质或代数关系作转化，求出所涉及的参数，最后通过验证来说明其是否存在．[变式训练4] 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程．解 (1)当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.作示意图如图，作MC ⊥AB 于C .在Rt △MBC 中，|BC |＝3，|MB |＝2， 故|MC |＝|MB |2－|BC |2＝1，由点到直线的距离公式得|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 且|AB |＝23，所以适合题意．综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2.思想方法一、数形结合思想数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，这是数学的规律性与灵活性的有机结合，解析几何本身就是数与形的完美结合．例1 直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是( ) A ．|b |＝ 2B ．－1<b ≤1或b ＝－ 2C ．－1≤b ≤1D ．以上结论均不对[解析] 将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)．画出直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2，如下图．当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，满足|0－0＋b |2＝1，则|b |＝ 2.观察图像，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时，直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点．[答案] B二、函数与方程思想解决有关直线与圆的最值或范围问题时，常把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围．例2 试在坐标平面yOz 内的直线2y －z －1＝0上确定一点P ，使P 点到点Q (－1,0,4)的距离最小．[解] ∵P 在yOz 平面内，∴可设点P 的坐标为(0，y,2y －1)．由两点间的距离公式， 得|PQ |＝＋2＋y －2＋y －1－2＝5y 2－20y ＋26＝y －2＋6.显然当y ＝2时，|PQ |取得最小值6，这时点P 的坐标为(0,2,3)． 三、分类讨论思想分类讨论思想是数学的基本思想之一，是历年高考的重点．在用二元二次方程表示圆时，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时，都要分类讨论．例3 过点P (－1,0)，Q (0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上的截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．[解] (1)当两条平行直线的斜率都不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上的截距之差的绝对值为1，满足题意．(2)当两条平行直线的斜率都存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y ＝kx ＋2.令y ＝0，分别得x ＝－1，x ＝－2k.由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k ＝1，即k ＝1.∴两条直线的方程分别为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2， 即x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.综上可知，所求的两条直线方程分别为x ＝－1，x ＝0，或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0. 四、转化与化归思想涉及与圆有关的最值问题，可借助图形的性质，考查所给式子的几何意义，一般地： (1)形如y －bx －a的最值问题，可转化为动直线的斜率问题； (2)形如ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离问题．例4 如果实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求： (1)y x的最大值或最小值； (2)x ＋y 的最大值与最小值； (3)x －2＋y 2的最大值与最小值．[解] (1)设P (x ，y )，则点P 的轨迹就是已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝6. 而y x 的几何意义就是直线OP 的斜率，其中O 为坐标原点．设y x＝k ，则直线OP 的方程为y ＝kx .画图可知(图略)，当直线OP 与圆相切时，斜率取得最值．∵圆心C 到直线y ＝kx 的距离为|3k －3|k 2＋1，∴当|3k －3|k 2＋1＝6，即当k ＝3±22时，直线OP 与圆相切，∴y x的最大值与最小值分别是3＋22与3－2 2.(2)设x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b .画图可知(图略)，当直线y ＝－x ＋b 与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝6相切时，截距b 取得最值．∵圆心C 到直线y ＝－x ＋b 的距离为|6－b |2，∴当|6－b |2＝6，即当b ＝6±23时，直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切，∴x ＋y 的最大值与最小值分别为6＋23与6－2 3. (3)代数式x －2＋y 2的几何意义是圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝6上的点到定点(2,0)的距离．∵圆心C (3,3)与定点(2,0)的距离是－2＋32＝10，圆的半径是6，∴ x －2＋y 2的最大值是10＋6，最小值是10－ 6.。
2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.4两条直线的交点课件苏教版必修2
2．方程组的解的组数与两直线的位置关系
方程组的解 交点个数 直线的位置关系
无解 有唯一解 有无数组解
0个 1个 无数 个
平行 相交 重合
[点睛] 过两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0.l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈ R)(不包括直线 l2).
法二：因为所求直线经过直线 l1：2x＋3y－5＝0，l2：3x－2y －3＝0 的交点，故可设所求直线方程为 2x＋3y－5＋λ(3x－2y－3)＝0. 整理得(2＋3λ)x＋(3－2λ)y－5－3λ＝0.(*) 因为所求直线平行于直线 2x＋y－3＝0， 故2＋23λ＝3－12λ， 解得 λ＝47，代入(*)式，得276x＋173y－477＝0. 化简得 26x＋13y－47＝0.
交点的直线系方程，解出交点坐标即可．
3．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a 的值 为________． 答案：23
4．直线 (a＋2)x＋(1－a)y－3＝0(a∈R)始终经过一个定点，则 该定点的坐标为________．
答案：(1,1)
两直线的位置关系及交点问题
[典例] 分别判断下列直线 l1 与 l2 的位置关系，若相交，求 出它们的交点坐标．
直线经过定点问题的三种求法 (1)特值法：对直线系中的参数赋值，可得直线系中的不同 直线，联立其中两条便可求出其交点坐标，该坐标即为所求定
点．(用于客观题) (2)恒等式法：该类问题可转化为关于参数的恒等式问题，
根据恒等式的性质，由参数的系数和常数项均为零，就可以求
得该定点坐标． (3)直线系方程法：先按照参数整理，看成经过两条直线的
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——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学第二章解析几何初步2______年______月______日____________________部门[核心必知]1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点就是圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程(1)圆心为(a，b)，半径是r，圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)当圆心在原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2.3．中点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为.[问题思考]1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆心坐标是什么？半径呢？提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.2．由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和半径．ༀ1．写出下列各圆的标准方程．(1)圆心在原点，半径为8；(2)圆心在(2,3)，半径为2；(3)圆心在(2，－1)且过原点．[尝试解答] 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，∴圆的方程为x2＋y2＝64.(2)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.(3)∵圆心在(2，－1)且过原点，∴a＝2，b＝－1，r＝＝.∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．ༀ1．求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．解：(1)由两点间距离公式，得r＝＝，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝＝2，∴半径r＝.∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径r＝＝，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.ༀ2．已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)，Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？[尝试解答] 由已知得圆心坐标为C(1,4)，圆的半径r＝|P1P2|＝＝2.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8.∵(2－1)2＋(2－4)2＝5＜8，(5－1)2＋(0－4)2＝32＞8，(3－1)2＋(2－4)2＝8，∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上．判定点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系，即比较|MC|与r的关系：若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.ༀ2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．解：∵点A在圆内部，∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2，∴2a＋5＜0，∴a＜－，∴a的取值范围是.ༀ3．求圆心在直线l：2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程．[尝试解答] 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则⎩⎨⎧2a －b －3＝0，－＋－＝r2，－＋－2－＝r2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，r ＝10.∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法二：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上，线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－(x －4)，由解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.即圆心C 的坐标为(2,1)．∴r ＝|CA|＝＝.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：(1)设出圆的标准方程．(2)根据条件得关于a ，b ，r 的方程组，并解方程组得a ，b ，r 的值．(3)代入标准方程，得出结果．ༀ3．求圆心在直线5x －3y ＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程．解：设所求圆方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r2.∵圆与两坐标轴相切，∴圆心满足a －b ＝0或a ＋b ＝0，又圆心在直线5x －3y ＝8上，∴5a－3b ＝8.解方程组或得或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)．∴可得半径r ＝|a|＝4或r ＝|a|＝1.∴所求圆方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.已知实数x ，y 满足(x －2)2＋y2＝3，求x2＋y2的最大值和最小值．[巧思] x2＋y2可以看成圆(x －2)2＋y2＝3上的点到原点的距离的平方．[妙解] 方程(x －2)2＋y2＝3表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，x2＋y2表示圆上的点到原点距离的平方，由平面几何知识知在原点与圆心连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，半径为，故(x2＋y2)max ＝(2＋)2＝7＋4.(x2＋y2)min ＝(2－)2＝7－4.1．圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是( )A ．x2＋y2＝25B ．x2＋y2＝5C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25解析：选C 半径r ＝＝5，∴圆的方程是(x －3)2＋(y －4)2＝25.2．点A(1,1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4的内部，则a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜1C ．a ＜－1或a ＞1D ．a ＝±1解析：选 A 点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部⇔(1－a)2＋(1＋a)2＜4，解得－1＜a＜1. 3．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52解析：选A 设直径两端点为A(x,0)，B(0，y)，则圆心(2，－3)为直径中点，∴即∴A(4,0)，B(0，－6)．∴r＝|AB|＝×＝.∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 4．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)的圆心C到直线4x＋3y－12＝0的距离为________．解析：由圆C的方程知圆心C的坐标为C(2，－1)，再由点到直线的距离公式得：d＝＝.答案：75 5．圆心在y轴上，半径为5，且过坐标原点的圆的标准方程为________．解析：由题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝25.则将(0,0)坐标代入，得b2＝25，∴b＝±5.∴所求圆的方程为x2＋(y＋5)2＝25或x2＋(y－5)2＝25.答案：x2＋(y＋5)2＝25或x2＋(y－5)2＝25 6．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.又因为点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.(2)由解得点A的坐标为(0，－2)．因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)．所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又|AM|＝＝2.从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.一、选择题1．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，则P(3,2)( )A．是圆心B．在圆C外C．在圆C内 D．在圆C上解析：选C 由圆C的方程知圆心C(2,3)，半径r＝2，故排除A.又∵|PC|＝＝＜2＝r，∴P在圆C内部．2．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的方程是( )A ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝1B ．(x －4)2＋(y ＋3)2＝1C ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1D ．(x －3)2＋(y －4)2＝1解析：选B 对称后，圆的半径不变，只需将圆心关于x ＋y ＝0的对称点作为圆心即可．∵已知圆的圆心(3，－4)关于x ＋y ＝0的对称点(4，－3)为所求圆的圆心，∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝1.3．在方程(x －1)2＋(y ＋2)2＝m2＋9(m∈R)表示的所有圆中，面积最小的圆的圆心和半径分别是( )A ．(－1,2)，3B ．(1，－2)，3C ．(－1,2),D ．(1，－2), m2＋9解析：选B 当m ＝0时，圆的半径最小且为3，这时圆的面积最小，圆心为(1，－2)．4．方程y ＝表示的曲线是( )A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆解析：选D 由y ＝，知y≥0，两边平方移项，得x2＋y2＝9.∴原方程等价于⎩⎨⎧x2＋y2＝9，y≥0，表示圆心在原点，半径为3的圆的上半部分．5．设M 是圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上的点，则M 到3x ＋4y －2＝0的最小距离是( )A ．9B ．8C ．5D ．2解析：选D 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离d ＝＝＝5，∴所求的最小距离是5－3＝2.二、填空题6．圆心在x 轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程为____________．解析：法一：设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r2.则解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝0，r ＝5，∴所求圆的方程为(x －4)2＋y2＝5.法二：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB 的中垂线上．AB 中垂线的方程为y ＝－(x －4)，令y ＝0，得x ＝4.即圆心坐标C(4,0)，∴r ＝|CA|＝ ＝，∴所求圆的方程为(x －4)2＋y2＝5.答案：(x －4)2＋y2＝57．已知圆C1的方程(x ＋3)2＋(y －2)2＝5，圆C2与圆C1是同心圆且过点A(5,0)，则圆C2的标准方程为__________．解析：由圆C1的方程知圆心C1(－3,2)，因为C2与C1是同心圆，所以C2的圆心也为(－3,2)．可设C2的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝r2.又由C2过点A(5,0)，所以(5＋3)2＋(0－2)2＝r2，r2＝68.故圆C2的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝68.答案：(x ＋3)2＋(y －2)2＝688．设点P(x ，y)是圆x2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________．解析：理解的几何意义，即为动点P(x ，y)到定点(1,1)的距离．因为点P(x ，y)是圆x2＋(y ＋4)2＝4上的任意一点，因此表示点(1,1)与该圆上点的距离．易知点(1,1)在圆x2＋(y ＋4)2＝4外，结合图易得的最大值为＋2＝＋2.答案：＋2 三、解答题9．已知直线l 与圆C 相交于点P(1，0)和点Q(0,1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程．解：(1)PQ 的方程为x ＋y －1＝0.PQ 中点M ，kPQ ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y ＝x.(2)由条件设圆的方程为：(x －a)2＋(y －b)2＝1.由圆过P ，Q 点得：⎩⎨⎧ －＋b2＝1，a2＋－＝1，解得或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，所以圆C 方程为：x2＋y2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.10．已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)．(1)求圆C的方程；(2)当x0为何值时，圆C的面积最小，并求出此时圆C的标准方程．解：(1)由题意，得圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．∵圆C过定点P(4,2)，∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．∴r2＝2x－12x0＋20.∴圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.第2课时圆的一般方程[核心必知]1．圆的一般方程的定义当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆．(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点.(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．[问题思考]1．方程x2＋y2＋2x－2y＋3＝0是圆的一般方程吗？为什么？提示：此方程不表示圆的一般方程．∵D2＋E2－4F＝22＋(－2)2－4×3＝－4＜0.∴此方程不表示任何图形．2．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时需要具备什么条件？提示：需同时具备三个条件：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.ༀ1．判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；(4)x2＋y2＋2ax＝0. [尝试解答] (1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它表示点(－1,0)，不表示圆．(2)原方程可化为x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆心在(0，－a)，半径为的圆，标准方程为x2＋(y＋a)2＝()2.(3)原方程可化为：(x＋10)2＋y2＝－21＜0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．(4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆；②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.对形如x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．ༀ1．求下列圆的圆心和半径．(1)x2＋y2－x ＋y ＝0；(2)x2＋y2＋2ax －2ay ＋a2＝0.(a≠0)解：(1)原方程可化为2＋2＝，∴圆心坐标为，半径为.(2)原方程可化为(x ＋a)2＋(y －a)2＝a2.∴圆心坐标为(－a ，a)，半径为|a|.ༀ2．已知△ABC 三个顶点的坐标为A(1,3)，B(－1，－1)，C(－3，5)，求这个三角形外接圆的方程．[尝试解答] 法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D2＋E2－4F ＞0)，∵此圆过A 、B 、C 三点，∴解得⎩⎨⎧D ＝4，E ＝－4，F ＝－2，∴圆的方程为x2＋y2＋4x －4y －2＝0.法二：设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r2，则⎩⎨⎧－＋－＝r2， ①－1－＋－1－＝r2， ②－3－＋－＝r2. ③②－①、③－①得解得a ＝－2，b ＝2.∴r2＝10.∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10.法三：AB 的中垂线方程为y －1＝－(x －0)，BC 的中垂线方程为y －2＝(x ＋2)，联立解得圆心坐标为(－2,2)．设圆半径为r ，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10. 法四：由于kAB ＝＝2，kAC ＝＝－，∴kAB ·kAC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形，∴外接圆圆心为BC 的中点，即(－2,2)，半径r ＝|BC|＝，∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10.待定系数法是求圆的一般方程的常用方法，先设出圆的一般方程，再根据条件列出方程组求出未知数D ，E ，F ，当已知条件与圆心和半径都无关时，一般采用设圆的一般方程的方法．ༀ2．求过点A(2，－2)，B(5,3)，C(3，－1)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由题意，得解之得⎩⎨⎧D ＝8，E ＝－10，F ＝－44，所以所求圆的方程为x2＋y2＋8x －10y －44＝0.已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax －3y ＋a2＋a ＝0的外部，求a的取值范围．[错解] ∵点A 在圆外，∴a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a ＞0，∴a ＞2.[错因] 本题错解的根本原因在于没有把握住圆的一般式方程的定义．二元二次方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时，需D2＋E2－4F ＞0，所以，本题除了点在圆外的条件以外，还应注意方程表示圆这一隐含条件．[正解] ∵点A 在圆外，∴⎩⎨⎧a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a ＞0，－＋－－＋＞0，∴⎩⎨⎧a ＞2，a ＜94，即2＜a ＜，∴a 的取值范围是.1．圆x2＋y2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( )A.π B ．2π C ．2π D ．4π解析：选C 圆的方程配方后可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴圆的半径r ＝，∴周长＝2πr ＝2π.2．方程x2＋y2＋4x －2y ＋5m ＝0表示圆，则m 的范围是( )A ．0＜m ＜1B ．m ＞1C．m＜0 D．m＜1解析：选D 方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，须42＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜1. 3．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的方程为( )A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0解析：选A 由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为＝，即x＋y－3＝0. 4．以点A(2,0)为圆心，且经过点B(－1,1)的圆的一般方程是______________．解析：由题知r＝|AB|＝＝，∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10，化成一般方程为：x2＋y2－4x－6＝0.答案：x2＋y2－4x－6＝0 5．圆x2＋y2－2x－4y－11＝0关于点P(－2,1)对称的圆的方程是________．解析：由x2＋y2－2x－4y－11＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝16.圆心(1,2)关于P(－2,1)的对称点为(－5,0)所求圆的方程为(x＋5)2＋y2＝16.答案：(x＋5)2＋y2＝16 6．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的一般方程．解：设圆C 的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心C 在直线2x －y －7＝0上，∴2×－－7＝0，即D －＋7＝0，① 又∵A(0，－4)，B(0，－2)在圆上，∴⎩⎨⎧－－4E ＋F ＝0， ②－－2E ＋F ＝0， ③由①、②、③解得D ＝－4，E ＝6，F ＝8，∴圆的方程为x2＋y2－4x ＋6y ＋8＝0.一、选择题1．若圆x2＋y2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为，则a 的值为( )A ．－2或2 B.或32C ．2或0D ．－2或0解析：选 C 由圆的方程得圆心坐标为(1,2)．再由点到直线的距离公式得＝，解得a ＝2或a ＝0.2．已知圆C 的半径长为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x2＋y2－2x －3＝0B ．x2＋y2＋4x ＝0C ．x2＋y2＋2x －3＝0D ．x2＋y2－4x ＝0解析：选D 设圆心为(a,0)，且a ＞0，则(a,0)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为2，即＝2⇒3a ＋4＝±10⇒a ＝2或a ＝－(舍去)，则圆的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝22，即x2＋y2－4x ＝0.3．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A．2 B．1＋2C．2＋ D．1＋22解析：选B 圆的方程变为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d＝＝，∴所求的最大值为1＋. 4．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m等于( )A．8 B．－4C．6 D．无法确定解析：选C 因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，所以直线x－y＋3＝0过圆心，从而－＋3＝0，即m＝6. 5．圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当圆面积最大时，圆心坐标为( )A．(－1,1) B．(1，－1)C．(－1,0) D．(0，－1)解析：选D 方程变形为2＋(y＋1)2＝1－k2，∴r2＝1－k2，当k＝0时，r有最大值．∴圆心坐标为(0，－1)．二、填空题6．过点(－，－2)的直线l经过圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线l的倾斜角大小为________．解析：由x2＋y2－2y＝0，得x2＋(y－1)2＝1，∴圆心为(0,1)，∴k＝＝＝.∴直线的倾斜角为60°.答案：60°7．若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴交点为A ，B ，则以线段AB为直径的圆的一般方程为________．解析：依题意A(－4,0)，B(0,3)，∴AB 中点C 的坐标为，半径r ＝|AC|＝ ＝，∴圆的方程为(x ＋2)2＋2＝2，即x2＋y2＋4x －3y ＝0.答案：x2＋y2＋4x －3y ＝08．若点(a ＋1，a －1)在圆x2＋y2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，则a 的取值范围是________．解析：∵点(a ＋1，a －1)在圆x2＋y2－2ay －4＝0内部，∴即2a ＜2，a ＜1. 答案：(－∞，1)三、解答题9．若点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)，D(a,1)共圆，求a 的值．解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入，整理得方程组⎩⎨⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.∴圆的方程为x2＋y2－7x －3y ＋2＝0.又∵点D 在圆上，∴a2＋1－7a －3＋2＝0.∴a ＝0或a ＝7.10．求经过A(4,2)、B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，∴圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，∴圆在y轴的截距之和为y1＋y2＝－E.由题设x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2.∴D＋E＝－2.①又A(4,2)，B(－1,3)在圆上，∴16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0.③由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.第3课时直线与圆的位置关系[核心必知]直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数个2个1个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2r＜d r＝d r＞d代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ＞Δ0＝Δ0＜Δ[问题思考]1．直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r2相交时，方程组的解和的几何意义是什么？，呢？提示：该方程组的解恰好是直线与圆的交点P 、Q 的坐标，即有P(x1，y1)，Q(x2，y2)，而恰为弦PQ 的中点坐标．2．是否任意直线与圆的位置关系的判定都可以用几何法与代数法这两种方法？提示：是．几何法与代数法是从不同的方面进行判断的，几何法侧重于“形”，代数法侧重于“数”．ༀ1．判断下列直线与圆的位置关系，若有公共点求出公共点的坐标．(1)直线：x ＋y ＝0，圆：x2＋y2＋2x ＋4y －4＝0； (2)直线：y ＝x ＋5，圆：x2＋y2＋2x －4y ＋3＝0；(3)直线x ＋y ＝3，圆：x2＋y2－4x ＋2y ＋4＝0.[尝试解答] (1)圆的方程x2＋y2＋2x ＋4y －4＝0可化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心(－1，－2)，半径3.圆心到直线的距离d ＝＝<3， ∴直线与圆有两个公共点．⎩⎨⎧ x ＋y ＝0，x2＋y2＋2x ＋4y －4＝0，消去y 得x2－x －2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，∴y1＝1，y2＝－2，∴交点A(－1,1)，B(2，－2)．(2)圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，圆心(－1,2)，半径，圆心到直线的距离d＝＝，∴直线与圆相切，有一个公共点，消去y得x2＋4x＋4＝0，∴x＝－2，y＝3，∴切点(－2,3)．(3)圆的方程化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，圆心(2，－1)，半径长为1，圆心到直线的距离d＝＝>1，∴直线与圆相离．解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用代数法．ༀ1．已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？解：如图，圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d＝，圆的半径r＝.∴当d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切．∵b为直线的截距，数形结合可知，当－2＜b＜2时，直线与圆相交，当b＞2或b＜－2时，直线与圆相离.ༀ2．求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．[尝试解答] 法一：由直线l与圆C的方程，得⎩⎨⎧ 3x ＋y －6＝0，x2＋y2－2y －4＝0，消去y 得x2－3x ＋2＝0.设两交点A ，B 的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，|AB|＝－＋－＝－＋[－3x1＋6－－3x2＋＝＝＋－4x1x2]＝＝.∴弦AB 的长为.法二：圆C ：x2＋y2－2y －4＝0可化为x2＋(y －1)2＝5.其圆心坐标为C(0,1)，半径r ＝，点C(0,1)到直线l 的距离为d ＝＝，所以半弦长＝＝ ＝.所以弦长|AB|＝.1．代数法(1)将直线与圆的方程联立，解得两交点，然后利用两点间距离公式求弦长．(2)设直线的斜率为k ，直线与圆联立，消去y 后所得方程两根为x1，x2，则弦长d ＝|x2－x1|.2．几何法设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则有2＋d2＝r2，故l ＝2，即半弦长、弦心距、半径构成直线三角形，数形结合利用勾股定理得到．ༀ2．已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，(1)当m为何值时，方程C表示圆；(2)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．解：(1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m.显然5－m＞0，即m＜5时，方程C表示圆．(2)圆的方程化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m圆心C(1,2)，半径r＝.则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离d＝＝.。