截面的几何性质
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材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
材料力学 截面的几何性质
附
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
第七章 截面的几何性质
A 120 ×10 × 60 + 70 ×10 × 5 = = 39.7mm 120 ×10 + 70 ×10
yc =
Sy
5
§7-2 惯性矩、惯性积与极惯性 惯性矩、
一、惯性矩
Iz = ∫ y dA
2 A
I y = ∫ z dA
2 A
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积， 即
I y = A iy
主惯性轴和主惯性矩
一、主惯性轴和主惯性矩 (1)主惯性轴 主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴z0 、
y0的惯性积 Iz0y0=0时，则坐标轴 z0 、y0称为主惯性轴。 因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是 平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为 主惯性矩 主惯性矩。
例 计算图所示阴影部分截面的形心主惯性矩Iz。
解：1)求形心位置 由于y 轴为对称轴，故形心必在 此轴上，建立yoz′坐标系，故zc′=0 。将阴影部分截面看成是矩形Ⅰ 减去圆形Ⅱ而得到，故其形心的yc 坐标为：
15
ΣAi y ci yc = =( A
600 × 1000 × 500 − 600 × 1000 −
2
I z = Aiz
2
6
i y 、i z
分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
二、惯性积
I zy = ∫ A zydA
若截面具有一根对称轴，则该 截面对于包括此对称轴在内的 二正交坐标轴的惯性积一定等 于零。
I zy = 0
7
三、极惯性矩
Ip =
2
∫A
ρ dA
2
2 2
Qρ = z + y
第四章 截面的几何性质
• 概念： • 一、主惯性轴与主惯性矩 • 定义：截面对一对坐标轴的惯性积为零，则这一对坐 标轴称为主惯性轴，截面对主惯性轴的惯性矩即为主惯 性矩。 • 二、形心主惯性轴和主惯性矩 • 定义：截面对过形心的一对坐标轴（互相垂直）的惯 性积为零，则这一对轴称为形心主惯性轴，平面对形心 主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 • 由上知要确定形心惯性轴，必须先求 I zy , 再令其为零。 为方便，先求平面对 z、y轴的 I z , I y , I zy , 由此计算相对 它转过一个角度 的 I z1 , I y1 , I z1 y1 。
2a 100
• 例子:求下平面图形的 • 解：图由一个矩形和两个半圆组成 ,设矩形z2的惯性矩为 1 z I I y ，每个半圆的为 , zc 12 40 z1 I d 2a 2d 3 3 1
c
Iz ?
i
i
z
40
d 80
12 5.33 107 mm4 80 2 100
A
•
若将 dA 理解为垂直于纸面的力， ydA便是对z轴的力 矩， s z 则为对z轴的合力矩，故称为面积矩。 • 若形心坐标为 zc , yc ，静矩也可写成：
sz ydA A yc
A
s y zdA A zc
A
• 性质： • 1、同一截面对不同轴的静矩亦不同；静矩可以是正、 可以是负或零； • 2、单位：mm3 , cm3 ； • 3、当坐标轴原点过形心，zc yc 0, s z s y 0 ；
第四章 截面的几何性质
概述： 讨论的问题：介绍与截面形状和尺寸有关的几何量 (静矩、惯性矩、惯性积）的定义及计算方法；平行移轴 公式，转轴公式等。 在实际工程中发现，同样的材料，同截面积，由于 横截面的形状不同，构件的强度、刚度有明显不同，如 一张纸（或作业本），两端放在铅笔上，明显弯曲，更 不能承载东西了.但把同一张纸折成波浪状（象石棉瓦 状） ，这时纸的两端再搁在铅笔上，不仅不弯曲，再放 上一支铅笔,也不弯曲.可见,材料截面的几何形状对强度、 刚度是有一定影响的，研究截面几何性质的目的就是解
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴
2
对于复杂形状，可以采用微元法或积分法计算其 惯性矩。
3
在工程实践中，常常使用软件或计算器进行惯性 矩的计算，以提高计算效率和精度。
04
CATALOGUE
惯性积
惯性积的定义
惯性积是截面的一种几何属性，用于描述截面的 形状和大小。
惯性积是一个标量，表示截面在某个方向上的投 影面积与该方向上单位长度的平方之比。
02
利用三维坐标系中的点坐标和 方向向量，通过向量的外积计 算得到截面的法向量和面积向 量，进而计算惯性积。
03
利用计算机图形学中的几何算 法，通过计算截面的顶点坐标 和法线向量，实现惯性积的精 确计算。
05
CATALOGUE
平行移轴
平行移轴的定义
一个方向上的直线，可以 是实线或虚线。
在三维空间中，与某一平 面相交的平面。
中性轴
通过截面形心并与形心轴垂直的轴线。
惯性矩的性质
01
惯性矩与截面的形状和大小有关，形状相同但尺寸不同的截面 具有不同的惯性矩。
02
惯性矩具有方向性，与中性轴的位置有关。
对于矩形、圆形、椭圆形等简单形状，其惯性矩可以通过公式
03
直接计算。
惯性矩的计算方法
1
对于简单形状，如矩形、圆形、椭圆形等，可以 直接使用公式计算其惯性矩。
截面的几何性质
目录
• 截面的定义与性质 • 面积矩 • 惯性矩 • 惯性积 • 平行移轴
01
CATALOGUE
截面的定义与性质
截面的定义
截面定义
截面是指通过一个平面与一个三维物 体相交，所形成的交线或交面。这个 平面可以是垂直的、倾斜的或与三维 物体表面平行。
截面的形状
建筑力学第七章 截面的几何性质
第七章平面图形的几何性质研究截面几何性质的意义从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩I P、抗扭截面系数W P等一些几何量密切相关。
因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
第一节 静矩一、静距的概念Ay S z d d =Az S y d d =⎰⎰⎰⎰====AAy y AAz z Az S S A y S S d d d d zy d A yz静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。
它常用单位是m 3或mm 3。
形心d A zyy zCx Cy ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∆∑=⋅∆∑=A y A y Az A z C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A ydA y A zdA z AC A C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S y A S z z C y C ⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S 平面图形对z 轴（或y 轴）的静矩，等于该图形面积A 与其形心坐标y C （或z C ）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z 轴（或y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++==+++=∑∑==ni Ci i Cn n C C y ni Ci i Cn n C C z z A z A z A z A S y A y A y A y A S 1221112211 式中 y Ci 、z Ci 及A i 分别为各简单图形的形心坐标和面积;n 为组成组合图形的简单图形的个数。
截面的几何性质
I x = I xc + a A
2
= I y + b2 A Iy
c
37
4. 组合截面惯性矩
I x = ∑I xi
i=1
n
I y = ∑I yi
i=1
n
38
A y1 + A2 y2 1 y= ≈ 40mm A + A2 1
10
y
10
40
10
o
20
x
80
11
§1—2 极惯性矩 惯性矩
一，定义 1，截面对 o 点的极惯性矩为 ，
y
惯性积
dA
I P = ∫A ρ dA
2
ρ
o
x
12
2，截面对 x , y 轴的惯性矩 ，
y
I x = ∫A y dA
2
dA
= ∫A x2dA Iy
29
y
yC
C
xC
a
o
b
x
则平行移轴公式为
= I xc + a2 A Ix
= I y + b2 A Iy
c
I xy = I x y + abA
c c
30
二，组合截面的惯性矩
惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i 个简单截面对 x , y 轴的惯性矩、
惯性积。 惯性积。
组合截面的惯性矩， 组合截面的惯性矩，惯性积
xC
a
o
b
x
Ix , Iy , Ixy
_____
轴的惯性矩和惯性积。 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
的惯性矩和惯性积。 Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
2
= I y + b2 A Iy
c
37
4. 组合截面惯性矩
I x = ∑I xi
i=1
n
I y = ∑I yi
i=1
n
38
A y1 + A2 y2 1 y= ≈ 40mm A + A2 1
10
y
10
40
10
o
20
x
80
11
§1—2 极惯性矩 惯性矩
一，定义 1，截面对 o 点的极惯性矩为 ，
y
惯性积
dA
I P = ∫A ρ dA
2
ρ
o
x
12
2，截面对 x , y 轴的惯性矩 ，
y
I x = ∫A y dA
2
dA
= ∫A x2dA Iy
29
y
yC
C
xC
a
o
b
x
则平行移轴公式为
= I xc + a2 A Ix
= I y + b2 A Iy
c
I xy = I x y + abA
c c
30
二，组合截面的惯性矩
惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i 个简单截面对 x , y 轴的惯性矩、
惯性积。 惯性积。
组合截面的惯性矩， 组合截面的惯性矩，惯性积
xC
a
o
b
x
Ix , Iy , Ixy
_____
轴的惯性矩和惯性积。 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
的惯性矩和惯性积。 Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
材料力学 3 截面的几何性质
大小：正，负，0。
y
量纲：[长度]3
二、截面的形心 几何形心=等厚均质薄片重心 z 形心坐标公式：
yc
C
zc
yc zc
y dA A z dA
A
A
Sz A Sy A
O
A
y
S y A zc
S z A yc
结论： 若 S z 0 yc 0 z 轴通过形心。反之，亦成立。
转轴公式
sin 2 I yz cos2
I y1 I z1 I y I z
二、形心主轴和形心主惯性矩 1、主轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时，
Ix y
0 0
Ix I y 2
sin20 I xy cos 20 0
tan 2 0
2 I xy Ix Iy
z1
I yzc y1 z1 dA
A
a
O
z
yc
I z A y 2dA A (b y1 )2 dA
2 A ( y1 2by1 b 2 )dA
y
zc 为形心轴， S zc Ayc 0
I zc 2bS zc b 2 A
I zc b 2 A
2
a
2677710 .52 cm 4
平 衡 项 惯 性 矩 6686481 . 857.8 单 个 形 心 惯 性 矩 779.53
组合截面可以大大提高截面惯性矩。
I y Iz 2 cos2 I yz sin 2 cos2 I yz sin 2
I y Iz 2
I y Iz 2
当＝0时，
dI y1 d
截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d （I −2） 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6） 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
截面的几何性质
b2
A
上式称为计算惯性矩的平行移轴公式。这个公式表明 ：截面对任意一个轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的 形心轴的惯性矩加上截面的面积与两轴距离的乘积。
工程力学与建筑结构
1.4 组合截面的惯性矩
在计算组合截面对某座标轴的惯性矩时，根据定义， 可分别计算各组成部分对该轴的惯性矩，然后再相加，即 ：
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
截面的几何性质
在工程中研究构件的受力和变形时，经常会遇到一些 和构件的横截面形状、尺寸有关的几何量，这些几何量通 称为截面的几何性质。 1.1 截面的静矩和形心 1. 截面的静矩
如图所示的平面图形代表一个任意截面，其面积为A 。在图形平面内选坐标系Oyz，在坐标为(y, z)处取微面积 dA ，则以下两个积分分别被定义为平面图形A 对于z轴和y 轴的静矩。
I z iz2 A
Iy
i
2 y
A
于是得到:
iz
Iz A
iy
IyБайду номын сангаасA
通常把iz和iy分别称为平面图形对z轴和y轴的惯性半径 （或回转半径）。
工程力学与建筑结构
1.3平称移轴公式 同一截面对于不同坐标轴的惯性矩不相同， 但它们
之间都存在着一定的关系。
I z I zc a 2 A
Iy
I yc
Ai
i 1
工程力学与建筑结构
1.2 截面的惯性矩 1. 惯性矩的计算公式
任意一个构件的横截面如图所示，其面积A 对于z轴和 y轴的惯性矩定义为 ：
I z
A
y 2dA
I y
z 2dA
A
常用截面的惯性矩可查阅工程设计手册。
工程力学与建筑结构
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bh bh Iz 12 12 b 3 h h 3 12
3 3
I y Iz
D 4
64 64 4 D (1 4 ) 64
d 4
三、
y1
惯性矩和惯性积的平行移轴公式
z1
y z dA y
y1
已知 I z , I y , I yz
b a O1
2
y1 y a,
2 A A A A A
I z 2aSz a 2 A
I y1 z1 y1 z1dA ( y a )(z b)dA
A A
yzdA azdA bydA abdA
A A A A
I yz aSy bSz abA
I y1 I y 2bSy b A
• 平面图形的惯性矩
I z y 2 dA
A
I y z 2 dA
A
y x
面积A
• 平面图形的极惯性矩
dA y z
Ip
r dA y
2 A A
2
z
2
dA
o
r
I p Iz I y
• 惯性矩和极惯性矩为正值，单位为m4 或mm4。
• 平面图形的惯性半径
y x r y
面积A
Iz i A
2 z
Iy i A
2 y
dA
iz iy
Iz A Iy A
o
图形对z轴和y轴的惯性半径 （单位为m 或mm）
z
• 例7-2 求矩形截面对其对称轴z和y的惯性矩 和惯性半径。 y • 解：
I z y 2 dA
A
dy y
h 2 h 2
3 bh y 2bdy 12 b 2 b 2 3 hb z 2 hdz 12
圆心处
Iz I y
D 4
64
D iz i y 4
截面图形 圆 环
形心位置
惯性矩
惯性半径
圆心处
Iz I y
iz i y
4
D 64
d d4 D 1 4 D
2
薄 圆 环
圆心处 I I R z y
3 0
R0 iz i y 2
截面图形 三 角 形
形心位置
惯性矩
惯性半径
h yC 3
bh3 Iz 36
2 iz h 6
半 圆 形
8 4 Iz R 8 9 iz 0.264R 4R yC 0.1098R 4 3 R 4 iy R 2 Iy 8
截面图形
形心位置
答案：
y x1 h
IX1
1 3 bh 4
o
b
x
图示截面图形对z轴的惯性矩Iz＝
1 1 3 HB hb 3 （A） 12 12 1 1 3 3 BH bh （B） 12 12 1 1 3 3 BH bh （B） 12 12 1 1 3 3 BH bh （D） 12 12
ydA
y
A zd A
A
z
zC
dA C
y
yC
A
z
• 截面图形对其形心轴的静矩恒等于零。 • 截面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必 为形心轴。
• 组合截面图形的静矩和形心位置
组合截面图形对某一轴的静矩等于各组成 部分对同一轴的静矩的代数和
Sz Ai yCi AyC
Sz yC A Sy zC A
B
。
H/ 2
Z’
H/ 2 b
答案：D
§7-1 截面的几何性质
一、 平面图形的静矩和形心
• 平面图形的静矩
S z ydA
A
y z r y
面积A
dA
S y zdA
A
o 图形对z轴和y轴的静矩(一次矩)。
单位为m3 或mm3。
z
• 平面图形的形心：平面图形几何形状的中心。
Sz yC A zC Sy A
A
10
zC
z
Ci
Ai
A A1 A2 35 10 110 20.3 10 110 80 10
zC1 A1 zC2 A2
图(a)
60 10 110 yC 34.7 10 110 80 10
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
y
10 负面积 120 C2 C1 C1（0,0） C2（5,5）
图示组合图形，由两个直径相等的圆截 面组成，求此组合图形对形心主轴y和z 的惯性矩
y
答案：5D 4 32 Nhomakorabea；
z
D
4
32
D
D
图示平面图形对z、z1、z2三根相平行轴 的惯性矩中，以对 轴的惯性矩为最 大，而对 轴的惯性矩最小。
答案：
h/2
z2 z
z2
h/2
z
b
z1
图示x轴//x1 轴，已知三角形对x轴的惯 3 性矩为 I X bh / 12 ，则 I X＝ 。 1
zC
C
10
z
A A1 A2 5 ( 70 110) 20.3 120 80 70 110
z
Ci
Ai
zC1 A1 zC2 A2
5 ( 70 110) yC 20.3 120 80 70 110
80
图(b)
二、 平面图形的惯性矩、惯性积和惯性半径
a iy 2
• 平面图形的惯性积
I yz yz dA
A
y x r y
面积A
dA
图形对过点O的一对坐标轴 y和z的惯性积。
o
z
• 惯性积可能为正值或负值，也可能等于零。 • 单位为m4 或mm4。
• 若y、z两个坐标轴中有一为截面图形的对称轴，则 其惯性积恒等于零。
• 组合截面图形的惯性矩
I p Iz I y
I y Iz
1 I y I z I p ( D4 d 4 ) 2 64
• 常用截面的形心、惯性矩、惯性半径
截面图形 矩 形 形心位置 惯性矩 惯性半径
截面中心
bh3 Iz 12
hb 3 Iy 12
iz
h
2 3 b iy 2 3
圆 形
S y Ai zCi AzC
组合截面图形的形心坐标计算公式
A y A
i i
Ci
Az A
(正 负 面 积 法 公 式 )
i Ci i
例 试确定下图的形心。
10
解 ： 组合图形，用正负面积法求解。
y
C1(0,0)
120
C2
1.用正面积法求解，图形分割 及坐标如图(a)
z
C
C1 80
C2(-35,60)
惯性矩
R4 sin cos Iz 4 16sin2 9
惯性半径
扇 形
yC
iz
Iz A
2 R si n Iy 4 iy R 3 sin cos Iy A 4
Iz
椭 圆 形
ab3
椭圆中心
4 ba3 Iy 4
b iz 2
D 4
32
I p Iz I y
I y Iz
1 D 4 I y Iz I p 2 64
i y iz Ip 2 D A 4
I p A r dA r 2 r dr
2 2
D 2 d 2
dr r
d O D
32
( D4 d 4 )
2
I z1 I z 2aSz a 2 A
I y1z1 I yz aSy bSz abA
若y、z轴是截面图形的形心轴 S y Sz 0 平行移轴公式
I y1 I yC b A
2
I z1 I zC a A
2
I y1z1 I yC zC abA
h
C
z
I y z 2dA
A
iz iy
h Iz A 2 3
Iy b 2 3 A
b
• 例7-3 求直径为D的圆截面对过其圆心的正 交坐标轴z和y的惯性矩和惯性半径。
极惯性矩 I p A r dA
2
dr r O D
r 2 r dr
2
D 2 0
z
A
O
z1 z b,
z1
I y1 z1 dA ( z b)2dA z 2dA 2 zbdA b 2dA
A A A A A
I y 2bSy b2 A
I z1 y1 dA ( y a )2dA y 2dA 2 yadA a 2dA