笛卡尔例题
小学数学 数学故事 笛卡尔和海盗船的故事 素材
笛卡尔和海盗船的故事新的数学思想当时还没有到达能够把他们作为数学或者哲学论文的形式记载下来的程度。
只是在1637年，笛卡尔致力于自己的大作<<更好地指导推理和寻求真理的方法论>>的著述，他在著作中还附加了一篇题为<<几何>>的附录，这时新的数学思想才得以实现。
但是<<几何>>所包含的根本思想，早在还是一名年轻的志愿兵的笛卡尔在布莱达时就产生了。
笛卡尔所参加的军队无所事事。
他对荷兰的地方已经相当熟悉了。
特别是笛卡尔开场能听懂荷兰话，而且还会说。
这位年轻的水兵借口到天主教的军队里服役，决定动身到德国去。
当时，欧洲已经爆发三十年战争。
他去德国，不得不绕道经过哥本哈根，革但斯克，波兰和匈牙利。
笛卡尔到了德国之后，就报名参加了马克西米利安。
巴伐利斯基公爵的军队。
军队实际上是为了保护德国皇帝费迪南二世的利益而集结起来的。
但是这种思想对他只是个比拟小的诱惑。
笛卡尔确实有一个全然不同的目的，就是扩大自己在科学界的交往，而做到这一点最好是多和皇宫的人接触。
关于笛卡尔参加战斗的情况的可靠报道保存下来的很少。
可能他赶上参加了布拉格附近的白山战役，这是三十年战争的主要战役之一。
我们现在只知道这次战役以后发生的事情。
他所厌烦的军队已经被他离弃，整个战争的变化已经成为过去，离开德国之后，他可以回家了。
这位士兵学者和他的仆人一起克制了战争所造成的许多困难，终于勉强地走到了弗利斯兰，乘坐一艘不大的商船驶往法国，船费是中等价钱。
小商船仅仅适合于沿岸航行。
全体船员除了船长和他的副手之外，还有几个水手，他们的职责就是照看两根不高的桅杆上的船帆，擦洗已经破裂的甲板，船尾的一个不大的客舱分配给旅客。
一天夜里，笛卡尔躺在狭窄的，不通风的客舱里的木板床上，翻来覆去睡不着，心里很烦，就走上了甲板，凭靠在围绕甲板的栏杆绳子上，津津有味地陶醉于北海之夜的魅力之中。
皎洁的月亮在黑黝黝的水中显出闪耀夺目的缕缕波纹，光波和着波浪的节拍有节奏地摇晃着，好似是用来呼唤招引着什么面目不清，神秘莫测，而又永恒无穷的东西。
第二章第三曲面的切平面和法线计算例题
第二章 曲面的表示与曲面论第三节 曲面的切平面和法线、 光滑曲面1、 平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 0),(=y x F ,),(0y x P 是其上一定点。
在该点的切线斜率为),(),()(00000y x F y x F x y y x ''-='. 从而曲线过点),(000y x P 的切线方程为)(),(),(000000x x y x F y x F y y y x -''-=-,即0(,)()(,)()0xyF x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为(,)()(,)()0yxF x y x x F x y y y ''---=，(2)例1、 求笛卡尔叶形线09)(233=-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线.解 xy y x y x F 9)(2),(33-+=, y x F x 962-=',x y F y962-='. 12)1,2(,15)1,2(-='='yx F F , 得到切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示.图(1)2、 空间曲线的切线与法平面设空间曲线L 的方程为)(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0, )(),(),(0t z z t y y t x x ===,动点L z z y y x x P z y x P ∈∆+∆+∆+=),,(),,(0. 动割线P P 0的方程为tz z z t y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000,当0→∆t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0的极限位置l : 0()()()x x y y z z x t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0P 的切线.其方向向量为 0{(),(),()}x t y t z t τ'''=r。
离散数学集合的笛卡儿积与二元关系
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关系的基本运算定义（续）
定义 设F、G为任意的关系，A为集合，则
逆与合成 F1 = {<y,x> | <x,y>F} F∘G = |<x, y> | z (<x, z> G < z, y > F) }
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(2)(AB)(C D)=(AC)(B D) 解：不成立，若A=D= B=C= {1} 则有： (AB)(C D)= B C={<1,1>}
(3)(A-B)(C-D)=(AC)-(BD)
解：不成立， A=B={1} C={2} D={3}
(A-B)(C-D)= (AC)-(BD) = {<1,2>} {<1,3>}={<1,2>}
不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B) 对于并或交运算满足分配律
A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) 若A或B中有一个为空集，则AB就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn
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合成运算的图示方法
利用图示（不是关系图）方法求合成 R∘S={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>} S∘R ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}
2020年中考物理复习专题01 物理学史问题(解析版)
专题01 物理学史问题了解物理学史，可以激发学生的学习热情，通过对科学家探究规律的过程，掌握获取知识的方法，对今后探索未知领域的知识提供思路，对培养创新人才都是好的途径。
通过对涉及物理学史问题的考法与解法的研究，可以开阔思路，进一步巩固知识与方法，培养情感态度与价值观具有十分重要的意义。
初中阶段，学过的力热电光磁知识体系中涉及的物理学史很多。
知道历史上物理学家的国籍、发现的规律对于深入学习意义重大。
这些知识内容是培养学生科学态度和责任担当不可或缺的养料。
是培养学生核心素养十分难得的素材。
现把初中物理学史做以总结归纳，是学生解决中考试卷里物理学史试题的重要依据。
1.声学部分沈括（中国北宋）论述了固体传声。
2.光学部分（1）牛顿（英国）用三棱镜将白色太阳光分解成七种不同光，发现了光的色散，证明了白光由七色光组成。
（2）墨翟（中国）首先进行了小孔成象的研究。
（3）空中的光速（c=3x108m/s）是物体运动的极限速度是爱因斯坦提出的。
3.热学部分（1）1827年，布朗（苏格兰）发现布朗运动。
（2）摄尔修斯（瑞典）制定了摄氏温标。
4.力学部分（1）亚里士多德（古希腊）提出了力是维持物体运动的原因(错误观点)（2）笛卡尔（法国）提出了物体不受其他力的作用，它就不会改变运动方向．（3）伽利略（意大利）论证“重物体不会比轻物体下落得快”；提出“物体的运动并不需要力来维持”。
（4）牛顿（英国）总结牛顿第一定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律，创立经典力学理论体系并发现万有引力定律。
（5）胡克提出了胡克定律，在一定的条件下，弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比（6）帕斯卡裂桶实验；帕斯卡定律；压强单位用帕斯卡命名。
（7）马德堡半球实验，证明了大气压强的存在。
（8）1643年，依据大气压与液体压强相平衡的原理，首先测出大气压强的数值。
（9）发现阿基米德原理；杠杆平衡条件。
5.电磁学部分（1）库仑（法国）发现电荷间相互作用力的规律；建立静电学中的库仑定律，电量单位用库仑的名字命名。
苏教版高中数学选修3-1-1.4.1 笛卡尔与他的《几何学》-课件(共22张PPT)
伟大成就
欧拉--笛卡尔公式 欧拉-笛卡儿公式，该公式的内容为：在 任意凸多面体，设V为顶点数，E为棱数，F是 面数，则V − E + F = 2。该公式最早由法国 数学家笛卡儿于1635年左右证明，但不为人知。 后瑞士数学家莱昂哈德•欧拉于1750年独立证 明了这个公式。1860年，笛卡儿的工作被发现， 此后该公式遂被称为欧拉-笛卡儿公式。
谢谢欣赏！
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求， 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了 无私的人。
3-4序偶与笛卡尔积(精)
2.下列各式中哪些成立？哪些不成立？为什么？ a)(AB) (CD)=(AC)(BD) b)(A- B) (C -D)=(AC) - (BD) c)(AB) (CD)=(AC)(BD)
一、序偶和笛卡尔积的概念
2、n个集合的笛卡尔积：集合A1，A2，…，An，则
特别地，
约定：若A=或B=，则A B= ，B A=
Байду номын сангаас
上次课程内容回顾
集合的运算
交运算 并运算 补运算 对称差 序偶的定义 笛卡尔积
序偶和笛卡尔积
例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确？ (1)ABACBC 不正确，当A，BC时，AB=AC=。 (2)A-(BC)=(A-B)(A-C) 不正确，当A=B={1}，C={2}时，A-(BC)={1}-{<1， 2>}={1}，而(A-B)(A-C)={1}=。 (3)A=C，B=DAB=CD 正确，由定义可以证明，在非空前提下是充要条件。 (4)存在集合A使得AAA 正确，当A=时，AAA。
一、序偶和笛卡尔积的概念
有序n元组
1、序偶(有序2元组)：
两个具有固定次序的客体组成一个序偶(有序2元组)，记 作<x，y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 例：平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 序偶，我们可用<x，y>表示。 注：序偶是讲究次序的，例<1，3>和<3，1>是表示平面上 两个不同的点，这与集合不同，{1，3}和{3，1}是两个相 等的集合。
5、定理3-4.2：对于任意集合A、B、C，若C，则 AB ACBC CACB
初中数学趣味题
• 解出来是个心形图案，就是著名的“心形线”。 • 这封情书最后被收录到欧洲笛卡尔博物馆中。
2021/3/9
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第二題－白痴的兔子
有只兔子掉进30公尺深的干井里。它并不 习惯待在这种地方，因此决定奋力往上爬。 但兔子爬墙的能力不太好，它发现自己努 力往上爬了一天，上升了3公尺却又滑下2 公尺。休息了一夜之后，它又继续努力， 结果一样。它要几天才能爬出干井？
2021/3/9
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第二題－解答
原则上， 这只兔子必死无疑了，怎么可能那么久
终级过河问题
2021/3/9
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最பைடு நூலகம்一题－解答
假设三对夫妻为甲夫、甲妻、乙夫、乙 妻、丙夫和丙妻。
甲妻、乙妻过河，甲妻回；甲妻、丙妻 过河，甲妻回；乙夫、丙夫过河，乙夫、 乙妻回；甲夫、乙夫过河，丙妻回；甲妻、 乙妻过河，丙夫回；丙夫、丙妻过河。
2021/3/9
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• 补充题：
• 不过，最奇特的墓志铭，却是属于古希腊 数学家丢番 图的。他的墓碑上刻着一道谜 语般的数学题： “过路人，这座石墓里安 葬着丢番图。他生命的1／6 是幸福的童年， 生命的1／12是青少年时期。又过了生命 的 1／ 7他才结婚。婚后 5年有了一个孩子， 孩子活到他 父亲一半的年纪便死去了。孩 子死后，丢番图在深深的悲 哀中又活了4年， 也结束了尘世生涯。过路人，你知道丢 番 图的年纪吗？”
2021/3/9
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百万士兵
• 百万士兵中有一个士兵感染了怪病，军队 只有一位医生，医生一天最多只能对100个 血液样品进行检测，三天之类如果没有找 出病原士兵，那么怪病将感染全军，则全 军将不战而败。假如你是将军，怎么才能 让医生完成任务。
【精品奥数】四年级上册数学思维训练讲义-第九讲 几何计数 人教版(含答案)
第九讲几何计数第一部分：趣味数学解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。
比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。
这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。
当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。
笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。
后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。
从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。
他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。
为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系。
x，y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。
这就是解析几何的基本思想。
具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。
从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。