概率论复习重点难点解析
考研数学概率复习难点归纳
考研数学概率复习难点归纳概率是考研数学中难度较大的一个章节，很多考生都会感到头痛，特别是在记忆和理解方面。
为了帮助考生更好地复习，本文将归纳概率复习中的难点。
1. 基本概率公式和加法公式概率的基本公式和加法公式是概率计算的基础，也是考研数学概率考试中的必考点。
但是，很多考生往往容易混淆这两个公式，造成计算错误。
•基本概率公式：$P(A) = \\frac{N(A)}{N}$其中，P(A)代表事件A发生的概率，N(A)代表事件A发生的样本点个数，N代表总的样本点个数。
•加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)其中，P(A+B)代表事件A或事件B发生的概率，P(AB)代表事件A和事件B同时发生的概率。
需要注意的是，加法公式只适用于“或”的情况，而不是“和”的情况。
因为“和”的情况存在重复计数的问题。
2. 条件概率和乘法公式条件概率和乘法公式是概率计算中的另一个基础。
但是，很多考生容易对条件概率和条件概率公式之间的区别存在混淆，难以理解概率问题。
•条件概率：$P(A|B) = \\frac{P(AB)}{P(B)}$其中，P(A|B)代表在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，而P(B)代表事件B发生的概率。
•乘法公式：$P(AB) = P(B) \\times P(A|B)$可以理解为：A和B同时发生的概率等于B发生的概率与在B发生的条件下A发生的概率的乘积。
对于条件概率和乘法公式，考生需要逐步理解它们的含义，尤其是在复杂的题目中，需要注意条件的限制和约束。
3. 独立事件和全概率公式独立事件和全概率公式是概率计算中比较复杂的内容，对于大多数考生来说，需要花费一定的复习时间才能理解。
•独立事件：如果事件A和事件B满足$P(AB) = P(A) \\times P(B)$，则事件A和事件B称为独立事件。
当事件A和事件B是独立事件时，知道事件B发生与否对事件A的概率没有影响，反之，知道事件A发生与否对事件B的概率也没有影响。
考研数学概率论部分重难点总结
考研数学概率论部分重难点总结1.1概率这门课的特点与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。
但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。
一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这些因素都可能影响到概率的复习。
概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。
在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点；但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处（因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题）。
记得当初看到陈文灯复习指南概率部分第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》中在每章开始列出的那些大表格时，感觉其中必然会有很多内容是超纲的、不用细看；但后来复习时才发现，可以省略不看的内容少之又少，由大量的内容需要记忆。
所以对于概率部分相当多的内容都只能先死记硬背，然后通过足量做题再来牢固掌握，走一条“在记忆的基础上理解”的路。
记牢公式性质，同时保证足够的习题量，考试时概率部分20%的分值基本上就不难拿到了。
1.2概率第一章《随机事件和概率》本章内容在历年真题中都有涉及，难度一般不大。
虽然对于本章中的古典概型可以出很难的题目，但大纲的要求并不高，考试时难题很少。
填空、选择常考关于事件概率运算的题目，大多围绕形如)()(BAPABP=、)|()|(ABPABP=、)(CBAP++这样的式子利用各种概率运算公式求解；其它内容如全概率公式和贝叶斯公式在小题中和大题中都有可能考到。
概率论笔记1
概率复习重点归纳 一、随机事件与概率 重点难点： 重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式 难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes 公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算 常考题型： （1）事件关系与概率的性质 （2）古典概型与几何概型 （3）乘法公式和条件概率公式 （4）全概率公式和Bayes 公式 （5）事件的独立性 （6）贝努利概型 概念辨析1，互不相容（互斥）事件同逆（对立）事件互不相容事件：AB =Φ 逆事件：,A B AB ⋃=Ω=Φ事件互逆指的是非此即彼，即事件之一必定发生；而不相容仅指不能同时发生，但是是可以同时不发生的。
2，独立与互不相容（互斥）对事件A 及B ，若P(A)P(B)>0，且P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 及B 互相独立；事件独立同事件互斥是两套不同的概念，不能进行比较；须知独立性针对的是事件概率存在上面的等式关系；而互斥是指事件的不可同时发生，两者之间不存在必然关系。
3、条件概率同乘积概率P(AB)是在样本空间Ω内，事件AB 的概率，而P(A | B)是在试验中增加了新条件B 发生 后的缩减的样本空间B Ω中计算事件A 的概率。
虽然A 、B 都发生，但两者是不同的，一般说来，当A 、B 同时发生时，常用P(AB)，而在有包含关系或明确的主从关系时，用P(A | B) .例：袋中有9 个白球1 个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2 次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（ 2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个乘积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.4、全概率公式同贝叶斯公式 全概率公式：要求事件A 的概率（通常直接不太好求），将其分成几个比较容易计算的概率之和。
在分析问题的过程中，A 可视为B1∪B2∪B3∪…∪Bn 的子事件，或者把Bi 看成A 发生的原因，A 是结果，而及较易求出，从而可由“因”求出“果”。
高考数学重点难点30解概率题的方法总结
重点难点30 概率概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容.要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法.●重点难点磁场(★★★★★)如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2.●案例探究［例1］(★★★★★)有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下：［10，15］4 ［30，35 9 ［15，20 5 ［35，40 8 ［20，25 10 ［40，45 3 ［25，3011(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.命题意图：本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法.知识依托：频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法.错解分析：解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别.技巧与方法：本题关键在于掌握三种表格的区别与联系.解：(1)由所给数据，计算得如下频率分布表数据段［10,15［15,20［20,25［25,30［30,35［35,40［40,45总计频数 4 5 10 11 9 8 3 50频率0.08 0.10 0.20 0.22 0.18 0.16 0.06 1累积频率0.08 0.18 0.38 0.60 0.78 0.94 1(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下：［例2］(★★★★★)某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ζ是一个随机变量，它的分布列如下：ζ 1 2 3 (12)P……设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费用100元，问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？命题意图：本题考查利用概率中的某些知识如期望来解决实际问题.知识依托：期望的概念及函数的有关知识.错解分析：在本题中，求Ey是一个重点难点，稍有不慎，就将产生失误.技巧与方法：可借助概率分布、期望、方差等知识来解决日常生产生活中的实际问题.解：设x为月初电器商购进的冰箱台数，只须考虑1≤x≤12的情况，设电器商每月的收益为y元，则y是随机变量ζ的函数且y= ,电器商平均每月获益的平均数，即数学期望为：Ey=300x(Px+Px+1+…+P12)+［300－100(x－1)］P1+［2×300－100(x－2)］P2+…+［300(x －1)－100］Px－1=300x(12－x+1) + ［300×］= (－2x2+38x)由于x∈N,故可求出当x=9或x=10时，也即电器商月初购进9台或10台电冰箱时，收益最大.●锦囊妙记本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差.涉及的思维方法：观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化.主要思维形式有：逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维.●歼灭重点难点训练一、选择题1.(★★★★★)甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )2.(★★★★)已知随机变量ζ的分布列为：P(ζ=k)= ,k=1,2,3,则P(3ζ+5)等于( )A.6B.9C.3D.4二、填空题3.(★★★★)1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ζ的期望Eζ=_________.4.(★★★★)某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________.三、解答题5.(★★★★★)甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算：(1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率.6.(★★★★)已知连续型随机变量ζ的概率密度函数f(x)=(1)求常数a的值，并画出ζ的概率密度曲线；(2)求P(1＜ζ＜).7.(★★★★★)设P在［0,5］上随机地取值，求方程x2+px+ =0有实根的概率.8.(★★★★★)设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。
数学概率论重难点解析
数学概率论重难点解析概率论是数学中的一个重要分支，研究的是不确定性事件的规律性。
在学习概率论的过程中，很容易遇到一些重难点，下面将对其中几个重要的难点进行解析。
一、概率定义与性质概率的定义是指在具有一定条件的情况下，某事件发生的可能性大小。
概率的性质包括非负性、规范性、可列可加性等。
概率的非负性表示概率值不会是负数；概率的规范性意味着所有可能事件的概率之和等于1；概率的可列可加性是指对于可列个两两互斥的事件，它们的概率之和等于各事件概率的极限。
二、古典概型与几何概型在概率论中经常遇到的是古典概型和几何概型。
古典概型是指在试验前能够确定每个基本事件发生的可能性相等的情况，例如掷一枚均匀的骰子，每个面出现的概率都是1/6。
而几何概型则是指事件发生与事件的几何性质有关的情况，例如在二维平面上随机取一点，点落在某一区域内的概率与区域的面积有关。
三、条件概率与独立性条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算可以通过贝叶斯定理进行，即P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
独立性是指两个事件发生与否互不影响的情况。
如果事件A和事件B是独立的，那么P(A|B) = P(A)，即在已知事件B发生的情况下，事件A的概率与事件B无关。
四、常见概率分布概率论中还有一类重要的难点是各种概率分布的理解和运用。
几个常见的概率分布包括离散型分布（如二项分布、泊松分布）和连续型分布（如正态分布、指数分布）。
对于这些概率分布，需要了解其分布函数、概率密度函数、期望值、方差等基本性质。
五、大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中的两个重要定理，它们揭示了随机事件的规律性。
大数定律表明，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于该事件的概率。
中心极限定理则指出，独立的随机变量之和在一定条件下服从正态分布，不管这些随机变量是什么分布。
总结：概率论作为数学的一个分支，涉及了很多重要的难点。
概率论重点难点
第一章随机事件及其概率的重点内容是：1、了解随机试验，随机事件的概念。
2、理解随机事件的关系及其运算。
3、深刻理解概率的定义。
4、掌握古典概型，几何概型的事件的概率计算。
5、重点掌握条件概率公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式，并应用其计算事件的概率。
6、深刻理解事件的独立性，伯努利概型。
第二章随机变量及其概率分布的重点内容是：1、理解随机变量及其分布函数的概念。
2、熟练掌握离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度的计算。
3、深刻理解几种常见的概率分布，尤其正态分布。
4、重点掌握随机变量的函数的概率分布的计算（本章的难点）。
第三章多维随机变量及其概率分布的重点内容是：1、理解二维随机变量及其分布函数的概念。
2、掌握边缘分布及随机变量的独立性，熟练掌握二维离散型和连续型随机变量的边缘分布和边缘概率密度计算。
3、深刻理解条件分布的概念，掌握条件分布的概率密度的计算。
4、了解n维随机变量及其独立性的概念。
6、重点掌握两个随机变量的函数的概率分布的计算（本章的难点）。
第四章随机变量的数字特征的重点内容是：1、熟练掌握随机变量的数学期望与方差的概念。
2、理解协方差、相关系数和矩的概念。
3、熟练的计算随机变量的数学期望和方差。
第五章大数定律及中心极限定理的重点内容是：1、了解大数定律的概念，熟练掌握Chebyshev不等式。
2、深刻理解依概率收敛的概念（本章的难点）。
3、熟练掌握同分布的中心极限定理及其计算。
4、重点掌握中心极限定理在实际问题中的应用（本章的难点）。
第六章样本及样本函数的分布的重点内容是：1、理解总体和样本的概念。
2、了解直方图与样本分布函数。
3、正确理解样本函数及其概率分布。
4、重点掌握统计量的概念（本章的难点）。
5、深刻理解分布，t分布，F分布及上分位点的概念并熟练掌握它们的性质。
第七章参数估计的重点内容是：1、理解参数的点估计方法及区间估计法。
2、熟练掌握矩估计和极大似然估计法。
概率论第八章 重点难点分析
第八章重点难点分析重点(1)假设检验的基本思想，假设检验的基本步骤，假设检验可能产生的两类错误。
(2)单个和两个正态总体下均值与方差的显著性检验。
难点假设检验的基本思想疑难分析（1）如何确定原假设和备择假设原假设和备择假设是一对相互对立的命题，在实际问题中，对原假设的提出，或许是从以往的经验得出，或许是从机器的设计依据得出，因此是受保护的假设，只有取得了不利于的显著证据时，才能拒绝。
备择假设又称对立假设。
在参数检验中有三种不同形式。
( 8.1 )> ( 8.2 )< ( 8.3 )其中（8.1）称为双边检验，(8.2) (8.3)称为单边检验，究竟采用何种备择假设，应根据实际问题而定。
如讨论新老工艺对产品均值有无显著性影响，，而应为单边检验>。
通常想用假设检验说明某结论成立，则原假设为“该结论不成立”。
（2）接受原假设，不一定说明为真。
用显著性检验的方法，得出“接受”的结论只是说明抽样结果没有提供对不利的显著证据，故不能拒绝。
但是由于显著性检验是从控制犯第I类错误的概率P{拒绝|为真}不超过显著性水平而作出判断的，是一个较小的数，但是犯第Ⅱ类错误的概率也可能很大，也就是说，在保证了“弃真”的概率小于时，“存伪”的概率仍可能很大。
“接受”是在抽样的证据不足以拒绝而又必须作出一个明确的选择下作出的判断。
换言之，只是说试验的结果和没有矛盾。
（3）怎样选择统计量统计量的选择与原假设有关。
统计量是样本的函数，它不能包含未知参数，但要包含原假设中的已知参数，只有不包含未知参数，才能计算它的观察值，只有包含中的已知参数，才能对原假设是否成立作出判断。
另外，统计量在成立条件下其分布应为已知，才能据此确定拒绝域。
检验单个正态总体下的均值问题。
由于是的无偏估计，D()=,根据契比雪夫大数定律P{|-|>ε}<，因此|-|不应该很大，如果-偏大，就提供了对不利的证据。
因此，我们可选统计量为-。
考研数学备考：概率论重难点及常考题型汇总
考研数学备考：概率论重难点及常考题型汇总考研数学备考：概率论重难点及常考题型汇总一、随机事件与概率重点难点：重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes 公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算常考题型：(1)事件关系与概率的性质(2)古典概型与几何概型(3)乘法公式和条件概率公式(4)全概率公式和Bayes公式(5)事件的独立性(6)贝努利概型二、随机变量及其分布重点难点重点：离散型随机变量概率分布及其性质，连续型随机变量概率密度及其性质，随机变量分布函数及其性质，常见分布，随机变量函数的分布难点：不同类型的随机变量用适当的概率方式的描绘，随机变量函数的分布常考题型(1)分布函数的概念及其性质(2)求随机变量的分布律、分布函数(3)利用常见分布计算概率(4)常见分布的逆问题(5)随机变量函数的分布三、多维随机变量及其分布重点难点重点：二维随机变量结合分布及其性质，二维随机变量结合分布函数及其性质，二维随机变量的边缘分布和条件分布，随机变量的独立性，个随机变量的简单函数的分布难点：多维随机变量的描绘方法、两个随机变量函数的分布的求解常考题型(1)二维离散型随机变量的结合分布、边缘分布和条件分布(2)二维离散型随机变量的结合分布、边缘分布和条件分布(3)二维随机变量函数的分布(4)二维随机变量取值的概率计算(5)随机变量的独立性四、随机变量的数字特征重点难点重点：随机变量的数学期望、方差的概念与性质，随机变量矩、协方差和相关系数难点：各种数字特征的概念及算法常考题型(1)数学期望与方差的计算(2)一维随机变量函数的期望与方差(3)二维随机变量函数的期望与方差(4)协方差与相关系数的计算(5)随机变量的独立性与不相关性。
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概率论复习重点（10经二）
第一章随机事件及其概率
§1.1随机事件
1、差化积：A—B=A—AB
2、运算律：分配律、自反律、对偶律P5
§1.2随机事件的概率
3、概率的性质：（6个）P9
其中最重要的：性质4
性质6
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) P10.习题
§1.3古典概型
4、古典概型：取球模型（有、无范围抽取）P12
P12.例2 P14. 1、4、8题P16. 例2
§1.4条件概率
5、条件概率：公式P15
乘法概率公式、全概率公式、贝叶斯公式P17~P19
§1.5事件的独立性
6、事件的独立性：定义P21
伯努利概型P23 第五节例题
第二章随机变量及其分布
§2.1随机变量
1、随机事件的定义的理解P28
§2.2离散型随机变量及其概率分布
2、概率分布的定义P30
3、常用离散分布
（1）两点分布、二项分布、泊松分布P32 （2）泊松定理P35
§2.4连续型随机变量及其概率密度（很重要）
4、概率密度的定义P40
5、常用连续型分布
均匀分布、指数分布、正态分布（它们的定义、概率密度、参数范围、性质、记号（比如均匀分布的记号为X~U（a，b））
6、正态分布：标准化（标准正态分布的性质、计算公式）（重要）P44
7、第四节例题、作业
§2.5随机变量函数的分布P48 8、连续型随机变量的分布：有两种方法可求，但只需掌握一种就行，第一种较常用
（1）用F（y）求（2）P49底. 定理一
第三章多维随机变量及其分布
§3.1二维随机变量及其分布
1、二维随机变量的联合分布函数定义P54
2、边缘分布函数定义P55
3、分布函数与概率密度的定义、关系P57
4、二维均匀分布：概率密度函数P59
5、二维正态分布：只需掌握其边缘概率密度P60底
§3.2条件分布与随机变量的独立性
6、条件分布的概念P63
7、X、Y相互独立的定义P64
8、离散型与连续型随机变量的条件分布、独立性：概念P64、P65
9、P206表掌握6个分布：0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数
分布（它们的参数、分布律、数学期望、方差）
10、第二节例题、作业
§3.3二维随机变量函数的分布
只需掌握P72定理一就行P72
第四章随机变量的数学特征
§4.1数学期望
1、性质、条件P78
§4.2方差
2、性质、条件P84
§4.3协方差与相关系数
3、定义、概念P89
例题（特别是例3、例4）、作业题
§4.4大数定理与中心极限定理（很重要！考！）P97怎么运用这些公式。
例题、作业
第五章数理统计的基础知识
§5.1数理统计的基本概念
1、简单随机抽样：2个条件P107
2、统计量、常用统计量：熟悉定义P112
§5.2常用统计分布（很重要）
3、分位数
三大分布：卡方分布、t分布、F分布（定义、基本性质）P117 4、例题、作业
§5.3抽样分布
5、单正态总体的抽样分布：例题P123 （双正态总体和一般总体不用管）
第六章参数估计
§6.1点估计问题概述
1、评价估计量的标准：3个（它们的定义、例题）P132
§6.2点估计的常用方法
2、矩估计法、最大似然估计法（例题、作业）P136 (PS.§6.2以后的都不考了)
考试题型：
一、填空。
（20*1’=20’）
二、选择。
（20*1’=20’）
三、计算。
（5题）
四、证明。
（1题）。