高考数学模拟小练习8

y AOxB C2009年高考数学模拟小练习8一、选择题：1、在复平面内，复数2i)31(i1i-++对应的点位于（ ） A .第一 B .第二象限 C .第三象限 D.第四象限 2、生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲 丙两工人中安排1人,则不同的安排方案有( )A.24种B.36种C.48种D.72种 3、定义在R 上的函数f (x )的图象关于点（43-，0）对称，且满足f (x )= -f (x +23)，f (1)=1，f (0)=-2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2009)的值为（ ） A.1 B.2C.3D.4二、填空题：4、椭圆92x +42y =1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是5、已知m,n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列是命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β； ③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β； ④若n α，m α且n ∥β,m ∥β，则α∥β；⑤若m,n 为异面直线，n ∈α，n ∥β，m ∈β,m ∥α,则α∥β； 则其中正确的命题是 。

（把你认为正确的命题序号都填上）。

6、如图，非零向量,OA OB 与x 轴正半轴的夹角分 别为6π和23π，且0OA OB OC ++=，则OC 与x 轴正半轴的夹角的取值范围是三、解答题： 7、如图,在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是AB 、AC 上的动点，满足AE=BF .(Ⅰ)求证：C A '⊥'(Ⅱ)当三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时，求二面角B ′—EF —B 的大小(结果用反三角函数表示).8、某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求：（1）3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率；（2）3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率.9、已知f (x ) = x ωϕ+) – cos (x ωϕ+) (0＜ϕ＜π，ω＞0)，若f (–x ) = f (x )，f (x ) = f (π–x )对任意实数x 都成立． （i ）求f (4π)的值． （ii ）将函数y = f (x )的图象向右移6π个单位后，再将得到的图象上的各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变得到函数y = g (x )的图象，试求y = g (x )的对称中心。

10、将数列{a n }的所有项按第1行一个数，第2行2个数，第n 行的数的个数是第n – 1行中数的个数的2倍，排成如下数表1234567a a a a a aa记表中第1列的数a 1，a 2，a 4……构成新的数列{b n }，b 1 = a 1 = 1，{b n }前n 项的和记为S n 且S n +1 = 3S n + 2n +1． （1）求{b n }的通项公式；（2）上表中，若从第三行起，每一行中的数从左至右构成等差数列且公差为同一常数，当a 260 = 18771时，求上表中第k 行（k ≥3）中所有数之和S k四、8答案： 1、【解答】 2i)31(i 1i -++=i )3221(23i)322(2i)1i(-+-=--+-.这里322123--与都是负数，故复数2i)31(i1i -++对应的点位于第三象yAOxBC限，选C2【解答】解：依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有2412A =种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有12A ⋅2424A =种；∴则不同的安排方案共有21242436A A A +⋅=种。

3、【解答】 由f (x )= -f (x +23)⇒f (x +3)= f ［(x +23）+23］=-f (x +23)=f (x )知f (x )是最小正周期T =3的周期函数；由f (x )的图象关于点（43-，0）对称，知（x,y ）的对称点是（-23-x ，-y ）.也就是若y =f (x )，则必-y =f (-23-x )，或y =-f (-23-x ). 而已知f (x )=-f (x +23)，故f (-23-x )= f (x +23),今以x 代x +23，得f (-x )= f (x )，故知f (x )又是R 上的偶函数.于是有：f (1)=f (-1)=1；f (2)= f (2-3)=f(-1)=1；f (3)= f (0+3)= f (0)=-2;∴f (1)+f (2)+f (3)=0，以下，这个数列每3项之和为0. 而2009=3×669+2， 于是f (2009)=0×669+f (1)+f (2)=2，故选A.4、【解答】设P(x,y)，则当∠F 1PF 2=90°时，点P 的轨迹方程为x 2+y 2=5，由此可得点P 的横坐标x=±53，又当点P 在x 轴上时，∠F 1PF 2=0；点P 在y 轴上时，∠F 1PF 2为钝角，由此可得点P 横坐标的取值范围是-53<x<53。

5、【解答】依题意可构造正方体AC 1，如图1，在正方体中逐一判断各命题易得正确命题的是②⑤。

6、【解答】OC 与x 轴正半轴的夹角的取值范围应在向量 ,OA OB --与x 轴正半轴的夹角之间，故OC 与x 轴正半轴的夹角的取值范围是5(,)36ππ．7、【解答】(1)如图，以B 为原点，直线BC,BA,BB ′分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，并设||||==x ,则有:A ′(0,a,a ),C ′(a ,0,a ). E (0,a -x ,0)，F (x ,0,0),∴A '=(x ,-a ,-a )，E C '=(-a ,a-x,-a).∵F A '·E C '=(x,-a,-a )(-a,a-x,-a )=-ax-a 2+ax+a 2=0， ∴A '⊥C '.(2)V B ′—BEF=31S △EEF ·|B B |=31·21(a-x )·x ·a =61a (a-x )·x ≤61a ·322412)(a x x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-， 当且仅当a-x=a ，即x =2a时, (V B ′—BEF )max =3241a ， 此时E 、F 分别为AB,BC 的中点,必EF ⊥BD .设垂足为M ，连B ′M ,∵BB ′⊥平面ABCD , 由三垂线定理知B ′M ⊥EF ,∠BMB ′是二面角B ′—EF —B 的平面角, 设为θ,∵|BM |=a BD 42||41= ∴tan θ=2242a a.即θ=arctan22，则二面角B ′—EF —B 的大小为arctan22.8、【思考】 本题的实质是检查3个灯泡，可视为3次独立重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A 恰好发生2次（事件A 是“灯泡的使用时数在1000小时以上”）；（2）中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况，即事件A 发生2次和发生3次，可用独立重复试验的方法求解.【解答】 设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A ，则P （A ）=0.7,检查3个灯泡可视为3次独立重复试验.(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰好坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A 恰好发生2次.∴P 3(2) =C 23(0.7)2(1-0.7)3-2=3×0.49×0.3=0.441.(2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况，它们彼此互斥，相当于A 发生2次和发生3次的概率和，即所求概率为P 3（2）+P 3(3)=0.441+C 330.73=0.784.9、【解答】（1）f (x ) = sin (x ωϕ+) – cos (x ωϕ+) = 2sin (6x πωϕ+-)由f (–x ) = f (x )可得sin cos()6x πωϕ⋅-= 0 ∴cos()6πϕ-= 0 ∴23ϕπ=又∵f (x ) = f (π–x ) ∴f (π–x ) = f (–x ) ∴周期T = π ∴ω= 2 ∵f (x ) = 2cos 2x ∴f (4π) = 0 （2）g (x ) = f (46x π-) = 2cos2 (46x π-) = 2cos(23x π-) ∴23x π-= k 2ππ+ ∴x = 2 k 53ππ+∴对称中心为（2 k 53ππ+，0）k ∈Z10、【解答】由S n +1 = 3S n + 2n +1可得：b n +1 = 3b n + 2n ∴b n +1+ 2n +1 = 3 (b n + 2n )∴{ b n + 2n }为等比数列∴b n + 2n = (b 1 + 2)·3n –1 ∴b n = 3n – 2n（2）∵1 + 21 + 22 + …+ 27 = 28 – 1 = 255．∴a 260是第9行中的第5个数设公差为d ，则a 260 = a 256 + 4d ．又∵a 256 = b 9 ∴a 260 = b 9+ 4d ．∴18771 = (39 – 29) + 4d ∴d = –100又∵第k 行中的数列的首项为b k ，公差为d ，项数为2k –1． ∴S k = 1112(21)2(32)(100)2k k k kk---⋅-⋅-+⋅-=112(352250)k k k ---⨯+。