《高中数学：直线的两点式、截距式方程-王禾》进阶练习(二)
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程练习(含解析)新人教A版必修2
第23课时 直线的两点式方程直线的两点式方程A ．2 B ．－3 C ．－27 D ．27 答案 D解析 由两点式得直线方程为y －65－6＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0．令y ＝0，得x ＝27．2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是( ) A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－6 答案 C解析 由两点式方程，得 直线MN 的方程为y －－4－－＝x －2－3－2，化简，得x ＋y －1＝0． 又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m －1＝0，解得m ＝－2．直线的截距式方程A ．x 2－y 3＝1 B ．x 2＋y3＝1 C ．y 3－x 2＝1 D ．x 2＋y3＝0 答案 A解析 根据截距式方程x a ＋yb＝1，(其中a ，b 分别为x 轴和y 轴上的截距)得所求直线方程为x 2＋y －3＝1，即x 2－y3＝1，选A ．4．过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．x 6＋y 12＝1 B ．x 6＋y 12＝1或y ＝25x C ．x －y 2＝1 D ．x －y 2＝1或y ＝25x答案 B解析 当直线过原点时满足题意，所求方程为y ＝25x ；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5，2)，解得a ＝6，对应的方程为x 6＋y12＝1．故选B ．直线方程的应用形各边所在的直线方程．解 由题意可知A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)，由截距式方程可知直线AB 的方程为x －4＋y－3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0．同理可得直线BC 的方程为3x －4y －12＝0， 直线CD 的方程为3x ＋4y －12＝0， 直线AD 的方程为3x －4y ＋12＝0．6．已知线段BC 的中点为D3，32．若线段BC 所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC 所在直线的方程．解 由已知得直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．则直线BC 的截距式方程为x a ＋yb ＝1．由题意得a ＋b ＝9， ① 又点D3，32在直线BC 上，∴3a ＋32b ＝1，∴6b＋3a ＝2ab ， ② 由①②联立得2a 2－21a ＋54＝0，即(2a －9)(a －6)＝0，解得a ＝92或a ＝6．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92，b ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3.故直线BC 的方程为2x 9＋2y 9＝1或x 6＋y3＝1，即2x ＋2y －9＝0或x ＋2y －6＝0．一、选择题1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2；③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．2．若直线x a ＋yb ＝1过第一、二、三象限，则( )A ．a>0，b>0B ．a>0，b<0C ．a<0，b>0D ．a<0，b<0 答案 C解析 因为直线过第一、二、三象限，所以结合图形可知a ＜0，b ＞0．3．一条光线从A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0处射到点B(0，1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝12x －12D ．y ＝－12x －12答案 B解析 由光的反射定律可得，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为y －01－0＝x －120－12，即y ＝－2x ＋1．4．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程是( ) A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 答案 B解析 若直线l 过原点，则方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0；若直线l 不过原点，则设直线方程为x a －ya ＝1，将(2，3)代入方程，得a ＝－1，故直线l 的方程为x －y ＋1＝0．所以直线l的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0．5．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C解析 设直线的方程为x a ＋yb＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴1a ＋1b ＝1，12|ab|＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－22－2，b ＝22－2或⎩⎨⎧a ＝22－2，b ＝－22－2.∴满足条件的直线有3条．二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．答案 －23解析 设P(m ，1)，由线段PQ 的中点是(1，－1)，得Q(2－m ，－3)，∴2－m －(－3)－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2，1)，∴直线l 的斜率k ＝1－－－2－1＝－23．7．已知直线l 经过点A(－4，－2)，且点A 是直线l 被两坐标轴截得的线段中点，则直线l 的方程为________．答案 x ＋2y ＋8＝0解析 设直线l 与两坐标轴的交点为(a ，0)，(0，b)，由题意知a ＋02＝－4，b ＋02＝－2，∴a＝－8，b ＝－4．∴直线l 的方程为x －8＋y－4＝1，即x ＋2y ＋8＝0．8．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．答案 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0解析 点A(1，－2)，B(5，6)的中点M 的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＝m ，把中点M 的坐标(3，2)代入直线的方程，得m ＝5，故所求直线的方程是x ＋y －5＝0．综上，所求的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0．三、解答题9．已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136＋y－138＝1．(2)因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117＋y－11＝1．10．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1．(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．解 (1)直线l 过点(m ，0)，(0，4－m)， 则k ＝4－m －m ＝2，则m ＝－4．(2)由m ＞0，4－m ＞0，得0＜m ＜4， 则S ＝－2＝－－2＋42，易知当m ＝2时，S 有最大值2， 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．。
高中数学第二章解析几何初步2.1.2第二课时直线方程的两点式和一般式课时作业北师大版必修2(202
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1.2 第二课时直线方程的两点式和一般式[学业水平训练］1.过（2,5)和（2，－5）两点的直线方程是( )A．x＝5 B．y＝2C．x＋y＝2 D．x＝2解析：选D。
因为点（2,5）和（2，－5)横坐标相同，因此过（2，5）和(2，－5）两点的直线方程为x＝2.错误!直线－错误!＋错误!＝－1在x轴,y轴上的截距分别为( ）A．2，3 B．－2,3C．－2，－3 D．2,－3解析:选D.由－错误!＋错误!＝－1得错误!＋错误!＝1，则在x轴，y轴上的截距分别为2,－3.3.直线(m＋2)x＋（m2－2m－3）y＝2m在x轴上的截距是3，则实数m的值是( )A。
错误!B．6C．－错误!D．－6解析：选D.令y＝0，则x＝错误!，由2mm＋2＝3，解得m＝－6。
错误!直线x＋y－1＝0的倾斜角为（）A．45°B．60°C．135°D．30°解析：选C。
由x＋y－1＝0得直线的斜率为k＝－1，则倾斜角为135°.错误!直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0）的图像只可能是( ）解析：选B。
新课标人教A版高中数学必修二第三章第2节《直线的两点式方程与截距式方程》专题练习
直线的两点式方程与截距式方程一、知识梳理知识点一：直线方程的两点式思考1：已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 答案：y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1.思考2：过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 结论梳理：思考1：过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案：能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1.思考2：已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案：由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a ，即x a ＋yb ＝1.结论梳理： 类型一：直线的两点式方程1、过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为x-y ＋3=02、经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为y ＝23、已知点A (3,2)，B (－1,4)，则过点C (2,5)且过线段AB 的中点的直线方程为2x －y ＋1＝04、过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是－325、已知△ABC 三顶点A (1,2)、B (3,6)、C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN所在直线方程为2x ＋y －8＝06、已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)、N (－3,4)两点的直线上，则m ＝__327、若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝－2 8、在△ABC 中，已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 答案：(1) 2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)．(2) 10x ＋11y ＋8＝0. 类型二：直线方程的截距式1、直线x －2＋y－3＝1在x 轴，y 轴上的截距分别为－2，－32、直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是－b 23、过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是x 2＋y3＝14、直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为－15、过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是x －y ＋1＝0或3x －2y ＝06、已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过点(6，－2)，则直线l 的方程为 答案：0632022=-+=-+y x y x 或7、过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是___ 答案：x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝08、过(3,0)点且与x 轴垂直的直线方程为x ＝3，纵截距为－2且与y 轴垂直的直线方程为___答案：y ＝－29、已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为x －3y ＋24＝010、已知直线l 的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l 的方程为___答案： 6x －y ＋12＝0 类型三：直线图像识别1、如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋yb ＝1，则有 ( B )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <02、两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( A )3、两直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1的图象可能是图中的哪一个 ( B )4、已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图，则( D )A ．若c ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若c ＞0，则a <0，b ＞0C ．若c ＜0，则a >0，b <0D ．若c <0，则a >0，b ＞0 5、直线x a ＋yb＝1过第一、二、三象限，则( C )A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0 类型四：判断直线的条数1、过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条，方程为：023=-y x 、05-=+y x2、过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有2条方程为：043=+y x 、01-=+y x3、过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有3条，方程为：03=+y x 、02-=+y x 、04--=y x 、4、经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为 答案：x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 类型五：与三角形有关的直线方程1、已知直线x a ＋y6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为±22、过点P (1,3)且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积为6的直线方程是3x ＋y －6＝03、斜率与直线4x ＋3y ＝0相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是3或－34、直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 ( D )A ．12abB ．12|ab |C ．12abD ．12|ab |5、求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程． 答案： 8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0. 类型六：直线方程的简单应用1、平面直角坐标系中，直线x ＋3y ＋2＝032、已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________． 答案：点斜式方程：y ＋4＝3(x －0)， 截距式方程：x 433＋y －4＝1，斜截式方程：y ＝3x －4， 一般式方程：3x －y －4＝0.3、若直线Ax ＋By ＋C ＝0通过第二、三、四象限，则系数A ，B ，C 需满足条件( A )A ．A ，B ，C 同号 B ．AC ＜0，BC ＜0 C ．C ＝0，AB ＜0D ．A ＝0，BC ＜0 4、直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是15x －3y －7＝0 5、光线从A (－3，4)点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点 C (1，6)，则BC 所在直线的方程为5x －2y ＋7＝0 6、求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)、B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 答案：（1）y ＝43x ±3；（2）当m ≠1时，直线l 的方程是y ＝1m －1(x －1)；当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1.(3) x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .7、设直线l 的方程为y ＝(－a －1)x ＋a －2. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 答案：(1) 3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)由l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1，故所求的a 的取值范围为(－∞，－1]．8、(选做题)如图所示，已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求△AOB 面积最小时l 的方程． 解：设A (a ，0)，B (0，b )，显然a >3，b >2， 则直线l 的方程为x a ＋yb＝1，因为P (3，2)在直线l 上，所以3a ＋2b ＝1，于是b ＝2aa －3，所以S △AOB ＝12ab ＝a 2a －3，整理得a 2－S △AOB ·a ＋3S △AOB ＝0(*)．因为此方程有解，所以Δ＝S 2△AOB －12S △AOB ≥0，又因为S △AOB >0，所以S △AOB ≥12，S △AOB 最小值＝12．将S △AOB ＝12代入(*)式，得a 2－12a ＋36＝0，解得a ＝6，b ＝4． 此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0．。
最新人教版高中数学必修2第三章《直线的两点式方程、直线的一般式方程》典型例题
拓展延伸应用点一 两点式方程【例1】求经过点A (2，1)与B (6，－2)的直线的方程．思路分析：利用直线的两点式方程求解．解：因为直线过点A (2，1)，B (6，－2)，所以直线的两点式方程为y －1－2－1＝x －26－2，即3x ＋4y －10＝0.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)．求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．应用点二 截距式方程【例2】已知直线l 过点P (－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程．思路分析：关键是求出斜率k 或求出直线在两坐标轴上的截距，即寻找关于k 的方程或两截距的方程组．解：方法一：显然，直线l 与两坐标轴不垂直，设直线的方程为y －3＝k (x ＋2)．令x ＝0，得y ＝2k ＋3；令y ＝0，得x ＝－3k－2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12|2k ＋3|·⎪⎪⎪⎪3k ＋2＝4，即(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫3k ＋2＝±8. 若(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫3k ＋2＝8，则整理得4k 2＋4k ＋9＝0，无解；若(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫3k ＋2＝－8，则整理得4k 2＋20k ＋9＝0，解之，得k ＝－12，k ＝－92. ∴所求直线的方程为y －3＝－12(x ＋2)或y －3＝－92(x ＋2)， 即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0.方法二：显然，直线在两坐标轴上的截距均不为零．设所求直线的方程为x a ＋y b＝1. ∵点P (－2，3)在直线上，∴－2a ＋3b ＝1.① 又∵直线与坐标轴围成的面积为4，∴12|a |·|b |＝4，即|a |·|b |＝8.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －2b ＝8，ab ＝8，或(2)⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＝－8，ab ＝－8. 解(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－43，b ＝－6，且方程组(2)无解．∴所求直线的方程为x 4＋y 2＝1或x －43＋y －6＝1， 即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0.直线l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．应用点三 一般式方程【例3】已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，求直线的方程．思路分析：利用斜率－A B＝5和已知式子求出B ，C 的关系，代入直线方程消去未知系数．解：方法一：∵直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，∴B ≠0，且－A B＝5，即A ＝－5B ．① 又∵A －2B ＋3C ＝0，②由①②得，－5B －2B ＋3C ＝0，∴C ＝73B ．③ 把①③代入直线方程，得－5Bx ＋By ＋73B ＝0. 又∵B ≠0，∴－5x ＋y ＋73＝0. 故所求直线方程为15x －3y －7＝0.方法二：∵A －2B ＋3C ＝0，∴A ·13＋B ·⎝⎛⎭⎫－23＋C ＝0， ∴直线经过点⎝⎛⎭⎫13，－23. 又∵斜率为5，∴所求直线方程为y ＋23＝5⎝⎛⎭⎫x －13， 即15x －3y －7＝0.设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值．(1)l 在x 轴上的截距是－3；(2)l 的斜率是－1.迁移1.解：过B (3，－3)，C (0，2)的直线的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0.整理得5x ＋3y －6＝0.这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫3＋02，－3＋22，即⎝⎛⎭⎫32，－12.过A (－5，0)，M ⎝⎛⎭⎫32，－12的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5.整理得12x ＋132y ＋52＝0，即x ＋13y ＋5＝0.这就是BC 边上的中线所在直线的方程．迁移2.解：由题意可知，直线l 在x 轴，y 轴上的截距都不为0，设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ，所以设直线l 的方程为x a ＋y 6－a＝1.因为点(1，2)在直线l 上，所以1a ＋26－a ＝1.即a 2－5a ＋6＝0，解得a 1＝2，a 2＝3.当a ＝2时，直线方程为x 2＋y 4＝1，直线经过第一、二、四象限；当a ＝3时，直线方程为x 3＋y 3＝1，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.迁移3.解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≠0，①2m －6m 2－2m －3＝－3.② 由②解得m ＝3或m ＝－53. 分别代入①检验可知m ＝－53. (2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0，③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1.④ 由④解得m ＝－1或m ＝－2.分别代入③检验得m ＝－2.。
直线的方程第二课时两点式、截距式
例1、三角形的顶点是 A(-5, 0), B(3,-3), C(0, 2), 求这个三角形三边所在直线的方 程。
例2、菱形的对角线长分别为8和6，并 且分别位于x 轴和 y轴上，求菱形的各 边所在直线的方程。
例3、过点P(-5,4)的直线L与x轴、y轴分别
交于A、B两点，且P分有向线段 AB
的比是2，求L的方程。
例4、求过点P(2, 3)，并且在两坐标轴上 的截距相等的直线的方程。
变题1：上题中改为求截距的绝对值相 等的直线方程，结果如何？ 变题2：求过点P(2, 3)，并且在x轴上的 截距是在y轴上的截距2倍的直线的方程。
例5、求过点P( 2, 1)的直线与两坐标轴正 半轴所围成的三角形的面积最小时的直 线方程
（2）截距式： x y 1 ab
注意：两种形式方程的适用范围。
直线的两点式、截距式方程
北师大版必修2第二章
§7.1 直线的方程（2） 一、复习
1、什么是直线的点斜式方程？ 2、求分别过以下两点直线的方程 (1)A(8, -1) B (-2 , 4) (2) C (x1, y1) D (x2 ,y2) (x1≠x2, y1≠y2)
二、新课
1、直线方程的两点式
练习3： 1、直线ax+by=1 (ab≠0)与两坐标轴围成的面 积是___________; 2、已知一直线在x轴上的截距比在y轴上的截 距大1，并且经过点P (6, -2),求此直线的方程。
§7.1 直线的方程（2） 小结：
（1）两点式： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
若直线L经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，并
且x1≠x2，则它的斜率
k y2 y1 x2 x1
高二数学直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内：已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点：会求直线的方程：给出直线的点斜式方程：能观察直线的斜率和直线经过的定点：能化直线方程成截距式：并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡：训练学生由一般到特殊的处理问题方法：通过直线的方程特征观察直线的位置特征：培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况：截距式方程是两点式方程的特殊情况：教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后：说明得到的就是直线的方程：即直线上每个点的坐标都是方程的解：反过来：以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程：但化为y-y1=k(x-x1)后：点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k：并且经过点P1(x1：y1)：直线是确定的：也就是可求的：怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x：y)是直线l上不同于P1的任意一点：根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)：因此：点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上：方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程：可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解：对上面的过程逆推：可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上：所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的：叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)：k=0：直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)：直线的斜率不存在：它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1：所以它的方程是x=x1．(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b：斜率为b：求直线的方程．这个问题：相当于给出了直线上一点(0：b)及直线的斜率k：求直线的方程：是点斜式方程的特殊情况：代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时：斜截式方程就是直线的表示形式：这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1：y1)、P2(x2：y2)：(x1≠x2)：直线的位置是确定的：也就是直线的方程是可求的：请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时：为了便于记忆：我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的：叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线：当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时：可直接写出方程：(2)要记住两点式方程：只要记住左边就行了：右边可由左边见y就用x代换得到：足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0：b≠0)：求直线l的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题：由学生自己完成．解：因为直线l过A(a：0)和B(0：b)两点：将这两点的坐标代入两点式：得就是学生也可能用先求斜率：然后用点斜式方程求得截距式．引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的：叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距：可以直接代入截距式求直线的方程：(2)将直线的方程化为截距式后：可以观察出直线在x轴和y轴上的截距：这一点常被用来作图：(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5：0)、B(3：-3)、C(0：2)(图1-27)：求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程本来也可以用两点式得到：为简化计算：我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的：要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．练习第1题)写出下列直线的点斜式方程：并画出图形：(1)经过点A(2：5)：斜率是4：(4)经过点D(0：3)：倾斜角是0°：(5)经过点E(4：-2)：倾斜角是120°．解：2．练习第2题)已知下列直线的点斜方程：试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1：2)：k=1：α=45°：(3)(1：-3)：k=-1：α=135°：3．练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°：y轴上的截距是3．4．练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程：再化成截距式方程：并根据截距式方程作图．(1)P1(2：1)、P2(0：-3)：(2)A(0：5)、B(5：0)：(3)C(-4：-3)、D(-2：-1)．解：(图略)六、板书设计。
高中数学 第21课时 直线的两点式方程综合刷题增分练 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
第21课时 直线的两点式方程课时目标1.能识记和描述两点式方程及其使用X 围．2．能识记和描述截距式方程及其使用X 围．3．能应用两点式和截距式公式求直线方程．识记强化 1．我们把经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1叫做直线的两点式方程，简称两点式．若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)中的x 1＝x 2或y 1＝y 2时，直线P 1P 2没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线P 1P 2平行于y 轴，直线方程为x －x 1＝0或x ＝x 1.当y 1＝y 2时，直线P 1P 2平行于x 轴，直线方程为y －y 1＝0或y ＝y 1.2．我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程x a ＋y b＝1由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程．课时作业一、选择题(每个5分，共30分) 1．过A (1,1)，B (0，－1)两点的直线方程是( )A.y ＋11＋1＝x B.y －1－1＝x －1－1 C.y －10－1＝x －1－1－1D ．y ＝x 答案：A解析：由直线的两点式方程，得y －－11－－1＝x －01－0，整理得y ＋11＋1＝x ，选A. 2．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C．b2 D．±b 答案：B解析：令x＝0，得y＝－b2，即直线xa2－yb2＝1与y轴的交点是(0，－b2)，所以该直线在y轴上的截距是－b2.3．某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(千克)的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为( )A．20千克 B．25千克C．30千克 D．80千克答案：C解析：由图知点A(60,6)，B(80,10)，由直线方程的两点式，得直线AB的方程是y－610－6＝x－6080－60，即y＝15x－6.依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30千克行李．4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是( )A．y＝－3x－4 B．y＝3x－4C．y＝3x＋4 D．y＝－3x＋4答案：A解析：因为A(1,3)，B(－5,1)，所以线段AB的中点坐标为(－2,2)，直线AB的斜率为3－11－－5＝13，所以线段AB的中垂线的斜率为－3，所以以A，B为端点的线段的垂直平分线的方程是y－2＝－3(x＋2)，即y＝－3x－4，选A.5．经过点(2,0)，且与坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程为( )A.x3±y2＝1 B.x6±y3＝1C.x2±y3＝1 D.x2±y6＝1答案：C令y ＝0，则x ＝1m ，所以S ＝12·|1n |·|1m |＝12|mn |. 三、解答题10．(12分)已知直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．解：设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ，所以直线l 的方程为x a ＋y 6－a ＝1.因为点(1,2)在直线l 上，所以1a ＋26－a＝1，a 2－5a ＋6＝0，解得a ＝2或a ＝3. 当a ＝2时，直线的方程为x 2＋y 4＝1，直线经过第一、二、四象限；当a ＝3时，直线的方程为x 3＋y 3＝1，直线经过第一、二、四象限． 综上所述，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.11．(13分)已知直线l 经过点(7,1)，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程．解：当直线l 经过原点时，直线l 在两坐标轴上的截距均等于0，符合题意．又直线l 过点(7,1)，∴所求直线方程为y ＝17x ，即x －7y ＝0. 当直线l 不经过原点时，设其方程为x a ＋y b ＝1，由题意可得a ＋b ＝0，①又l 经过点(7,1)，有7a ＋1b＝1，② 由①②，得a ＝6，b ＝－6，则l 的方程为x 6＋y－6＝1，即x －y －6＝0. 故所求直线l 的方程为x －7y ＝0或x －y －6＝0.能力提升12．(5分)直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k 的X 围是( )A ．k ≥－1B ．k ≤1C ．－1≤k ≤1且k ≠0D ．k ≤－1或k ≥1答案：C解析：令x ＝0，y ＝k ，令y ＝0，得x ＝－2k .∴三角形的面积S ＝12|xy |＝k 2 又S ≤1，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1.又k ＝0不合题意，∴－1≤k <0或0<k ≤1.13．(15分)一条直线从点A (3,2)出发，经过x 轴反射，通过点B (－1,6)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．解：点A (3,2)关于x 轴的对称点A ′(3，－2)，由两点式可得直线A ′B 的方程为 y －－26－－2＝x －3－1－3，整理得2x ＋y －4＝0；点B 关于x 轴的对称点B ′(－1，－6)，由两点式得直线AB ′方程为y －2－6－2＝x －3－1－3，整理得2x －y －4＝0. 即入射光线所在的直线方程为2x －y －4＝0；反射光线所在的直线方程为2x ＋y －4＝0.。
高效课堂直线的两点式、截距式与一般式
思考2:直线l的方程可化为 其中a，b的几何意义如何？
x y 1， a b
方程
x y 1叫做直线的截距式方程， a b
思考3:过原点的直线方程能用截
距式表示吗？
思考4:与坐标轴垂直的直线方
程能用截距式表示吗？
知识探究（三）：直线方程的一般式
思考1:通过变形整理，我们发现直 线的点斜式、斜截式、两点式、截 距式方程都可以变形成右边为0，左 边是关于x，y的方程。 即：任意一条直线的方程都可以 写成Ax+By+C=0的形式（A，B不同 时为0）。
思考2:任意一条直线的方程都可以 写成Ax+By+C=0的形式，同时，关于 x，y的二元一次方程都表示直线， 方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0） 叫做直线的一般式方程.
讨论、交流（约6分钟）
（一）讨论目标： 通过讨论每位同学要掌握两点式、截距式和一般式的特点， 并能应用其解决相关的问题。
1.求经过点P(0，5)，且在两坐 标轴上的截距之和为2的直线方程.
2.已知直线经过点A（6，-4）， 4 斜率为 3 ，求直线的点斜式和一般 式方程.
3.把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的 斜率以及它在x轴与y轴上的截距， 并画出图形.
当堂小结
老师 • 知识
学科 • 课堂情况 班长
1、6
探究（一）：直线的两点式方程
思考1:设直线l经过两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，则 直线l斜率是什么？ y y
k
2 1
x2 x1
结合点斜式直线l的方程如何？ y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
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《高中数学：直线的两点式、截距式方程-王禾》进阶练
一、选择题
1. 已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分
别为( )
A.4 和3
B.-4 和3
C.-4 和-3
D.4 和-3
2. 求经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为()
A.x+y-5=0
B.2x-3y=0
C.2x-3y=0或x+y-5=0
D.以上都不对
3. 过点P(3，4)在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条？( )
A.4
B.5
C.6
D.7
二、解答题
4. 已知函数f (x)=aln (x+1) + ( x+1)2在x=1处有极值.
(1)求实数a值；
(2)求函数f (x)的单调区间；
(3)令g (x) =f'( x)，若曲线g (x)在(1, g (1))处的切线与两坐标轴分别交于
A, B两点(0为坐标原点)，求△ AOB的面积.
5. 已知直线I 1为曲线y=f (x) =x2-x+2在点(1, 2)处的切线，l 2为该曲线的另外一条切线，且I 1丄I 2.
求(1)直线I 1, I 2的方程;
2）求由直线l 1、l 2及x 轴所围成的三角形的面积．
(川)由于• ' ,
x 4- 1 所以 ，当 x=1 时，g '( 1) =4, g
(1) =0.
山+ 1)
所以切线斜率为 4,切点为(1 , 0),
所以切线方程为 y=4 (x-1 ),即4x-y-4=0 .
令 x=0，得 y=-4，令 y=0,得 x=1 .
所以△ AOB 的面积 _
2 5.解：(1)： y=f ( x ) =x -x+2 ,
••• f '( x ) =2x-1 ,
当x=1时，直线11的斜率为
k 1=f '( 1) =2X1 -1=1 ；
•直线l 1的方程为y-2=1x( x-1 ),
即 x-y+1=0 ;
又T1 1丄l , • k 2=2X -1=-1 ,
解得x=0,
•-y=f ( 0) =2,
直线I 2的方程为y-2=- 1 X( x-0 ),
即 x+y-2=0 ; 【参考答
案】 参考答案
1.C
2.C
3.D
4.解：(I)因为 f (x ) =aln (x+1) + (x+1) 2
,
所以
’
T + I
由 f '( 1) =0，可得 h 」—：i', a=-8 •
经检验a=-8时，函数f (x )在x=1处取得极值,
所以a=-8 •
(H) f (x ) =-8In (x+1) + (x+1) 2, F ⑴-. ------------------ — j + 1
+」打+ 2=生|也
士！1
J +1
而函数f (x ) 当x 变化时， A
的定义域为(-1，+s), f '( x ), f (x )的变化情况如
下表:
1
(71) 极小值
由表可知，f 分)
/
(X )的单调减区间为(-1 , 1), f (x )的单调增区间为(1 , +8).
(10
(2)由直线11、12及x轴所围成的三角形如图所示;
3.解：当直线经过原点时满足条件，直线方程为:
当直线不经过原点时，设直线方程为
』对 * I = n
| ；? 由 .得A (,),
[序卜劭 2=0 2 2
[T 站 * | = |) 由 得 B (-1 , 0),
\ r. \ y 2 = 11 由 得 C (2, 0)；
] ] X q • S △ABC = — |BC|?y A = , x |2 - (-1 ) | x [ = j .
【解析】
1 1 一
1.解：由题意得 一=,n=-3，直线 mx+ny+1=0平行于直线 4x+3y+5=0, it 3 /• m 二4 .
故选C .
由直线在y 轴上的截距为
，可得 =気，解出 n ,再由直线平行可得一= 工，求 j
a 』 -1 3
出m .
本题考查直线在y 轴上的截距的定义，两直线平行的性质.
2.解：当直线经过原点时，设方程为 y=kx , 2
•••直线经过点 P(3 , 2) ,••• 2=3k ，解之得k=:,
2
此时的直线方程为 y=.：x ,即2x-3y=0 ;
当直线不经过原点时，设方程为
x+y+c=O , 将点P(3 , 2)代入，得3+2+c=0,解之得c=-5，此时的直线方程为 x+y-5=0 . 综上所述，满足条
件的直线方程为：
2x-3y=0或x+y-5=0 . 故选：C 把点P ( 3, 4)代入可得： ,
a b
满足条件的a, b 有(6, 8), (4, 16), (5, 10) ( 9, 6), (15, 5), (7, 7).
综上可得：满足条件的直线共有7条.
故选：D.
当直线经过原点时满足条件，直线方程为：’.当直线不经过原点时，设直线方
3
程为. I ,把点P (3, 4)代入可得、.，对a, b取非负整数即可得出.
« o N b
本题考查了直线的截距式、整数的性质，考查了推理能力，属于基础题.
4.
(1)先对f (x)求导，由题意可得，f'( 1) =0,代入求a
(2)求函数f (x)的定义域，令f '( x) > 0, f '( x)v 0分别解出函数的单调增区间、减区间
(3)求g (1) =f'( 1)及g'( x),然后求切线的斜率k=g'( 1),写出切线方程，求出A, B,进
一步求结果.
本题考查了导数的应用：极值在X。
存在的性质，f (X o) =0;求函数的单调区间：即解f ' (x)> 0, f'( x)v 0;导数的几何意义：函数在X0处的导数f ( x o)为该点的切线斜率.属于基础知识的综合运用.
5.
(1)由y=f (x),求出f'( x)，得出直线l 1的斜率k1,求出直线l 1的方程，再求出直线12的方程；
(2)画出直线丨1、丨2及x轴所围成的三角形图形，结合图形，求出三角形的面积.
本题考查了直线方程的应用问题，也考查了利用导数求曲线的切线问题，是综合性题目.。