玉林高中2012级高2下数学拓展题极限与数学归纳法部分
高中数学极限中几种常见的求法及应用
高中数学极限中几种常见的求法及应用作者：兰金凤来源：《读写算》2013年第04期“极限”是高中数学中的重要概念，也是高考必考的内容之一。
在高中数学中深受广大师生的重视。
其实很多题都有一些特点，能够抓住这个特点，对解题会带来方便、快捷。
下面是根据自己在教学实践中的体会，介绍求极限的几种方法和应用，并附有习题与读者切磋。
数列极限：一、∞∞型：应遵循三条规律（1）分子次数高，分母次数低，则极限不存在；（2）分子次数低，分母次数高，则极限值为0；（3）分子、分母的次数相同，则极限值是分子、分母中最高次项前的系数的比值。
例1：填空①limn∞5n2-12n2+n-5=52解法1：limn∞5n2-12n2+n-5=limn∞5-1n22+1n-5n2=limn∞5-limn∞1n2limn∞2+limn∞1n-limn∞5n2=5-02+0-0=52解法2：观察分子、分母就知道此式符合规律（3），又分子次数为5，分母次数为2，所以极限为52。
②limn∞n-12n4+2n-5=（0）解：此式符合规律（2），所以极限为0.③limn∞4n5-1n4+n（不存在）解：此式符合规律（1），所以极限不存在。
例2：填空①若limn∞n-1an3+bn-c=2，则a=（0），b=12，c=（任意实数）解：此题符合规律（3），又分子次数为1，所以分母的次数也为1，即a=0。
又由题意知1b=2，所以b=12。
因为C对极限无影响，所以C值为任意实数。
②若limn∞n2+1n+1-an-b=0，则a=（1），b=（-1）解：∵n2+1n+1-an-b=n2+1-an2-an-bn-bn+1=（1-a）n2-（a+b）n+（1-b）n+1，由已知limn∞n2+1n+1-an-b=0，得：∵1-a=0，a+b=0，即a=1，b=-1二、00，∞±∞等类型要注意分子分母有理化策略例3：求下列极限：（1）limn∞n+2-n；（2）limn∞4n2+3n-n2+1.解：（1）原式=∵limn∞n+2-nn+2+nn+2+n=limn∞2n+2+n=0（2）原式=limn∞4n2+3n+n2+13n-1=limn∞41+3n+1+1n23-3n=83三、对于分子分母是分数指数幂形式的一般分子分母同除以底数较大的幂值例4：（1）求limn∞2n-1-3n2n-3n-1，（2）已知a>0，b>0求limn∞anan+bn+1解：（1）原式=limn∞2n-13n-1-32g2n-13n-1-1=3（2）∵a>0，b>0，∴limn∞anan+bn+1=limn∞11+bban若ba>1，n∞时，ban∞，limn∞anan+bn+1=limn∞11+bban=0若ba=1时，ban=1，limn∞anan+bn+1=limn∞11+bban=11+b若0注：含字母常数时要有分类讨论思想四、对于无限项的数列的和或积，应先求其n项的和或积，然后再求极限例5：求limn∞1n2+4n2+7n2+L+3n2-nn2解：limn∞1n2+4n2+7n2+L+3n2-nn2=limn∞3n2-nn2=limn∞3-1n2=32五、用“四则运算”法则求极限及逆向思维求参数的值例6：已知limn∞（3an+4bn）=8，limn∞（6an-bn）=1，求limn∞（3an+4bn）解：数列{3an+4bn}，{6an-bn}的极限存在，但{an}，{bn}的极限不一定存在，所以不能列出方程组求{an}，{bn}的极限，而应该把3an+4bn，6an-bn看成整体，再求解。
高中数学极限问题
第九讲 极限与探索性问题【考点透视】1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．了解数列极限和函数极限的概念．3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 【例题解析】 考点1 数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注意：a 不一定是｛a n ｝中的项.2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n1=0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞→n lim a n =a , ∞→n lim b n =b 时，∞→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;例1.数列{n a }满足:113a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则12lim()n n a a a →∞+++=( )A.12B.23C.32D.2[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim 0(1)n n q q →∞=< 的应用.[解答过程]由113a =和m n m n a a a +=⋅得23111,,.9273n na a a ==∴=1211(1)133lim()lim .1213n n x x a a a →∞→∞-∴++⋅⋅⋅+==-故选A.例2．设常数0a >，421ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____.[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力.[解答过程] 1482214r r rrr T C axx---+=，由18232,2,r r xxx r --==得4431=22r r C a -由知a=，所以212l i m ()1112n n a a a →∞++⋅⋅⋅+==-，所以为1. 例3.把21(1)(1)(1)n x x x +++++++展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim 1n n n a a ∞-+→等于( ) （ ）A ．14B ．12C ．1D ．2[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim 0(1)n n q q →∞=< 的应用.[解答过程] 22121,1(1)(1)(1)122221,12nn nn n x a x x x -==+++++++=++++==--当时1212211211limlim lim lim 2 2.121122n n n n n n n n n n na a +∞∞∞∞----===-=+-+→→→→()∴()() 故选D例4.设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．思路启迪：由等差数列{}n a 的公差d 是2，先求出前n 项的和为n S 和通项n a ． [解答过程] 221222,,2n n n n a a n a S na n a n -=+-=-+=+=+-()(n 1)(1)222222222122lim lim lim 3.1nn n n n aa n n a n n n a S n a n n→∞→∞→∞-+---+-===-+-+()()∴1(1) 故填3 小结:1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点： （1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） ∞→n lim C =C （C 为常数）;（2） ∞→n lim （n1）p =0（p ＞0）;（3） ∞→n lim d cn b an k k++=ca （k ∈N *,a 、b 、c 、d ∈R 且c ≠0）;（4） ∞→n lim q n =0（|q |＜1）.例5.设正数a , b 满足4)(22lim =-+→b ax x x 则=++--+∞→nn n n n b a ab a2111lim（ ）（A ）0（B ）41（C ）21（D ）1解:221lim()4,24,.2x a x ax b a b b →+-=+-==∵∴4∴111111111112limlim lim .1224222n n n n n nx x x n n a a a a aba b a a b b b bb --+--→∞→∞→∞--+++====+++[()][()]则()() 故选B小结:重视在日常学习过程中运用化归思想. 考点2 函数的极限 1.函数极限的概念：（1）如果+∞→x lim f （x ）=a 且-∞→x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a .（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0＝无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0lim x x f （x ）=a .2.极限的四则运算法则：如果0lim x x → f （x ）=a , 0lim x x →g （x ）=b ,那么lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; 0lim x x →)()(x g x f =ba （b ≠0）. 例6． 1lim 231--→x x x x =( )A ．等于0B ．等于lC ．等于3D ．不存在[考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力.[解答过程] 32221111lim lim lim 1.11x x x x x x x x x x →→→--===--()故选B例7． =---→121lim 221x x x n ( )（A ）0 （B ）1（C ）21（D ）32[考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力. [解答过程] 2211111112lim lim lim .211113n n n x x x x x x x x x →→→--++===--+-+()()(2)()2故选D例8.若f （x ）=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f （0）=__________________.思路启迪：利用逆向思维球解.解答过程：∵f （x ）在点x =0处连续，∴f （0）=0lim →x f （x ）,lim →x f （x ）= 0lim→x 11113-+-+x x =lim→x 1111)1(332++++++x x x =23.答案: 23例9.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1lim →x f （x ）=0,2lim -→x f （x ）=－3,求这一函数最大值..思路启迪：由函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,利用f （－x ）=f （x ）构造方程,求出b 的值.解答过程：∵f （x ）=ax 2+bx +c 是一偶函数, ∴f （－x ）=f （x ）,即ax 2+bx +c =ax 2－bx +c . ∴b =0.∴f （x ）=ax 2+c .又1lim →x f （x ）= 1lim →x ax 2+c =a +c =0, 2lim -→x f （x ）=2lim -→x ax 2+c =4a +c =－3,∴a =－1,c =1.∴f （x ）=－x 2+1.∴f （x ）max =f （0）=1. ∴f （x ）的最大值为1.例10.设f （x ）是x 的三次多项式，已知ax 2lim →=ax x f 2)(-=ax 4lim→ax x f 4)(-=1.求ax 3lim→ax x f 3)(-的值（a 为非零常数）.解答过程：由于ax 2lim→ax x f 2)(-=1,可知f （2a ）=0. ① 同理f （4a ）=0. ②由①②，可知f （x ）必含有（x －2a ）与（x －4a ）的因式，由于f （x ）是x 的三次多项式，故可设f （x ）=A （x －2a ）（x －4a ）（x －C ）. 这里A 、C 均为待定的常数. 由ax 2lim→ax x f 2)(-=1,即ax 2lim →ax C x a x a x A 2))(4)(2(----=ax 2lim →A （x －4a ）（x －C ）=1, 得A （2a －4a ）（2a －C ）=1,即4a 2A －2aCA =－1. ③ 同理，由于ax 4lim→ax x f 4)(-=1,得A （4a －2a ）（4a －C ）=1,即8a 2A －2aCA =1. ④ 由③④得C =3a ,A =221a ,因而f （x ）=221a （x －2a ）（x －4a ）（x －3a ）.∴ax 3lim→a x x f 3)(-=a x 3lim →221a（x －2a ）（x －4a ）=221a ·a ·（－a ）=－21.例11 a 为常数，若+∞→x lim （12-x －ax ）=0,则a 的值是____________..思路启迪：先对括号内的的式子变形.解答过程：∵+∞→x lim （12-x －ax ）= +∞→x lim axx x a x +---112222=+∞→x lim axx x a +---11)1(222=0,∴1－a 2=0.∴a =±1.但a =－1时，分母→0, ∴a =1.考点3.函数的连续性及极限的应用 1.函数的连续性.一般地，函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件：（1）函数f （x ）在点x =x 0处有定义；（2）0lim x x →f （x ）存在；（3）0lim x x →f （x ）=f （x 0）.如果函数y =f （x ）在点x =x 0处及其附近有定义，而且0lim x x →f （x ）=f （x 0）,就说函数f （x ）在点x 0处连续.2.如果f （x ）是闭区间［a ,b ］上的连续函数，那么f （x ）在闭区间［a ,b ］上有最大值和最小值.3.若f （x ）、g （x ）都在点x 0处连续,则f （x ）±g （x ）,f （x ）·g （x ）,)()(x g x f （g （x ）≠0）也在点x 0处连续.若u （x ）在点x 0处连续,且f （u ）在u 0=u （x 0）处连续,则复合函数f ［u （x ）］在点x 0处也连续.例12.f （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 思路启迪：说明问题即可.解答过程：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A 例13.f （x ）=xxπcosπcos的不连续点为( )A.x =0B.x =122+k （k =0,±1,±2,…） C.x =0和x =2k π（k =0,±1,±2,…） D.x =0和x =122+k （k =0,±1,±2,…）思路启迪：由条件出发列方程解之.解答过程：由cos xπ=0,得xπ=k π+2π（k ∈Z ）,∴x =)(122Z ∈+k k .又x =0也不是连续点,故选D 答案：D例14. 设f （x ）=⎩⎨⎧≥+<),0(),0(e x xa x x当a 为________时,函数f （x ）是连续的. 解答过程：+→0lim x f （x ）= +→0lim x （a +x ）=a , -→0lim x f （x ）=-→0lim x e x =1,而f （0）=a ,故当a =1时,lim →x f （x ）=f （0）,即说明函数f （x ）在x =0处连续,而在x ≠0时,f （x ）显然连续,于是我们可判断当a =1时, f （x ）在（－∞,+∞）内是连续的.小结：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.例15.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧-,1,为无理数为有理数x xx x 函数f （x ）在哪点连续( )A.处处连续B.x =1C.x =0D.x =21思路启迪：考虑结果的启发性.解答过程：+→21lim x f （x ）= -→21lim x f （x ）=f （21）.答案：D例16.抛物线y =b （ax ）2、x 轴及直线AB :x =a 围成了如图（1）的阴影部分,AB 与x 轴交于点A ,把线段OA 分成n 等份,作以na 为底的内接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S 等于这些内接矩形面积之和当n →∞时的极限值,求S 的值.x xyyO O A A B(1)(2)思路启迪：先列出式子.解答过程：S =∞→n lim ［b ·（n 1）2+b ·（n 2）2+b ·（n 3）2+…+b ·（n n 1-）2］2·na=∞→n lim3222)1(21n n -+++ ·ab=∞→n lim 36)12()1(n n n n -⋅⋅-·ab =31ab .例17.如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切,…,圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去,记圆O n 的面积为a n （n ∈N *）. （1）证明{a n }是等比数列； （2）求∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）的值.解答过程：（1）证明:记r n 为圆O n 的半径， 则r 1=2l tan30°=63l .nn n n r r r r +---11=sin30°=21,∴r n =31r n －1（n ≥2）.于是a 1=πr 12=1212π-⋅n n a a l ,1-n n a a =（1-n n r r ）2=91,∴{a n }成等比数列.（2）解：因为a n =（91）n －1·a 1（n ∈N *）,所以∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=9111-a =32π32l .例18. 一弹性小球自h 0=5 m 高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的97,不计每次碰撞时间,则小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间分别是多少?解答过程：设小球第一次落地时速度为v 0,则有v 0=02gh =10（m/s ）,那么第二,第三,…,第n +1次落地速度分别为v 1=97v 0,v 2=（97）2v 0,…,v n =（97）n v 0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h 0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L 1=2×gv 221=10×（2)97.小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L 2, 则L 2=2×gv 222=10×（97）4.由数学归纳法可知,小球第n 次到第n +1次与地面碰撞经过路程为 L n =10×（97）2n .故从第一次到第n +1次所经过的路程为 S n +1=h 0+L 1+L 2+…+L n ,则整个过程总路程为S =∞→n lim S n +1=5+∞→n lim 10×222)97(1])97(1[)97(--n =5+1022)97(1)97(-=20.3（m ）,小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t 0=002g h =1（s ）.小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t 1=2×gv 1=2×97,同理可得t n =2×（97）n ,t n +1=t 0+t 1+t 2+…+t n ,则t =∞→n lim t n +1=1+∞→n lim 2×)97(1])97(1)[97(--n =8（s ）. 考点4.新考题例19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 、}{n b 与函数)(x f 、)(x g ，R ∈x 满足条件：))(()(,*11N ∈===+n b g b f a b b n n n ．（I ）若)()(,2)(),2,0(1)(b g b f x x g t t tx x f ≠=≠≠+=，且n n a +∞→lim 存在，求t 的取值范围，并求n n a +∞→lim （用t 表示）．（II ）若函数)(x f y =在R 上是增函数，1)1(,1),()(1<==-f b x f x g ，证明对任意的*N ∈n ，n n a a <+1．[考查目的]本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查运用数学归纳法解决问题的能力. [解答过程]（Ⅰ）解法一：由题设知2.1212,11,111≠+=⎩⎨⎧=+=++++t a ab a tb a n n n n n n 又已知得，可得 ).22(21221-+=-++t a t a n n由⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≠≠-+=-+≠≠≠22,02,0222,0,2),()(1t a t t ttb t a t t b g b f n 所以可知是等比数列，其首项为2,2t t t tb 公比为-+，于是.22)2)(2(,)2)(2(2211---+=-+=-+--t t t t tb a t t t tb t a n n n n 即又.022,1|2|0,lim ≠<<-<<t t t a n 且所以可得存在.22lim ta n n -=∞→解法二：由题设知2,211≠=++t b tb n n 且，可得 ).21(21211-+=-++t b t b n n由2121,02,021,0,2),()(-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≠≠-+≠≠≠t b t b t t b t t b g b f n 是首项为所以可知，公比为2t 的等比数列..21)2)(21(,)2)(21(2111---+=-+=-+--t t t b b t t b t b n n n n 即由,1|2|0,lim ,lim ,21<<=∞→∞→+t b a b a n n n n n n 于是可得存在则存在若可知所以.022≠<<-t t 且 .22lim 2lim tb a n n n n -==∞→∞→解法三：由题设知121+=+n n b tb ，即 2121+=+n n b t b ，①于是有,21212+=++n n b t b②②－①得n n n n n n n b b c b b t b b -=-=-++++1112),(2令，得.21n n c t c =+由,02,021)2(0,2),()(121≠≠+-=-=≠≠≠t b t b b c t t b g b f 可知 所以2,}{2t b b c n 公比为是首项为-的等比数列，于是.2)(2])2(1[42,)(21)2(1)(121121211b b b tt b a b b b t t b c c c b n n n nn n +---==+---=++++=++ 又.022,1|2|0,lim ≠<<-<<∞→t t t a n n 且所以可得存在.222)(24lim 12tb b b t a n n -=+--=∞→说明：数列{a n }通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以上评分标准.（Ⅱ）证明：因为).(),()(),()(1111n n n n n a f b b f b g a x f x g ==='=++-+即所以 下面用数学归纳法证明).(*1N ∈<+n a a n n （1）当1)1(,)(,1<=f x f n 且为增函数由时，得 ,)1()(,1)1()(,1)1()(1221211a f b f a f a f b f b f a =<=<<=<==即12a a <，结论成立.（2）假设n = k 时结论成立，即)(.1x f a a k k 由<+为增函数，得 121),()(+++<<k k k k b b a f a f 即， 进而得.),()(1212++++<<k k k k a a b f b f 即 这就是说当n = k +1时，结论也成立.根据（1）和（2）可知，对任意的.,1*n n a a n <∈+N例20已知公比为)10(<<q q 的无穷等比数列}{n a 各项的和为9，无穷等比数列}{2n a 各项的和为581.(Ⅰ)求数列}{n a 的首项1a 和公比q ；(Ⅱ)对给定的),,3,2,1(n k k ⋅⋅⋅=,设)(k T 是首项为k a ，公差为12-k a 的等差数列.求数列)(k T 的前10项之和；(Ⅲ)设i b 为数列)(i T 的第i 项，n n b b b S +⋅⋅⋅++=21，求n S ，并求正整数)1(>m m ，使得mS nn ∞→lim 存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当∞→n 时该无穷数列前n 项和的极限)[考查目的]本题考查运用等比数列的前n 项和公式，从已知的条件入手列方程组求出等比数列的公比和首项.[解答过程] (Ⅰ)依题意可知,1121293,12.81315a a q q a q⎧==⎧⎪-⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪-⎩ (Ⅱ)由(Ⅰ)知,1323-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)2(T 的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155. (Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i =()()1321231--⎪⎭⎫ ⎝⎛--i i i ，()()2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n S nn ，m n n n S ∞→lim =∞→n lim ()14518272.32n m m m n n n n n n ⎛⎫-+⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当m=2时，m n n n S ∞→lim =－21，当m>2时，mn n n S ∞→lim =0，所以m=2.【专题训练】 一.选择题1.下列极限正确的个数是①∞→n lim αn 1=0（α＞0）;②∞→n lim q n =0;③∞→n lim nn nn 3232+-=－1 ; ④∞→n lim C =C （C 为常数）A.2B.3会C.4D.都不正确2.下列四个命题中正确的是A.若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C.若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2 D.若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n3.+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.f （x ）=⎩⎨⎧<≥,10,12x x x 下列结论正确的是( ) A.)(lim 1x f x +→=-→1lim x f （x ） B.)(lim 1x f x +→=2，)(lim 1x f x -→不存在C.+→1lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x -→不存在 D.+→1lim x f （x ）≠-→1lim x f （x ）5.下列图象表示的函数在x =x 0处连续的是( )xyOx 0xyOx 0x yO x 0xyOx 0①②③④A.①B.②③C.①④D.③④ 6.若f （x ）在定义域［a ,b ］上有定义,则在该区间上( )A.一定连续B.一定不连续C.可能连续也可能不连续D.以上均不正确 7.已知31a cn c bn Lim ,5cbn cnanLim n 22n =++=++∞→∞→，如果bc ≠0，那么ban cn c bn anLim 22n ++++∞→=( )A 、 15B 、151 C 、53D 、358.若r 为实常数，则集合}R r ,|r |1|r |Limx |x {nn n ∈+=∞→A 、恰有一个元素B 、恰有两个元素C 、恰有三个元素D 、无数多个元素 9. 11(1)1lim 1,lim 1(22)x x f x x x f x →→--==--若则（C ）A ．－1B ．1C ．－21 D ．2110. 已知()23,12,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是（ ） A.()f x 在1x =处连续 B.()5f x = C.()1lim 2x f x -→= D.()1lim 5x f x +→=二.填空题11.四个函数:①f （x ）=x1;②g （x ）=sin x ;③f （x ）=|x |;④f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d .其中在x =0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上） 12.下四个命题:①f （x ）=x1在［0,1］上连续;②若f （x ）是（a ,b ）内的连续函数,则f （x ）在（a ,b ）内有最大值和最小值; ③2πlim →x xx cos 2sin 2=4;④若f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥).0(1),0(x x x x 则0lim →x f （x ）=0.其中正确命题的序号是____________.（请把你认为正确命题的序号都填上） 13.则a=______，b=______.14.函数f(x)在（0，+∞）内满足f ’(x)>0，f(0)>0，则nnnn n )](f [5)]3(f [4)](f [3)]3(f [2Lim π-+π--∞→=_________.15. ∞→n limnn ++++ 212=__________.16. ∞→n lim 32222-+n n n =____________.三.解答题17.求下列函数极限:错误！未找到引用源。
高数二下练习题答案完整版(全部)
高数二下练习题答案完整版(全部)高等数学II 练习题________学院_______专业 班级 姓名______ ____学号_______反常积分、定积分应用（一）1、求无穷限积分0ax e dx +∞-⎰ （0>a ）。
1ax e dx a+∞-=⎰(过程略)2、求瑕积分211x -⎰。
()()()2211021023/21/2013/21/20lim11lim 1112lim 1213828 = lim 2333x x x d x x x x εεεεεεεεε+++++→+→→+→=--=---⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰3、求由曲线22yx=与4x y +=所围成图形的面积。
22232244282244(4)d (4)18226x x y x y y x y y y y S y y y --==⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩∴=--=--=⎰解：或是两交点4、求由曲线1=xy 和直线x y =，2=x 所围成的平面图形的面积。
2113ln 22S x dx x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰或120111322ln 222S xdx dx x ⎛⎫=⨯⨯-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰（请自己画草图，体会两种不同的求法）5、抛物线342-+-=x x y 与其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积。
解：过点)3,0(-的切线方程为 34y x+=，而过)0,3(处的切线方程为()23y x =--故求的两切线交点为 )3,23(，则所要求图形的面为：()()()()3/23221203/29434326434S S S x x x dx x x x dx ⎡⎤⎡⎤=+=---+-+-+--+-=⎣⎦⎣⎦⎰⎰6、设椭圆的参数方程为2cos ,3x t y t==，求椭圆的面积。
解：由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为：()220/24432cos 83sin 23S ydx td t tdt πππ===-=⎰⎰⎰（简单的计算过程略，希望同学们自行补充完成）7、在]1,0[上给定函数2x y =，问t 取何值时，右图中曲边三角形OACO 与ADBA 的面积之和最小？何时最大？2222331122322()22()d (1)d ()3341331()42,()0,021[0,]()021[,1]()021112(0),(),(1)32431tt t tOACO ADBA A t A t y y y y y y y t t A t t t A t t t t A t t A t A A A t ∴=+=+-=-+''∴=-=∴=='∈<'∈>====⎰⎰解：设曲边三角形和的面积之和为令或当时，，函数单调减少当时，，函数单调增加所以当时，12t =面积之和最大，当时，面积之和最小。
广西省玉林市2019-2020学年数学高二下期末经典试题含解析
广西省玉林市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量8X ξ+=，若()~10,0.6X B ，则()E ξ，()D ξ分别为（ ） A ．6和2.4 B ．6和5.6C ．2和2.4D ．2和5.6【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的数学期望和方差公式求出()E X 和()D X ，然后利用期望和方差的性质可求出()E ξ和()D ξ的值.【详解】()~10,0.6X B ，()100.66E X ∴=⨯=，()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=.8X ξ+=，8X ξ∴=-，由期望和方差的性质可得()()()882E E X E X ξ=-=-=，()()()8 2.4D D X D X ξ=-==.故选：C. 【点睛】本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用． 2．在三棱柱1111,ABC A B C AA -⊥面ABC ，23BAC π∠=，14AA =，AB AC ==，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．48πC ．64πD ．72π【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理可求得BC ，再根据正弦定理可求得ABC ∆外接圆半径r；由三棱柱特点可知外接球半径R =R 后代入球的表面积公式即可得到结果.【详解】AB AC ==23BAC π∠=22222cos363BC AB AC AB AC π∴=+-⋅= 6BC ∴=由正弦定理可得ABC ∆外接圆半径：622sin 2sin 3BC r BAC π===∠∴三棱柱111ABC A B C -的外接球半径：221112442R r AA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ ∴外接球表面积：2464S R ππ==本题正确选项：C 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，从而利用底面三角形外接圆半径和三棱柱的高，通过勾股定理求得外接球半径.3．已知非空集合,A B ，全集U A B =⋃，集合M A B =⋂, 集合()()UU N B A =⋃则（ ）A ．MN M = B ．M N ⋂=∅ C ．M ND ．M N ⊆【答案】B 【解析】分析：根据题意画出图形，找出M 与 N 的并集，交集，判断M 与 N 的关系即可 详解：全集U A B =⋃，集合M A B =⋂, 集合()()UU N B A =⋃M N U ∴⋃=，M N ⋂=∅，M N ≠故选B点睛：本题主要考查的是交集，并集，补集的混合运算，根据题目画出图形是解题的关键，属于基础题。
2012年高数二下学期期末试卷(详解)
8
3
第
3
页
’
3
e
1 x dx x co s x d x C x
1
’
分 7分
系部
e
0
dx （
C
）. （C） 2 （D）不存在.
在 ( 2 , 3 ) 处， A C B 2 24 0 ，且 A 12 0 ，所以有 f 极大 ( 2 ,3 ) 28
（A） 0
（B） -1
1
第
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四、解答下列各题（每小题 8 分，共 16 分） 1、设 z x y , 求 dz 。 解：
2
（A） f ' ( xy ) ( x y ) y ' ( x y ) ； （B） xf ' ( xy ) ( x y ) y ' ( x y ) ；
专业班级
， f y 2 y 6 0 ˆ
2
（C） xf ' ( xy ) ( x y ) x ' ( x y ) ； （D） xf ' ( xy ) ( x y ) y ( x y ) ．
答题留空不够时，可写到纸的背面
x2 2 y 2 1 2、曲线 绕y z 0
两个驻点 ( 2 , 3 ) ， ( 2 , 3 )
2 2 解：解：曲线 y x 与 x y 的交点为（1，1） ，
1 x 1
展开成 x 2 的幂级数。 -----------------------------------------------------（2 分）
n
1 3 ( x 2)
【新人教】2012年高考数学总复习专题训练数列、极限和数学归纳法
数列、极限和数学归纳法安徽理（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是____________ (11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解读】由算法框图可知(1)1232k k T k +=++++=，若T ＝105，则K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. （18）（本小题满分12分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S .（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ①， ,1221t t t t T n n n ⋅⋅⋅⋅=++ ②①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n.1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=⋅⋅⋅⋅=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n（II ）由题意和（I ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan kk kk k k ⋅++-+=-+=得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k 所以∑∑+==⋅+==231tan )1tan(n k n k k n k k b S23tan(1)tan tan(3)tan 3(1)tan1tan1n k k k n n +=+-+-=-=-∑安徽文（7）若数列}{n a 的通项公式是()()n a n =-13-2g ,则a a a 1210++=L （A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15（7）A 【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解读】法一：分别求出前10项相加即可得出结论； 法二：12349103a a a a a a +=+==+=，故a a a 1210++=3⨯5=15L .故选A.北京理11.在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则公比q =________；12||||||n a a a +++=________.【解读】112a =，442a q =-⇒=-，{||}n a 是以12为首项，以2为公比的等比数列，1121||||||22n n a a a -+++=-。
数列、极限、数学归纳法(二) 教案
数列、极限、数学归纳法(二)教学目标1．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律．深化数学思想方法在解题实践中的指导作用．2．准确理解数列极限的定义，熟练应用数列极限的运算法则求极限并能解决有关问题．3．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．重点难点培养学生整体把握问题的能力，透过给定信息的表象，揭示问题的本质，明确解题方向，化难为易，化繁为简，有针对性地解除学生解综合题的思想障碍．教学过程一、等差数列和等比数列的综合题等差数列和等比数列是根据数列中任意相邻两项之间的特殊关系定义的，因此等差数列和等比数列的性质反映了它们中特定项之间的关系．在解决这类综合题时．要全面考察题目中数列里项之间的下标的关系，抓住下标的变化给解题带来的影响，深化对递推关系的认识．例1 若正数a，b，c成等比数列，x，y，z成等差数列，则(y-z)lg a+(z-x)lg b+(x-y)lg c的值为 [ ] A．0B．1C．2D．-1分析由题意可得b2=a·c，设等差数列的公差为d，于是y-z=-d，z-x=2d，x-y=-d．故选择A．(题设中的数列对一般的等差数列、等比数列命题都成立．对于特殊的等差数列与等比数列也成立)设x=y=z=0，显然原式为零．若设a=b=c=1，显然原式为零．(灵活地运用特殊和一般的关系，使解题过程得到简化)tan B与1的等差中项为n，则m·n的等比中项为____．分析找到条件与结论间的内在联系，即tan A·tan B+tan A+tan B与tan(A+B)的关系．tan(A+B)=1，得tan A+tan B+tan A·tan B=1．例3 公差不为零的等差数列的第4，7，16项恰是某等比数列的第4，6，8项，则该等比数列的公比等于____．解法一设等差数列的首项为a1，公差为d，则(a1+6d)2=(a1+3d)解法二设等比数列的公比为q，等差数列的公差为d，第4项为a，则评述由于选择的基本量不同，解法就不同，解法二根据方程的思想和给定项的特征巧设参数，巧解方程组，优化了解题过程．例4 在7个数组成的数列中，奇数项的数组成等差数列，偶数项的数组成等比数列，首末两项与中间项的和等于27，奇数项的和减去偶数项的积之差等于42．试求中间项的值．分析题设中凡有等差数列特定项的和与等比数列特定项的积，注意相关项设法的技巧，一般都从中间向两端发展，发挥定义与公差、公比的作用．想清楚项与项的关系再设．解法一设d是等差数列的公差，q是等比数列的公比，中间项为y．依题意，得因为y2+2y+6=0无实根，所以中间项为y=2．(注意积累“未知数只设不解”的经验)解法二设数列中的第一项为a1，中间项为a4，最后一项为a7．依题意，得由①得 a1+a7=27-a4．④评述解法二较解法一设得简洁，解的漂亮，巧妙地利用了题设的条件和等差数列与等比数列的性质，事半功倍．教学中要不断引导学生善于发掘题目里更深层的联系．例5 数列{a n}是等差数列，公差d≠0，{a n}中的部分项组成的数列ak1，ak2，…，ak n…恰为等比数列，其中k1=1，k2=5，k3=17．(1)求k n；(2)证明：k1+k2+…+k n=3n-n-1．分析等比数列{ak n}是等差数列{a n}的一个子数列，抓住ak n既是等差数列{a n}的第k n项又是等比数列{ak n}的第n项，就能建立k n与n的联系．即(a1+4d)2=a1(a1+16d)，又d≠0，解得a1=2d，故a1≠0．因此等比数列的公比一方面，ak n=a1+(k n-1)d，另一方面，ak n=a1·q n-1=a1·3n-1，得a1+(k n-1)d=a1·3n-1，解得k n=2·3n-1-1．数列{k n+1}是以k1+1=2为首项，公比是3的等比数列，所以k n+1=2·3n-1．故k n=2·3n-1．(2)证明(本题是求数列{k n}的前n项和的问题，根据kn的构成，转化为分别求等差数列与等比数列的前n 项和的问题．)k1+k2+…+k n=(2·30-1)+(2·3-1)+…+(2·3n-1-1)＝2(1+3+…+3n-1)-n=3n-n-1．解法一设等差数列{a n}的首项a1=a，公差为d，则其通项为根据等比数列的定义知S5≠0，由此可得一步加工，有下面的解法)解法二依题意，得例7 在数列{a n}中，S n+1=4a n+2(n∈N)，a1=1．(1)设b n=a n+1-2a n(n∈N)，求证数列{b n}是等比数列，并求出它的通项公式；公式；(3)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式．分析由于{b n}和{c n}中的项都和{a n}中的项有关，{a n}中又有S n+1=4a n+2，可由S n+2-S n+1作切入点探索解题的途径．解 (1)由S n+1=4a n+2，S n+2=4a n+1+2，两式相减，得S n+2-S n+1=4(a n+1-a n)，即a n+2=4a n+1-4a n．(根据b n的构造，如何把该式表示成b n+1与b n的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n)，又b n=a n+1-2a n，所以b n+1=2b n ①已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3 ②由①和②得，数列{b n}是首项为3，公比为2的等比数列，故b n=3·2n-1．当n≥2时，S n=4a n-1+2=2n-1(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为S n=2n-1(3n-4)+2．评述解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．例8 设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足关系式3tS n-(2t+3)S n-1=3t．(t＞0，n=2，3，…)(1)求证数列{a n}是等比数列；(n=2，3，…)．求b n；(3)求和：b1·b2-b2·b3+…+b2n-1b2n-b2n·b2n+1．解 (1)由S1=a1=1，S2=a1+a2=1+a2，3t(1+a2)-(2t+3)·1=3t．得又3t·S n-(2t+3)S n-1=3t，3tS n-1-(2t+3)S n-2=3t．(n=3，4…)，两式相减，得3t(S n-S n-1)-(2t+3)(S n-1-S n-2)=0，即3ta n-(2t+3)a n-1=0，t＞0，(3)(观察所求和中的项的特征，将{b n}分成两个数列{b2n-1}和{b2n}后，问题转化为等差数列求和．)b1·b2-b2·b3+b3·b4-b4·b5+…+b2n-1·b2n-b2n·b2n+1=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)评述对于数列与函数等知识的综合题，注意层层剖析问题的内在联系，步步紧扣所求的结论，通盘考虑解析式中数列下标间的特征，作为解题的突破口．二、数列的极限数列的极限完美地统一了数列形式上的有限性和实质上的无限性的矛盾．数列的极限是极其重要的数学概念．因此必须正确理解数列极限的定义，准确地把握数列极限的四则运算法则应用的条件，以及C=C(其中C是常数)．q n=0(|q|＜1)与求无穷等比数列各项的和公式，并能熟练准确地运用它们求数列的极限．S n等于[ ]C．2D．-2解法二由等比数列的性质知，S5，S10-S5，S15-S10组成公比为项a1的取值范围是[ ]故选择D．注意积累“利用逆向排除”的方法解选择题的经验．)例11 在数列{a n}中，若(2n-1)a n=1，则(na n)的值等于 [ ]A．0C．1D．2分析逆用数列极限的运算法则时．要保证各局部的数列极限必须例12 设正数数列{a n}为一等比数列，且a2=4，a4=16．评述这是2000年全国高考上海试题，涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力．a n)，…是公差为-1的等差数列，又2a2-a1，2a3-a2，…，2a n+1-a n，…(1)求数列{a n}的通项公式；(2)计算(a1+a2+…+a n)．分析由于题设中的等差数列和等比数列均由数列{a n}的相关项构成，分别求出它们的通项公式构造关于a n的方程组．解 (1)设b n=log2(3a n+1-a n)，因为{b n}是等差数列，d=-1．b1=log23a n+1-a n＝2-n①设c n=2a n+1-a n，{c n}是等比数列，公比为q，|q|＜1，c1=2a2-a1=例14 已知数列{a n}是首项为1，公差为d的等差数列，其前n项和为A n，数列{b n}是首项为1，公比为q(|q|＜1)的等比数列，其前n项S n=B1+B2+…+B n(正确的分离常量和变量，根据待定系数法构造关于d和q的方程组．)评述本题形式新颖，解法典型，三基检查全面，强调字母运算能力；指导学生解题后的反思，回味化归思想，待定系数法所起的作用．例15 数列{a n}满足条件，a1=1，a2=r，(r＞0)且{a n·a n+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设b n=a2n-1+a2n(n∈N)．(1)求使不等式a n·a n+1+a n+1·a n+2＞a n+2·a n+3(n∈N)成立的q的取值范围；分析揭示{b n}与{a n·a n+1}的内在联系，探寻{b n}的属性；注意求极限时由q的取值范围所带来的影响．=q，代入a n·a n+1+a n+1·a n+2＞a n+2·a n+3，得a n·a n+1+q·(a n·a n+1)＞q2(a n·a n+1)．因为a1=1，a2=r(r＞0)，q＞0，得a n·a n+1＞0，所以1+q＞q2，即q2-q-1＜0，(考查{b n}的属性，由以往的经验，首先考查是否为等比数列，若不是再另行判定．)比为q的等比数列．所以小结 1．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．2．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．3．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．能力训练1．若等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，则D．12．已知数列1，1，2，…，它的各项由一个等比数列与一个首项为零的等差数列的对应项相加得到的，则该数列的前10项和为[ ]A．467B．557C．978D．10683．数列{a n}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，那么a1，a3，a5是[ ]A．等差数列B．等比数列C．倒数成等差数列D．以上答案都不对4．在△ABC中，tan A是以4为第三项，4为第七项的等差数列三角形是[ ]A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．非等腰的直角三角形5．已知{a n}是等比数列，a1+a2+a3=18，a2+a3+a4=-9，它的前n项和为S n，则S n等于 [ ]A．48B．32C．16D．86．等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为q，设T n=S n∶(S n+1)，如果A．|q|≥1B．|q|＜1且q≠0C．-1＜q＜0或0＜q≤1D．q≥-1或q＜-1P n的值等于[ ]A．0B．1C．2那么a1的取值范围是[ ]A．(1，+∞)B．(1，4)C．(1，2)9．设首项为3，公比为2的等比数列{a n}的前n项和为S n，首项[]D．0A．|a|＞1B．a∈R且a≠-1C．-1＜a≤1D．a=0或a=1．11．设公比的绝对值小于1的无穷等比数列，x(1-x)，x2(1-x)2，…，x n-1(1-x)n-1，…的各项和S＞1，则实数x的取值范围是____．14．已知无穷等比数列的公比的绝对值小于1，它的所有奇数项的和比所有偶数项的和多27，若去掉这个数列的前两项后，剩下的所有各项之和为60，则其首项a1=____，公比q=____．15．设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，已知{a n}的公差为b1，{b n}的公比为a1，且{a n}的前10项和等于155，{b n}的前2项和等于9，求这两个数列的通项公式．16．设两个数列{a n}和{b n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=(1+2+…+n)b n，其中{b n}是公差为d(d是不为零的常数)的等差数列．(1)证明数列{a n}是等差数列；17．S n是无穷等比数列{a n}的前n项和，公比q≠1，已知1是(1)求S2和S3的值；(2)求此数列的通项公式；(3)求此数列各项的和．(1)证明{a n}是等比数列；19．已知数列{a n}和{b n}满足a1=-9，a n+1=10a n-9，b n=(1)求证{a n}的通项公式为a n=1-10n(n∈N)；20．已知等比数列{a n}中，a1=1，公比为x(x＞0)，其前n项和为S n．(1)写出数列{a n}的通项公式及前n项和S n的公式；(3)判断数列{b n}的增减性；(4)求b n的值．答案提示1．A2．C3．B4．B5．C6．C7．C8．D9．B10．B11．0＜x＜1原式=-1(2)当|p|＜1且p≠0时，原式=1；当|p|＞1时，原式=0．设计说明1．本节课的例题和能力训练题选自近年来的高考试题和模拟试题，以数列极限为主线融汇函数、方程、不等式和三角函数而成，力求方法典型，重要数学思想方法贯穿其中，有利于提高学生解综合题的能力．2．综合题并非无本之木，无源之水，追根寻源，即解决好整体与局部的关系、综合与基础的关系是本节课复习的主旨．3．教师要自始至终引导学生积极主动地参与到解决问题的过程中来，以提高阅读理解能力为突破口，有意识地用数学思想方法分析问题，探索解决问题的途径，达到用活用好通性通法，触类旁通的目的．4．培养学生良好的解题习惯，力求做到步骤完整，推导论证言必有据，计算准确迅速，格式规范，书写清晰，避免无谓失分．。
2012高考数学名校全攻略专题复习课件第一部分专题二第3讲极限、数学归纳法(理)
1.函数f(x)在点x＝x0处的极限为双侧极限，而在点x＝x0处 的左极限和右极限都是单侧极限，双侧极限应理解为x， 即可以从x0的左边无限趋近于x0，也可以从x0的右边无限 趋近于x0，也可以从x0的两侧交错地无限趋近于x0，只要 x→x0就有f(x)→a.
2．对于函数的连续性问题，一般则是根据定义：函数在某 点处连续，则它在该点处的左右极限存在且相等，等于
[思路点拨]
[自主解答] (1)由题意，Sn＝bn＋r， 当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)， 由于b＞0且b≠1， 所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列， 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，aa21＝b， 即bbb＋－r1＝b，解得r＝－1.
＝
lim
x 2
x－＋12＝－14.
答案：B
3．(2010·四川高考)已知数列{an}的首项a1≠0，其前n项
和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋a1，则
lim
n
Sann＝
()
A．0
1 B.2
C．1
D．2
解析：由Sn＝2Sn－1＋a1得Sn＋a1＝2(Sn－1＋a1)， {Sn＋a1}为等比数列，Sn＋a1＝2a1·2n－1＝a1·2n，
在 x＝1 处连续，
故
lim
x1
f(x)＝
lim
x1
f(x)＝f(1)，所以
x2＋ax－3
必含有因式(x－1)，
即 x＝1 必为方程 x2＋ax－3＝0 的根，所以 a＝2，则可得
b＝3，所以
lim
x
3bbxx－＋aaxx＝
lim
x
33x＋x－1＋22x x＝
高中数学数列极限的计算方法及解题技巧
高中数学数列极限的计算方法及解题技巧数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。
在高中数学中，我们经常会遇到需要计算数列极限的题目。
本文将介绍数列极限的计算方法及解题技巧，并通过具体的题目进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用。
一、数列极限的定义在开始讨论数列极限的计算方法之前，首先需要了解数列极限的定义。
数列极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值趋于的一个确定的值。
数列极限常用符号"lim"表示，例如lim(n→∞)an = L，表示当n趋于无穷大时，数列an的极限为L。
二、数列极限的计算方法1. 常见数列的极限计算方法常见的数列包括等差数列、等比数列、阶乘数列等。
对于这些数列，我们可以利用其特殊的性质来计算极限。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
当n趋于无穷大时，数列的极限为无穷大，即lim(n→∞)an = +∞。
对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
当|r| > 1时，数列的极限为无穷大，即lim(n→∞)an = +∞；当|r| < 1时，数列的极限为0，即lim(n→∞)an = 0。
2. 利用数列的递推关系计算极限有些数列的递推关系可以帮助我们计算极限。
例如，对于递推数列an = an-1 + 1/n，其中a1 = 1。
我们可以通过递推关系计算数列的前几项，发现数列逐渐趋近于ln2。
因此，当n趋于无穷大时，数列的极限为ln2，即lim(n→∞)an = ln2。
三、数列极限的解题技巧1. 注意数列的特殊性质在解题过程中，我们需要注意数列的特殊性质，例如等差数列和等比数列的性质。
通过分析数列的特点，可以更好地确定数列的极限。
2. 利用数列的性质进行变形有时候，我们可以通过对数列进行变形来简化计算。
例如，对于数列an =(n+1)/(n-1)，我们可以将分子和分母同除以n，得到an = (1+1/n)/(1-1/n)。
玉林高中2012级高2春季期数学.函数及导数.培优题(4)
玉林高中2012级高2春季期数学培优题（4）1、已知)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 为连续、可导函数，如果)(x f 既有极大值M ，又有极小值N ，求证：.N M >2、已知函数ax x x f +-=3)(在（0，1）上是增函数.（1）求实数a 的取值集合A ；（2）当a 取A 中最小值时，定义数列}{n a 满足：)(21n n a f a =+，且b b a )(1,0(1=为常数），试比较n n a a 与1+的大小；（3）在（2）的条件下，问是否存在正实数C ，使20<-+<ca c a n n 对一切N n ∈恒成立？3、已知函数).,()(23R b a b ax x x f ∈++-=（1）若1=a ，函数)(x f 的图象能否总在直线b y =的下方？说明理由； （2）若函数)(x f 在[0，2]上是增函数，2=x 是方程)(x f =0的一个根，求证：2)1(-≤f ；（3）若函数)(x f 图象上任意不同的两点连线斜率小于1，求实数a 的取值范围.4、已知0,1>->c b ，函数b x x f +=)(的图象与函数c bx x x g ++=2)(的图象相切.（1）求b 与c 的关系式。
（用c 表示b ）（2）设函数F )()()(x g x f x ⋅=在（－∞，+∞）内有极值点，求c 的取值范围.5、已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致（1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围；（2）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a -b |的最大值6、已知函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，对任意R x ∈，恒有).()('x f x f ≤ （I ）证明：当0≥x 时，;)()(2c x x f +≤（II ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式)()()(22b c M b f c f -≤-恒成立，求M的最小值.7、数列)}({*N n a n ∈中，11,+=n a a a 是函数x a n x n a x x f n n n 22233)3(2131)(++-= 的极小值点. （1）当a=0时，求通项;n a（2）是否存在a ，使数列}{n a 是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.8、设函数),,()(*R c b N n c bx x x f n n ∈∈++=．(1)设1,1,2-==≥c b n ，证明：)(x f n 在区间(12，1)内存在唯一零点； (2)设n ＝2，若对任意]1,1[21-∈x x ，有4|)()(|2212≤-x f x f ，求b 的取值范围；(3)在(1)的条件下，设n x 是)(x f n 在(12，1)内的零点，判断数列 ,,,,32n x x x 的增减性．玉林高中2012级高2春季期数学培优题（4）答案1、证明：由题设有),)((323)(212x x x x a c bx ax x f --=++='不仿设21x x <，则由时当时当时当知),(,0)(),(,0)(),(:02211+∞∈<'∈>'-∞∈>x x x f x x x x f x x a 1)(,0)(x x f x f 在故>'处取极大值，在x 2处取极小值，)()()()()(212221323121x x c x x b x x a x f x f -+-+-=-])()()[(212122121c x x b x ax x x a x x +++-+-=)]3(92)[(]3232)32()[(22121ac b a x x c a b b a c a a b a x x ---=+-⋅+⋅--⋅-= 由方程0232=++c bx ax 有两个相异根，有,0)3(412)2(22>-=-=∆ac b ac b 又)()(,0)()(,0,0212121x f x f x f x f a x x >>-∴><-即，得证.2、（1）设))(()()(,10222121122121a x x x x x x x f x f x x -++-=-<<<则由题意知：0)()(21<-x f x f ，且012>-x x)3,0(,222121222121∈++<++∴x x x x a x x x x 则}3|{,3≥=≥∴a a A a 即 （注：法2：)1,0(,03)(2∈>+-='x a x x f 对恒成立，求出3≥a ）.（2）当a =3时，由题意：)1,0(,2321131∈=+-=+b a a a a n n n 且 以下用数学归纳法证明：*∈∈N n a n 对),1,0(恒成立.① n=1时，)1,0(1∈=b a 成立； ②假设n =k 时，)1,0(∈k a 成立，那么当1+=k n 时，k k k a a a 232131+-=+，由①知)3(21)(3x x x g +-= 在（0，1）上单调递增，10)1()()0(1<<<<∴+k k a g a g g 即， 由①②知对一切*∈N n 都有)1,0(∈n a 而0)1(212121231>-=+-=-+n n n n n n a a a a a a n n a a >∴+1 （3）若存在正实数c ，使20<-+<c a c a n n 恒成立 令),(,21+∞-+=-+=c cx c c x c x y 在上是减函数， n n n a c a c a 随着-+∴增大而变小，又}{n a 为递增数列，所以要使20<-+<ca c a n n 恒成立， 只须30,30201111bc a c c a ca c a <<<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<-+>-即 3、解：（1）不能，取,11)1(,1b b f x >++=--=则即存在点（－1，2+b ）在函数图象上，且在直线b y =的上方；（2）由2=x 是方程0)(=x f 的一个根，得,048)2(=++-=b a f 即a b 48-= 又.32,0.023,0)(,23)(2122a x x ax x x f ax x x f ===+-='+-='得即令 又函数)(x f 在[0，2]上是增函数，3,2322≥≥=∴a a x 即，2374811)1(-≤-=-++-=++-=a a a b a f （3）设任意不同的两点21222111),,(),,(x x y x P y x P ≠且，则.12121<--x x y y3334,043)3(304230)1(4)(01)(1)(,12222222222222212221221212221212122322131<<-∴<-++--∴<-++-<-+-+-=∆∈<-+--+-∴<++---<--++∴a a a a a x a ax x ax x x a R x ax x x x a x x x a x x x x x x ax x ax x 故即即4、解（1）由题知：21,12),()(b x b x x g x f -==+'='得 由C b c b c b b g b f 21,0,14)1()21()21(2+-=∴>->=+-=- 得…4分)3(4)(12160430)(43)()(2)()()()()2(2222222223c b c b b c b bx x x F c b bx x x F bcx c b bx x x g x g x f x F -=+-=∆=+++='+++='∴++++=⋅=则即令①若△=0，则0)(='x F 有一个实根0x ，且)(x F '变化如下：x ),(0x -∞ 0x ),(0+∞x)(x F ' + 0 +于是0x x =不是函数的极值点… ②若0)(,0='>∆x F 则有两个不相等的实根)(,2121x x x x <，且)(x F '变化如下： x ),(1x -∞ 1x （21,x x ） 2x ),(2+∞x )(x F ' + 0 － 0 + )(1x F x x 是=∴的极大值点，)(2x F x x 是=的极小值点综上，当且仅当△>0时，F （x ）在),(+∞-∞上有极值点. 由c b b c c b 21,3,0)3(422+-=<>-=∆又得 c c c c c c 312312)21(32>--<-∴+-<∴或 解得),347()347,0(.3473470+∞+-∴+>-<< 的范围为或C c c 5、6、解：（I ）易知.2)('b x x f +=由题设，对任意的,2,2c bx x b x R x ++≤+∈即0)2(2≥-+-+b c x b x 恒成立，所以0)(4)2(2≤---b c b ，从而.142+≥b c于是.0)(2|,|142,12>-+=-=⨯≥≥b c c b c b b c c 因此且 故当0≥x 时，有0)1()2()()(2≥-+-=-+c c x b c x f c x 即当0≥x 时，.)()(2c x x f +≤（II ）由（I ）知，.||b c ≥ 当||b c >时，有.2)()(2222222c b b c bc b bc b c b c v f c f M ++=--+-=--≥令.1122,11,t c b b c t c b t +-=++<<-=则 而函数)11(112)(<<-+-=t t t g 的值域是).23,(-∞ 因此，当||b x >时，M 的取值集合为.,23⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞ 当||b c =时，由（I ）知，.2,2=±=c b 此时,0,08)()(22=--=-b c b f c f 或从而)(23)()(22b c b f c f -≤-恒成立. 综上所述，M 的最小值为.237、解：易知).)(3(2)3()(2222n x a x a n x n a x x f n n n n --=++-='令.,3,0)(221n x a x x f n n ==='得（1）若,32n a n <则 当)(,0)(,3x f x f a x n n n >'<时单调递增；当)(,0)(,32x f x f n x a n n n <'<<时单调递减；当)(,0)(,2x f x f n x n n >'>时单调递增. 故2)(n x x f n =在取得极小值.（2）若,32n a n >仿（1）得，)(x f n 在n a x 3=取得极小值. （3）若)(,0)(,32x f x f n a n n n ≥'=则无极值.（Ⅰ）当0=a 时，.13,0211<=a a 则由（1）知，.1122==a 因,23322<=a 则由（1）知，.4223==a因为233123>=a ，则由（2）知，43334⨯==a a . 又因为,436324>=a 则由（2）知，.433245⨯==a a 由此猜测：当3≥n 时，.343-⨯=n n a下面先用数学归纳法证明：当3≥n 时，.32n a n > 事实上，当3=n 时，由前面的讨论知结论成立.假设当23,)3(k a k k n k >≥=时成立，则由（2）知，213k a a k k >=+，从而012)2(2)1(3)1(32221>-+-=+->+-+k k k k k k a k ，所以.)1(321+>+k a k 故当3≥n 时，23n a n >成立.于是由（2）知，当3≥n 时，4,331==+a a a n n 而，因此.343-⨯=n n a综上所述，当a=0时，).3(34,1,0321≥⨯===-n a a a n n（II ）存在a ，使数 列}{n a 是等比数列，事实上，由（2）知，若对任意的n ，都有23n a n >，则.31n n a a =+ 即数列}{n a 是首项为a ，公比为3的等比数列，且.31-⋅=n n a a而要使23n a n >，即*23N n n a n∈>⋅对一切都成立，只需n n a 32>对一切*N n ∈都成立.记,31,94,31,33212====b b b n b n n 则…令x x y 32=，则)2(31)3ln 2(31'22x x x x y x x -<-=，因此，当2≥x 时，0'>y ，从而函数x x y 32=在[)+∞,2上单调递减，故当2≥n 时，数列}{n b 单调递减，即数列}{n b 中最大项为.942=b 于是当94>a 时，必有.32n n a >这说明，当),94(+∞∈a 时，数列}{n a 是等比数列. 当,243.34,94,942221=====a a a a 而可得时 由（3）知，)(2x f 无极值，不合题意.当9431<<a 时，可得,12,4,3,4321====a a a a a a …，数列}{n a 不是等比数列. 当,113,312===a a 时由（3）知，)(1x f 无极值，不合题意.当,12,4,1,,314321====<a a a a a a 可得时…，数列}{n a 不是等比数列.综上所述，存在a ，数列}{n a 是等比数列，且a 的取值范围为).,94(+∞8、解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f n (x )＝x n ＋x －1.∵f n (12)f n (1)＝11()1022n -⨯<，∴f n (x )在(12，1)内存在零点．又当x ∈(12，1)时，f n ′(x )＝nx n －1＋1＞0，∴f n (x )在(12，1)上是单调递增的，∴f n (x )在(12，1)内存在唯一零点．(2)当n ＝2时，f 2(x )＝x 2＋bx ＋c . 对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f 2(x 1)－f 2(x 2)|≤4等价于f 2(x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4.据此分类讨论如下：①当||12b>，即|b |＞2时，M ＝|f 2(1)－f 2(－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾．②当－1≤2b -＜0，即0＜b ≤2时， M ＝f 2(1)－f 2(2b -)＝(2b＋1)2≤4恒成立．③当0≤2b -≤1，即－2≤b ≤0时，M ＝f 2(－1)－f 2(2b -)＝(2b－1)2≤4恒成立．综上可知，－2≤b ≤2.注：②，③也可合并证明如下：用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者．当－1≤2b-≤1，即－2≤b ≤2时， M ＝max{f 2(1)，f 2(－1)}－f 2(2b -)＝22222(1)(1)|(1)(1)|()222f f f f b f -+--+--＝1＋c ＋|b |－(24b -＋c )＝(1＋||2b )2≤4恒成立．(3)方法一：设x n 是f n (x )在(12，1)内的唯一零点(n ≥2)，f n (x n )＝nn x ＋x n －1＝0，f n ＋1(x n ＋1)＝11n n x ++＋x n ＋1－1＝0，x n ＋1∈(12，1)． 于是有f n (x n )＝0＝f n ＋1(x n ＋1)＝11n n x ++＋x n ＋1－1＜1nn x +＋x n ＋1－1＝f n (x n ＋1)，又由(1)知f n (x )在(12，1)上是递增的， 故x n ＜x n ＋1(n ≥2)．所以，数列x 2，x 3，…，x n ，…是递增数列． 方法二：设x n 是f n (x )在(12，1)内的唯一零点， f n ＋1(x n )f n ＋1(1)＝(1n n x +＋x n －1)(1n ＋1＋1－1)＝1n nx +＋x n －1＜nn x ＋x n －1＝0，则f n ＋1(x )的零点x n ＋1在(x n,1)内， 故x n ＜x n ＋1(n ≥2)．所以，数列x 2，x 3，…，x n ，…是递增数列．。
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玉林高中2012级高2下数学拓展题极限与数学归纳法部分（9）1、若1)11(lim 21=---→x b x a x ，则常数a ，b 的值为（ ）。
A ．a=-2，b=4B ．a=2，b=-4C ．a=-2，b=-4D ．a=2，b=4 2、93lim 23-+-→x x x =（ ）。
A ．61- B ．0C ．61 D ．31 For personal use only in study and research; not for commercial use3、已知数列===+==∞→--12112,2lim .,4,3),(21,2}{x x n x x x x x x n n n n n n 则若满足 （ ）。
A ．23B ．3C ．4D ．5 4、已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312l i m 111(=（ ）。
A ．2 B ．23C ．1D ．21 5、=--=--→→)22(1lim ,11)1(lim11x f x x x f x x 则若（ ）。
A ．－1B ．1C ．－21D ．21 6、极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的（ ）。
A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件7、)3x 4x 22x 3x 1(lim 221x +--+-→=（ ）。
A.-21 B.21 C.-61 D.61 8、n n n n n 231233232lim +-+∞→= 。
9、若常数b 满足|b|>1，则=++++-∞→n n n b b b b 121lim 。
10、计算：112323lim -+∞→+-n n nn n =__________。
11、数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nnn 且。
（1）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（2）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对12、已知不等式][log 21131212n n >+++ ，其中n 为大于2的整数，][log 2n 表 示不超过n 2log {n a }的各项为正，且满足111,)0(--+≤>=n n n a n na a b b a ，,4,3,2=n 。
（1）证明：][log 222n b ba n +<， ,5,4,3=n ；（2）猜测数列{n a }是否有极限？如果有，写出极限的值； （3）试确定一个正整数N ，使得当n>N 时，对任意b>0，都有51<n a 。
13、（湖北）已知不等式][log 21131212n n >+++ ，其中n 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数设数列{n a }的各项为正，且满足111,)0(--+≤>=n n n a n na a b b a ， ,4,3,2=n 。
（1）证明：][log 222n b ba n +<， ,5,4,3=n ；（2）猜测数列{n a }是否有极限？如果有，写出极限的值； （3）试确定一个正整数N ，使得当n>N 时，对任意b>0，都有51<n a 。
（1）证法一：∵当n ≥2时，110--+≤<n n n a n na a ，∴na na a n a n n n n 111111+=+≥---，即n a a n n 1111≥--， 于是有211112≥-a a ，311123≥-a a ，…，na a n n 1111≥--， 所有不等式两边相加可得na a n 13121111+++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有][log 211121n a a n ≥-∵b a <1，∴bn b n b a n 2][log 2][log 211122+=+>∴][log 222n b ba n +<证法二：设nn f 13121)(+++= ，首先利用数学归纳法证不等式,5,4,3,)(1=+≤n bn f ba n ︒1当n=3时，由b f ba a a a a a )3(11223313333112223+=++⋅≤+=+≤，︒2假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即bk f ba k )(1+≤，则,)1(1)11)((1)()1()1()1(1)(1)1(1111)1()1(1bk f bb k k f bbb k f k k bk b b k f k k a k k a k a k a k kk k ++=+++=+++++=++⋅++≤+++=+++≤+即当n=k+1由︒︒21知，,5,4,3,)(1=+≤n bn f ba n 又由已知不等式得 ,5,4,3,][log 22][log 21122=+=+≤n n b bb n ba n （2）有极限，且0lim =∞→n n a （3）∵][log 2][log 2222n n b b <+，令51][log 22<n ， 则有1024210][log log 1022=>⇒>≥n n n ， 故取N=1024，可使沁n>N 时，都有51<n a 。
14、江西）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a.),4(21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+（2）求数列}{n a 的通项公式a n 。
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a∴210<<a a ，命题正确.2°假设n =k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时11112()()()2k k k k k k a a a a a a ---=---+111()(4).2k k k k a a a a --=--- 而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ； 2°假设n =k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设 有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有 （2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以 21)2()2(2--=-+n n a ann n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=nn n n n b a b 即。
玉林高中2012级高2下数学拓展题极限与数学归纳法部分（9）答案C A B C C B A 8、-3； 9、 11b -、 10、本小题主要考查0lim =∞→nn q （|q|<1）极限的运用和数列极限的求法。
解析：3)32(311)32(3lim 2323lim 111=⨯+-=+--∞→-+∞→n n n n n nn n 。
11、12（1）证法一：∵当n ≥2时，110--+≤<n n n a n na a ，∴na na a n a n n n n 111111+=+≥---，即n a a n n 1111≥--， 于是有211112≥-a a ，311123≥-a a ，…，na a n n 1111≥--， 所有不等式两边相加可得na a n 13121111+++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有][log 211121n a a n ≥-∵b a <1，∴b n b n b a n 2][log 2][log 211122+=+>][log 222n b b a n +<证法二：设nn f 13121)(+++=，首先利用数学归纳法证不等式 ,5,4,3,)(1=+≤n bn f ba n︒1当n=3时，由b f ba a a a a a )3(11223313333112223+=++⋅≤+=+≤，︒2假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即bk f ba k )(1+≤，则,)1(1)11)((1)()1()1()1(1)(1)1(1111)1()1(1bk f bb k k f bbb k f k k bk b b k f k k a k k a k a k a k kk k ++=+++=+++++=++⋅++≤+++=+++≤+即当n=k+1由︒︒21知，,5,4,3,)(1=+≤n bn f ba n 又由已知不等式得 ,5,4,3,][log 22][log 21122=+=+≤n n b bb n ba n （2）有极限，且0lim =∞→n n a （3）∵][log 2][log 2222n n b b <+，令51][log 22<n ， 则有1024210][log log 1022=>⇒>≥n n n ， 故取N=1024，可使得n>N 时，都有51<n a 。
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