高三探索问题的解题方法

高三探索问题的解题方法

教学过程

一、试题特点分析

探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论,或由问题的题干去追溯相应的条件,要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找、去发现规律性的东西.问题增加了许多可变的因素,思维指向不明显,解题时往往难于下手. 近年来,探索性问题在高考试题中多次出现,主要有以下几类:

(1)探索条件型问题:从给定的问题结论出发,追溯结论成立的充分条件;

(2)探索结论型问题:从给定的题设条件出发,探求相关的结论;

(3)探索存在型问题:从假设相关结论存在出发,从而肯定或否定这种结论是否存在;

(4)探索综合型问题:从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发,探究问题的相应变化.

近年数学试卷中继续保持了探索型、开放型、研究型等题型,形式上也有突破,如只猜不证,只算不写等;填空题中出现了条件、结论完全开放的设计,题型的创新,带来了新的理念,也必将促进教学的创新.

问题的条件不完备,结论不确定是探索性问题的基本特征, 从探索性问题的解题过程来看, 没有确定的模式, 可变性多,对观察、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括,特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高.探索性问题的常见解法有:

(1)从最简单、最特殊的情况出发, 有时也可借助直觉观察或判断,推测出命题的结论,必要时给出严格证明;

(2)假设结论存在,若推证无矛盾,则结论确实存在, 若推出矛盾,则结论不存在;

(3)使用等价转化思想,找出命题成立的充要条件.

策略一 立体几何中的探索问题

例1如图,在四棱锥 P — ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,PA=AD ,AB= AD ,E 是线段PD 上的点,F 是线

段AB 上的点,且 =λ(λ>0).

(Ⅰ)判断EF 与平面PBC 的关系,并证明; (Ⅱ)当λ=1时,证明DF ⊥平面PAC ;

(Ⅲ)是否存在实数λ,使异面直线EF 与CD 所成角为60°?若存在,试求出λ 的值;若不存在,请说明理由.

高三探索问题的解题方法

FA

BF

ED PE

【规范解答】

(Ⅰ)EF ∥平面PBC. 证明如下

作FG ∥BC 交CD 于G ,连结EG ,则 ∵ =λ ∴ ∴PC ∥EG 又FG ∥BC ,BC ∩PC=C ,FG ∩GE=G. ∴平面PBC ∥平面EFG.又EF 平面EFG ∴EF ∥平面PBC (Ⅱ)证明:λ=1,则F 为AB 的中点又

AB= AD ,AF= AB ∴在Rt△FAD 与Rt△ACD 中 tan∠AFD= tan∠CAD= ∴∠AFD =∠CAD ∴AC ⊥DF

又∵PA ⊥平面ABCD ,DF

平面ABCD ∴PA ⊥DF. ∴DF ⊥平面PAC (Ⅲ)

高三探索问题的解题方法

建立如图所示空间直角坐标系,设PA=AD=1,则 A (0,0,0), B ( ,0,0), D (0,1,0), C ( ,1,0)

P (0,0,1)又 =λ(λ>0) GD CG

FA BF =

FA BF ED PE =GD

CG

ED PE =

?22

1

22

2==AD AD AF AD 22==AD AD AD CD ?22FA

BF ED PE =

∴F( ,0,0)

设E(0, y 0, z 0) 则 =(0, y 0, z 0-1), =(0,1-y 0,-z 0)

又 =λ(λ>0)即 =λ ∴(0,y 0,z 0-1)=λ(0,1-y 0,-z 0) ∴ 即E (0, , ) ∴ =( ,- , - )

=(- , 0, 0)

假设存在实数λ,使异面直线EF 与CD 所成的角为60°,则

cos60°= ∴λ2=5 ∴λ=

∴存在实数λ= 使异面直线EF 与CD 所成的角为60°

【总结与反思】

本题主要考查立体几何的空间想象能力、推理论证能力和探索问题解决问题的能力.第一问即改变常见提前方 式即只要证明结论成立,而改为一种探索结论的提问方式要求先判断再证明,增大了难度.第三问是是否存在型探索 问题,一般是假设存在当成条件进行论证,存在要求说明 理由,不存在或者推出矛盾或者只要能举出个反例即可

λ+12ED ED PE ??????

?+=+=λλλ11

100z y λλ+1λλ+1λ+12λλ+1λ

+1122

1322

13|

12|||||22=

+=?+++-=λλ

λλCD EF 55

策略二函数探索问题

例2已知函数f(x)=x3+ax2+x+2(x∈R)

(Ⅰ)若f(x)在x∈(-∞,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;

(Ⅱ)a=0时,曲线f(x)=x3+x+2的切线斜率的取值范围记为集合A,曲线f(x)=x3+x+2上不同两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)连线斜率取值范围记为集合B,你认为集合A、B之间有怎样的关系,(真子集、相等),并证明你的结论;

(Ⅲ)a=3时, f(x)=x3+3x2+x+2的导函数f′(x)是二次函数, f′(x)的图象关于轴对称.你认为三次函数f(x)=x3+3x2+x+2的图

象是否具有某种对称性,并证明你的结论.

【规范解答】

(Ⅰ)∵f (x)=x 3

+ax 2

+x+2得f ′(x)=3x 2+2ax+1若Δ=4a 2

-12<0即-3<a < 时

对于x ∈R ,有f ′(x)>0∴f (x)在R 上单调递增

若Δ=4a 2-12=0,即a =± 时

对于x ∈R ,有f ′(x )≥0当且仅当f ′(- )=0故f (x)在R 上单调递增

若Δ>0,显然不合

综合所述,f (x)在R 上是增函数,a 取值范围为

a ∈[- ,

] (Ⅱ)B A

证明:∵f (x)=x 3+x+2 有f ′(x)=3x 2+1≥1故A=[1,+∞) 设PQ 斜率k ,则k= = =

= x 21+x 1x 2+x 2

2+1=(x 1+ )2+ +1

∵x 1≠x 2,故若x 2=0,有x 1+ =x 1≠0

若x 1+ =0,有x 1=- ≠0得x 2≠0

∴(x 1+ )2+ >0

得k >1 ∴B =(1,+∞) 故B A

33

a

3332121)()(x x x f x f --21212313)()(x x x x x x --+-2122211221)1)((x x x x x x x x -+++-22x 4322x 22

x 22x 2

2

x 22x 4

32

2x

(Ⅲ)f (x)=x 3+3x 2+x+2的图象具备中心对称

证法1:由f ′(x)=3x 2+6x+1对称轴x=-1 现证f (x)图象关于点C(-1,3)中心对称

设M (x, y)是y=f (x)图象上任意一点,且M (x, y) 关于C(-1,3)对称的点为N(x 0,y 0)

则 得

∵f(x 0)= +3 +x 0+2=(-2-x)3+3(-2-x)2+(-2-x)+2=-(8+12x+6x 2+x 3)+3(4+4x+x 2)-x

=-(x 3+3x 2+x+2)+6=-y+6=y 0 即y 0=f (x 0)

故M 关于点C(-1,3)对称的点N(x 0,y 0)也在函数y=f(x)图象上. ∴函数y=f (x)图象关于点C(-1,3)对称. 证法2:设y=f(x)图象的对称中心(m,n)

则把y=f(x)图象按向量b =(-m,-n)平移, 得到y=g(x)图象关于原点对称,即y=g(x)是奇函数

∵g(x)=f(x+m)-n =(x+m)3+3(x+m)2+(x+m)+2-n =(x 3+3x 2m+3xm 2+m 3)+3(x 2+2mx+m 2)+x+m+2-n =x 3+(3m+3)x 2+(3m 2+6m+1)x+m 3+3m 2+m+2-n g(x)是奇函数的充要条件是 得 ∴y=f (x)的图象关于点(-1,3)中心对称

【总结与反思】

本题主要是考查导数的运用、集合的关系、函数的对称性等问题,第一问实则是探索问题成立的充分条件, 第二问是结论探索、第三问是是否存在性问题.

??????

?=+=+321200

y y x x ???-=--=y y x x 620030x 20x ???=-+++=+0

2303323n m m m m ???=-=31

n m

策略三 数列相关的探索问题

例3 我们把数列{ }叫做数列{a n }的k 方数列(其中a n >0,k ,n 是正整数), S(k ,n) 表示k 方数列的前n 项的和.

(1)比较S (1,2)·S (3,2)与[S (2,2)]2的大小;

(2)若{a n }的1方数列、2方数列都是等差数列,a 1=a ,求 {a n }的k 方数列通项公式; (3)对于常数数列a n =1,具有关于S (k ,n )的恒等式如: S (1,n )=S (2,n ),S (2,n )=S (3,n )等等,请你对数列{a n }的k 方数列进行研究,写出一个不是常数数列 {a n }的k 方数列关于S (k ,n )的恒等式, 并给出证明过程.

k

n a

【规范解答】

(1)S (1,2)=a 1+a 2,S(3,2)= + ,S(2,2)= + ∴S (1,2)·S (3,2)-[S (2,2)]2 =(a 1+a 2)(a 31+a 32)-(a 21+a 22)2 =a 1a 32+a 2a 31-2a 21a 22 =a 1a 2(a 1-a 2)2 ∵a n >0,∴S(1,2)·S (3,2)≥[S(2,2)]2

(2)设a n -a n-1 =d , - =p

则 d(a n +a n -1)=p ① d(a n+1+a n )=p ② ∴②-①得 2d 2=0,∴d=p=0 a n =a n -1

- =0 ∴ =a k (3)当a n =n 时,恒等式为[S (1,n )]2=S (3,n ) 证明:[S(1,n)]2=S(3,n)

[S(1,n -1)]2=S(3,n -1)(n ≥2,n ∈N*) 相减得: a n [S(1,n)+S(1,n -1)]=

∴[S(1,n) + S(1,n -1)]= [S(1,n -1) + S(1,n -2)]=

相减得:a n +a n -1= - , a n >0 a n -a n -1=1, a 1=1 ∴a n =n

【总结与反思】

本题主要考查等差数列、数列求和等数列基本知识,是一道结论型的探索问题.

31a 32a 21a 2

2a 2

n a 21

-n a k n a k n a 1-k n

a 2

n a 2n a 2

1-n a

课程小结

探索性问题的常见解法总结:

(1)从最简单、最特殊的情况出发, 有时也可借助直觉观察或判断,推测出命题的结论,必要时给出严格证明;

(2)假设结论存在,若推证无矛盾,则结论确实存在, 若推出矛盾,则结论不存在;

(3)使用等价转化思想,找出命题成立的充要条件.

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