2函数三要素-讲义版
二次函数(基础思想)讲义
二 次 函 数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。
2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。
⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。
基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是 。
5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。
7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。
高考数学一轮复习讲义—函数的三要素
高考数学一轮复习讲义—函数的三要素一、定义域(1) 常规函数的定义域（知识点总结）⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩经典例题：1. （2013安徽11）函数的定义域为_______．2. （2011江西3）若()f x =，则的定义域为A ．(,0)B ．(,0]C ．(,)D ．(0,)3. （2008湖北8）函数1()f x x=的定义域为（ ） A ．(,4][2,)-∞-+∞ B ．(4,0)(0,1)-C ．[4,0)(0,1]- D ．[4,0)(0,1)-1ln(1)y x=++)(x f 21-21-21-∞+∞+作业布置：1. （2020北京11）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是_______．2. （2012山东3）函数A ．B ．C ．D ．3. （2014山东3）函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为A ．)210(，B ．)2(∞+，C ．),2()210(+∞ ， D ．)2[]210(∞+，，4. （2008安徽13）函数2()f x =的定义域为_____．(2) 抽象函数的定义域：（知识点总结）⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩经典例题：1. （2013大纲4）已知函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)21()ln(1)f x x =++[2,0)(0,2]-(1,0)(0,2]-[2,2]-(1,2]-2. （2006湖北4）设2()lg2x f x x +=-，则2()()2x f f x+的定义域为（ ） A ．(4,0)(0,4)- B ．(4,1)(1,4)-- C ．(2,1)(1,2)--D ．(4,2)(2,4)--3. 已知函数(21)f x +的定义域是(1,3)，则函数(3)f x -的定义域是（ ）A ．(1,3)B ．(4,0)-C ．(2,3)D ．以上都不对二、函数的值域（常见方法总结）⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩经典例题：1. （2007全国8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2 C． D ．42. （2012山东15）若函数在[]1,2-上的最大值为4，最小值为m ，且函数上是增函数，则a =＿＿＿＿．()(0,1)xf x a a a =>≠()(14g x m =-[0,)+∞3. （2015浙江）已知函数23,1()lg(1),1x x f x xx x +-⎪=⎨⎪+<⎩≥，则((3))f f -=_______，()f x 的最小值是______．4. （2015福建14）若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(0a > 且1a ≠ )的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是 ．5. （2007重庆16）函数()f x =______．6. （2010重庆12）已知0,t >则函数241t t y t-+=的最小值为 ．7. （2004湖北8）已知52x ≥，则()24524x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值18. （2021新高考一15）函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为______．9. （2008重庆12）函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ）A ．11[,]44-B ．11[,]33-C ．11[,]22-D ．22[,]33-作业布置：1. （2010山东3）函数()()2log 31xf x =+的值域为A ．()0,+∞B ．)0,+∞⎡⎣C ．()1,+∞D ．)1,+∞⎡⎣2. （2015山东14）已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[1,0]-，则a b += ．3. （2013北京13）函数的值域为 ．4. （2014重庆12）函数())2log 2f x x =的最小值为______．5. （2021全国乙8）下列函数最小值为4的是（ ）A ．224y x x =++ B ．4|sin ||sin |y x x =+C ．222xxy -=+ D ．4ln ln y x x=+6.12log ,1()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪ <⎩。
函数三要素的确定(2)-课件
（2）当1t 3时，路程 S 所对应的集合为
S 260 S 760.
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域.
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域. (1) x R;
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
例 4：求函数 f x x2 2x 1 的值域.
解：
f
x
x2
2x
1
x2
x2
2x 2x
1,x 1, x
1 2 1 2
, .
当
x
1 2
时，
y
0；
例 4：求函数 f x x2 2x 1 的值域.
解：
f
x
x2
2x
1
x
2
x2
2x 2x
1,x 1, x
1 2 1 2
, .
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域.
(1) x R; (2) x 2,4; (3) x 1,4.
解：画出二次函数 f x x2 2x 3的图象，在
不同条件下求出值域
（1） y 2,; （2） y 3,11;
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
为S 260,385,760.
解：高铁所行驶的路程S 与时间t的对应关系为
S 250t 10，
（1） 当t 1,t 1.5,t 3时，路程S 所对应的集合
为S 260,385,760.
（2）当1 t 3时，
解：高铁所行驶的路程 S 与时间t 的对应关系为 S 250t 10， （1） 当t 1,t 1.5,t 3时，路程S 所对应的集合
1.2.2 函数的三要素
函数的三要素定义域A值域 { f(x)|x∈A}对应关系f函数的“三要素”（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R 函数定义域25y x x =+-x R ∈（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合25y x =-5x ≠（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合（3）f(x)为偶次根式，函数定义域为使 根号内的式子≥0 的实数的集合5y x =-50x -≥（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合（3）f(x)为偶次根式，函数定义域为使 根号内的式子＞0 的实数的集合（4）f(x)为对数式，函数的定义域为 真数＞0 的实数的集合2log (5)y x =-50x -＞（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合（3）f(x)为偶次根式，函数定义域为使 根号内的式子≥0 的实数的集合（4）f(x)为对数式，函数的定义域为 真数＞0 的实数的集合（5）如果f(x) 由几个数学式子构成时，那么函数的定义域为使各部分式子都有意义的实数集合。
235y x x =+--53x x ≠≥且256()2x x f x x -+=-求函数的定义域解：依题有256020x x x -+≥-≠解得:23<≥x x 或:265)(2的定义域是-+-=∴x x x x f }23{<≥x x x 或例322()11f x x x =-+-求函数的定义域()[1,1]()(,1][1,)()[0,1](){1,1}A B C D --∞-+∞- 例4221010x x -≥-≥2111x x x ===-或函数定义域（二）复合函数的定义域求法（1）已知f(x) 的定义域，求f[g(x)]的定义域（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x) 的定义域方法：令z=g(x)，且 f(x)=f(z)（函数与自变量的字母无关）（二）复合函数的定义域求法（1）已知f(x) 的定义域，求f[g(x)]的定义域()[1,3],(21)f x f x-若的定义域是求的定义域例5解：令z=2x-1，且f(x)=f(z)因为f(z)的定义域是[1,3]，所以1≤z≤3因z=2x-1，所以1≤2x-1≤3，所以因此12x≤≤(21){12}f x x x-≤≤的定义域是（二）复合函数的定义域 求法（2）已知 f [g(x)] 的定义域，求 f(x) 的定义域(21)[1,5],()f x f x --若的定义域是求的定义域例6解：令 z=2x-1，且 f(x)=f(z)因为f(2x-1)的定义域是[-1,5]，所以-1≤x≤5，即 -3≤ 2x-1 ≤9因z=2x-1，所以-3≤ z ≤9因此，即(){39}f z z z -≤≤的定义域是(){39}f x x x -≤≤的定义域是()[3,5],(21)f x f x +若的定义域是求的定义域练习12()[1,3],()f x f x -若的定义域是求的定义域练习2答案：[1,2]答案：[0,9]（三）已知函数的定义域，求含参数的取值范围的定义域是一切实数函数为何值时当例347,:2+++=kx kx kx y k 430:,0:0)2(<<<∆≠k K 解得时当304k £< (1)当K =0时, 3≠0成立函数定义域综上所述：函数表达式例7 已知二次函数f(x+1)=4x2-6x+5 ,求f(x) .解：令z=x+1，f(z)=f(x)则x=z-1，代入二次函数f(x+1)=4x2-6x+5 得到f(z)=4(z-1)2-6(z-1)+5=4z2-14z+15所以 f(x)=4x2-14x+15练习3 已知，求函数f(x) 的解析式.函数值域例8 已知 ,求 f(x)的值域 . 解：230由右图可以看出f(x)的值域是(-∞,3)∪(3,+∞)数形结合函数值域函数值域：min ≤ f(x) ≤ max（x1 ≤ x ≤ x2 ）求函数的值域，即求函数在定义域的最大值和最小值.x1x2。
函数的三要素精讲
函数三要素一．函数的定义域 1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零 (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （7）复合函数定义域例1： 求下列函数的定义域（1） 8|3x |15x 2x y 2-+--=（2） 2|1|)43(432-+--=x x x y（3） )103(log 22327---=x x y（4） y=xx x -+||)1(0; (5) y=232531x x -+-;(6) y=1·1-+x x .2：复合函数定义域：已知函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[()]f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式得结果。
例2：1.函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： （1）y=f(3x); (2)y=f(x1); (3)y=f()31()31-++x f x2.函数(2)x f 的定义域为[1,2],求2(log )f x 的定义域3．已知()f x 的定义域为［－2，2］，求2(1)f x -的定义域。
4．已知(21)f x +的定义域为［1，2］，求()f x 的定义域。
5．已知()f x 的定义域为［0，1］，求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。
6．已知函数1()1xf x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则 ()A A B B = ()B A B ≠⊂ ()C A B = ()D A B B =二．函数的值域1观察法：对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
2023年高考理数第二章《函数》复习知识PPT讲义
二、教材改编 1．若函数 y＝f(x)的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝ {y|0≤y≤2}，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
A
B
C
D
B [由函数定义可知，选项 B 正确．]
16
2．函数 y＝ 2x－3＋x－1 3的定义域为(
)
A.32，＋∞
B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
[－1,2] [因为 y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]，所以 x∈[－ 3， 3]，x2－1∈[－1,2]，所以 y＝f(x)的定义域为[－1,2]．]
30
函数 f(g(x))的定义域指的是自变量 x 的取值范围，而不 是 g(x)的取值范围．(如本例[逆向问题])
31
1.函数 f(x)＝ 31x－2 x＋lg(3x＋1)的定义域是(
A，B
映射 设 A，B 是非空的集合
8
如果按照某种确定的对应关 如果按某一个确定的对应关 对应关
系 f，使对于集合 A 中的任意 系 f，使对于集合 A 中的任意 系 f：
一个数 x，在集合 B 中都有 一个元素 x，在集合 B 中都有 A→B
唯一确定的数 f(x)和它对应 唯一确定的元素 y 与之对应
a＝1，
解得b＝－5， c＝9，
所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
39
法二：(换元法) 令 2x＋1＝t(t∈R)，则 x＝t－2 1， 所以 f(t)＝4t－2 12－6·t－2 1＋5＝t2－5t＋9(t∈R)， 所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
40
法三：(配凑法) 因为 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． (2)(解方程组法) 由 f(－x)＋2f(x)＝2x，① 得 f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
函数的概念,三要素的求法（整理版）
函数的概念：A.a叫做A中元素的象集是B的子集.f映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：；）函数定义的理解.定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.表示；表示；表示；相等？；；.）y、已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
2.函数三要素与性质
第一讲 函数、方程、不等式函数是描述变量之间相互关系的重要模型，高中阶段把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应语言加以刻画。
函数思想与方法贯穿高中课程的始终。
无论是高考还是自主招生考试，均把函数部分列为重点内容，无论从数量还是质量上都占有较大比例。
在复习的过程中应系统的归纳高中数学阶段所学函数的基本性质，这样才会对我们加深函数概念的理解有所帮助。
与此同时，还应总结研究一般函数的方法，以便帮助我们提高研究函数性质的能力。
在自主招生中，有关函数的问题大约占到总分的20℅—30℅，其中的热点问题有： （1）函数的概念问题； （2）函数迭代；（3）简单的函数方程；（4）函数的极值、最值、值域问题； （5）函数图象与性质（有界性）； （6）方程根的问题； 一、函数的概念函数概念中最重要的是对变量与对应法则（具体函数表现为运算法则）的理解，自变量用哪一个字母来表示并不重要，同一字母在不同的表达式中意义也不一定相同；对应法则的运算对象并不一定是（如：对于函数(1)y f x =-①，当我们研究函数(1)y f x =-的性质时，应将①式中的x 视为自变量，而在研究函数()y f x =②的性质时，应将①式中的1x -整体视为自变量，①、②两式中同一字母x 的意义并不一致，实际上①式中1x -与②式中x 都作为同一对应法则f 的运算对象，取值自然都受f 的制约）。
2.若2(),1x f x x=+且1()(())n n f x f f x -=，则99(1)f =3．（04交大）已知11(),1xf x x-=+记()11()()k k f x f f x +=，且366()()f x f x =，则28()f x = 4．设()23331x x x x f +-=,记()()()()()x f f x f x f x f n n 11,-==, 则()x f 10=101010333(1)x x x +-． 解法1：()33233133(1)x x f x x x x x ==-+-+，则()3333233333333(1)1(1)(1)x x x f x x xx x x x ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ 999(1)xx x =-+，归纳可得()x f 10=101010333)1(--x x x 5.已知1()12tf t t+=-，对任意n N +∈，定义11()(),()(())n n f t f t f t f f t +==，若1331()()f t f t =，则16()f t = 解111()(()),()(())n n n n f t f f t f t f f t -++==由有，由1331()()f t f t =，111331(())(())f f t f f t --=，即1230()()f t f t =，依次可得111129161()(),,()(())1f t f t f t f f t t--===-6．1(),1xf x x +=-记()11()(),()()k k f x f x f x f f x +==，则2007()f x =（ ） A ．11x x +- B ．11x x -+ C ．x D ．1x-7．已知121(),1x f x x-=+记()11()()k k f x f f x +=，若355()()f x f x =，则28()f x =解：2212()11()(())()11()x f x x f x f f x f x f x x---====++， 同理3456211();();();()2112x x f x f x f x f x x x x x ----====---综上有6()()n n f x f x +=，故2841()()1f x f x x ==-法2。
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函数的三要素【知识点】 一、函数的定义域（1）研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提，要树立定义域优先的原则． （2）函数的定义域常由其实际背景决定，若只给解析式时,定义域就是使此式子有意义的实数x 的集合（区间表示）． 常见定义域的求法：常见定义域求法：对于()x f y =而言： ①整式：实数集R ；②分式：使分母不等于0的实数的集合； [1(0)x x≠] ③0指数幂：底数不等于零； [0(0)x x ≠]④偶次根式：使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； [2(0)n x x ≥] ⑤对数：真数大于零； [log (0)a x x >]⑥由几个部分的式子构成：使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)； 实际问题：使实际问题有意义的实数的集合．二、函数的值域对于)(x f y =，x A ∈，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数)(x f y =的值域．三、解析式（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解；（2）当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法．若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法；若易换元后求出x ，用换元法；（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程【课堂演练】 题型一 函数定义域 例1 求下列函数的定义域： （1）1()2f x x =- （2）0()32(2)f x x x =+-（3）1()12f x x x=+-练1 求下列函数的定义域： （1）83y x x =+- （2）22111x x y x --=-（3）()3||f x x =-练2 函数0()(12)13g x x x x =--的定义域为 ．例2 函数3()1log (63)f x x x =+-的定义域为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．[1,2)-D ．[1,2]-练3 函数()3lg(1)f x x x =-+的定义域为（ ）A ．[1,3)-B ．(1,3)-C ．(1,3]-D ．[1,3]-练4 函数1()ln(31)=+f x x 的定义域是（ ）A ．1(,)3-+∞ B ．1(,0)(0,)3-+∞UC ．1[,)3-+∞D ．[0,)+∞题型二 函数值域 ➢ 一次分式值域 例3 求432+-=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈1,32x 上的值域．练5 求123+=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,31x 上的值域．例4 画出函数532-+=x y 的图象，并说出y 的取值范围．练6 画出函数3225y x =++的图象，并说出在42<<x 时y 的取值范围．➢ 分离常数:当分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法 例5 求1+=x xy 的值域．例6 求121-+=x x y 在]4,2[上的最小值．练7 求213x y x +=-的值域．练8 求121+-+=x x y 在]4,2[的值域．练9 求函数312x y x +=-，(3,1]x ∈--的值域．➢ 打勾函数例7 若0>x ，则xx x f 4)(+=的取值域为 ．例8 若0x <，则xx x f 4)(+=的取值域为 ．练10 求函数xx x f 4)(+=的取值范围为 ．练11 求函数xx x f 4)(2+=的取值范围为 ．题型三 函数解析式 ➢ 代入法例9 已知2()31f x x =+，()21g x x =-，求[()]f g x 和[()]g f x ．练12 设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）A ．21x +B ．21x -C ．23x -D ．27x +练13 已知函数()34+=x x f ，()2x x g =，求()[]()[]()[]()[]x g g x f g x g f x f f ,,,．例10 已知2211()-=+f x x xx，求函数)(x f 的解析式．练14 已知3311()f x x x x+=+，求()f x ．➢ 换元法例11 已知2(1)3f x x+=，求)(x f 的解析式．例12 若x x x f 21(+=+），求)(x f 的解析式．练15 已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．练16 已知2)31f x x =+，求)(x f ．练17 已知21()1xf x x-=+，求)(x f ．练18 已知函数x x x f 4)1(2-=-，求函数)12(),(+x f x f 的解析式．已知函数)(x f 与函数)1(xf 或函数)(x f -之间的方程式，求函数)(x f 的解析式． 例13 已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．例14 已知13)()(2-=+-x x f x f ，求)(x f ．练19 已知()x f 满足()()+225f x f x x -=-，求()f x = ．练20 已知()x f 满足22113()+f x f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求()f x = ．练21 已知()x f 满足1()+432f x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x = ．➢ 待定系数法知函数类型，求函数的解析式：待定系数法．例15 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ．例16 已知)(x f 为二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求)(x f 的解析式．练22 已知12))((-=x x f f ，求一次函数)(x f ．练23 已知二次函数)(x f 满足1)1(=f ，5)1(=-f ，图象过原点，求)(x f ．练24 已知)(x f 为二次函数，且103)1(2)1(2++-=--+x x x f x f ，求)(x f 的解析式．【课后练习1】1．函数2()log(1)4=++-f x x x ）A ．[2,2]-B ．(1,2]-C ．(1,2)-D ．[2,1]-2．若4()=+f x x x，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小值为4 B ．()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增 C ．()f x 的最大值为4D ．()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减3．当函数2(),(1)1=+>-f x x x x 取得最小值时，相应的自变量x 等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知2(1)6-=+f x x x ，则()f x 的表达式是（ ）A ．245+-xx B ．287++xx C ．223+-xx D ．2610+-xx5．（2016年高考江苏卷）函数232y x x =--的定义域是 ．6．已知函数()21-232xf x x x =--的定义域为______________．7．函数12-=x y 的定义域是()[)5,21,Y ∞-，则其值域是 ．8．已知()x f 满足2()3()54f x f x x +-=+，求()f x = ．9．已知()x f 是一次函数，且()[]14-=x x f f ，求()x f 的解析式．10．画出532++=x y 的图像，并说出y 的取值范围．【课后习题2】1．已知0x >，函数的最16y x x=+的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．函数2()131=--+f x x x 的定义域是（ ） A ．1[,1]3-B ．11(,)33-C ．1(,1)3-D ．1(,)3-∞-3．（2017深圳一模）函数22ln x x y x--+=的定义域为（ ）A ．(2,1)-B ．[2,1]-C ．(0,1)D ．(0,1]4．若4()1f x x x =+-，则下列结论正确的是（ ） A ．当1x >时，()f x 的最小值为4B ．()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增C ．当1x <时，()f x 的最大值为4D ．()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减5．已知()f x 是一次函数，且[()]2=+f f x x ，则()=f x （ ）A ．1+xB ．21-xC ．1-+xD ．1+x 或1--x6．如果1()1=-xf xx，则当0≠x 且1≠x 时，()=f x （ ） A ．1x （0≠x 且1≠x ） B ．11-x （0≠x 且1≠x ）C ．11-x （0≠x 且1≠x ）D ．11-x（x ≠0且x ≠1）7．求函数341x y x +=-，(1,4]x ∈的值域．8．已知()f x 满足3()()21f x f x x --=-，求()f x 的解析式．9．已知()f x 是一次函数，且3(1)2(2)5-=-f f ，2(0)(1)1--=f f ，求()f x 的解析式．10．已知函数21)1f x x +=+，求()f x 的解析式．【课后习题3】 1．函数21()92=--f x x x） A ．{2}≠xx B ．{3<-xx 或3}>x C ．{33}-≤≤x x D ．{33-≤≤xx 且2}≠2．已知0x <，函数9=+y x x的最大值是（ ） A ．－3B ．3C ．－6D ．63．函数()ln f x x=） A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞4．已知函数(1)32+=+f x x ，则()f x 的解析式是（ ）A ．31-xB ．31+xC ．32+xD ．34+x5．（2016年高考北京卷文）函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为 ．6．函数21()3log (6)f x x x =++-的定义域是 ．7．已知2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，求=)4(f ．8．已知()x f 满足213()()2f x f x x+=+，求)(x f ．9．已知()f x 是一次函数，且满足2(1)(1)25f x f x x +--=+，求()f x ．10．已知()()222f x f x x x +-=+，求()f x ．。