初等数论 第二章 不定方程

初等数论 第二章 不定方程
初等数论 第二章 不定方程

第二章 不定方程

数学中的许多问题都可以产生不定方程,如张丘建的“百鸡问题”:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,问鸡翁母雏各几何?

设鸡翁、鸡母、鸡雏各有x , y , z 只,根据题意可得下面方程

?????=++=++100

1003135z y x z y x 消去z ,可得7x +4y =100 ,于是百鸡问题就化为上述方程求非负整数解的问题。

§1 一次不定方程

都不等于零。可以假定并且不失一般性地我们,,其中式为

一次不定方程的一般形n n n n a a a n Z N a a a N x a x a x a ,,,)1(2

,,,,21212211 ≥∈=+++

有整数解。的整线性组合,即是可知节定理的倍数,由第一章第二是,则若”“。

,即则,使得

式有解,即有若”“。

件是有整数解的充分必要条的整数,是全不为零,其中不定方程)1(,,,4|),,,(||),,,(,,,)1(|),,,(2,,,212122112122112121212211n n n n n n n n n n n n a a a N d N N a a a N d x a x a x a a a a d N

x a x a x a Z x x x N a a a n a a a N x a x a x a ?'++'+'?='++'+'∈'''?≥=+++证明定理1

。,,为

的全部整数解(通解),则方程的一个整数解(特解)是不定方程,,,,设Z t t b a a y y t b a b x x c by ax y y x x c b a b a Z c b a ∈-=+==+==≠≠∈)

,(),()2()

2(,|),(00,,00002定理

,于是有的解,所以是因为c by ax y x =+0000)2(,证明

的全部整数解。表示,因此,,代入上式,得,将,也即即,,故,又于是,,得

,两边除以,得到,减去的任一解,则是设的解。是,表明)2(),(),()

,(),(),()(|)

,(1)),(,),(()(),(|),()()

,()(),(),(0)()()2(,)2()

,(),())

,(),(()),(()),((00000000000000000t b a a y y t b a b x x t b a a y y x t b a b x x t b a b x x x x b a b b a b b a a x x b a a b a b y y b a b x x b a a b a y y b x x a c by ax c y b x a y x t b a a y y t b a b x x c t b a ba b a ab c t b a a y b t b a b x a -='+='-=''+='=-'-'=-'-'-=-'=-'+-'=+='+'''-=+==-+=-++ 辗转相除。

一个特解。

求解的关键是求方程的就得到了,因此,

解,那么方程的通解也可知,只要求得一个特由定理?????→?=+?→?=+??→?=+=1)),(,),((|),(1)

,(),(),(),(),(2b a b b a a c b a y b a b x b a a b a c y b a b x b a a c by ax 法

二元一次不定方程的解 。,,因此,方程的通解为,

为从而原方程的一个特解),(其实通过观察也可得的一个整数解为

故)(,

的一个整数解。

适合求出

下面先通过辗转相除法,所以方程有整数解。因为的通解。

求Z t t y t x y x y x y x r r q b a q y x y x ∈-=+-==-==-==+?+-=--=-========+==+72004100200,1002,114742747434113341

471147100|1)4,7(10047001

010解例1

。,,,从而得到四组解:

,,故,于是,回到百鸡问题,则要求??

???===?????===?????===?????====≤

≤≥≥844128111

8781847525028,27,26,2572002500z y x z y x z y x z y x t t y x

。,因此,原方程的通解为,,从而原方程的特解为

,,的一个整数解为

故,的特解先通过辗转相除法求同解。方程,所以方程有解,且与因为的通解。求Z t t

t y t t x y x y x y x y x y x y x ∈--=-?-=--=-?-=?-=?-==-==+?+?-=?-?+?-=?+?-=-?-=?-==+=-==-3733725910781072526259252692611073710793726)372107(9378339378)3337(83348331132

433

833741

371072,

110737251073775|3)321,111(7532111100解例2

即可。通解,然后消去常数,求出各个方程的看成

中,我们可以把当然,在实际求解过程的通解。,最后得出出上面一些方程的通解通解,然后代入依次求先求出最后一个方程的有解。作方程

时,

,则当,,,先顺次求出i n n n n i n n n n t N x a t d t t d x a t d t d x a x a N d d a d d a d d a a =+=+=+===---113

333222

222111332221)1()1(|),(),(),(

多元一次不定方程的解

1000

53)83(32491000|1)5,3(3)24,9(10005249=-=+=+=-==-+z t t y x t y x z y x ,考虑方程,所以方程有解。,因为的通解。

求解例3

,,得消去,,,解得Z v u v z v u y v u x t Z v u v z v t u t y u t x ∈??

???-=+--=-+=∈?

??-=-=???--=+=,310005320001586000,3100052000383 习题:P29,1、4。

;方程的通解

补充习题:求下列不定2315206)2(1032)1(=-+=++z y x z y x

§2 勾股数

该方程的全部整数解。

组整数解,本节将求出的很多已经知道了不定方程,由此可知,我国古代,,,年)又载有刘徽九章注(。,,:上给出了方程的一组解修四、径隅五”。事实有记载:“句广三、股中已国古代的《周髀算经》的一个直角三角形。我于存在三边长为整数相当,方程的一组正整数解次不定方程本节研究一种特殊的二222222222222222222292120252471715813125263543,,z y x z y x z y x =+=+=+=+=+=+,故矛盾。要么要么,但,从而,矛盾,若全为奇数,则全为偶数,则与必然一奇一偶,否则若是偶数。因为、假定。

由它可以求得也是方程的一组解,而,则,,,令,则,称为本原解。因为若、假设。

求出它的全部正整数解零解,只需

包含零。而要求全部非,此外的每一组解都不,;,;,,。因为方程显然有解

,,、假定作一些约定:

首先对二次不定方程1442)(414141),(,3,,,,|),(1),(200000000122222222+++=++=+==''''='='===±==±=====>>>=+N N z n m y x n y m x y x y x x z y x z y x z d z y d y x d x z d d y x y x z x y z y x z y x z y x z y x 下面我们求出满足三个约定的全部整数解。

式。

满足,,,,,很显然,。

,,,,,,从而故,,,,又,矛盾,故的定义及这与,,于是,满足,则有一质数,若可得代入,

,设,因而,从而,故又,,,于是,外),则除(除不再被任何数的平方整,其中

,,,的一解,令是设。

,,,,,成公式的全部正整数解可以写,,,,不定方程)1(1),(00)2(1),(001000111),(,||1)1(|1),(1),(1),(||||1,00)1(,,)1(1),(00)

1(1),(0002222111111112111111122122121111222222111212222=>>====>>======>>>===≠=====>>===>>====>>>=b a b a ab w b v a u b a b a ab w b v a u v u w v u w v u w v u v u v u p w p p w w v u abw w w ab b a b a v u w b w a w b w a v u b a v b v u a u w v u b a b a ab w b v a u v u v u w w uv 证明引理

为奇数可知,再由或,从而,故又因,,从而,,于是,,则设,,,,,,因为一奇一偶。

是奇数,可知,由可得而且由,

,,,,,即,,,,,使得由引理,有整数),故,于是,,则(因为若,,其中都是奇数,而且

故,

,的解,由于是适合条件的不定方程设一奇一偶。

,,,,,下面公式来表示:

的全部正整数解可以用,,,,的适合条件不定方程1211),(1),(),(2|||||),(|2|2000)()()2()2(,01),(0021),(002

22,1|||)2

,2(1)2,2(22)2(,1),(|2,,)1(,1),(02|21),(0002222222222222222222222222222222====-+=/>>>+=-+>>=>>+=-===>>==-=+==-+=-+-?+===>>+=-===>>>=+d y d b a b a b a d b a d b a d z d z d y x d y x z y x b a b a ab b a y b a y b a b a b a z b a y ab x b a b a ab x b y z a y z b a d x d y d z d d y z y z y z y z y z y z x z y y x x z y x b a b a b a b a z b a y ab x x y x z y x z y x 证明定理号可以任意取。不全为零,,其中及点可以表成

单位圆周上的一切有理±+±+-±+-±+±b a b a ab b a b a b a b a b a ab ,)2,(),2(2

222222

22222推论 。

,;,;

,;,非显然解:;,;,显然解:的全部整数解。

的不定方程求395225603356631665006565222±=±=±=±=±=±=±=±=±===±==+=y x y x y x y x y x y x z y x z 解例

§3 费马问题的介绍

怀尔斯证明。

国数学家安德鲁年,费马大定理才由英到成果,但均未成功。直虽然得到了极为丰富的冲击过这一问题,,无数优秀的数学家都的情形开始,几百年来证明了年欧拉首先)。自大定理(正整数解。这就是费马没有时,出了下面猜测:当年,法国数学家费马提?==+>199531770'21637n theorem last s Fermat z y x n n n n 一个略强的结论。

成,事实上,他证明了作由费马本人完没有正整数解,这一工时,本节只证明n n n z y x n =+=4没有正整数解。

方程之最小性矛盾,因此,,这与,但,,,,得代入,

,,,可得,再由,,,,,于是,,,其中,得,代入,,,,,于是,,则得设,不等,矛盾。

,,但由,则

,,否则若,,,其中一奇一偶,,,,,,则,

必定一奇一偶,不妨设由勾股数的讨论,的最小性矛盾。

,与其中,,则

。否则若,从而推出矛盾。

,有要找出一组正整数解取得最小值,下面我们,使中,必有一组解正整数解有正整数解,则在全体(反证法)假设方程没有正整数解。

方程2440022224422222222220200222202222202220121201012121201100220222020202020002000

22000400040000000011110000244244000001),(00220021),(),(),2()()2(1),(001),()2

(

2)3(1)(4121)(4122|2|2|2|2,1),(02|2,)2(),(0)),(()),(()),((

1),(1),()1(,,,,z y x z z b a a d d d s r d s r m l d s r s m r l lm f m l m l m l d lm f y f

a b y b y f d y f b a y f d f d f c d a c a ac x c b y y y y y b b a y b b a a b a y x b a b a b a b a z b a y ab x x y x z z y x z y x z y x y y x x y x y x z z z y x z z y x z y x z y x =+=+<=≤>>>=++=>>====>>+==>>====+-==>>=====++=+=---=+==//=>>+=-==<<=+>=<=+=+证明定理

没有正整数解。

方程444z y x =+1推论 没有正整数解。

时,方程当n n n z y x n =+|42推论 注 定理的证明方法称为无穷递降法,这是费马首先提出的一个重要方法。

初等数论练习题及答案

初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27;?(2420)=_880_ 2、设a ,n 是大于1的整数,若a n -1是质数,则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ,y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数,则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程:3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解:因105 = 3?5?7, 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3), 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0,3 (mod 5), 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2,6 (mod 7), 故原同余方程有4解。 作同余方程组:x ≡b 1 (mod 3),x ≡b 2 (mod 5),x ≡b 3 (mod 7), 其中b 1 = 1,b 2 = 0,3,b 3 = 2,6, 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13,55,58,100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解? 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-)()()()(),()()()(),()())()(( )(解: 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求(127156+34)28除以111的最小非负余数。

初等数论 第二章 不定方程

第二章 不定方程 数学中的许多问题都可以产生不定方程,如张丘建的“百鸡问题”:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,问鸡翁母雏各几何? 设鸡翁、鸡母、鸡雏各有x , y , z 只,根据题意可得下面方程 ?????=++=++100 1003135z y x z y x 消去z ,可得7x +4y =100 ,于是百鸡问题就化为上述方程求非负整数解的问题。 §1 一次不定方程 都不等于零。可以假定并且不失一般性地我们,,其中式为 一次不定方程的一般形n n n n a a a n Z N a a a N x a x a x a ,,,)1(2 ,,,,21212211 ≥∈=+++ 有整数解。的整线性组合,即是可知节定理的倍数,由第一章第二是,则若”“。 ,即则,使得 式有解,即有若”“。 件是有整数解的充分必要条的整数,是全不为零,其中不定方程)1(,,,4|),,,(||),,,(,,,)1(|),,,(2,,,212122112122112121212211n n n n n n n n n n n n a a a N d N N a a a N d x a x a x a a a a d N x a x a x a Z x x x N a a a n a a a N x a x a x a ?'++'+'?='++'+'∈'''?≥=+++证明定理1 。,,为 的全部整数解(通解),则方程的一个整数解(特解)是不定方程,,,,设Z t t b a a y y t b a b x x c by ax y y x x c b a b a Z c b a ∈-=+==+==≠≠∈) ,(),()2() 2(,|),(00,,00002定理 ,于是有的解,所以是因为c by ax y x =+0000)2(,证明

初等数论 第三章 同余

第三章 同 余 §1 同余的概念及其基本性质 。,所有奇数;所有偶数,例如,。 不同余,记作:对模则称;若所得的余数不同,同余,记作:对模则称所得的余数相同,与去除两个整数,称之为模。若用设)2(mod 1)2(mod 0)7(mod 18)(mod ,)(mod ,≡≡≡≡/≡∈+a a m b a m b a m b a m b a b a m m Z 定义1。 故同余关系是等价关系;(传递性),则,、若;(对称性) ,则、若;(反身性) 、:关系,它具有下列性质同余是整数之间的一种)(mod )(mod )(mod 3)(mod )(mod 2)(mod 1m c a m c b m b a m a b m b a m a a ≡≡≡≡≡≡ 。 则,,,设。 ,,即同余的充分必要条件是对模整数)(|)()(mod ,0)(|,2121212211b a m q q m b a r r m b a m r r r mq b r mq a t mt b a b a m m b a -?-=-?=?≡<≤+=+=∈+=-证明定理1Z 。 ,则若; ,则,若)(mod )(mod )2()(mod )(mod )(mod )1(21212211m b c a m c b a m b b a a m b a m b a -≡≡++≡+≡≡性质1 。 ,则特别地,若; ,则,若)(mod )(mod )(mod )(mod )(mod 21212211m kb ka m b a m b b a a m b a m b a ≡≡≡≡≡性质2 。 ,则, ;特别地,若则 ,,,若)(mod ,,2,1,0)(mod )(mod ,,2,1)(mod )(mod 0110111111 111 111m b x b x b a x a x a n i m b a m y y B x x A k i m y x m B A n n n n n n n n i i k k i i k k k k k k k k +++≡+++=≡≡ =≡≡----∑∑ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛαααααααααααααααα定理2。,则,,,若)(mod )(mod 1),(1111m b a m b a m d d b b d a a ≡≡===性质3

4月浙江自考初等数论试题及答案解析试卷及答案解析真题

1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码:10021 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.20被-30除的余数是( ) A .-20 B .-10 C .10 D .20 2.176至545的正整数中,13的倍数的个数是( ) A .27 B .28 C .29 D .30 3.200!中末尾相继的0的个数是( ) A .49 B .50 C .51 D .52 4.从以下满足规定要求的整数中,能选取出模20的简化剩余系的是( ) A .2的倍数 B .3的倍数 C .4的倍数 D .5的倍数 5.设n 是正整数,下列选项为既约分数的是( ) A . 3144 21++n n B . 121 -+n n C .2 512+-n n D .1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.d(120)=___________。 2.314162被163除的余数是___________。 3.欧拉定理是___________。 4.同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5.不定方程10x-8y=12的通解是___________。

2 6.ο ___________)1847 365 ( = 7.[-π]=___________。 8.为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值,则整数n 应满足条件___________。 9.如果一个正整数具有21个正因数,问这个正整数最小是___________。 10.同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题,每小题10分,共40分) 1.解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2.解不定方程15x+10y+6z=19。 3.试求出所有正整数n ,使得2n -1能被7整除。 4.判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解? 四、证明题(本大题共2小题,每小题10分,共20分) 1.证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2.证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。

高中数学竞赛辅导初等数论不定方程

不定方程 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数的取值范围是受某些限制(如整数、正整数或有理数)的方程.不定方程是数论的一个重要课题,也是一个非常困难和复杂的课题. 1.几类不定方程 (1)一次不定方程 在不定方程和不定方程组中,最简单的不定方程是整系数方程 )0,0(,0≠>=++b a c by ax 通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下 定理. 定理一:二元一次不定方程c b a c by ax ,,,=+为整数.有整数解的充分必要条件是c b a |),(. 定理二:若00,,1),(y x b a 且=为①之一解,则方程①全部解为at y y bt x x -=+=00,. (t 为整数)。 (2)沛尔)(pell 方程 形如12 2 =-dy x (*d N ∈,d 不是完全平方数)的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解;又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的 解,则其的全部正整数解由111111111[()()]2)()] n n n n n n x x x y x x ?=+-?? ??=-?? (1,2,3, n =)给 出. ①只要有解),(11y x ,就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ②n n y x , 满足的关系:1(n n x y x y +=+;112 11222n n n n n n x x x x y x y y ----=-?? =-? , (3)勾股方程2 2 2 z y x =+ 这里只讨论勾股方程的正整数解,只需讨论满足1),(=y x 的解,此时易知z y x ,,实际上两两互素. 这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解,也称为本原的勾股数。容易看出y x ,一奇一偶,无妨设y 为偶数,下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。 定理三:方程2 2 2 z y x =+满足1),(=y x ,2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为 2222,2,b a z ab y b a x +==-=,其中,b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶,且

初等数论试卷模拟试题和答案

初等数论试卷一 一、 单项选择题:(1分/题×20题=20分) 1.设x 为实数,[]x 为x 的整数部分,则( ) A.[][]1x x x ≤<+; B.[][]1x x x <≤+; C.[][]1x x x ≤≤+; D.[][]1x x x <<+. 2.下列命题中不正确的是( ) A.整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数; B.整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 C.整数a 与它的绝对值有相同的倍数 D.整数a 与它的绝对值有相同的约数 3.设二元一次不定方程ax by c +=(其中,,a b c 是整数,且,a b 不全为零)有一整数解 ()00,,,x y d a b =,则此方程的一切解可表为( ) A.00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± B.00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± C.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± D.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± 4.下列各组数中不构成勾股数的是( ) A.5,12,13; B.7,24,25; C.3,4,5; D.8,16,17 5.下列推导中不正确的是( ) A.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ B.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ C.()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ D.()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ 6.模10的一个简化剩余系是( ) A.0,1,2, ,9; B.1,2,3,,10;

数学高中竞赛之初等数论2

1 4 7 10 13 … 4 9 14 19 24 … 7 14 21 28 35 … 10 19 28 37 46 … … … … … … … 定理2:不定方程x 2+y 2=z 2满足(x ,y )=1,x ,y ,z >0,2|x 的全部整数解可表示为 x=2ab ,y=a 2-b 2,z=a 2+b 2。其中a >b >0,a 、b 一奇一偶,(a ,b )=1为任意整数。 四、例题与练习 1、右表的结构为:第一行是以1为首项,3为 公差的无穷等差数列;第一列中的数与第一行 中的数对应相等;第n (n ≥2)行是公差为2n+1 的无穷等差数列。证明:⑴若N 在表中,则2N+7 不是素数;⑵若N 不在表中,则2N+7是素数。 2、证明:若正整数x 、y 使得2xy | x 2+y 2-x ,则x 是完全平方数。 3、证明:存在一个1997的整倍数,它不超过11位,且各位数字不含2,3,4,5,6,7。 4、设c 为奇自然数,且存在自然数a ≤ 13-c ,使(2a -1)2+8c 为平方数,求证:c 为合数。 5、求最大的正整数x ,使得对任意y ∈N ,有x|(1127-+y y ) 6、证明:方程3 25y x =+无整数解。 7、求方程235=-y x 的全部整数解。 8、给数集M={1,2,…,n -1}(n ≥3)中的数染色,满足⑴i 与n -i 同色;⑵有一个k ∈M ,(k ,n )=1,使得当i ≠k 时i 与|k -i|同色,求证:M 中有一色。

9、在一个圆周上标记了4个整数,规定一个方向,使每个整数都有相邻的下一个数,每一步操作是指对每一个数,同时用该数与下一个数之差来替换,即对于a 、b 、c 、d 依次用a -b 、b -c 、c -d 、d -a 来替换。问经过1996步这样的替换之后,是否可以得到4个数a 、b 、c 、d ,使得|bc -ad|、|ac -bd|、|ab -cd|都是素数。(IMO -37预选题) 10、求所有大于3的自然数n ,使得1+321n n n C C C ++整除20002(CMO - 1998) 11、有多少个正整数对x 、y ,x ≤y ,使得(x ,y )=5!和[x ,y]=50!成立?(1997年加拿大) 12、设w (n )表示自然数n 的素因数的个数,n >1。证明:存在无穷多个n ,使得w (n )<w (n+1)<w (n+2)。 13、求最小的整数n (n ≥4),满足从任意n 个不同的整数中能选出四个不同的数a 、b 、c 、d ,使a+b -c -d 可以被20整数。 14、求所有实数对(a ,b ),使对所有的正整数n 满足a[bn]=b[an],其中[x]表示不超过x 的最大整数。(IMO -39预选题)

(完整word版)初等数论练习题一(含答案)

《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b ( ). A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ,则),(b a ab +=( ). A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数( ). A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x ( ). A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ,b a ,则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的( ). A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有( ). A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3,-2,-1,0,1,2,3 B -6,-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5,6 D 0,1,2,3,4,5,6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12,15]不整除7 B (12,15)不整除7 C 7不整除(12,15) D 7不整除[12,15] 12、同余式)593(mod 4382≡x ( ). A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ,0,(,)1a b a b <<=,能写成循环小数的条件是( ). 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解,而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数,Euler 函数)(n ?表示所有( )n ,而且与n ( )的正整数的个数. 5、设b a ,整数,则),(b a ( )=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的( )数码的和能被3整除. 7、+=][x x ( ). 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.

0初等数论试卷及答案

初等数论考试试卷 一、 单项选择题:(1分/题×20题=20分) 1.设x 为实数,[]x 为x 的整数部分,则( A ) A.[][]1x x x ≤<+; B.[][]1x x x <≤+; C.[][]1x x x ≤≤+; D.[][]1x x x <<+. 2.下列命题中不正确的是( B ) A.整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数; < B.整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗】 C.整数a 与它的绝对值有相同的倍数 D.整数a 与它的绝对值有相同的约数 3.设二元一次不定方程ax by c +=(其中,,a b c 是整数,且,a b 不全为零)有一整数解 ()00,,,x y d a b =,则此方程的一切解可表为( C ) A.00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± B.00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± C.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± D.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ( 4.下列各组数中不构成勾股数的是( D ) A.5,12,13; B.7,24,25; C.3,4,5; D.8,16,17 5.下列推导中不正确的是( D ) A.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ B.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ C.()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡

初等数论第2版习题答案

第一章 §1 1 证明:n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证: )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证: b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数,因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,,由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00,由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 (y x ,为任意整数) b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证:作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间

初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第21章不定方程试题新人教版

第21章 不定方程 §21.1 二元一次不定方程 21.1.1★求不定方程2x y -=的正整数解. 解析 因为312-=,422-=,532-=,…,所以这个方程的正整数解有无数组,它们是 2, ,x n y n =+?? =? 其中n 可以取一切正整数. 21.1.2★求11157x y +=的整数解. 解析1 将方程变形得 71511 y x -= . 因为x 是整数,所以715y -应是11的倍数.由观察得02x =,01y =-是这个方程的一组整数解, 所以方程的解为 215, 111,x t y t =-?? =-+? t 为整数. 解析2 先考察11151x y +=,通过观察易得 ()()1141531?-+?=, 所以 ()()114715377?-?+??=, 可取028x =-,0 21y =.从而 2815, 2111,x t y t =--?? =+? t 为整数. 评注 如果a 、b 是互质的整数,c 是整数,且方程 ax by c += ① 有一组整数解0x 、0y .则此方程的一切整数解可以表示为 00, ,x x bt y y at =-?? =+? 其中0t =,±1,±2,±3,…. 21.1.3★求方程62290x y +=的非负整数解. 解析 因为(6,22)=2,所以方程两边同除以2得 31145x y +=. ① 由观察知,14x =,11y =-是方程 3111x y += ② 的一组整数解,从而方程①的一组整数解为

()00 454180, 45145,x y =?=??? =?-=-?? 所以方程①的一切整数解为 18011, 453.x t y t =-?? =-+? 因为要求的原方程的非负整数解,所以必有 180110,4530.t t -?? -+? ≥③ ≥④ 由于t 是整数,由③、④得15≤t ≤16,所以只有t =15,t =16两种可能. 当t =15时,x =15,0y =;当t =16时,x =4,y = 3.所以原方程的非负整数解是 15,0, x y =?? =?4, 3.x y =??=? 21.1.4★求方程719213x y +=的所有正整数解. 解析 这个方程的系数较大,用观察法去求其特殊解比较困难,碰到这种情况我们可用逐步缩小系数 的方法使系数变小,最后再用观察法求解. 用方程 719213x y +=① 的最小系数7除方程①的各项,并移项得 213193530277 y y x y --= =-+ .② 因为x 、y 是整数,故 357 y u -=也是整数,于是有573y u +=.再用5除此式的两边得 373255 u u y u --= =-+ .③ 令 325 u v -= (整数),由此得 253u v +=.④ 由观察知1u =-,1v =是方程④的一组解.将1u =-代入③得2y =.2y =代入②得x =25.于 是方程①有一组解025x =,02y =,所以它的一切解为 2519, 27.x t y t =-?? =+? 0,1,2,t =±± 由于要求方程的正整数解,所以 25190, 270.t t ->?? +>? 解不等式,得t 只能取0,1.因此得原方程的正整数解为 25,2, x y =?? =?6, 9.x y =??=?

初等数论试卷和答案

初等数论试卷和答案

初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分,共18分) 1、如果a b ,b a ,则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3,n 5,则15( )n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数( ). A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分,共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是( ). 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).

试卷1答案 一、单项选择题(每题3分,共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分,共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的). 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分,共32分) 1、 求[136,221,391]=?(8分) 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] ------------(4分) = 17391 1768?

初等数论练习

作业次数:学号姓名作业成绩 第0章序言及预备知识 第一节序言(1) 1、数论人物、资料查询:(每人物写60字左右的简介) (1)华罗庚 2、理论计算与证明: (1 (2)Show that there are infinitely many Ulam numbers 3、用Mathematica数学软件实现 A Ulam number is a member of an integer sequence which was devised by Stanislaw Ulam and published in SIAM Review in 1964. The standard Ulam sequence (the (1, 2)-Ulam sequence) starts with U1=1 and U2=2 being the first two Ulam numbers. Then for n > 2, U n is defined to be the smallest integer that is the sum of two distinct earlier terms in exactly one way 。 By the definition, 3=1+2 is an Ulam number; and 4=1+3 is an Ulam number (The sum 4=2+2 doesn't count because the previous terms must be distinct.) The integer 5 is not an Ulam number because 5=1+4=2+3. The first few terms are 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99 (1)Find the first 200 Ulam numbers (2)What conjectures can you make about the number of Ulam numbers less than an integer n? Do your computations support these conjetures?

自考初等数论试题及答案

初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分,共18分) 1、如果a b ,b a ,则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3,n 5,则15( )n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数( ). A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分,共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是( ). 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0. 三、计算题(每题8分,共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429,其中563是素数. (8分) 四、证明题(第1小题10分,第2小题11分,第3小题11分,共32分)

初等数论 期末复习 同余精选例题分析

第三章同余例题分析 例1:求3406的末二位数。 解:∵(3,100)=1,∴3)100(φ≡1(mod 100) φ(100)=φ(22·52)=40,∴340≡1(mol 100) ∴3406=(340)10·36≡(32)2·32≡-19×9≡-171≡29(mod 100) ∴末二位数为29。 例2:证明(a+b )p ≡a p +b p (mod p ) 证:由费尔马小定理知对一切整数有:a p ≡a (p ),b p ≡b (P ), 由同余性质知有:a p +b p ≡a+b (p ) 又由费尔马小定理有(a+b )p ≡a+b (p ) (a+b )p ≡a p +b p (p ) 例3:设素数p >2,则2P -1的质因数一定是2pk +1形。 证:设q 是2p -1的质因数,由于2p -1为奇数,∴q ≠2, ∴(2·q )=1,由条件q|2p -1,即2p ≡1(mod q ),又∵(q ,2)=1,2p ≡1(mod q )设i 是使得2x ≡1(mod p )成立最小正整数 若1

∴13|42n +1+3n +2 例5:证明5y +3=x 2无解 证明:若5y +3=x 2有解,则两边关于模5同余 有5y +3≡x 2(mod 5) 即3≡x 2(mod 5) 而任一个平方数x 2≡0,1,4(mod 5) ∴30,1,4(mod 5) ∴即得矛盾,即5y +3=x 2无解 例6:求 50111......被7除的余数。 解:∵111111被7整除,∴ 50111......≡11(mod 7)≡4(mod 7),即余数为 4。 例7:把..0.04263化为分数。 解:设b =...360420,从而1000b=...3642, 100000b=...364263,99000b=4263-42b=990004221 ==11000469 。 当然也可用直化分数的方法做。 例8:设一个数为62XY427是9,11的倍数,求X ,Y 解:因为9|62XY427 所以9|6+2+X+Y+4+2+7,即9|21+X+Y 又因为11|62XY427,有11|(7+4+X+6-2-Y-2) 即11|(X-Y+13) 因为0≤X,Y ≤9,所以有21≤21+X+Y ≤39, 4≤X-Y+13≤22,由此可知 21+X+Y=27,X-Y+13=11

自考初等数论试题及答案

初等数论考试试卷 1 一、单项选择题(每题3分,共18分) 1、 如果 ba , ab ,则(). A a b Bab C a b Dab 2、 如果 3n , 5n ,则 15 ( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、 在整数中正素数的个数( ). A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、 如果 a b (modm ) , c 是任意整数贝V 5、 如果(),则不定方程ax by c 有解. A (a, b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、 整数5874192能被()整除. A 3 B 3 与 9 C 9 D 3 或 9 二、填空题(每题3分,共18分) 1、 素数写成两个平方数和的方法是( )? 2、 同余式ax b 0(modm ) 有解的充分必要条件是(). 3、 如果 a,b 是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(). 4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被P 整除或者(). 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的 (). 6、如果a ,b 是两个正整数,则存在()整数q ,r ,使a bq r ,0 r b . 三、计算题(每题8分,共32分) 1、 求[136,221,391]=? 2、 求解不定方程9x 21y 144 . 3、 解同余式 12x 15 0(mod45) . 429 4、 求563 ,其中563是素数.(8 分) 四、证明题(第 1小题10分,第2小题11分,第3小题11分,共32分) 2 3 n n n 1证明对于任意整数n ,数3 2 6是整数. 2、 证明相邻两个整数的立方之差不能被 5整除. A ac bc(modm) B a b C ac bc(mod m) D ab

初等数论

例1 求不定方程 3x + 6y = 15的解。 解 (3, 6) = 3∣15,所以方程有解。 由辗转相除法(或直接观察), 可知x =-1,y =1是3x + 6y = 3的解, 所以x 0 = -5,y 0 = 5是原方程的一个解。由定理2,所求方程的解是 t y t x -=+-=525 例2 求不定方程3x + 6y + 12z = 15的解。 解 原方程等价于 x + 2y + 4z = 5。 (8) 由定理3,依次解方程 t + 4z = 5, x + 2y = t , 分别得到 u z u t -=+=141 v t y v t x -=+-=2 u ∈Z , (9) v ∈Z 。 (10) 将式(9)与式(10)中的t 消去,得 x=-1-4u+2v, y=1+4u-v, z=1-u u , v ∈Z 。 注:本例在解方程时,首先将原方程化为等价方程(8),这使问题简化。对例1也可以如此处理。 例3 设a 与b 是正整数,(a , b ) = 1,则任何大于ab -a -b 的整数n 都可以表示成n = ax +by 的形式,其中x 与y 是非负整数,但是n =ab -a -b 不能表示成这种形式。 解:(ⅰ)由定理2,方程 ax + by = n (11) 的解具有x=x0+bt;y=y0-at t ∈Z (12) 的形式,其中x 0与y 0满足方程(11)。 由假设条件n >ab -a -b 及式(11)与式(12),有 ax =n -by = n -b (y 0-at )>ab -a -b -b (y 0-at ) (13) 取整数t ,使得 0 ≤ y = y 0 - at ≤ a - 1, 则由式(13)得到 ax > ab - a - b - b (a - 1) = -a , x > -1,x ≥ 0, 即 n = ax + by ,x ≥ 0,y ≥ 0。 (ⅱ) 设有x ≥ 0,y ≥ 0,使得 ax + by = ab - a - b (14) 则 a (x + 1) + b (y + 1) = ab (15) 所以a ∣b (y + 1)。但是(a , b ) = 1, 于是必有 a ∣y + 1,y + 1 ≥ a 。 同理可以证明x + 1 ≥ b ,从而 a (x + 1) + b (y + 1) ≥ 2ab ,

初等数论习题

第三章 1. 解依次计算同余式 22 4,24 16,28 256,216=65536 154, 232 1542=23716 1 (mod 641)。 因此 2. 解有71 3,72 1,74 1 (mod 10), 因此,若 77 r (mod 4), 则 现在77 (1)7 1 3 (mod 4),所以由上式得到 即n的个位数是3。 3.注:一般地,若求对模m的同余,可分以下步骤进行: (ⅰ)求出整数k,使a*k 1 (mod m); (ⅱ)求出正整数r,r < k,使得b*c r (mod k); (ⅲ)a *r (mod m)。 4.例3求(25733 46)26被50除的余数。 解(25733 46)26 (733 4)26 = [7(72)16 4]26 [7( 1)16 4]26 = (7 4)26 326 = 3(35)5 3(7)5 = 37(72)2 21 29 (mod 50),即所求的余数是29。 5.证明2x2-5y2=7没有整数解. 6.例1设m > 0是偶数,{a1, a2, , am}与{b1, b2, , bm}都是模m的完全剩余系,证明: {a1 b1, a2 b2, , am bm}不是模m的完全剩余系。 7.例2设A = {x1, x2, , xm}是模m的一个完全剩余系,以 {x}表示x的小数部分,证明:若(a, m) = 1,则

8. 9.例3 设{x1, x2, …, x(m)}是模m的简化剩余系,则 (x1x2…x(m))*21(mod m)。 解记P = x1x2…x(m),则(P, m) = 1。又记yi = 1 i (m), 则{y1, y2, …, y(m)}也是模m的简化剩余系,因此 (mod m),再由Eule r定理,推出 P*2P*(m) 1 (mod m) ** 同余式可以像等式一样进行代换。 第二章 1. 利用辗转相除法求解 2.例3 设a,b,c是整数,(a, b) = 1,则在直线 ax by = c上,任何一个长度大于的线段上至少有一个点的坐标都是整数。

02013自学考试初等数论模拟试题(含答案)

02013自学考试初等数论模拟试题(含答案) 一、 单项选择题:(1分/题×20题=20分) 1.设x 为实数,[]x 为x 的整数部分,则( ) A.[][]1x x x ≤<+; B.[][]1x x x <≤+; C.[][]1x x x ≤≤+; D.[][]1x x x <<+. 2.下列命题中不正确的是( ) A.整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数; B.整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 C.整数a 与它的绝对值有相同的倍数 D.整数a 与它的绝对值有相同的约数 3.设二元一次不定方程ax by c +=(其中,,a b c 是整数,且,a b 不全为零)有一整数解()00,,,x y d a b =,则此方程的一切解可表为( ) A.00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± B.00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± C.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± D.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± 4.下列各组数中不构成勾股数的是( ) A.5,12,13; B.7,24,25; C.3,4,5; D.8,16,17 5.下列推导中不正确的是( ) A.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ B.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ C.()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ D.()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ 6.模10的一个简化剩余系是( ) A.0,1,2, ,9; B.1,2,3,,10; C.5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- D.1,3,7,9.