西南交通大学《大学物理》气体分子动理论

压 强 和 温 度 公 式 的 推 导 中 _________________________________ ； 在 能 均 分 定 律 中
_______________________________________________________ ； 在分 子平 均碰 撞自 由程 的推 导中
J
w(4) 分子的平均动能的总和
wwEk
=N
5 kT
2
=
5 ×1.61×1012 ×1.38 ×10−23 × 300 = 1.67 ×10−8 2
J
3. 一超声波源发射声波的功率为 10 W。假设它工作 10 s，并且全部波动能量都被 1 mol 氧气吸收而用于增
加其内能，问氧气的温度升高了多少？
∑ Ni vi 2 = ∑ Ni
2 ×10.02 + 8× 20.02 + 6× 30.02 + 4 × 40.02 + 2× 50.02 2+8+ 6 +4 + 2
h 2. 一容积为 10 cm3 的电子管，当温度为 300 K 时，用真空泵把管内空气抽成压强为 5×10-6 mmHg 的高真 c 空，问此时管内有多少个空气分子？这些空气分子的平均平动动能的总和是多少？平均转动动能的总和是
= 1.61×1012
个
kT
1.38 ×10−23 × 300
由能量均分定律有
h (2) 分子的平均平动动能的总和
zEt
=
N
3 2
kT
=
3 2
× 1.61 × 1012
×1.38 ×10 −23
× 300 =1.00 ×10−8
J
(3) 分子的平均转动动能的总和
.Er
=
N
2 kT 2
=
2 ×1.61×1012 ×1.38 ×10−23 × 300 = 0.67 ×10−8 2
多少？平均动能的总和是多少？(已知 760 mmHg＝1.013×105 Pa，空气分子可认为是刚性双原子分子，波
n 尔兹曼常量 k =1.38×10-23 J/K)
a 解：设管内总分子数为 N 。
N 由状态方程 p = nkT = kT 有
n V
(1) 管内空气分子数为
i N
=
pV
5 ×10−6 ×1.013×105 / 760 ×10 ×10−6 =
（氧气分子视为刚性分子，摩尔气体常量 R ＝ 8.31 J·mol −1 ·K −1 ）
解：超声波源发射出的声波总能量为 ∆E = Pt （式中 P 为超声波源功率），而理想气体的内能改变为
∆E = M ⋅ i R∆T ，则由题意有氧气的温度升高为 µ2
∆T
=
Pt M5
⋅
R
=
10 ×10 5
= 4.81(K)
3
5
. 别为 CV He = 2 R, CV H2 = 2 R
M3
w现在给氦气等容加热由题意有
QHe
=
µ
⋅ R ⋅ ∆T 2
=6J
所以，升高同样的温度，应向氢气传递热量为
w M5
M3
55 5
w QH2
=
µ
⋅ R ⋅ ∆T 2
=
µ
⋅
2 R ⋅ ∆T ⋅ 3 = 3QH2
= ×6 = 10 J 3
故选 B
___________________________________________ 。
解：在压强和温度公式的推导中
视为有质量而无大小的质点
；在能均分定律中
视为 有结 构的物 体—— 质点 组，可 以发 生平动 、转动 和振 动
；在 分子 平均碰 撞自 由程的 推导 中
有一定大小(体积)的刚性小球
o ∑ v = Nivi = 2×10.0 + 8 × 20.0 + 6 ×30.0 + 4× 40.0 + 2 ×50.0 ≈ 28.2(m⋅ s−1)
∑ Ni
2+8 +6 + 4+ 2
粒子的最概然速率为
c vp = 20.0(m⋅ s−1)
. 粒子的方均根速率为
e v2 =
≈ 30.3(m⋅ s−1 )
(ln h=
n0 )RT n
(ln =
2)RT
。
M mol ⋅ g
M mol ⋅ g
h 4. 当理想气体处于平衡态时，气体分子速率分布函数为 f (v)，则分子速率处于最概然速率 v p 至∞范围内
z ∆N
的概率 =
。
N
. 解：由气体分子速率分布函数 f (v) = dN 可知： Ndv
w∞
∫ ∫ 分子速率处于最概然速率 vP 至∞之间的分子数为
。
m 2. 一能量为 1012 eV 的宇宙射线粒子，射入一氖管中，氖管内充有 0.1 mol 的氖气，若宇宙射线粒子的能
量全部被氖分子所吸收，则氖气温度升高了
K。
o [1eV = 1.6×10 −19 J，摩尔气体常数 R ＝ 8.31 J·mol −1 ·K −1]
3
c 解：氖气为单原子分子，其等体摩尔热容为 CV
动能总和为：
[
] (A) 2 J
(C) 5 J
(B) 3 J (D) 9 J
解：由能量均分定理有一个分子的平均平动动能为 w = 3 kT, 则容器中气体分子的平均平动动能总和为
m 2
o Et
= Nw
=
M µ
N
A
⋅
3 2
kT
=
3 2
M µ
RT
=
3 2
pV
=
3 × 5 ×102 × 4 ×10−3 2
4. 在标准状态下, 若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比 V1 = 1 ，则其内能之比 V2 2
E1 / E2 为：
[
] (A) 1/2
(B) 5/3
(C) 5/6
(D) 3/10
解：氧气为双原子分子，其总自由度为 5，氦气为单原子分子，其总自由度为 3，故它们的摩尔热容量分
3
5
处的分子数密度。
n 若大气中空气的摩尔质量为 M mol ，温度为 T，且处处相同，并设重力场是均匀的，则空气分子数密度减少
a 到地面的一半时的高度为
。（符号 exp[α ]，即 e α ）
− Mmol gh
n 解：由玻尔兹曼粒子数按势能（高度）分布规律 n = n0e RT 得
i 空气分子数密度减少到地面的一半时的高度为
o M
c 二者内能之比为 E1
（ µ ) O2 =
⋅ iO2
=1 ⋅5= 5
E2
M ( µ ) He
iHe
23 6
故选 C
(e) .( ) 5.
设图示的两条曲 线分别表示在相同温度下氧气和氢 气分子的速率分布曲线；令
vp
O2 和 v p
分别表
H2
示氧气和氢气的最概然速率，则
( ) ( ) h [
] (A) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；
别为 CVO2
=
R, 2
CV H 2
=
R 2
由理想气体状态方程 pV = M R 和题意标准状态下（两气体压强、体积相同）有 Tµ
M
（ 两气体的摩尔数之比为 µ
) O2
=
p 1V1 T1
= V1 = 1
M ( µ ) He
p2V 2 V 2 2 T2
m 根据理想气体内能公式 E = M ⋅ i RT 得 µ2
f( v)
vp
O2 / v p
=4
H2
a
( ) ( ) c (B) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；
b
vp
O2 / v p
＝1/4
H2
n (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；
( ) ( ) v p
O2 / v p
＝1/4
H2
O
v
a (D) 图中ｂ表示氧气分 子的速率分布曲线；
( ) ( ) v p
1 × × 8.31
µ2
2
（氧气分子视为刚性双原子分子，总自由度数为 5）

2RT
公式知：在相
µ
2 × 10 −3 = 1 ，再 32 × 10 −3 4
z故选 B
. 6. 一定量的某种理想气体若体积保持不变，则其平均自由程 λ 和平均碰撞频率 z 与温度的关系正确的是：
[
] (A) 温度升高， λ 减少而 z 增大 (B) 温度升高， λ 增大而 z 减少
w(C) 温度升高， λ 和 z 均增大
O2 / v p
＝
H2
4
n 解：因氧气摩尔质量（32）比氢气摩尔质量（2）大，故由理想气体最概然速率 v p =
hi ( ) 同温度下，氧气的最概然速率比氢气的最概然速率小，其比值为 v p O2 = ( )v p H2
µ H2 = µ O2
因速率分布曲线下面积应相等归一化，所以氧气分子的速率分布曲线要陡一些。
=
M µ
RT
可得
c 理想气体的内能 E = pVCV R 可见只有当体积 V 不变时，内能 E 才和压强 p 成正比，在相图中为过坐标原点的直线。 n 故选 C
a 3. 两个相同的容器，一个盛氢气，一个盛氦气（均视为刚性分子理想气体 ），开始时它们的压强和温度都
相等。现将 6 J 热量传给氦气，使之升高到一定温度。若使氦（应为：氢）气也升高同样的温度，则应向
n 氦（应为：氢）气传递热量：
[
] (A) 6 J