菱形[下学期]--北师大版
新版北师大版-1.1.3菱形的性质与判定
1.1菱形的性质和判定（3）
初三备课组
学习目标（1分钟）
能综合运用菱形的性质和判定解决有关菱 形的解答题或证明题。
复习回顾：（3分钟） 菱形的性质： 菱形具备 平行四边形 的所有性质； 菱形的四条边 相等 ； 菱形的对角线互相 垂直 平分 ； 菱形的对角线平分 每一组对角 。 菱形的判定： 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线 互相垂 的 平行四边形是菱形； 直 四边相等 的四边形是菱形。
4.证明： 点E，F，G，H分别是 AB，CD，AC，BD的中点 FG、HE、FH、GE分别是 ACD、ABD、BCD、ABC的中位线 1 1 1 1 FG = AD，HE= AD，FH= BC，GE= BC 2 2 2 2 AD=BC FG=HE=FH=GE 四边形EGFH是菱形
自学指导1:（7分钟）
自学P8例3，然后完成随堂练习第1题。
1.解：依题意，如右图所示： 其中C菱形ABCD =40cm，BD=10cm
(）在菱形 2)连接AC ，交BD 于点 O （1 ABCD 中，有 AB=BC=CD=பைடு நூலகம்A ， 在菱形 中， AC BD ∠A= ∠C，ABCD ∠ABC= ∠ADC ， ∠A+∠ABC=180 ° 1 =40cm ∵C ∴AB=AD=10cm 菱形 ABCD BO BD 5cm，AC 2AO
2
2
在Rt AOB中，AB OA OB 10
2 2
1 S菱形ABCD AB DH AC BD 2 1 10 DH 16 12 2 48 DH 5
自学指导2:（5分钟）
按照以下思路，思考P8“做一做” ：
1.四边形ABCD的对边有什么关系？
第2课时菱形的判定课件(共24张PPT)2023-2024学年北师大版八年级数学下册
点. 求证：四边形 EFGH 是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD ∥
= CB，AC⊥BD.
又点E，F，G，H 分别为 OA，OB，OC，OD 的中点，
1
1
∴HE∥AD且 HE= 2 AD，FG∥BC且 FG = 2 BC，
做成一个平行四边形. 转动木条，这个平行四边形什么
时候变成菱形?
你能证明这个猜想吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是
菱形.
证明
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD
相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
B
∴OA=OC.
又∵ AC⊥BD，
O
D
C
随堂练习
抢答
2.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．
添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(
A．AC⊥BD
C．AC=BD
B．AB=AD
C)
A
D
D．∠ABD=∠CBD
O
分析
由题知四边形ABCD是平行四边形
A．依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
B．依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
菱形的判定
边
对角线
几何语言
如：四边相等的
四边形是菱形
如图, ∵ = , = ,
∴ 四边形 是平行四边形.
又 ∵ = ,
∴ 四边形 是菱形.(菱形的定义)
如：对角线互相垂直的
平行四边形是菱形．
如图, ∵ 四边形 是平行四边形,
专题01 菱形(解析版)
九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练专题01 菱形【典例1】如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF=BE ．【点拨】连接AC ，根据菱形的性质可得AC 平分∠DAE ，CD=BC ，再根据角平分线的性质可得CE=FC ，然后利用HL 证明Rt △CDF ≌Rt △CBE ，即可得出DF=BE ．【解析】证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAE ，CD=BC ，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE=FC ，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt △CDF 与Rt △CBE 中，⎩⎨⎧==CECF CB CD ， ∴Rt △CDF ≌Rt △CBE （HL ），∴DF=BE ．典例解读【总结】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．【典例2】如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数．【点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．【典例3】如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【答案】C．【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【总结】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP 有最小值是解题的关键．【典例4】如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．【点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵ DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵ DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．【总结】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．【典例5】如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【点拨】（1）由题意得到AD=CD ，再由AG 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS 即可得证；（2）若四边形ACFE 是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E 的速度求出E 运动的时间即可．【解析】（1）证明：∵AG ∥BC ，∴∠EAD=∠DCF ，∠AED=∠DFC ，∵D 为AC 的中点，∴AD=CD ，在△ADE 和△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AD DFC AED DCF EAD ，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：①若四边形ACFE 是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s ）．故答案为：6s ．【总结】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.【典例6】如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，CE 平分∠ACD ，交AD 于点G ，交AB 于点E ，EF ⊥BC 于点F ． 求证：四边形AEFG 是菱形．【点拨】由角平分线性质易知AE ＝EF ，欲证四边形AEFG 是菱形，只要再证四边形AEFG 是平行四边形或AG ＝GF ＝AE 即可．【解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．【典例7】如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．教材知识链接【教材知识必背】一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.精准变式题【变式1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD 的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．【变式2】如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．【答案】50；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO=∠CDO=50°．【变式3】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形【变式4】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF 是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．【变式5】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB 的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形【变式6】如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．综合提升变式练1．下列说法中，错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D；2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等 B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D【解析】∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D ．3.下列命题中，正确的是( )A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形【答案】B ；4. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（ ）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°【答案】A ；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°.5．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ）A ．6cm ，8cm B. 3cm ，4cm C. 12cm ，16cm D. 24cm ，32cm【答案】C ；【解析】设两条对角线的长为6,8k k .所以有()()2223410k k +=，∴2k =，所以两条对角线的长为12 ，16.6. 如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=72°，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则∠CPB 的度数是（ ）A.108°B.72°C.90°D.100°【答案】B ；【解析】连接PA ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP=∠CDP=21∠ADC=36°，BD 所在直线是菱形的对称轴， ∴PA=PC ， ∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，∴PA=PD ，∴PD=PC ，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；故选：B ．7．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果EF ＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )A.4B.8C.12D.16【答案】D ；【解析】BC ＝2EF ＝4，周长等于4BC ＝16.8．已知菱形的周长为40cm ，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm ．【答案】103；【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为222105103-=.9．如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为3cm ，则对角线AC 长和BD 长之比为 .【答案】1：3；【解析】如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm ，∵高AE 长为3cm ， ∴BE=22AE AB -=1（cm ）， ∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ，∴OB=22OA AB -=3（cm ）， ∴BD=2OB=23cm ，∴AC ：BD=1：3．10. 已知菱形ABCD 两对角线AC ＝ 8cm , BD ＝ 6cm , 则菱形的高为________.【答案】245cm ； 【解析】菱形的边长为5，面积为168242⨯⨯= ，则高为245cm . 11. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE= ．【答案】512.【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OB=OD=21BD=3，OA=OC=21AC=4， 在Rt △OBC 中，∵OB=3，OC=4，∴BC=2243+=5，∵OE ⊥BC ，∴21OE •BC=21OB •OC ，∴OE=543⨯=512． 故答案为512． 12．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB ＋PE 的最小值是3，求AB 的值．【解析】解：∵∠ABC ＝120°∴∠BCD ＝∠BAD ＝60°；∵菱形ABCD 中， AB ＝AD∴△ABD 是等边三角形；又∵E 是AB 边的中点， B 关于AC 的对称点是D ，DE ⊥AB连接DE ，DE 与AC 交于P ，PB ＝PD ；DE 的长就是PB ＋PE 的最小值3；设AE ＝x ，AD ＝2x ，DE ＝()22233x x x -==，所以1x =，AB ＝22x =.13. 如图，在▱ABCD 中，BC=2AB=4，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．【解析】（1）证明：∵在▱ABCD 中，AB=CD ，∴BC=AD ，∠ABC=∠CDA ．又∵BE=EC=21BC ，AF=DF=21AD ， ∴BE=DF ． ∴△ABE ≌△CDF ．（2）解：∵四边形AECF 为菱形时，∴AE=EC ．又∵点E 是边BC 的中点，∴BE=EC ，即BE=AE ．又BC=2AB=4，∴AB=21BC=BE ， ∴AB=BE=AE ，即△ABE 为等边三角形，▱ABCD 的BC 边上的高可由勾股定理算得为3，∴菱形AECF 的面积为23．14．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF ＝2．(1)求证：△BDE ≌△BCF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；(3)设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．【解析】解：（1）∵AE ＋CF ＝2＝CD ＝DF ＋CF∴AE ＝DF ，DE ＝CF ，∵AB ＝BD∴∠A ＝∠ADB ＝60°在△BDE 与△BCF 中BD BC ADB C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△BCF（2）由（1）得BE ＝BF ，∠EBD ＝∠CBF∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠DBF ＋∠CBF ＝∠CBD ＝60°∴△BEF 是等边三角形(3)∵3≤△BEF 的边长＜2 ∴2233(3)(2)44S ≤< ∴33 3.4S ≤< 15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB ，CD 的中点，连接DE 、BF 、BD ．若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．【解析】四边形BFDE 是菱形，证明：∵AD ⊥BD ，∴△ABD 是直角三角形，且AB 是斜边，∵E 为AB 的中点，∴DE ＝12AB ＝BE ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，DC ＝AB ，∵F 为DC 中点，E 为AB 中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB ， ∴DF ＝BE ，DF ∥BE ，∴四边形DFBE 是平行四边形，∵DE ＝EB ，∴四边形BFDE 是菱形．16.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG=BD ，连接BG 、DF ．（1）求证：BD=DF ；（2）求证：四边形BDFG 为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG 的周长．【解析】证明：∵∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，∴BD=21AC ， ∵AG ∥BD ，BD=FG ，∴四边形BGFD 是平行四边形，∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG ，又∵点D 是AC 中点，∴DF=21AC ， ∴BD=DF ；（2）证明：∵BD=DF ，∴四边形BGFD 是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。
菱形及其性质PPT课件(北师大版)
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
特别提醒: 菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一 组邻边相等。二者必须同时具备，缺一不可。 菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本 判定方法.
感悟新知
例例11：如图1-1-1，在△ ABC中，CD平分∠ ACB交 知1－练
感悟新知
知3－练
例例33：如图1-1-3，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，BD=12 cm，AC=6 cm。求菱形的周长。
解题秘方：紧扣菱形边的性质、对角线的性质进行解答。
解法提醒: 菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的
直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线 段的长转化为求直角三角形中相关线段的长， 再利用勾股定理来计算.
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形及其性质
学习目标
1 课时讲授 2 课时流程
菱形的定义 菱形的判定 菱形对角线的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形.视察这些平 行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
复习提问 引出问题
感悟新知
解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD，AO= 12AC，BO= 12BD. ∵ AC=6 cm，BD=12 cm， ∴ AO=3 cm，BO=6 cm. 在Rt △ ABO 中，由勾股定理 得AB= AO2+BO2 = 32+62 =35 （cm）， ∴菱形的周长=4AB=4×35 =125 （cm）.
AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC 交AC 于点
数学九年级北师大版1.1菱形的性质与判定(三)教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了菱形的基本概念、性质和判定方法，以及在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对菱形知识点的理解。希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
数学九年级北师大版1.1菱形的性质与判定（三）教案
一、教学内容
本节课选自《数学》九年级北师大版第一章1.1节“菱形的性质与判定（三）”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.菱形的性质：复习菱形的定义，即四边相等的四边形，以及菱形的对角线互相垂直平分。进一步探讨菱形的对角线所形成的角的性质，即每个角都是直角。
举例解释：
-性质理解的深度难点：举例说明如何从菱形的定义出发，利用几何图形的对称性来推导出对角线互相垂直平分的性质。
-判定方法的灵活运用难点：提供不同类型的四边形，指导学生根据四边形的特点选择合适的判定方法，例如，当四边形已知一组邻边相等时，应优先考虑邻边相等判定法。
-证明过程的逻辑性难点：通过示范和练习，教会学生如何使用已知条件和几何定理，按照逻辑顺序进行证明，例如，在证明垂直平分线判定时，先证明对角线互相垂直，再证明它们平分对角线。
2.提升学生的空间想象能力：借助图形的直观演示，让学生在观察、思考和操作中，形成对菱形及其相关性质的空间想象，培养空间观念。
3.增强学生的数据分析能力：通过对菱形判定方法的探讨，使学生能够分析、比较不同判定方法的特点和适用场景，培养数据分析与解决问题的能力。
4.培养学生的数学建模素养：引导学生将菱形性质与实际生活中的问题相结合，建立数学模型，体会数学在现实生活中的应用价值。
北师大版四年级下《第二单元认识菱形和五边形》教案
北师大版四年级下《第二单元认识菱形和
五边形》教案
教学目标
1. 认识和掌握菱形和五边形的形状和名称。
2. 发现生活中出现的菱形和五边形。
教学重点
1. 菱形和五边形的形状和名称。
2. 再现生活中的菱形和五边形。
教学难点
1. 对菱形和五边形的掌握和运用。
2. 让学生能够从生活中发现菱形和五边形。
教学方法
1. 观察比较法。
2. 操作练法。
3. 讨论研究法。
教学过程
1. 导入新知识：提问学生曾经见过哪些形状的物品，引出菱形
和五边形。
2. 介绍菱形和五边形的形状和特点，展示相关图片。
3. 操作练：让学生用尺子和圆规画出菱形和五边形。
4. 呈现生活中的菱形和五边形并让学生找出。
5. 小结：总结并复菱形和五边形的形状和名称。
教学反思
通过该课的教学，学生们能够认识和掌握菱形和五边形的形状
和名称，并在生活中发现它们的存在。
整个教学过程通过观察比较、操作练习和讨论研究等多种教学方法，有利于学生们更深刻地理解
和掌握所学知识。
但在实施教学时，应根据学生的不同程度，采取
不同的教学策略，确保教学效果。
同时，在教学过程中，要注重学
生的参与和积极性，为他们创造良好的学习环境和氛围。
新版北师大版-1.1.1菱形的性质与判定
完成P4----“随堂练习”
“随堂练习”
解：
∵四边形ABCD是菱形 ∴AB⊥CD（菱形的对角线互相垂直） 在Rt△AOB中，由勾股定理，得：
AB OA OB ∴ OB AB2 AO2 52 42 3
2 2 2
∴BD=2OB=6cm（菱形的对角线相互 平分）
自学指导2：(5分钟)
自学检测1（5分钟）
1、如图1，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD 交于点O，则下列式子不一定成立的是（ C ） A、BC=CD=DA=AB C o B、∠AOB=90 C、AC=BD D B D、∠ABD= ∠CBD O
图1 A 2、如图1，菱形ABCD中， 对角线AC、BD交于点O . (1)若AB＝1，则菱形ABCD的周长为____. 4 25° (2)若∠BAD=50o，则∠BAC=____. (3)若AC=8，BD=6，则AB=____. 5
平行四边形的判定方法
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
从边 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 来判定 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从角来判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
m
h
1 2
a
自学检测2：(6分钟)
1、如图2，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于 A 点O，AB=5，AC=6.则 D 8 3 4 OA=_____,OB=_____,BD=_____. O 48 AC×BD= _______. S菱形ABCD= _______. 24
B
（图2）
C
2、如图2，菱形ABCD的周长为200cm，对角线 AC长60cm. 80 (1)对角线BD的长为______cm ； 2. (2)菱形ABCD的面积为_______cm 2400 3、菱形ABCD中，若周长是20cm，对角线 AC=6cm，则对角线BD=__________cm 。 8
北师大版菱形的证明(全章节复习题)
北师大版菱形的证明(全章节复习题)
第一章
- 第一节：定义和性质
- 证明1：定义1-1中所给出的菱形的几何性质。
- 证明2：定义1-2中所给出的菱形的代数性质。
- 第二节：构造菱形
- 证明3：菱形 ABCD 的两对边相等，且对角线相交于点 O，则点 O 在菱形 ABCD 的外接圆上。
第二章
- 第一节：菱形的判定
- 证明4：BDEF 是正方形，并且 AC = 2BD，那么菱形 ABCD 是正方形。
- 证明5：如果菱形 ABCD 的两对边相等，那么菱形 ABCD 是矩形。
- 第二节：菱形的性质
- 证明6：菱形 ABCD 的两个对角线相互垂直，则菱形 ABCD
是正方形。
- 证明7：菱形 ABCD 的一条对角线平分菱形角，则菱形
ABCD 是矩形。
第三章
- 第一节：菱形的内外接圆
- 证明8：菱形 ABCD 的对角线相互垂直且互相平分，那么菱
形 ABCD 内接圆半径等于菱形 ABCD 外接圆半径的一半。
- 证明9：菱形 ABCD 的对角线相互垂直且互相平分，那么菱
形 ABCD 内切圆半径等于菱形 ABCD 外切圆半径的一半。
- 第二节：菱形和直线位置关系
- 证明10：菱形 ABCD 是一个正方形，点 P 在菱形 ABCD 内，则点 P 到菱形 ABCD 的四条边的最小距离是点 P 到菱形 ABCD 的
一条对角线的长度。
以上是关于北师大版菱形的全章节复习题，每个章节包含多个证明题目。
希望这些复习题对你有所帮助！。
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• 3 （2004无锡）如图， 平行四边形ABCD中，AE， A CF分别是∠BAD和∠BCD 的平分线，根据现有的 图形，请添加一个条件， 使四边形AECF为菱形， B E 则添加的一个条件可以 是（ ）（只需 写出一个即可，图中不 能再添加别的点和线）
FD
C
•4 在平行四边形 ABCD中，∠A的 D F A 平分线与BC边相 交于点E，∠B的 平分线与AD边相 B E C 交于点F。 •求证：四边形 ABEF是菱形
•5 如图，平行四 边形ABCD的对角 A 线AC的垂直平分 线与边AD，BC分 别交于E，F B F •求证：四边形 AFCE是菱形
ED
C
•6 如图，在 △ABC中， ∠ABC=90°，AD C D 是角平分线，CH F 是高，交AD于F， E A H DE⊥AB于E， •求证：四边形 CDEF是菱形
已知：如图，四 边形ABCD是菱形。 求证：AC⊥BD；AC平 分∠DAB，CA平分 ∠BCD，DB平分∠CDA
A B
O
D C
• 例1 如图，在菱形 ABCD中，E，F分别是 BC，CD上的点，CE=CF， • （1）求证：AE=AF • （2）过点C作CG∥EA B E 交AF于H，交AD于G， 若∠BAE=25°， ∠BCD=130°， 求∠AHC的度数
A C
D
Fห้องสมุดไป่ตู้
•随堂练习： •1 如图，在菱 A 形ABCD中，E，F 分别是BC，CD上 的一点，（1） E B ∠D=∠EAF=60°， ∠BAE=20°， 求∠CEF的度数
D
F C
•2 已知菱形的周长为 20cm，相邻内角的度数 比为2：1，则菱形较长 的对角线长为 （ ），它的 面积为 （ ）
• 菱形的判定： • 1 定义：有一组（ 邻边相等 ） 的平行四边形叫菱形。 四条边相等 • 2 判定定理1：（ ） 的四边形是菱形。 •3 判定定理2：对角线 （ 互相垂直 ）的平行四边形 是菱形。
菱形判定方法的应用
•1 四边形的两条对角线相等且互相 垂直，那么这个四边形一定是（ ） • A 菱形 B矩形 C 正方形D 以上都不对 • 2 能判定一个四边形是菱形的条件是 • A 对角线互相平分且相等 • B 对角线互相垂直且相等 • C 对角线互相垂直且两组对角相等 • D 对角线互相垂直且一条对角线平分 一组对角
•教学目标： 1 掌握菱形的性质，会用 推理的方法证明一个四边 形是菱形。
•2 能运用菱形的判定定理 和性质定理进行有关证明 和计算
•菱形的性质定理：
•定理1： 菱形的四条边 （相等 ）
•定理2：菱形的对角线 互相垂直 ），并且每一条 （ 对角线（ 平分一组对角 ）
•试证明定理：菱形的对 角线互相垂直，并且每一 条对角线平分一组对角。
B
• 7 （2004 陕西）将一 张矩形纸对折再对折 （如图） 然后沿图中的虚线剪下， 得到①②两部分，将 ①展开后得到的平面 图形是（ ） A 矩形 B 三角形 ① C 梯形 D 菱形
②
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/ 青岛装饰
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的，有我和小直子跟着就行了，你自己歇着吧！”耿老爹也说：“有你弟你妹跟着就足够了，你自己歇一会儿吧！”耿正想一想说：“也好，那 我就自个儿睡一会儿喽！”目送弟弟和妹妹陪着爹爹出门儿去了，耿正转身回来掩上屋门，侧身躺在地铺上试图能够睡着一会儿。乔氏这些天也 怪辛苦的。想到绣花用的丝线不多了，正好出去买一些，顺便也走一走。看这爷儿三个出了门，就对小青说：“姆妈也想出去买些绣花线呢，你 去不去？”小青说：“我就不去了吧。最近一直很忙，我那块儿绢子还没有绣完呢！”乔氏就自己去了。现在，家里只剩下耿正和小青两个人了。 小青的心里既高兴，又不安。很想借此机会和耿正说些什么，但又不知道应该说什么。她拿着那块儿还没有绣完的丝绸手帕，在西边屋里的地上 转两圈又坐下，刚坐下了又站起来，哪里还有心思继续绣下去！仔细听一听，东边屋里一点儿声音也没有，心想：难道说耿正真得这么快就睡着 了？又一想，不对，哪里有半上午就瞌睡的道理！于是轻手轻脚地来到过厅里，隔着门再仔细听一听，好像耿正翻了一个身。小青的心里飞快地 琢磨着，怎么样才能引起耿正的注意来呢？有了！只见她转身轻轻地返回了西边的屋子里。突然将一把椅子踢倒，自己也“扑通”一声跌坐在了 地上，随即“哎哟！”惊叫一声。这一叫不要紧，东边屋里的耿正给吓得一愣怔。他本来就睡不着，正在想着千万里之外的故乡呢。听到西边屋 里的声响和小青的一声惊叫，赶快爬起来就往西屋里冲去。西屋的门大敞着，小青还坐在西屋门里边的地上，一把椅子倒在一边。耿正着急地问： “小青姐，你感觉如何？腰腿能动吗？如果能动，我扶你起来；如果痛得厉害，千万不要乱动，我去叫懂得骨伤的人来！”看到耿正着急和认真 的样子，小青的心里感觉暖暖的。她小声儿说：“不要紧，能动呢，也不太痛。你快扶我起来呀！”耿正这才伸出手去，欲扶着小青的胳膊让她 起来；但小青已经伸出手来，耿正只好让她扶着自己的手站起来。看到小青动作自如，耿正放心了。他扶起倒在一边的椅子，又看看床边上放着 的一块儿即将绣完的鸳鸯嬉水丝绸手帕，狐疑地问：“小青姐，你怎么搞得？不坐在床边上绣花，倒给摔倒在门口了？”小青满脸飞红，不好意 思地说：“我想踩上椅子打开门顶窗呢，不小心给摔倒了！”耿正说：“嗨，我当是什么事情呢！你叫我过来给你打开不就得了！”说着，举起 右手轻轻一推，就把西屋的门顶窗户推开了。回过头来对小青说：“那我回那边去了。有什么事儿，你喊我一声啊！”小青欲张口挽留，无奈耿 正已经跨出门槛儿了。小青心里好失望，又有些生气，不由人地“哼”了一声。耿正听到这一声“哼”，就停下脚步回头问：“小青