高三探索问题的解题方法

教学过程

一、试题特点分析

探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或由问题的题干去追溯相应的条件，要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找、去发现规律性的东西.问题增加了许多可变的因素，思维指向不明显，解题时往往难于下手. 近年来，探索性问题在高考试题中多次出现，主要有以下几类：

(1)探索条件型问题：从给定的问题结论出发，追溯结论成立的充分条件；

(2)探索结论型问题：从给定的题设条件出发，探求相关的结论；

(3)探索存在型问题：从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论是否存在；

(4)探索综合型问题：从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发，探究问题的相应变化.

近年数学试卷中继续保持了探索型、开放型、研究型等题型，形式上也有突破，如只猜不证，只算不写等；填空题中出现了条件、结论完全开放的设计，题型的创新，带来了新的理念，也必将促进教学的创新.

问题的条件不完备，结论不确定是探索性问题的基本特征, 从探索性问题的解题过程来看, 没有确定的模式, 可变性多，对观察、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括，特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高.探索性问题的常见解法有：

(1)从最简单、最特殊的情况出发, 有时也可借助直觉观察或判断，推测出命题的结论，必要时给出严格证明；

(2)假设结论存在，若推证无矛盾，则结论确实存在, 若推出矛盾，则结论不存在；

(3)使用等价转化思想，找出命题成立的充要条件.

策略一 立体几何中的探索问题

例1如图，在四棱锥 P — ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，AB= AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线

段AB 上的点，且 =λ(λ＞0).

（Ⅰ）判断EF 与平面PBC 的关系，并证明； （Ⅱ）当λ=1时，证明DF ⊥平面PAC ；

（Ⅲ）是否存在实数λ，使异面直线EF 与CD 所成角为60°？若存在，试求出λ 的值；若不存在，请说明理由.

FA

BF

ED PE

【规范解答】

（Ⅰ）EF ∥平面PBC. 证明如下

作FG ∥BC 交CD 于G ，连结EG ，则 ∵ =λ ∴ ∴PC ∥EG 又FG ∥BC ，BC ∩PC=C ，FG ∩GE=G. ∴平面PBC ∥平面EFG.又EF 平面EFG ∴EF ∥平面PBC （Ⅱ）证明：λ=1，则F 为AB 的中点又

AB= AD ，AF= AB ∴在Rt△FAD 与Rt△ACD 中 tan∠AFD= tan∠CAD= ∴∠AFD =∠CAD ∴AC ⊥DF

又∵PA ⊥平面ABCD ，DF

平面ABCD ∴PA ⊥DF. ∴DF ⊥平面PAC （Ⅲ）

建立如图所示空间直角坐标系，设PA=AD=1，则 A （0，0，0）, B （ ，0，0）, D （0，1，0）, C （ ，1，0）

P （0，0，1）又 =λ(λ＞0) GD CG

FA BF =

FA BF ED PE =GD

CG

ED PE =

?22

1

22

2==AD AD AF AD 22==AD AD AD CD ?22FA

BF ED PE =

∴F( ,0,0)

设E(0, y 0, z 0) 则 =(0, y 0, z 0－1), =(0,1－y 0,－z 0)

又 =λ(λ＞0)即 =λ ∴(0,y 0,z 0－1)=λ(0,1－y 0,－z 0) ∴ 即E (0, , ) ∴ =( ,－ , － )

=(－ , 0, 0)

假设存在实数λ，使异面直线EF 与CD 所成的角为60°，则

cos60°= ∴λ2=5 ∴λ=

∴存在实数λ= 使异面直线EF 与CD 所成的角为60°

【总结与反思】

本题主要考查立体几何的空间想象能力、推理论证能力和探索问题解决问题的能力.第一问即改变常见提前方 式即只要证明结论成立，而改为一种探索结论的提问方式要求先判断再证明，增大了难度.第三问是是否存在型探索 问题，一般是假设存在当成条件进行论证，存在要求说明 理由，不存在或者推出矛盾或者只要能举出个反例即可

λ+12ED ED PE ??????

?+=+=λλλ11

100z y λλ+1λλ+1λ+12λλ+1λ

+1122

1322

13|

12|||||22=

+=?+++-=λλ

λλCD EF 55

策略二函数探索问题

例2已知函数f(x)=x3+ax2+x+2(x∈R)

（Ⅰ）若f(x)在x∈(－∞，+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;

（Ⅱ）a=0时，曲线f(x)=x3+x+2的切线斜率的取值范围记为集合A，曲线f(x)=x3+x+2上不同两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)连线斜率取值范围记为集合B，你认为集合A、B之间有怎样的关系,（真子集、相等），并证明你的结论;

（Ⅲ）a=3时, f(x)=x3+3x2+x+2的导函数f′(x)是二次函数, f′(x)的图象关于轴对称.你认为三次函数f(x)=x3+3x2+x+2的图

象是否具有某种对称性，并证明你的结论.

【规范解答】

（Ⅰ）∵f (x)=x 3

+ax 2

+x+2得f ′(x)=3x 2+2ax+1若Δ=4a 2

－12＜0即－3＜a ＜ 时

对于x ∈R ，有f ′(x)＞0∴f (x)在R 上单调递增

若Δ=4a 2－12=0，即a =± 时

对于x ∈R ，有f ′(x )≥0当且仅当f ′(－ )=0故f (x)在R 上单调递增

若Δ＞0，显然不合

综合所述，f (x)在R 上是增函数,a 取值范围为

a ∈［－ ,

］ （Ⅱ）B A

证明：∵f (x)=x 3+x+2 有f ′(x)=3x 2+1≥1故A=［1,+∞) 设PQ 斜率k ，则k= = =

= x 21+x 1x 2+x 2

2+1=(x 1+ )2+ +1

∵x 1≠x 2，故若x 2=0，有x 1+ =x 1≠0

若x 1+ =0，有x 1=－ ≠0得x 2≠0

∴(x 1+ )2+ ＞0

得k ＞1 ∴B =(1,+∞) 故B A

33

a

3332121)()(x x x f x f --21212313)()(x x x x x x --+-2122211221)1)((x x x x x x x x -+++-22x 4322x 22

x 22x 2

2

x 22x 4

32

2x

（Ⅲ）f (x)=x 3+3x 2+x+2的图象具备中心对称

证法1：由f ′(x)=3x 2+6x+1对称轴x=－1 现证f (x)图象关于点C(－1,3)中心对称

设M (x, y)是y=f (x)图象上任意一点,且M (x, y) 关于C(－1,3)对称的点为N(x 0,y 0)

则 得

∵f(x 0)= +3 +x 0+2=(－2－x)3+3(－2－x)2+(－2－x)+2=－(8+12x+6x 2+x 3)+3(4+4x+x 2)－x

=－(x 3+3x 2+x+2)+6=－y+6=y 0 即y 0=f (x 0)

故M 关于点C(－1,3)对称的点N(x 0,y 0)也在函数y=f(x)图象上. ∴函数y=f (x)图象关于点C(－1,3)对称. 证法2：设y=f(x)图象的对称中心(m,n)

则把y=f(x)图象按向量b =(－m,－n)平移, 得到y=g(x)图象关于原点对称,即y=g(x)是奇函数

∵g(x)=f(x+m)－n =(x+m)3+3(x+m)2+(x+m)+2－n =(x 3+3x 2m+3xm 2+m 3)+3(x 2+2mx+m 2)+x+m+2－n =x 3+(3m+3)x 2+(3m 2+6m+1)x+m 3+3m 2+m+2－n g(x)是奇函数的充要条件是 得 ∴y=f (x)的图象关于点(－1,3)中心对称

【总结与反思】

本题主要是考查导数的运用、集合的关系、函数的对称性等问题，第一问实则是探索问题成立的充分条件， 第二问是结论探索、第三问是是否存在性问题.

??????

?=+=+321200

y y x x ???-=--=y y x x 620030x 20x ???=-+++=+0

2303323n m m m m ???=-=31

n m

策略三 数列相关的探索问题

例3 我们把数列{ }叫做数列{a n }的k 方数列（其中a n ＞0，k ，n 是正整数）, S(k ，n) 表示k 方数列的前n 项的和.

（1）比较S （1，2）·S （3，2）与［S （2，2）］2的大小；

（2）若{a n }的1方数列、2方数列都是等差数列，a 1=a ，求 {a n }的k 方数列通项公式; （3）对于常数数列a n =1，具有关于S （k ，n ）的恒等式如： S （1，n ）=S （2，n ），S （2，n ）=S （3，n ）等等，请你对数列{a n }的k 方数列进行研究,写出一个不是常数数列 {a n }的k 方数列关于S （k ，n ）的恒等式, 并给出证明过程.

k

n a

【规范解答】

（1）S （1，2）=a 1+a 2,S(3,2)= + ，S(2,2)= + ∴S （1，2）·S （3，2）－［S （2，2）］2 =(a 1+a 2)(a 31+a 32)－(a 21+a 22)2 =a 1a 32+a 2a 31－2a 21a 22 =a 1a 2(a 1－a 2)2 ∵a n ＞0,∴S(1,2)·S (3,2)≥［S(2,2)］2

（2）设a n －a n-1 =d ， － =p

则 d(a n +a n －1)=p ① d(a n+1+a n )=p ② ∴②－①得 2d 2=0，∴d=p=0 a n =a n －1

∴

－ =0 ∴ =a k （3）当a n =n 时，恒等式为［S （1，n ）］2=S （3，n ） 证明：［S(1,n)］2=S(3,n)

［S(1,n －1)］2=S(3,n －1)(n ≥2,n ∈N*) 相减得： a n ［S(1,n)+S(1,n －1)］=

∴［S(1,n) + S(1,n －1)］= ［S(1,n －1) + S(1,n －2)］=

相减得：a n +a n －1= － , a n ＞0 a n －a n －1=1, a 1=1 ∴a n =n

【总结与反思】

本题主要考查等差数列、数列求和等数列基本知识，是一道结论型的探索问题.

31a 32a 21a 2

2a 2

n a 21

-n a k n a k n a 1-k n

a 2

n a 2n a 2

1-n a

课程小结

探索性问题的常见解法总结：

(1)从最简单、最特殊的情况出发, 有时也可借助直觉观察或判断，推测出命题的结论，必要时给出严格证明；

(2)假设结论存在，若推证无矛盾，则结论确实存在, 若推出矛盾，则结论不存在；

(3)使用等价转化思想，找出命题成立的充要条件.