1反常积分概念共21页文档
数学分析(华东师大)第十一章反常积分
第十一章反常积分§1 反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大?设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为mg R2F = .x2于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为r mg R ∫∫2∫d x = mg R 2 1 - 1.Rx2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”:图 11 - 1+ ∞mg R 2d x = limrmgR 2Rx2r → + ∞ Rd x = mg R .x2最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使122mv 0 = mg R .用 g = 9 .81 ( m 6s /2) , R = 6 .371× 106( m ) 代入 , 便得v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) .例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?2∫ · R u ∫ ∫ ∫ R2§1 反常积分概念265从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为v =2 g( h - x) ,其中 g 为重力加速度 .设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为d x , 它们之间应满足πR 2 d x = v πr 2 d t ,图 11 - 2由此则有d t =Rd x , x ∈ [0 , h] . r 22 g( h - x )所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:ht f =R 2d x .r22 g( h - x)但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是u 2t f = lim∫ 2d xu → h- 0r2 g( h - x)= lim -2 2g r 2h -h - uu → h=2 h R .g r相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 .二 两类反常积分的定义定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上 , 且在任 何有 限区间 [ a , u]上可积 .如果存在极限lim∫f ( x ) d x = J, ( 1)u → + ∞ a则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) , 记作+ ∞ J =f ( x ) d x ,( 1′)a+ ∞ + ∞ 并称f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称 f ( x) d x aa发散 .类似地 , 可定义 f 在 ( - ∞ , b] 上的无穷积分 :bb∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ u∫266第十一章 反 常 积 分∫ f ( x )d x =lim∫f ( x ) d x .( 2)- ∞u → - ∞ u对于 f 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的无穷积分 , 它用前面两种无穷积分来定义 :+ ∞af ( x ) d x =- ∞- ∞+ ∞ f ( x) d x + af ( x) d x , ( 3)其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 .注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值 , 都和实数 a 的选取无关 .注 2 由于无穷积分 ( 3) 是由 (1 ) 、( 2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 , f 在 任 何有限区间 [ v , u] ì ( - ∞ , + ∞ ) 上 , 首先必须是可积的 .+ ∞注 3a f ( x ) d x 收 敛 的 几何 意 义 是 : 若 f 在[ a , + ∞ ) 上为非负连续函数 , 则图 11 - 3 中介于曲线y = f ( x) , 直线 x = a 以及 x 轴之间那一块向右无限 延伸的阴影区域有面积 J .例 3 讨论无穷积分+ ∞图 11 - 3的收敛性 .解 由于d x1 x p( 4)u d x 1x p=1 1 - p ( u1 - p - 1 ) ,p ≠ 1 ,ln u ,p = 1 ,1lim∫d x=u → + ∞ 1 x pp - 1 , p > 1+ ∞ p ≤ 1 ,因此无穷积分 (4 ) 当 p > 1 时收敛 , 其值为 1; 而当 p ≤1 时发散于 + ∞ .p - 1从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的 : p的值越大 , 曲线 y = 1当 x > 1 时越靠近 x 轴 , 从xp而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也 就越大 .例 4 讨论下列无穷积分的收敛性 :1∫) + ∞ d x 2 x( ln x) p ; 2) + ∞d x - ∞ 1 + x2 .解 1 ) 由 于无 穷 积分 是 通 过变 限 定积 分 的 极限来 定义 的 , 因此 有关定 积分 的换元 积分 法和图 11 - 4ab∫∫∫∫§1 反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来 .对于本例来说 , 就有∫+ ∞d x+ ∞d t 2x ( l n x )p =∫ln 2tp.从例 3 知道 , 该无穷积分当 p > 1 时收敛 , 当 p ≤1 时发散 .2) 任取实数 a, 讨论如下两个无穷积分 :∫d x + ∞d x - ∞ 1 + x2和∫a由于a1 + x2.lim∫d x =lim ( arctan a - arctan u )u → - ∞ u1 + x 2vu → - ∞= arctan a + π,2lim∫d x= lim ( arctan v - arctan a)v → + ∞ a1 + x 2v → + ∞π 2- arctan a ,因此这两个无穷积分都收敛 .由定义 1 ,∫+ ∞d xa d x+ ∞d x- ∞ 1 + x2 =∫- ∞1 + x2 +∫a1 + x2= π .注 由于上述结果与 a 无关 , 因此若取 a = 0 , 则可使计算过程更简洁些 .定义 2 设函数 f 定义在区间 ( a , b] 上 , 在点 a 的 任一右 邻域内无 界 , 但 在任何内闭区间 [ u , b] ì ( a , b] 上有界且可积 .如果存在极限lim∫f ( x ) d x = J ,( 5)u → a+u则称此极限为无界函数 f 在 ( a , b] 上的反常积分 , 记作bJ =f ( x ) d x , ( 5′)a b并称 反 常 积 分 f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 5) 不 存 在 , 这 时 也 说 反 常 积 分abf ( x ) d x 发散 . a在定义 2 中 , 被积函数 f 在点 a 近旁是无界的 , 这时点 a 称为 f 的瑕点 , 而无 b界函数反常积分 f ( x ) d x 又称为瑕积分 .a类似地 , 可定义瑕点为 b 时的瑕积分 :bu∫f ( x) d x =lim∫f ( x )d x . au → b-a其中 f 在 [ a , b) 有定义 , 在点 b 的任一左邻域内无 界 , 但在任何 [ a , u] ì [ a , b)=1∫1 1 x 268 第十一章 反 常 积 分上可积 .若 f 的瑕点 c ∈ ( a , b) , 则定义瑕积分b c b∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x )d x aacub= lim ∫ f ( x ) d x + lim ∫f ( x ) d x .( 6)u → c-av → c+v其中 f 在 [ a , c) ∪ ( c, b] 上有定义 , 在点 c 的 任一领 域内 无界 , 但 在任何 [ a , u] ì [ a , c) 和 [ v , b] ì ( c, b] 上都可积 .当且仅当 ( 6 ) 式右 边两个 瑕积分都 收敛时 , 左边的瑕积分才是收敛的 .又若 a 、b 两点都是 f 的瑕点 , 而 f 在任何 [ u , v ] ì ( a, b) 上可积 , 这时定义 瑕积分b c b∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x ) d xaaccv= lim ∫f ( x) d x + lim ∫ f ( x) d x ,( 7)u → a+uv → b-c其中 c 为 ( a , b) 内任一实数 .同样地 , 当且仅当 ( 7) 式右边两个 瑕积分都 收敛时 ,左边的瑕积分才是收敛的 .例 5 计算瑕积分∫d x的值 .1 - x 2解 被积函数 f ( x) = 1在 [ 0 , 1 ) 上 连续 , 从 而在 任何 [ 0 , u] ì [ 0 , 1)1 - x 2上可积 , x = 1 为其瑕点 .依定义 2 求得1u∫d x = lim∫d x1 - x 2-u → 11 - x2例 6 讨论瑕积分= limu → 1 -1arcsin u = π. 2∫d x的收敛性 .xq ( q > 0 ) ( 8)解 被积函数在 (0 , 1 ] 上连续 , x = 0 为其瑕点 .由于1d x u x q = 1 1 - q( 1 - u 1 - q) , q ≠ 1 , ( 0 < u < 1) ,- ln u , q = 1故当 0 < q < 1 时 , 瑕积分 (8 ) 收敛 , 且∫ d x ∫d x 1q = lim 0 u → 0 +u x q = 1 - q ;0∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ a∫ §1 反常积分概念269而当 q ≥1 时 , 瑕积分 ( 8) 发散于 + ∞ .上述结论在图 11 - 4 中同样能获得直观的反映 . 如果把例 3 与例 6 联系起来 , 考察反常积分 + ∞我们定义d xx p ( p > 0 ) . ( 9)∫+ ∞d x 1 d x + ∞d xxp=∫xp+∫1xp,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分 都收 敛时 才收敛 .但 由例 3 与 例 6 的结 果 可知 , 这 两 个 反 常 积 分 不 能 同 时 收 敛 , 故 反 常 积 分 ( 9 ) 对 任 何 实 数 p 都 是 发散的 . 习 题1 . 讨论下列无穷积分是否收敛 ? 若收敛 , 则求其值 :( 1∫) + ∞ x e - x 02+ ∞ d x ; (2) - ∞2 x e - x d x ;( 3∫)+ ∞1 + ∞ d x ; (4)d x20ex + ∞ 1 x ( 1 + x)+ ∞( 5∫)d x; (6)∫ e- xsin x d x;- ∞ 4 x 2+ 4 x + 50 + ∞+ ∞( 7∫)e xsin x d x ; (8)- ∞d x .1 + x 22 . 讨论下列瑕积分是否收敛 ?若收敛 , 则求其值 :( 1∫) bd x1d x ; (2);a( x - a) p2 0 1 - x 21( 3∫)d x;(4)∫xd x ;| x - 1|1 - x 2( 5∫)1 1 ln x d x ; (6)0 0 x d x; 1 - x ( 7∫)1d x 1d x;(8)p.x - x2x( ln x)b3 . 举例说明 : 瑕积分∫f ( x ) d x 收敛时∫, bf 2 ( x) d x 不一定收敛 .a4 . 举例说明∫: + ∞ f ( x) d x 收敛且 f 在 [ a , + ∞ ) 上连续时 , 不一定有 limax → +∞f ( x) = 0 .+ ∞5 . 证明: 若af ( x )d x 收敛 , 且存在极限 lim x → +∞f ( x) = A , 则 A = 0 .;∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫270 第十一章 反 常 积 分+ ∞6 . 证明: 若 f 在[ a, + ∞) 上可导 , 且a+ ∞f ( x)d x 与 af ′( x )d x 都收敛 , 则 lim x → +∞f ( x) = 0 .§2 无穷积分的性质与收敛判别一 无穷积分的性质+ ∞由定 义 知 道 , 无 穷 积 分auf ( x) d x 收 敛 与 否 , 取 决 于 函 数 F( u )=f ( x ) d x 在 u → + ∞ 时是否存在极限 .因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则 .+ ∞定理 11 .1 无穷积分a≥ a, 只要 u 1 、u 2 > G , 便有f ( x ) d x 收敛 的充要条件是: 任给 ε > 0 , 存在 Guuu∫2f ( x ) d x -∫1f ( x )d x=∫ f ( x )d x< ε .a au此外 , 还可根据函数极限的性质与定积分的性质 , 导出无穷积分的一些相应 性质 .+ ∞性质 1 若a+ ∞+ ∞f 1 ( x) d x 与 af2( x ) d x 都 收 敛 , k 1 、k 2 为 任 意 常 数 , 则[ k1 f 1( x) + k 2 f 2 ( x) ] d x 也收敛 , 且a+ ∞+ ∞+ ∞[ k 1 f 1 ( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x = k 1aaf 1 ( x ) d x + k 2af 2 ( x) d x .( 1)+ ∞性 质 2 若 f 在 任 何 有 限 区 间 [ a , u] 上 可 积 , a < b, 则 af ( x ) d x 与+ ∞ f ( x) d x 同敛态( 即同时收敛或同时发散 ) , 且有 b+ ∞b+ ∞∫ f ( x ) d x =∫ f ( x )d x +∫ f ( x )d x ,( 2)aab其中右边第一项是定积分 .+ ∞性质 2 相当于定积分的积分区间可加性 , 由它又可导出af ( x ) d x 收敛的另一充要条件 : 任给 ε > 0 , 存在 G ≥ a , 当 u > G 时 , 总有+ ∞f ( x ) d x< ε .u21∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ 2 =§2 无穷积分的性质与收敛判别271事实上 , 这可由+ ∞u + ∞∫ f ( x ) d x =∫ f ( x ) d x +∫ f ( x ) d xaau结合无穷积分的收敛定义而得 .+ ∞性质 3 若 f 在任何有限区间 [ a , u ] 上可积 , 且有a+ ∞f ( x) d x 亦必收敛 , 并有a| f ( x ) | d x 收敛 , 则+ ∞ + ∞f ( x) d x ≤ aa+ ∞f ( x ) d x . ( 3)证 由af ( x) d x 收敛 , 根据柯西准则 ( 必要性 ) , 任给 ε > 0 , 存在 G ≥a , 当 u 2 > u 1 >G 时 , 总有u uf ( x )d x2uf ( x )d x < ε .1u 1利用定积分的绝对值不等式 , 又有u u2f ( x ) d x ≤ 2uu11+ ∞f ( x ) d x < ε .再由柯西准则 ( 充分性 ) , 证得af ( x ) d x 收敛 .uu又因∫ f ( x ) d x ≤∫ f ( x )d x ( u > a) , 令 u → + ∞ 取极限 , 立刻得到不aa等式 (3 ) .+ ∞+ ∞当f ( x ) d x 收敛时 , 称aaf ( x )d x 为绝对收敛 .性质 3 指出: 绝对收敛的无穷积分 , 它自身也一定收敛 .但是它 的逆命 题一 般不成 立 , 今 后将举 例说 明 收敛的无穷积分不一定绝对收敛 .我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛 .二 比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法 .u + ∞由于 | f ( x ) | d x 关于上限 u 是单调递增的 , 因此aa| f ( x ) | d x 收敛的u 充要条件是 a| f ( x) | d x 存在上界 .根据这一分析 , 便立 即导出下 述比较判 别法 ( 请读者自己写出证明 ) :定理 11 .2 ( 比较法则 ) 设定义在 [ a , + ∞ ) 上的 两个 函数 f 和 g 都 在任 何∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫∫∫∫272 第十一章 反 常 积 分有限区间 [ a , u] 上可积 , 且满足f ( x) ≤g ( x ) , x ∈ [ a, + ∞ ) ,+ ∞+ ∞则当 g( x ) d x 收敛时 aa+ ∞ + ∞| f ( x) | d x 必收敛 ( 或者 , 当 a| f ( x) | d x 发散时 ,ag ( x ) d x 必发散 ) .+ ∞例 1 讨论sin xd x 的收敛性 . 1 + x 2+ ∞解 由于1d x π2≤ 1 + x 2, x ∈ [0 , + ∞ ) , 以及∫1 + x2 = 为收敛2(§1 例 4 ) , 根据比较法则∫, sin xd x 为绝对收敛 . 0 1 + x2上述比较法则的极限形式如下 :推论 1 若 f 和 g 都在任何 [ a , u] 上可积 , g( x ) > 0 , 且 lim x → + ∞| f ( x) |g( x )= c,则有 :( i ) 当 0 < c < + ∞ 时∫, + ∞+ ∞+ ∞| f ( x ) | d x 与aa+ ∞g( x ) d x 同敛态 ;( ii) 当 c = 0 时 , 由 ag( x ) d x 收敛可推知a+ ∞ f ( x) d x 也收敛 ;+ ∞(i )) 当 c = + ∞ 时 , 由a+ ∞g( x ) d x 发散可推知 a+ ∞f ( x ) d x 也发散 .当选用∫d x作为比较对 象g( x ) d x 时 , 比较 判别 法及 其 极限 形式 成1x pa 为如下两个推论 ( 称为柯西判别法 ) .推论 2 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) ( a > 0 ) , 且在 任何 有限区 间 [ a , u] 上 可积 ,则有 :( i ) 当 f ( x) ≤ 1, x ∈ [ a , + ∞ ) , 且 p > 1 时+ ∞f ( x) d x 收敛 ;x pa+ ∞( i i) 当 f ( x) ≥ 1, x ∈ [ a , + ∞ ) , 且 p ≤ 1 时f ( x) d x 发散 .xpa推论 3 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) , 在任何有限区间 [ a , u] 上可积 , 且则有 : lim x → + ∞ x p f ( x ) = λ .+ ∞( i) 当 p > 1 , 0 ≤λ< + ∞时 ,f ( x ) d x 收敛 ;a+ ∞( ii) 当 p ≤ 1 , 0 < λ≤ + ∞ 时 ,af ( x) d x 发散 .+ ∞∫∫∫ ∫u∫ ∫ ∫2 1§2 无穷积分的性质与收敛判别273例 2 讨论下列无穷限积分的收敛性 :1∫)+ ∞x αe - xd x; 2 )1+ ∞x 2d x . 0x 5+ 1解 本例中两个被积函数都是非负的 , 故收敛与绝对收敛是同一回事 . 1) 由于对任何实数 α都有limx → + ∞x 2 · x αe- x= lim x → + ∞ x α+ 2 ex= 0 ,因此根据上述推论 3( p = 2 , λ= 0) , 推知 1 ) 对任何实数 α都是收敛的 .2) 由于12limx → + ∞ x 2·x x 5+ 1= 1 ,因此根据上述推论 3( p = 1, λ= 1 ) , 推知 2) 是发散的 .2b对于f ( x ) d x 的比较判别亦可类似地进行 .- ∞三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法 .u定理 11 .3 ( 狄利克雷判别法 ) 若 F( u ) =f ( x ) d x 在 [ a , + ∞ ) 上有界 , a+ ∞g( x) 在 [ a , + ∞ ) 上当 x → + ∞ 时单调趋于 0 , 则af ( x ) g( x ) d x 收敛 .limx → + ∞u证 由 条 件 设f ( x) d x ≤ M , u ∈ [ a , + ∞ ) . 任 给 ε > 0 , 由 于ag ( x ) = 0 , 因此存在 G ≥ a , 当 x >G 时 , 有g( x ) < ε.4 M又因 g 为单调函数 , 利用积分第二中值 定理 ( 定理 9 .10 的推论 ) , 对 于任 何 u 2 > u 1 > G , 存在 ξ∈ [ u 1 , u 2 ] , 使得∫f ( x ) g( x ) d x =g ( u 1∫)ξ f ( x ) d x + g ( u 2∫)u2f ( x) d x .uuξ11于是有u ξuf ( x ) g( x ) d x ≤g( u 1 ) · uuf ( x ) d x+g( u 2) ·∫ f ( x ) d x11ξξ u=g( u 1 ) ·∫f ( x ) d x ∫-f ( x ) d xaa22u ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫274第十一章 反 常 积 分2+ g( u 2 ) ·ξf ( x ) d x -∫f ( x ) d xε4 M ·2 M + + ∞ aaε4 M·2 M = ε .根据柯西准则 , 证得af ( x ) g( x ) d x 收敛 .+ ∞定理 11 .4 ( 阿贝尔 ( Abel) 判别法 ) 若 af ( x) d x 收敛 , g( x ) 在[ a , + ∞ )+ ∞上单调有界 , 则af ( x )g ( x ) d x 收敛 .这定理同样可用积分第二中值定理 来证 明 , 但又 可利用 狄利 克雷判 别法 更 方便地获得证明 ( 留作习题 ) .+ ∞ 例 3 讨论∫ sin x d x 与 + ∞cos x 1x p1xpd x ( p > 0 ) 的收敛性 .解 这里只讨论前一个无穷积分 , 后者有 完全 相同的 结论 .下面分 两种 情 形来讨论 :+ ∞ ( i) 当 p > 1 时1sin x d x 绝对收敛 .这是因为xp+ ∞d x而sin xx p≤ 1x p , x ∈ [1 , + ∞ ) , + ∞sin x1 x p 当 p > 1 时收敛 , 故由比较法则推知∫1 + ∞x p d x 收敛 .( ii) 当 0 < p ≤ 1 时1 usin xd x 条 件 收 敛 .这 是 因为 对 任 意 u ≥ 1 , 有 x p ∫sin x d x = cos 1 - cos u ≤ 2 , 而 1当 p > 0 时单调趋于 0 ( x → + ∞ ) , 故1xp+ ∞由狄利克雷判别法推知1sin x d x 当 p > 0 时总是收敛的 . xp另一方面 , 由于sin xx p≥ + ∞sin 2x x = + ∞12 x -cos 2 x2 x , x ∈ [ 1 , + ∞ ) ,cos 2 x 1 其中12 x d x = 2 2 cos ttd t 满 足 狄 利 克 雷 判 别 条 件 , 是 收 敛 的 , 而+ ∞d x12 x是发散的 , 因此当 0 < p ≤ 1 时该无穷积分不是绝对收敛的 .所以它是条 件收敛的 .例 4 证明下列无穷积分都是条件收敛的 :<∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫+ ∞3§2 无穷积分的性质与收敛判别275+ ∞sin x 2d x ,1+ ∞cos x 2d x ,1+ ∞x sin x 4d x .1证 前两个无穷积分经换元 t = x 2得到+ ∞+ ∞sin x 2d x = 1 1 + ∞+ ∞ cos x 2d x = 1 1sin t d t ,2 tcos t d t .2 t由例 3 已知它们是条件收敛的 .对于第三个无穷积分 , 经换元 t = x 2而得∫x sin x 4 d x = 1+ ∞sin t 2d t ,1它也是条件收敛的 .2∫1从例 4 中三个无穷积分的收敛性可 以看到 , 当 x → + ∞ 时被 积函数 即使 不 趋于零 , 甚至是无界的 , 无穷积分仍有可能收敛 . 习 题1 . 证明定理 11 .2 及其推论 1 .2 . 设 f 与 g 是定义在 [ a , + ∞ )上的函数 , 对任何 u > a , 它 们在 [ a , u] 上 都可积 .证明 :+ ∞若a收敛 .+ ∞f 2( x) d x 与a+ ∞g 2( x) d x 收 敛 , 则a+ ∞f ( x) g( x) d x 与a[ f ( x) + g( x ) ]2 d x 也 都3 . 设 f 、g 、h 是定义 在 [ a , + ∞ ) 上 的 三 个 连 续 函数 , 且 成 立 不等 式 h ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g( x) .证明 :+ ∞ (1) 若a+ ∞ h( x )d x 与 a+ ∞g( x) d x 都收敛 , 则 af ( x) d x 也收敛;+ ∞(2) 又若 a+ ∞ h( x )d x = a+ ∞ g( x) d x = A , 则 af ( x) d x = A .4 . 讨论下列无穷积分的收敛性 :+ ∞+ ∞( 1∫) d x; (2)xd x ;0 x 4+ 1 + ∞11 - e x+ ∞( 3∫)( 5∫) d x ;(4)1 +x ln ( 1 + x)d x ;(6) x arctan x1 1 + x 3d x;+ ∞ x m d x( n 、m ≥ 0 ) .1xn0 1 + x n5 . 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛 :( 1∫)sin xd x ; (2 )1x+ ∞ sgn( sin x) d x ;1 + x2+ ∞+ ∞∫ ∫∫∫∫ ∫ a ∫b b ua∫∫ ∫ 276第十一章 反 常 积 分( 3∫)x cos x d x;(4 )100 + x ln( ln x) sin x d x .eln x6 . 举 例 说 明∫:+ ∞+ ∞ + ∞f ( x) d x 收 敛 时aaf2( x ) d x 不 一 定 收敛∫;+ ∞ f ( x )d x 绝 对 收 敛时 ,af 2 ( x) d x 也不一定收敛 . a+ ∞+ ∞7 . 证明: 若af ( x )d x 绝对收敛 , 且 lim x →+ ∞f ( x) = 0 , 则a+ ∞ f 2( x) d x 必定收敛 .8 . 证明: 若 f 是 [ a , + ∞) 上的单调函数 , 且 af ( x)d x 收敛 , 则 lim x → +∞f ( x) = 0 , 且 f ( x)= o 1x, x →+ ∞ .+ ∞9 . 证明: 若 f 在 [ a , + ∞ ) 上一致连续 , 且a10 . 利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法 .f ( x) d x 收敛, 则 lim x → +∞f ( x) = 0 .§3 瑕积分的性质与收敛判别 类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后 的三个性 质 , 瑕积分 同样可由 函b b数极限 lim∫f ( x) d x =∫f ( x ) d x 的原意写出相应的命题 . u →+ uab定 理 11 .5 瑕积分 f ( x ) d x( 瑕点为 a) 收敛的充要条件是 : 任给ε> 0 , 存a在 δ > 0 , 只要 u 1 、u 2 ∈ ( a , a + δ) , 总有∫f ( x ) d x -∫f ( x) d x2=f ( x )d x< ε .uuu121性质 1 设 函数 f 1 与 f 2 的 瑕 点 同为 x = a , k 1 、k 2 为 常 数 , 则 当瑕 积 分 bbb∫ f 1( x ) d x 与∫ f 2( x ) d x 都 收敛 时 , 瑕积 分∫[ k1 f 1( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x 必 定 收aaa敛 , 并有bbb∫[ k1 f 1( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x =k∫1f 1 ( x ) d x + k 2af 2( x ) d x .( 1)a性质 2 设 函 数 f 的 瑕 点 为 x = a, c ∈ ( a , b ) 为 任 一 常 数 . 则 瑕 积 分 bc∫ f ( x ) d x 与∫f ( x ) d x 同敛态 , 并有aab c b∫ f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x ) d x , ( 2)aacb其中 f ( x ) d x 为定积分 .c+ ∞+ ∞∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫∫b∫ ( x - a) p( x - a) p ∫∫∫§3 瑕积分的性质与收敛判别277性质 3 设函数 f 的瑕点为 x = a , f 在 ( a , b] 的任一内闭区间 [ u , b] 上可b积 .则当af ( x )d x 收敛时∫,bbf ( x) d x 也必定收敛 , 并有ab∫f ( x ) d x ≤∫ f ( x) d x .( 3)aabb同样地 , 当af ( x )d x 收敛时 , 称 f ( x) d x 为绝对收敛 .又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的 .判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下 :定理 11 .6 ( 比较法则 ) 设定义在 ( a , b] 上的两个函数 f 与 g , 瑕点 同为 x = a, 在任何 [ u , b] ì ( a , b] 上都可积 , 且满足f ( x ) ≤ g( x) , x ∈ ( a , b] .b则当 g( x ) d x 收 敛时 ,abbf ( x ) d x 必定 收 敛 ( 或者 , 当aaf ( x)d x 发散 时 ,bg ( x ) d x 亦必发散 ) . a推论 1 又若 g( x) > 0 , 且 lim x → a +bf ( x )g( x)= c, 则有 :b( i) 当 0 < c < + ∞ 时 ,abf ( x ) d x 与 g( x ) d x 同敛态 ;ab( i i ) 当 c = 0 时 , 由∫g( x ) d x 收敛可推知∫ f ( x ) d x 也收敛; aabb( i ii ) 当 c = + ∞ 时 , 由∫g( x ) d x 发散可推知∫ f ( x ) d x 也发散 .aa当选用∫ d x b作为比 较对象 g( x) d x 时 , 比较法则及其 推论 1 成 为a如下的推论 :( x - a)pa推论 2 设 f 定义于 ( a , b] , a 为其瑕点 , 且在任何 [ u , b] ì ( a , b] 上可积 , 则有 :( i ) 当 f ( x) ≤1, 且 0 < p < 1 时 ,a bf ( x) d x 收敛 ;( i i) 当 f ( x) ≥ 1, 且 p ≥ 1 时 , a f ( x) d x 发散 .推论 3 设 f 定义于 ( a , b] , a 为其瑕点 , 且在任何 [ u , b] ì ( a , b] 上可积 .如果则有 :lim x → a +( x - a)pf ( x ) = λ,b∫ ∫ ∫x 278第十一章 反 常 积 分b( i ) 当 0 < p < 1 , 0≤λ< + ∞时af ( x)d x 收敛 ;b( ii) 当 p ≥ 1 , 0 < λ≤ + ∞ 时a例 1 判别下列瑕积分的收敛性 :f ( x)d x 发散 .1∫) ln x d x ; 2∫)0 x2x 1 ln xd x .解 本例两个瑕 积 分 的被 积 函数 在 各自 的 积分 区 间 上分 别 保持 同 号———ln x在 ( 0 , 1] 上恒为负 , x在 ( 1 , 2 ] 上 恒为 正———所以 它们 的瑕 积 分收 敛与 绝x对收敛是同一回事 .ln x 1) 此瑕积分的瑕点为 x = 0 .由上述推论 3 , 当取 p = 34< 1 时 , 有λ= lim x → 0 +3x 4·1ln x x= - limx → 0 +ln x1x-4所以瑕积分 1) 收敛 .= lim x → 0 +( 4 x 4 ) = 0 ,2) 此瑕积分的瑕点为 x = 1 .当取 p = 1 时 , 由λ = lim + x → 1 ( x - 1 ) · xln x = lim +x → 1x - 1 ln x = 1 ,推知该瑕积分发散 . 最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子 . 例 2 讨论反常积分的收敛性 .+ ∞Φ(α) =x α- 11 + xd x解 把反常积分 Φ( α) 写成1α- 1+ ∞α- 1Φ(α) =∫xd x +∫xd x 0 1 + x11 + x= I(α) + J(α) .( i) 先讨论 I(α) .当 α- 1≥ 0 , 即 α≥1 时它 是定积 分 ; 当 α< 1 时它是瑕 积 分 , 瑕点为 x = 0 .由于limx → 0 +α- 1 x1 - α·1 + x = 1 ,根据定理 11 .6 推论 3 , 当 0 < p = 1 - α< 1 , 即 α> 0 且 λ= 1 时 , 瑕 积分 I (α) 收1α∫∫ §3 瑕积分的性质与收敛判别279敛 ; 当 p = 1 - α≥1 , 即 α≤0 且 λ= 1 时 , I (α) 发散 .( ii) 再讨论 J(α) , 它是无穷积分 .由于α- 1lim x → + ∞ x 2 - α· x1 + x= lim x → + ∞ x 1 + x = 1 ,根据定理 11 .2 推论 3 , 当 p = 2 - α> 1 , 即 α< 1 且 λ= 1 时 , J(α) 收敛 ; 而当 p = 2 -α≤1 , 即 α≥1 且 λ= 1 时 , J(α) 发散 .由此可见 , 反常积分 Φ(α) 只有当 0 < α< 1 时才是收敛的 .习 题1 . 写出性质 3 的证明 .2 . 写出定理 11 .6 及其推论 1 的证明 .3 . 讨论下列瑕积分的收敛性 :( 1∫) ( 3∫) d x; (2 ) 0 ( x - 1 )2d x ; (4 ∫) 0 x ln xsin x d x ; 0 x362/ln x d x ; 0 1 - x ( 5∫)( 7∫) 1 arctan x 0 1 - x 3 d x ; (6 ) 1 sin 1 d x; (8 ) π62/ 0 + ∞ 1 - cos x x md x;e - xln x d x .0 x x 04 . 计算下列瑕积分的值 (其中 n 为正整数 ) :( 1∫) 1( ln x ) nd x ; (2 ) 0 π62/1x nd x .0 1 - xπ62/5 . 证明瑕积分 J =∫ln( s in x )d x 收敛 , 且 J = - πln 2 .( 提示 : 利用∫ln (sin x) d x =π62/0 2ln( cos x )d x , 并将它们相加 .)6 . 利用上题结果 , 证明 :π2( 1∫) θln( sin θ)d θ = - πln 2; 0 2( 2∫)θsin θd θ = 2πln 2 . 0 1 - cos θ2 1 π 11 π1∫2∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫ 280 第十一章 反 常 积 分 总 练 习 题1 . 证明下列等式 :1p - 1+ ∞- p( 1∫) x d x =∫ x d x , p > 0;0 x + 11x + 1 + ∞p - 1 + ∞- p( 2∫) xd x =∫ x d x , 0 < p < 1 .0 x + 1x + 1 2 . 证明下列不等式 :( 1) π <∫d x < π ;2 2 ( 2) 1 20 1 - 1e 1 - x 4 + ∞ <0 2 e - xd x < 1 + 1 . 2e 3 . 计算下列反常积分的值 :+ ∞+ ∞( 1) 0e- axcos bx d x( a > 0 ) ; (2)0 e- a xsin bx d x( a > 0 ) ;( 3∫)+ ∞ln x π62/ d x ;(4)ln( tan θ) d θ .01 + x 2+ ∞4 . 讨论反常积分sin bxd x ( b ≠ 0 ) , λ取何值时绝对收敛或条件收敛 . x5 . 证明: 设 f 在 [0 , + ∞ ) 上连续 , 0 < a < b . (1) 若 lim x → +∞f ( x) = k , 则+ ∞f ( ax) - f ( bx)x+ ∞d x = ( f (0) - k) ln b;a(2) 若af( x)d x 收敛 , 则x 6 . 证明下述命题 :+ ∞f ( ax) - f ( bx)xd x = f (0) lnb .a+ ∞(1) 设 f 为[ a , + ∞) 上的非负连续函数 .若a+ ∞x f ( x )d x 收敛 , 则 af ( x) d x 也收敛 . (2) 设 f 为 [ a , + ∞ ) 上的连续可微函数 , 且当 x → + ∞ 时 , f ( x) 递减地 趋于 0 , 则+ ∞ + ∞f ( x ) d x 收敛的充要条件为 aax f ′( x ) d x 收敛 .●。
高等数学5-4反常积分
电磁学
在电磁学中，反常积分用于计算电磁波的传播 和散射特性。
热力学
在热力学中，反常积分用于计算热传导、热辐射和热对流等过程的热能分布。
在概率论中的应用
随机过程
在随机过程中，反常积分用于计算随机事件 的概率分布和概率密度函数。
统计推断
在统计推断中，反常积分用于计算样本数据 的统计特征和参数估计。
贝叶斯推断
05
反常积分的注意事项
计算过程中的常见错误
1 2 3
积分区间选择不当
在计算反常积分时，选择正确的积分区间至关重 要。如果积分区间选择不当，可能会导致计算结 果不准确或错误。
积分上限或下限错误
在计算反常积分时，需要注意积分上限或下限的 取值。如果取值错误，会导致计算结果偏离正确 值。
积分函数处理不当
感谢您的观看
THANKS
比较法
通过比较两个反常积分的敛散性来判断其敛散性。如果两个反 常积分具有相同的敛散性，则可以判断它们的敛散性。
如何处理无界函数和瑕点
无界函数的处理
在处理无界函数时，需要将其限制在 有界区间内进行积分。这样可以避免 无界函数对积分结果的影响。
瑕点的处理
在处理瑕点时，需要将其排除在积分 区间外。这样可以避免瑕点对积分结 果的影响。
Байду номын сангаас
反常积分的可加性
定义
如果两个反常积分 $int_{a}^{b}f(x)dx$ 和 $int_{c}^{d}f(x)dx$ 的极限都存在， 且 $lim_{x to a+}(F(x)-F(a))=lim_{x to c+}(F(x)-F(c))$，则称反常积分具 有可加性。
应用
在处理反常积分时，可加性可以帮助 我们简化计算，将复杂的积分拆分成 几个简单的积分进行处理。
反常积分概念.
(1)
e
0
x
dx
(2)
1
1 x4
dx
(3)
1
1 dx x
解：
(1)
1be x dx
e x
b 1
1 eb
lim (1
b
eb
)
1
lim
b
1 eb
1
故
0
e
x
dx收敛，且
0
e
xdx
1
(2)
b 1
1 x4
dx
1 3x
3
b 1
1 3
1 3
b3
lim (
b
1 3
1 3b3
)
1 1 lim 3 3 b
a
b
简化上述过程： dx 1 x2
[arctanx]
2
( )
2
其中[arc
tanx]
应理解为lim x
arc
tan
x
lim
x
arc
tan
x
解(2):
0
xex
2
dx
[
1 2
ex2
]0
1 2
(0 1)
1 2
练习2：求下列无穷积分：
(1)
xe
x2 2
dx
(2)
0
e
x
dx
例6.
试确定广义积分 发散.
1
1 x2
dx
(2)
1
x
2dx
a dx
例7 计算反常积分 0
a2 x2
解 lim 1 , xa0 a2 x2
(a 0).
x a 为被积函数的瑕点.
11-1反常积分的概念
0 dt 2 t2
(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的反常积分.
前页 后页 返回
思考题
积分
1
0
ln x xHale Waihona Puke 1dx的瑕点是哪几点？
前页 后页 返回
思考题解答
积分
1
0
ln x x1
dx
可能的瑕点是
x
0,
x1
lim ln x lim 1 1, x 1 不是瑕点, x1 x 1 x1 x
e pt ]0
1 lim te pt 0 1 (0 1) 1
p t
p2
p2
前页 后页 返回
引例2 曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积 可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim
1 dx
lim 2
1 x
x u 0 u
u 0
u
lim 2(1 u ) u 0
区间 [a, u] 上可积. 若存在极限
u
lim f ( x)dx J ,(1)
u a
则称此极限 J 为函数 f 在 a , 上的无穷限反
常积分(简称无穷积分),记作
J a f ( x)dx,
并称 f ( x)dx 收敛, 否则称 f ( x)dx 发散.
.
前页 后页 返回
2）任取实数a，讨论如下两个 无穷积分：
y
y
1 1 x2
由于
a dx
1 x2 和
dx a 1 x2
a dx
数学分析(下)11-1反常积分概念
§1 反常积分概念反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分是定积分概念的推广.一、反常积分的背景二、两类反常积分的定义返回一、反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件在讨论定积分时有两个最基本的条件：：积分区积分区间间但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例1(第二宇宙速度问题第二宇宙速度问题））在地球表面垂直发射火的有穷性; 被积函数的有界性.上的“积分”或无界函数的“积分”.箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v 0至少要多大至少要多大？？于是流完一桶水所需时间为二、两类反常积分的定义区间[a, u ]上可积. 若存在极限lim()d ,uau f x x J ®+¥=ò则称此极限J 为函数 f 在上的无穷限无穷限反反[)¥+,a ()d ,aJ f x x +¥=ò()d ,af x x +¥ò并称收敛()d .af x x +¥ò否则称发散定义1设函数f 定义在[a, +¥)上, 且在任何有限常积分(简称无穷积分),记作类似定义()d lim()d ,bbuu f x x f x x -¥®-¥=òò()d ()d ()d .a af x x f x x f x x +¥+¥-¥-¥=+òòò).a -¥+¥其中是(，内任意一点域内无内无界界, 但在任何内闭区间[u ,b ] 上有界且可积. 如果存果存在极限在极限lim ()d ,buu af x x J +®=ò定义2 设函数f 定义在(a , b ] 上, 在a 的任意右邻则称此极限为无界函数 f 在(a , b ] 上的反常积分, ()d ,baJ f x x =ò()d baf x x 则称发散.ò()d ba f x x 并称收敛.òlim ()d ,buu a f x x 若极限不存在+®ò类似定义瑕点为b 时的瑕积分()d lim ()d .buaau bf x x f x x -®=òò()d ba f x x 又称为瑕积分,ò通常称a 为f 的瑕点.记作其中f 在[a , b ) 有定义, 在b 的任一左邻域内无界, ()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+òòòlim ()d lim ()d .u bavu cv cf x x f x x -+®®=+òò若f 的瑕点, 定义(,)c a b Î()d ()d ,()d cbbacaf x x f x x f x xòòò若和都收敛则称.收敛[,][,]a u a b Ì在任何上可积.d x+¥1茨公式写作11æö是否必有lim ()0?x f x ®+¥=2.()[,)f x a +¥在上非负连续, ,0)(lim =+¥®x f x 是否可推得()d a f x x +¥ò收敛?3.()[,)f x a +¥在上定义, 且.)(lim A x f x =+¥®复习思考题()d 0?af x x A +¥=ò当收敛时,是否必有1.()[,)f x a +¥在上非负连续, 且收敛, ()d a f x x +¥ò作业P276：1（1）、（3）、（5）、（7）2（2）、（4）、（6）、（8）。
反常积分
第十一章反常积分教学要点：反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。
教学内容：§1 反常积分的概念（4学时）反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。
§2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时）无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。
§3 瑕积分的性质与收敛判别瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。
教学要求：掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。
1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点.2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。
§1 反常积分概念教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法．教学内容：无穷积分；瑕积分．教学建议：讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出1、为什么要推广Riemann 积分定积分()ba f x dx ⎰有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间；其二，若[,]f R a b ∈，则0M ∃>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。
这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。
例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？解： 设地球半径为，火箭质量为，地面重力加速度为，有万有引力定理，在距地心处火箭受到的引理为于是火箭上升到距地心处需要做到功为当时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为时，水从小孔里流出的速度为设在很短一段时间内，桶里水面降低的高度为，则有下面关系：由此得所以流完一桶水所需的时间应为但是，被积函数在上是无界函数，，所一我们取相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。
反常积分
第十一章 反常积分§1 无穷限反常积分概念教学目的：掌握无穷限反常积分的概念，反常积分的收敛与发散的判别法。
重点难点：反常积分的收敛与发散的判别法。
教学内容：前面讨论的定积分，事实上有两个前提：积分区间是有限的；被积函数是有界的.但实际问题常常要突破这两个前提,要求我们将函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分⎰badx x f )(从不同方面予以推广.例如，将区间[]b a ,推广到无限区间(][)()+∞∞-+∞∞-,,,,,a b ，就有无限区间的反常积分，简称无穷积分；将区间[]b a ,的有界函数)(x f 推广到无界函数，就有无界函数的反常积分，简称瑕积分.将被积函数由一元函数推广到多元函数就有含参变量积分，等等. 一 问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”，或是无界函数的“积分”，这便是本章的主题．引例1求曲线21y x=和直线1x =及x 轴所围成的开口曲边梯形的面积？解：曲边梯形的面积可看做21d xA x +∞=⎰其含义可理解为211d 1limlim 1lim 11bbb b b x A x x b →+∞→+∞→+∞⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰例1 (第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭(图11—1)，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度0v 至少要多大？设地球半径为R ，火箭质量为m,地面上的重力加速度为g 。
按万有引力定律，在距地心)(R x ≥处火箭所受的引力为.22x mgR F = 于是火箭从地面上升到距离地心为)(R x >处需作的功为).11(222r R mgR dx x mgR rR-=⎰ 当+∞→r 时，其极限mgR 只就是火箭无限远离地球需作的 功．我们很自然地21y x =A1会把这极限写作上限为∞+的“积分”： .lim 2222mgR dx x mgR dx x mgR r R r R==⎰⎰+∞→∞+最后，由机械能守恒定律可求得初速度0v 至少应使.2120mgR mv =用)(10371.6)/(18.962m R s m g ⨯==，代人，便得 )./(2.1120s km gR v ≈=相对定积分(不妨称之为正常积分)而言，上面两例分别提出了两类反常积分. 二 无穷限反常积分的定义定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限J dx x f uau =⎰+∞→)(lim， (1)则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作 dx x f J a ⎰+∞=)(， (1') 并称dx x f a ⎰+∞)(收敛．如果极限(1)不存在，为方便起见，亦称dx x f a ⎰+∞)(发散． 类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分： .)(lim)(dx x f dx x f buu b⎰⎰-∞→∞-= )2(对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：.,)()()(dx x f dx x f dx x f aa ⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞+= (3) 其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的． 注1 无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值，都和实数a 的选取无关．注2 由于无穷积分(3)是由(1)、(2)两类无穷积分来定义的，因此，f 在任何有限区间),(],[+∞-∞⊂u v 上，首先必须是可积的．注 3 dx x f a ⎰+∞)(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线)(x f y =，直线a x =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ．设)(x F 是)(x f 的一个原函数,并记)()(lim x F F x +∞→=+∞, )()(lim x F F x -∞→=-∞则无穷积分可表示为⎰+∞a dx x f )(=)()()(a F F x F a -+∞=+∞ ⎰∞-bdx x f )(=)()()(-∞-=∞-F b F x F b⎰+∞∞-dx x f )(=)()()(-∞-+∞=+∞∞-F F x F即得到了与牛顿-莱布尼茨公式相似的表达式,所不同的是)(+∞F 与)(-∞F 是一种极限运算,当极限存在时, )(+∞F 与)(-∞F 表示极限值,当极限不存在时)(+∞F 与)(-∞F 只是记号,不表示数值.因此无穷积分的敛散性,取决于极限)(+∞F 与)(-∞F 是否存在. 显然,求无穷积分的基本思路是:先求定积分,再取极限.例1 计算下列无穷积分（1）dx x ⎰+∞∞-+211 （2）dx e x ⎰+∞-0 （3）⎰+∞-02dx xe x （4）dx x x e ⎰+∞2)(ln 1 解: （1）dx x ⎰+∞∞-+211=+∞∞-x arctan =x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→- =πππ=--)2(2（2）dx e x ⎰+∞-0=+∞--0xe =0)(lim e e x x +--+∞→=1（3）⎰+∞-02dx xe x =21-)(022⎰+∞--x d e x =∞+--0221xe =)21(lim 2x x e -+∞→-+21=21 （4）dx x x e⎰+∞2)(ln 1=x d x e ln )(ln 12⎰+∞=ex∞+-ln 1=ex x ln 1ln 1lim++∞→=1例2 讨论无穷积分 ⎰∞+1p xdx)4( 的收敛性．解 由于{,1),1(11,1,ln 11≠--=-=⎰p u p p u up p xdx{1,11,11l i m >-≤∞++∞→=⎰p p p up u xdx 因此无穷积分(4)当户>1时收敛，其值为11-p ；而当1≤p 时发散于.∞+ 例3 讨论下列无穷积分的收敛性： ;)(ln )12⎰∞+p x x dx.1)22⎰∞+∞-+x dx （2d 0?1x x x +∞-∞=+⎰对吗）解 1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的，因此有关定积分的换元积分法和分部积分法一般都可引用到无穷积分中来．对于本例来说，就有 .)(ln 2ln 2⎰⎰∞+∞+=pp tdt x x dx从例3知道，该无穷积分当1>p 时收敛，当1≤p 时发散． 2)任取实数a ，讨论如下两个无穷积分： ⎰∞-+a x dx 21 和 .12x dxa +⎰∞+由于,2arctan )arctan (arctan lim 1lim2π+=-=+∞→-∞→⎰a u a x dxu au u,arctan 2)arctan (arctan lim 1lim 2a a v x dxv va n -=-=++∞→+∞→⎰π因此这两个无穷积分都收敛．由定义1， .111222π=+++=+⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-a s x dxx dx x dx注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质，否则会出现错误。
§1反常积分的概念共23页文档
§1反常积分的概念
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴