3.1.2共线向量与共面向量2

例5 如图，已知平行四边形ABCD，从平
面AC外一点O引向量 OE kOA, OF kOB,
OG kOC , OH kOD ,求证：
O
⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC。
A
D B
C
D' A' B'
C'
1.下列命题中正确的有：
(1) p xa yb p与 a 、 b 共面 ;
D.在空间共线的向量在平面内一定共线
2.下列说法正确的是：
A.平面内的任意两个向量都共线
B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的 是：
A.若
OP OA t AB
，则P、A、B共线
B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM 3OP－OA
(2) OP 4OA OB OM
注意：
空间四点P、M、A、B共面 存在唯一实数对 （x , y ） , 使得MP xMA yMB
OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
4.若对任意一点O，且 OP xOA y AB ，
则x+y=1是P、A、B三点共线的：
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设点P在直线AB上并且AP PB( 1)
，O为空间任意一点，求证：
OA OB OP 1
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
O
a a
A

注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a , b
不共线,则向量 p 与向量 a , b共面的充要
条件是存在实数对x, y 使P
xa yb
b
B
p
A
P
M a A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使
MP xMA yMB
或对空间任一点O,有OP OM xMA yMB
例3 对空间任意一点O和不共线的三点
A、B、C，试问满足向量关系式
OP xOA yOB zOC
（其中 P、A、B、 x y z ）的四点 1
C是否共面？
例4
已知A、B、M三点不共线，对于平面
C.不共面向量
B.共线向量
D.既不共线又不共面向量
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， OM xOA ＋ OB ＋ OC ,则x 3 3 的值为：
A. 1
B. 0
C. 3
1 D. 3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的 方向向量. P
aபைடு நூலகம்
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
若P为A,B中点, 则 1 OP OA OB 2


O
B A
例1 已知A、B、P三点共线，O为空间任
共线向量与共面向量
江苏如东马塘中学 张伟锋
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
意一点，且OP OA OB，求 的值.
例2 用向量的方法证明：顺次连结空间 四边形各边中点所得的四边形为平行四 边形。
A E
H D F C G
B
1.下列说明正确的是：
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线
(2) p 与 a 、 b 共面 p xa yb ；
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2 MA －MB 2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、
它们一定是：
A.共面向量
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
(2) OP 2OA 2OB OC ；
5. 课本第31页
练习
1、 2 。
三、课堂小结：
1.共线向量的概念。
2.共线向量定理。
3.共面向量的概念。 4.共面向量定理。