新高一数学衔接课第二讲-韦达定理

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认识韦达定理：什么是韦达定理？如何应用？

**韦达定理的认识与应用**一、韦达定理的定义与来源韦达定理，也称为韦达公式，是一元二次方程的重要定理之一，由法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年提出。

韦达定理指出，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个根x₁和x₂满足以下关系：1. x₁ + x₂ = -b/a2. x₁ × x₂ = c/a韦达定理不仅是一元二次方程根与系数之间关系的体现，更是代数学中的基本定理之一，具有广泛的应用价值。

二、韦达定理的详细阐述1. 根与系数的关系韦达定理最核心的内容是一元二次方程的根与系数之间的关系。

对于一个标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，其两个根x₁和x₂与系数a、b、c之间存在确定的数学关系。

具体来说，就是x₁和x₂的和等于-b除以a，x₁和x₂的乘积等于c除以a。

2. 定理的证明韦达定理的证明主要依赖于一元二次方程的求根公式。

对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为x=(−b±√(b²-4ac))/(2a)。

通过这个求根公式，我们可以直接计算出x₁和x₂的值，然后验证它们与系数a、b、c之间的关系是否满足韦达定理。

三、韦达定理的应用场景1. 解一元二次方程韦达定理最直接的应用就是解一元二次方程。

通过韦达定理，我们可以根据一元二次方程的系数直接得出其根的和与积，这在某些情况下比使用求根公式更加简便。

2. 判断根的情况通过韦达定理，我们还可以判断一元二次方程根的情况。

例如，如果系数b²-4ac大于0，则一元二次方程有两个不相等的实数根；如果b²-4ac等于0，则一元二次方程有两个相等的实数根；如果b²-4ac小于0，则一元二次方程没有实数根。

3. 解决其他问题除了解决一元二次方程本身的问题外，韦达定理还可以应用于其他数学问题和实际问题中。

例如，在代数式求值、方程组的求解、几何问题的计算等方面都可以看到韦达定理的应用。

初高衔接知识第二讲：一元二次方程与韦达定理(含练习+参考答案)

第二讲：一元二次方程与韦达定理班级：______姓名：__________问题一、一元二次方程的基本知识定义：判别式：求根公式：两根差的绝对值：例1 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －1＝0的两根，求| x 1－x 2|的值．问题二、韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．例1 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例3 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例4 若x 1和x 2分别是一元二次方程x 2＋x －1＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x 的值；（3）x 13＋x 23．问题三、韦达定理与根的分布问题例1 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的（1）一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围；（2）两个根都大于零，求实数a 的取值范围．例2．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的（1）一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围；（2）两根都小于1，求实数a 的取值范围．例3 若一元二次方程x 2-(m +1)x+4=0的两个根都落在[0,3]内，求实数m 的取值范围．参考答案定义：一般的，把形如20ax bx c ++=()0a ≠的方程叫做一元二次方程判别式：240b ac =-≥求根公式：2b x a -±=两根差的绝对值：12||x x a -=问题一例1.122x x -===问题二例1. 解：由题意得121212355675k x x x x x x -⎧+=⎧⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎩例2. 解：由题意得()()22212120401171021m b ac m m m x x x x ≤⎧⎧-≥⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨-+=+-=⎪⎪⎩⎩例3 解：由题意得24120x x --=解得126,2x x ==-例4 解：（1）12x x -===（2）()()()2212122222212122121131x x x x x x x x +--++===- （3）()()()()()233221212112212121234x x x x x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-问题三例1解:（1）1240x x a =-<，4a <（2）由题意得1220174440x x a b ac <⎧⇒<≤⎨-≥⎩例2解：（1）由题意得()()12110x x --<()121210x x x x -++<2a ∴<（2）由题意得122b a -=- ∴()()12211012440x x a b ac ⎧-->⎪⇒-<≤⎨-≥⎪⎩例3解：由题意得 ()()()()21212121240010033330330b ac x x x x m x x x x ⎧-≥⎪+≥⎪⎪≥⇒≤≤⎨⎪-+-≤⎪⎪--≥⎩高一数学衔接知识讲义二练习班级：________姓名：_________1．若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）23．若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）04．已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c ＝0的根的情况是（）（A ）没有实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）有两个异号实数根5．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则斜边长等于（）（A（B ）3 （C ）6 （D ）96．若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x ＝； 7．以－3和1为根的一元二次方程是；8．若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝_____________；9．写一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数_________________________．10．若一元二次方程x 2+2(m -1)x+2m +6=0有两个实数根，且都比1大，求实数m 的取值范围．11．若方程(m +3)x 2-4mx+2m +1=0的两个实数根异号，且负根的绝对值较大，求实数m 的取值范围．12．若一元二次方程x 2-2ax+a+2=0的两根都在区间（1，3）内，求实数a 的取值范围．参考答案1-5 D C C B B6-9 3-；(3)(1)0x x +-=；12；2710x x +-= 10 解：，则51540m m m m ≥≤-⎧⎪⎪>-⎨⎪<⎪⎩∴514m -<≤-11 解：121200300x x x x m ⋅<⎧⎪+<⎪⎨+≠⎪⎪∆>⎩ ，则2(21)(3)04(m 3)03828-12>0m m m m m m ++<⎧⎪+<⎪⎨≠-⎪⎪∆=-⎩∴132m -<<- 12 解：法一：24480(1,3)2(1)30(3)1150a ab a a f a f a ⎧∆=--≥⎪⎪-=∈⎪⎨⎪=->⎪=->⎪⎩ ∴1125a ≤< 法二：利用韦达定理12121212(1)(1)0(1)(1)0(3)(3)0(3)(3)00x x x x x x x x -->⎧⎪-+->⎪⎪-+-<⎨⎪-->⎪⎪∆≥⎩ ∴1125a ≤< 2416200(1)4502(m 1)122m m f m b a ⎧⎪∆=--≥⎪=+>⎨⎪-⎪-=->⎩。

初高中数学衔接课程讲义-新高一数学讲义韦达定理专题

新高一数学讲义韦达定理专题【知识点睛】1、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =，则有 122222b b b b x x a a a a ---+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．注意：韦达定理应用的前提是0≥∆补充定理：||||21a x x ∆=-【例题精讲】【例题1】已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．【例题2】关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．【例题3】已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．【例题4】一元二次方程042=+-a x x 有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围.【巩固练习】1、下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A ）1个 ; （B ）2个 ; （C ）3个 ; （D ）4个.2、已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．3、若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．4、若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．【学习巩固】【练习1】（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝；（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ;（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是；（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝．【练习2】一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且【练习3】若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为 ( )A ．2B ．2-C ．12D ．92【练习4】若方程22(1)30x k xk -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．【练习5】设12,x x 是方程20x p x q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x q x p ++=的两实根，则p = ____ ，q = _____ ．【练习6】求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数.【练习7】已知关于x 的一元二次方程2(41)210x mx m +++-=．(1) 求证：不论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．【练习8】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求：x 13＋x 23．【练习9】已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．【练习10】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由; (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．【家庭作业】【练习1】（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于；（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是.【练习2】已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A（B）3 ；（C）6；（D）9.【练习3】已知关于x的方程22(2)04mx m x---=．（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．。

第二课：初升高衔接(二)——韦达定理及二次不等式

精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型 T (同步知识主题) C （专题方法主题） T （学法与能力主题）授课日期时段第二课：初升高衔接（二）——韦达定理及二次不等式一、同步知识梳理一、一元二次方程根的判断式1．当24b ac ∆=->0时，方程有两个不相等的实数根：242b b ac x a -±-=2.当24b ac ∆=->0=0时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a =- 3.当24b ac ∆=->0<0时，方程没有实数根。

二、一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a +=-=【说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”。

上述定理成立的前提是0∆≥二、同步题型分析例1. 已知关于的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根； (4) 方程无实数根。

例2. 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) ； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -。

例3.解二次不等式(1)260x x +->。

(2) 0132>+-x x(3) 2440x x -+≤(4) 0122≤---x x例4.解二次不等式（1）0522>+-x x （2）0332<+-x x例5. 解分式不等式(1)2301x x -<+ （2）0212≥--x x (3) 1231≥-+-x x例6．解多次不等式（1）0)3)(2)(1(≤---x x x （2）03232<-+-x x x三、课堂达标检测1. 若12,x x 是方程0432=+--x x 的两个根，试求12||x x -的值。

初升高数学衔接班教案(教师版)韦达定理的运用

方程与方程组以及不等式韦达定理一、【归纳初中知识】1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。

2、对于任意的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，通过判别式ac b 42-=∆能够判断其方程解的个数。

二、【衔接高中知识】我们已经知道)0(02≠=++a c bx ax 如果有两个解，则其分别为； a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= 则我们可以得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 上面揭示了二次方程的根与系数c b a ,,之间关系的等式我们叫做韦达定理，韦达定理在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。

反之，若21,x x 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a cx x a b x x 2121，则我们可以说21,x x 一定是)0(02≠=++a c bx ax 的两个解，这叫做韦达定理的逆定理。

三、【例题精讲】例1：若21,x x 是0122=-+x x 的两个根，求：（1）2221x x +；（2）222111x x +；（3）21x x -；（4）3231x x +,. 解析：略，注意ax x x x x x ∆=-+=-21221214)(例2：任意写出一个二次方程，使得它的两个根分别为5-和32. 解析：0)32)(5(=-+x x 或03103132=-+x x例3：已知关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x ，根据下列条件，分别求出满足条件的k 值.（1）方程两实根之积为5；（2）方程两实根满足21x x =.解析：（1）451410)141(4])1([22122=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=≥+-+-=∆k k x x k k （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎩⎪⎨⎧>⇒>∆-=⇒=+=⇒=∆⇒=⇒=无解23010230212121k k x x k x x x x 综上，若21x x =，则23=k例4：若21,x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个根，当m 为何值时，2221x x +取得最小值？请你求出这个最小值解析：23222322)2(2)(222212212221+-=-+⋅-=-+=+m m m m m x x x x x x 当43=m 时，有最小值87 例5：已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且两根平方和比两根之积大21，求m 的值.解析：1017163)(221221212221-=⇒⎩⎨⎧≥∆--=-+=-+m m m x x x x x x x x例6：若关于x 的方程02=++a x x 有两个根：（1）当其中一个大于1，另一个小于1时，求a 的取值范围；（2）当两个根都小于1时，求a 的取值范围.解析：（1）由已知设0)1)(1(1,12121<--⇒<>x x x x 且0>∆所以2041021)()1)(1(212121-<⇒⎩⎨⎧>-<+=++-=--a a a x x x x x x （2）法一：41204102)1)(1(21≤<-⇒⎩⎨⎧⇒≥-=∆>+=--a a a x x 法二：借鉴二次函数图形，根据两根均小于1可知当1=x 时，函数值011>++a ，同时也需满足0≥∆例7：若21,x x 是方程01)12(22=+++-k x k x 的两实数根，且均大于1.（1）求实数k 的取值范围；（2）若2121=x x ，求k 的值解析：（1）143430)1(4)12(101)12(1)1)(1(22221≠≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥⇒≥+-+=∆≠⇒>++-+=--k k k k k k k k x x 且（2）)(171)12(29219)12(3122221221212121舍去或==⇒++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+⇒=+=+k k k k x k x x x k x k x x***例8：已知b a ,是一元二次方程012=--x x 的两个实数根，求)2(22-+b a a 的值. 解析：120101222-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=--b b b b a a 01)1()2(2222=+=+-=-+=-+∴ab ab a a b a a b a a课后习题1、关于x 的一元二次方程0522=++-a a x ax 其中一个根是0，则a =10-或2、关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ：（1）若有一个根为0，则7=m ，此时方程另一个根为：1（2）若两根之和为53-，则9-=m ，此时方程两个根分别为：1,58- 3、方程01222=-+x x 的两根为21,x x ，则321=-x x4、设21,x x 为方程02=++q px x 的两根，且1,121++x x 为方程02=++p qx x 的两根，则________________,==q p 解析：由题意有⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=++--=+-⇒⎩⎨⎧=++-=++⎩⎨⎧=-=+3112)1)(1(221212121q p p q p q p p x x q x x q x x p x x 和 *5、已知实数c b a ,,满足b a -=6，92-=ab c ，则____________,______,===c b a 解析：由题意有的两根是方程096,96222=++-⇒⎩⎨⎧+==+c x x b a c ab b a 300)9(4362==⇒=⇒≥+-=∆∴b a c c***6、若1≠ab ，且09201952=++a a ，05201992=++b b ，则95=a b 解析：的两根为方程09201951,091201915092019509120191505201992222=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=++=+⋅+⋅⇒=++x x b a b ba ab b b b故59=b a 7、已知关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 两根之比为5:3，求证：21564b ac = 证明：设222222121211564156415641585,3b ac ac b a c a b a ck x x a b k x x k x k x =⇒=⇒=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==+⇒==8、已知方程05)2(222=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 解析：由题意⎪⎩⎪⎨⎧==⇒-=-⇒+=≤⇒≥---⇒≥∆)(31)2(45)(2490)5(4)2(402212122舍去或a a a a x x x x a a a 综上，1=a9、若一元二次方程04)1(2=++-x m x 的两个根均满足30≤≤x ，求m 的取值范围法一：借助函数图像可知：①当3,0==x x 时函数值均0≥31004)1(39≤⇒≥++-⇒m m ②350≥-≤⇒≥∆m m 或 ③对称轴513210≤≤-⇒≤+≤m m 综上，3103≤≤m法二：设两根为21,x x ，则有31033503100)3)(3(51602121≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤⇒≥∆≤⇒≥--≤≤-⇒≤+≤m m m m x x m x x 或。

韦达定理及其应用课件-2022年初高衔接数学

方法总结
当 = −1时，
方程为 2 − 16 + 5 = 0，∆> 0满足题意；
当 = 17时，
方程为 2 + 30 + 293 = 0，
∆= 302 −4 × 1 × 293 < 0 ，不满足题意，
所以舍去；
综上所述：的值为−1.
点拨精讲
变式探究2：
已知1 和2 一元二次方程4 2 − 4 + + 1 = 0的
则有
−± 2 −4
，
2
−+ 2 −4
−− 2 −4
−2

1 + 2 =
+
=
=− ；
2
2
2

−+ 2 −4 −− 2 −4
2 −( 2 −4)
1 ∙ 2 =
∙
=
2
2
42
4
= 2= ；
4

知识梳理
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
因此这两个数是−2和6.
总结提炼
本节课重点研究了一元二次方程韦达定理的
综合应用，能够利用韦达定理求一些与实数根有
关代数式的值，并能够利用根的情况逆向构造所
需要的一元二次方程，这种思想的渗透与领悟希
望大家细细品味，学会用数学的眼光思考世界！
项系数为1）是 2 −(1 + 2 ) + 1 ∙ 2 = 0.
点拨精讲
探究一：已知方程求代数式的值
例1、若1 和2 分别是一元二次方程2 2
＋5－3＝0的两根，试求下列各式的值：
（1）(1 − 5)(2 − 5)
（2）|1 − 2 |

韦达定理详细讲解

韦达定理详细讲解韦达定理是数学中的一个重要定理，它被广泛应用于代数、几何和概率等领域。

该定理的内容较为复杂，但通过详细的讲解，我们可以更好地理解和应用韦达定理。

我们来了解一下韦达定理的基本概念。

韦达定理又称作“韦达三角定理”或“韦达方程”，它是代数中关于多项式根与系数之间的关系的一个重要定理。

韦达定理是指对于一个二次方程，其两个根的和等于系数b的相反数，而两个根的乘积等于方程的常数项c。

为了更好地理解韦达定理，我们以一个具体的例子来说明。

假设我们有一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以使用韦达定理来求解该方程的根。

根据韦达定理，我们知道两个根的和等于系数b的相反数，即根的和等于5的相反数，即-5。

所以，我们可以得到一个等式：x1 + x2 = -5。

接下来，根据韦达定理，我们知道两个根的乘积等于方程的常数项c，即根的乘积等于6。

所以，我们可以得到另一个等式：x1 * x2 = 6。

通过这两个等式，我们可以得到一个由根和系数构成的方程组，进一步求解得到方程的根。

在本例中，我们可以得到x1 = 2和x2 = 3，即方程的两个根分别为2和3。

除了二次方程，韦达定理也可以扩展到高次方程。

对于一个n次方程，韦达定理可以表示为：方程的n个根的和等于系数b的相反数，而n个根的乘积等于方程的常数项c。

韦达定理在代数中的应用非常广泛。

它可以用于求解方程的根，进一步用于因式分解、求解多项式的系数和揭示方程与根之间的关系。

通过韦达定理，我们可以更好地理解和解决各种代数问题。

除了代数中的应用，韦达定理在几何和概率中也有重要的应用。

在几何中，韦达定理可以用于求解三角形的边长，利用三角形的边长关系来解决几何问题。

在概率中，韦达定理可以用于计算多个独立事件同时发生的概率，从而帮助我们进行概率分析和计算。

总结一下，韦达定理是数学中的一个重要定理，它可以用于代数、几何和概率等领域。

通过韦达定理，我们可以求解方程的根，进行因式分解，揭示方程与根之间的关系，解决几何问题和计算概率等。

02--韦达定理--高一暑假

韦达定理韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容，但因为考试没有要求，很多学校都没怎么系统的讲过，很多学生还不是很了解韦达定理，更别提掌握和灵活运用了。

而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁，许多知识点都要结合韦达定理来做，希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理．韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．一、运用韦达定理，求方程中参数的值【例1】已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．【巩固训练】1．1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是．2．0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba 的值．知识梳理例题解析二、运用韦达定理，求代数式的值【例2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根．(1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．【例3】已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【例4】关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．【巩固训练】1．已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为．2．设a ,b 是相异的两实数，满足a b b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值．3．设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．三、利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的情况【例5】已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．【例6】已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m -1)x ＋m 2=0的两个非零实数根，问x 1和x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．【例7】一元二次方程240x x a -+=有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．【例8】已知一元二次方程222(9)560x a x a a +-+-+=一个根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围．【巩固训练】1．已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是．2．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．3．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x ． (1) 求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实根．(2) 若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．4．若关于x 的方程20x x a ++=的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．四、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例9】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b a a b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2【例10】解方程121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ．【巩固训练】1．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是．2．已知：四边形ABCD 中，AB∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1) 当m =2和m >2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形? 并说明理由；(2) 若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ=1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长；(3) 在(2)的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan ∠BDC 和tan ∠BCD ．3．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD=m ，BD=n ，AC 2：BC 2=2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求：m ，n 为整数时，一次函数y =mx +n 的解析式．韦达定理在高中阶段是一种非常常用且重要的解题手段，同学们一定要在充分理解的基础上加以掌握及灵活运用．同学们要能掌握根与系数的关系，知道韦达定理的常见变式与常规题型，注重设而不解，注重整体，通过整体带入来解决问题．一、选择题1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，32．在R t △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23 B ．25 C ．5 D ．23．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是 ( )A ．1B ．-lC ．21-D ．214．两个质数a 、b 恰好是整系数方程x 2-99x +m =0的两个根，则ba ab +的值是 ( ) 02=++p qx x 课后练习反思总结A ．9413B ．1949413 C ．999413 D ．979413 5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x6．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43 C ．143≤<m D ．43≤m ≤1二、填空题7．关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为______8．CD 是R t △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是．9．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为．10．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为．三、解答题11. 若关于x 的一元二次方程3x 2+3(a +b )x +4ab =0的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?12．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 为何值时，此方程有实数根；(2) 若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值．13．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2) 求22212111x mx x mx -+-的最大值．14．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程210xax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实数根，并且使方程20x x a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实数根，试求a b c ++的值．。

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第2讲一元二次方程根与系数的关系
知识要点：
1、韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）
一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为1x 、2x ，则有：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩
证明：由求根公式可得：1x =
，2x =， ∴1222b b x x a a
-+==-， 12x x ⋅
=
2()2b a
=--2)2a 22(4)4b b ac a
--= c a
= . 2、韦达定理的逆定理：若两个实数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12c x x a ⋅=，则1x 、2x 必为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根 .
证明：由20(0)ax bx c a ++=≠得：20b c x x a a +
+=，又12b x x a +=-，12c x x a ⋅=，所以12()b x x a =-+，12c x x a =⋅，所以21212()0x x x x x x -++=，即12()()0x x x x --=，所以1x x =或2x x =，
所以1x 、2x 必为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根 .
【典型例题】
例1：已知关于x 的方程22(1)10x m x m -++-=的一个根为4，求它的另一个根及m 的值 .
例2：已知1x ，2x 是方程2210x x --=的两根，求一个以121x +，221x +为根的一元二次方程 .
例3：若211160a a ++=，211160b b ++= .
例4：若1x ，2x 是方程22170x x +-=的两根，试求下列各式的值 .
（1）2212x x +；（2）
1211x x +；（3）12(5)(5)x x --；（4）12x x - .
例5：已知关于x 的方程221(1)104
x k x k -++
+=，根据下列条件，分别求出k 的值 . （1）方程两个实根的乘积为5；
（2）方程的两个实根1x ，2x 满足12x x = .
例6：设1x ，2x 是二次方程250x x +-=的两根，求32126x x -的值 .
例7：已知关于x 的方程2220x mx m +++=，求：
（1）当m 为何值时，方程的两个根一个大于0，另一个小于0；
（2）当m 为何值时，方程的两个根都是正数；
（3）当m 为何值时，方程的两个根一个大于1，另一个小于1 .
例8：已知α、β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>，不解方程，利用根与系数的关系求
223βα+的值 .
例9：已知实数a ，b ，c 满足6a b =-，29c ab =-，求证：a b = .
韦达定理练习：
1、已知方程22100x kx --=的一个根为2-，求它的另一个根及k 的值 .
2、已知方程2780x x -+=的两根为1x ，2x ，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为12x x 和21
x x .
3、已知方程22(21)20x k x k +++-=的两实根的平方和等于11，求k 的值 .
4、解方程组：2214100
x y x y +=⎧⎨+=⎩ .
5、已知方程230x x k ++= .
（1）若方程两根之差为5，求k 的值；
（2）若方程一根是另一根的2倍，求这两根之积 .
6、已知一元二次方程2310x x -+=的两实数根分别为α，β，求：
（1）
11αβ+；（2）αβ- ；（3）33αβ+；（4）33αβ- .
7、若21m m =+，21n n =+，且m n ≠，求55m n +的值 .
8、当a 为何值时，方程222(4)0x a x a --+=有两个不相等的负数根？
9、已知α，β是方程2250x x +-=的两个实数根，求22ααβα++的值 .
10、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的乘积大16，求m 的值 .
11、设实数m ，n 满足2192010m m ++=，220190n n ++=，且1mn ≠，求 232mn m n
++的值 .
12、已知实数a ，b 满足2210a a +-=，42210b b --=，且21ab ≠，求2220101()ab b a
++的值 .
13、已知1x ，2x 是一元二次方程224(35)60x m x m ---=的两个实根，且1232x x =，求m 的值 .
※14、已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根 .
（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由 .
（2）求使
1221
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值 .
※15、已知x ，y 是正整数，并且23xy x y ++=，22120x y xy +=，求22x y +的值 .。