第一讲：方程与多项式
高二上期数学知识点大纲
高二上期数学知识点大纲数学是一门抽象而又实用的学科，对于每个高中生来说，掌握好数学知识是至关重要的。
在高二上学期，学生将接触到一系列新的数学知识点和概念，包括代数、几何、函数、概率等方面。
本文将为大家整理总结高二上期数学知识点大纲，以便同学们更好地学习和复习。
第一部分：代数1. 多项式1.1 多项式的基本概念1.2 多项式的加减乘除运算1.3 多项式的因式分解与化简1.4 多项式的乘法公式和因式定理1.5 多项式方程的解法2. 分式2.1 分式的基本概念与性质2.2 分式的加减乘除运算2.3 分式方程的解法2.4 分式的化简与应用3. 高次方程3.1 二次方程的求解3.2 一元高次方程的求解（三次方程、四次方程等） 3.3 方程的根与系数之间的关系3.4 方程与函数的关系第二部分：几何1. 平面几何1.1 点、线、面的基本概念与性质1.2 直线与平面的关系1.3 平行线与垂直线的判定与性质1.4 三角形的分类与性质1.5 三角形的重心、外心、内心与垂心2. 向量与坐标2.1 向量的表示与运算2.2 坐标系与坐标变换2.3 点、向量与坐标的关系2.4 直线与向量的关系2.5 平面与向量的关系3. 相似与全等3.1 相似三角形的判定与性质3.2 相似三角形的应用3.3 全等三角形的判定与性质3.4 全等三角形的应用第三部分：函数1. 函数的基本概念1.1 函数的定义与性质1.2 函数的图像与性质1.3 函数的运算与复合1.4 函数的奇偶性与周期性2. 一元函数2.1 一次函数与二次函数2.2 指数函数与对数函数2.3 三角函数与反三角函数2.4 复合函数与反函数3. 函数的极限与连续性3.1 函数的极限与极限运算法则 3.2 函数的连续性与间断点3.3 导数与函数的变化率第四部分：概率与统计1. 概率的基本概念与性质1.1 随机事件与样本空间1.2 概率计算与概率性质1.3 条件概率与独立事件1.4 事件的组合与排列2. 统计与数据分析2.1 数据的收集与整理2.2 描述性统计与频率分布2.3 统计图表的绘制与分析2.4 抽样与抽样误差以上便是高二上期数学知识点大纲的整理总结。
多项式课件-新人教版
公式法
公式法是一种基于数学公式进行多项 式因式分解的方法。根据公式，我们 可以将多项式表示为几个整式的积的 形式。常用的公式包括平方差公式、 完全平方公式等。
例如，多项式$a^2 - b^2$可以分解 为$(a + b)(a - b)$，其中使用了平方 差公式。
十字相乘法
01
十字相乘法是一种通过将二次项 和常数项拆分成两个数的乘积， 然后交叉相乘得到一次项系数， 从而找到因式分解结果的方法。
02 多项式的加减法
同次多项式的加减法
同次多项式是指各个项的次数相同的 多项式，例如$2x^3 - 3x^3$。同次 多项式的加减法可以通过系数相加减 ，字母部分不变的方式进行计算。
计算方法：将同次多项式的系数进行 加减运算，例如$2x^3 - 3x^3 = (23)x^3 = -x^3$。
不同次多项式的加减法
解法
通过移项和合并同类项，将方程化为标准形式 ax+b=0，然后求解x=-b/a（当a≠0）。
3
实例
2x+5=0的解是x=-5/2。
一元二次方程的解法
01
定义
一元二次方程是只含有一个未知数，且该未知数的次数为2的方程。
02
解法
通过因式分解或配方法，将方程化为标准形式ax^2+bx+c=0，然后求
解x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
合并同类项
合并同类项是指将多项式中相同或相似项进行合并，例如 $2x^2 + 4x^2 + 6x^2$。合并同类项可以简化多项式，使 其更易于计算和理解。
计算方法：将多项式中相同或相似项的系数进行相加或相减 ，字母部分不变。例如$2x^2 + 4x^2 + 6x^2 = (2+4+6)x^2 = 12x^2$。
第一讲 多项式
第一讲 多项式一、数域的判定 1、数域的概念设P 是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P 中的数，则称P 为一个数域。
2、常见的数域有理数域Q ，实数域R 和复数域C 。
3、数域的有关结论（1）所有的数域都包含有理数域Q ，即有理数域是最小的数域；（2）在有理数域Q 与实数域R 之间存在无穷多个数域；在实数域R 与复数域C 之间不存在其他数域。
要求准确掌握数域的定义，能用定义正确判断一个数集是不是一个数域，能用定义推导数数域的性质。
例1、设P 是一个数集，有一个非零数a P ∈，且P 关于减法，除法（除数不为0）封闭，证明P 是一个数域。
例2、下列各数集是否构成数域？说明原因。
（1）{}1,P a a b Q =+∈；（2）{}2,P a b Q =+∈。
例3、证明：实数域和复数域之间不存在其他的数域。
二、一元多项式的概念 1、一元多项式的概念 形式表达式()1110n n n n f x a x a x a x a --=++++称为数域P 上文字x 的一元多项式，其中01,,,n a a a P ∈ ，n 是非负整数。
当0n a ≠时，称多项式()f x 的次数为n ，记为()()f x n ∂=或()()deg f x n =，并称n n a x 为()f x 的首项系数。
i i a x 称为()f x 的i 次项，i a 称为()f x 的i 次项系数。
当10n a a === ，00a ≠时，称多项式()f x 为零次多项式，即()()0f x ∂=；当100n a a a ==== 时，称()f x 为零多项式。
零多项式是唯一不定义次数的多项式。
注：这里多项式中的x 看作一般的文字或符号，它可以是变数（中学讲述的多项式即为如此），也可以是矩阵、线性变换等，具有更一般的意义。
这里把多项式看成一种形式上的表达式（中学数学将多项式看成一类函数），其中的“+”号并不意味着“加”， i i a x 也并不意味“乘”和“乘方”。
多项式函数与多项式方程详细解析与总结
多项式函数与多项式方程详细解析与总结多项式函数与多项式方程是高中数学中的重要内容，也是数学模型中常见的形式之一。
本文将详细解析多项式函数与多项式方程的概念、性质、求解方法等，并对其进行总结，以便读者能够全面了解和掌握这一知识点。
一、多项式函数的概念与性质多项式函数是指由常数项、各种系数和幂函数的乘积组成的函数。
其一般形式为：f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中an、an-1、...、a1、a0为常数，n为非负整数，而x为变量。
多项式函数的性质包括：1. 定义域：多项式函数在实数范围内均有定义，其定义域为一切实数。
2. 奇偶性：多项式函数的奇偶性由各项次数的奇偶性决定。
若所有项次数都为偶数，则函数为偶函数；若所有项次数都为奇数，则函数为奇函数。
3. 零点与因式分解：多项式函数的零点就是方程f(x) = 0的解。
根据因式定理，如果x-a是多项式函数的一个零点，那么(x-a)就是函数的一个因式。
二、多项式方程的概念与解法多项式方程是指将一个多项式函数与零相等的表达式。
其一般形式为：anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0，其中an、an-1、...、a1、a0为常数，n为非负整数，而x为未知数。
多项式方程的求解可以通过如下步骤进行：1. 化简与转化：将多项式方程进行化简、整理，使其成为标准形式，即将方程的各项按照幂次从高到低排列，并使最高次的系数为1。
2. 因式分解：尝试对多项式方程进行因式分解，找出其中的因式，从而得到方程的根。
根据因式定理和余式定理，可以简化求解过程。
3. 数值解法：对于无法通过因式分解得到解的多项式方程，可以利用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括二分法、牛顿法等。
三、多项式函数与多项式方程的应用多项式函数与多项式方程在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 数据拟合：多项式函数可以用来拟合实验数据或观测数据，通过确定合适的多项式函数来描述数据间的关系。
《多项式概念》课件
根的性质
多项式的根可以是实数、复数或分数，取决 于多项式的系数和指数。
根的求法
通过代入法或因式分解法等数学方法，可以 求出多项式的根。
多项式的因式分解
定义
因式分解是将一个多项式表示为几个整式的积的形式 。
因式分解的方法
包括提公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法 等。
因式分解的意义
因式分解有助于理解和分析多项式的结构，简化计算 和证明。
。
一次多项式的根（即解）是直线与$x$轴的交点，解的个数为1
03
或2。
二次多项式
01
二次多项式是只包含一个变量最高次幂为2的多项式，形如 $ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。
02
二次多项式在平面坐标系中表示一个抛物线。
03
二次多项式的根的个数最多为2个，且一定是一对共轭复数 。
多项式的最大公因式
定义
最大公因式是指两个或多个多项式中共同的因 式中次数最高的一个。
最大公因式的求法
通过辗转相除法或分组法等数学方法，可以求 出多项式的最大公因式。
最大公因式的应用
最大公因式在简化多项式、解方程和证明等领域有广泛应用。
THANKS
感谢观看
多项式的根表示与坐标轴的交点，即曲线与坐标轴的交点。
微积分性质
多项式函数的积分也是多 项式函数。
多项式函数的导数仍然是 多项式函数。
多项式函数是可微的，即 其导数存在。
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CATALOGUE
多项式的运算
多项式的运算
• 多项式是数学中一个基本概念， 通常表示为有限个单项式的代数 和。每个单项式由一个系数和一 个变量幂次相乘得到。例如，多 项式 (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) 包 含四个单项式。
多项式函数与方程
多项式函数与方程多项式函数是一种常见的数学函数形式，它由多个项的代数和构成。
在本文中，我们将探讨多项式函数的定义、性质以及与之相关的方程。
一、多项式函数的定义多项式函数可以表示为一个或多个常数与变量的代数和，其形式可以表示为：f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0。
其中，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0是常数系数，n是整数指数，x是变量。
二、多项式函数的性质1. 多项式函数的次数：多项式函数的次数由最高指数确定。
例如，f(x) = 3x^2 + 2x + 1是一个次数为2的多项式函数。
2. 多项式函数的导数和积分：多项式函数的导数仍然是一个多项式函数，其系数与原函数的系数有关。
同样地，多项式函数的不定积分也是一个多项式函数。
3. 多项式函数的图像：多项式函数的图像通常是光滑且连续的曲线。
其形状由函数的次数和系数决定。
三、多项式方程多项式方程是将多项式函数与等号连接而成的方程。
解多项式方程即求解方程等号两边相等的未知数的值。
解多项式方程的方法有很多，其中包括因式分解、配方法、求根公式等。
根据多项式方程的次数，我们可以知道方程的根的个数。
例如，一次方程有且仅有一个实根，二次方程有两个实根或零个实根。
四、多项式函数与方程的应用多项式函数与方程在数学和科学领域中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，多项式函数可以用来描述运动物体的位移、速度和加速度，进而研究物体的运动规律。
在经济学中，多项式函数可以用来建模和预测市场供需关系、企业利润等经济指标。
总结：多项式函数是由多个项的代数和构成的函数形式。
它具有次数、导数和积分等性质。
多项式方程是将多项式函数与等号连接而成的方程，用于求解方程的根。
多项式函数与方程在数学和科学领域中有着广泛的应用。
以上就是关于多项式函数与方程的简要介绍，希望对你有所帮助。
第一讲方程与多项式
第一讲.方程与多项式知识要求1.因式分解方法2.待定系数方法3．对称参引方法4.构造方法例题分析1. 解不等式(1)(2)(3)(4)24.xx x x（2009年南京大学）2.在实数范围内解方程4410+73.xx（2005年复旦大学保送生试题）相关习题（1）.已知1xy ，n 为正整数，求证：22122.nnnxy（2009年清华大学）（2）已知a 、b 为非负实数，44Mab ，且1a b ，求M 的最值.（2006年清华大学）3.设实数9k ，解方程32229270.xkxk x k（2006年复旦大学保送生）相关习题（1）.已知方程3210xpxqx 有3个实根，0p 且0q .求证：9.pq （2008年南开大学）（2）.设,,a b c R ，使得方程320xaxbx c 有3个实根.证明：如果20a b c ，则至少存在一个根在区间[0,2]中.（2013年清华大学夏令营）4.已知方程320xaxbx c 的三个根分别为a ，b ，c ，并且,a ，b ，c 是不全为零的有理数，求a ，b ，c 的值. （2005年上海交通大学）相关习题（1）.是否存在实数x ，使得tan 3x 和cot 3x 均为有理数？（2009年北京大学）（2）请证明2是一个无理数.（2008年复旦大学面试）5.设实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 满足123123122331122331123123,,min{,,}min{,,}.a a ab b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b 求证：123123max{,,}max{,,}.a a a b b b （2008年北京大学）6.（1）证明：多项式3()31p x xx 有三个实根ab c ；（2）证明：若x t 为()p x 的一个根，则22x t也是()p x 的一个根；（3）定义映射:{,,}{,,}f a b c a b c ，22tt，求()f a ，()f b ，()f c 的值.（2013年清华大学金秋营）7.给出一个整系数多项式1110()nn n n f x a xa xa x a ，使()0f x 有一个根为332．（2009年清华大学）相关习题（1）.已知1999x 是函数42()f x xbxc 的一个零点，,b c 为整数，则b c 的值是多少？（2013年清华大学夏令营）（2）.以2和312为两根的有理系数一元n 次方程的最高次数n 的最小值为（）A.2B.3C.5D.6（2013年北约）。
多项式课件
高次多项式
总结词
复杂函数关系
详细描述
高次多项式的一般形式为 a_nx^n+a_(n-1)x^(n1)+...+a_1x+a_0，其中 n>2。它描 述的函数关系比一次和二次多项式更 为复杂，可以表示各种不同的数学关 系和物理现象。
04
多项式的因式分解
因式分解的定义与性质
总结词
理解因式分解的概念和性质是掌握因 式分解方法的基础。
02
多项式的表示方法
代数表示法
代数表示法是用字母和数字的组合来表示多项式，例如： $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$。这种表示方法可以清晰 地展示多项式的各项系数和指数，方便进行代数运算和解析 。
代数表示法的优点是简洁明了，易于理解和计算。它适用于 需要精确表达多项式数学关系的情况，如数学公式、定理证 明等。
表格表示法是将多项式的系数以表格的形式呈现出来，方便进行对比和查找。这 种表示方法适用于需要展示多项式系数的详细情况，如数据统计、表格报告等。
表格表示法的优点是详细全面，能够清晰地展示多项式的各项系数。它适用于需 要精确记录多项式系数的情况，如科学实验、工程设计等。
03
多项式的分类
一次多项式
总结词：线性关系
应用数学
在应用数学中，求根公式广泛 应用于物理、工程等领域。
06
多项式的应用
在数学中的应用
代数方程
多项式是代数方程的基本 组成部分，用于表示和解 决各种数学问题。
函数
多项式可以用来表示连续 函数，有助于理解函数的 性质和图像。
微积分
多项式在微积分中用于近 似复杂函数的积分和导数 。
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第一讲：方程与多项式
()()12目的：解决自招数学考试中的“方程、多项式问题”；
并研究它的思想方法.
()一方程的根
(
)1.20121.
.1
.3
.0
.A B C D =北约的实根的个数(
)无穷多个
()(
)
()
()
2220114
11.0,1.,1.,.1,44x
x kx k x A B C D =+⎛⎫
⎛⎫+∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
卓联若关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围是
()()(
)3334
3200231,0.x x y x y y y y
-=≠<复旦证明方程的任意一组解都满足
()二一元三次方程
()22123123
121323
123
00,,.ax bx cx d a x x x b x x x a
c x x x x x x a
d x x x a +++=≠⎧
++=-⎪⎪
⎪
++=⎨⎪
⎪
=-⎪⎩
一元三次方程的韦达定理：
设一元三次方程的三次根分别是、、，则有
()()
1
2321232
313
1
2
42008,,20.4.1.0.2
x x x x x x x x x x x x x x A B C D ++==--复旦设是方程的三个根，则行列式
()32520081030,0,9.x px qx p q pq +++=>>≥南开已知方程有个实根，证明：
()()3232326201615,,333.
.1
.0
.1
.x y z x x y y z z x y z A B C D -=-=-++-北大博雅三个不同的实数满足，则等于前三个答案都不对
()三多项式与多项式的根
()()()()()
[)
(]
4321201710224241011.0,.,0.,1.,22x x m x m x m m A B C D -++-+++≥⎡⎤⎡⎫+∞-∞+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦
⎣⎭
补清华领军已知多项式恒成立，则的取值范围是
()()()()()()22017.123.
.15
.1
.2
.f x x x x x A B C D =+++---补北大自招8函数的最小值为以上答案均不对
()(
)72009.f x 清华请写出一个整系数多项式
(
)()
8201311.2
.3
.5
.6
A B C D -北约选择题
()()()()()()()2432920169343185069___.
f x x x
g x f g x x x x x a a g x =-+=++++北大自招已知，为正系数多项式，
为常数项，则的各项系数之和为
()(
)
24292016531002.13.9.5.x x x ax bx c a b c A B C D --=+++=+----北大博雅若方程的根也是方程的根，则的值为前三个答案都不对
()四方程组
()21
102007238,438xy x y yz z y xz z x =+-⎧⎪
=+-⎨⎪=+-⎩
北大.解方程组
()(
)
232
3434511201619.5.6.7.x y z x y z x y z A B C D ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩
①北大博雅方程组②的实数解组数为③前三个答案都不对
()()(
)
3332312201662.1.4.5.a b c abc a b c A B C D ⎧--=⎪⎨=+⎪⎩①
北大自招方程组的非负解有②
组组组前三个答案都不对
()222
9132008,,4
862439
x y z x y z x y z ⎧++=
⎪⎨⎪-+-=⎩同济大学.在实数范围内，求满足方程组的实数的值.
()五、综合问题
(){}{}{}{}123123123123122331122331123123123123142008,,,,,min ,,min ,,max ,,max ,,.
a a a
b b b a a a b b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b a a a b b b ++=++++=++≤≤北大设实数和满足：，若，求证：。