2020-2021学年江西省新余一中、宜春一中高二上学期联考数学试题 Word版

2020-2021学年江西省新余一中、宜春一中高二上学期联考数学试题一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)． 1.已知集合{}260A x Z x x =∈--<，{}1B x x =>-，则AB =（ ）A.{}|13x x -<<B.{}012,, C.{}1012-,,, D.{}210--,,2.i 是虚数单位，若2(,)1ia bi ab R i+=+∈+，则lg()a b +的值是（ ） A ．2- B.1- C.0 D.123.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式:2213=+,23135=++,241357=+++,…3235=+,337911=++,3413151719=+++，…根据上述分解规律,则213511m =++++,3p 的分解中最小的正整数是21,则m p +=（ ）A.9B.10C.11D.124.“方程22123x y m m +=-+表示双曲线”的一个充分不必要条件是（ ） A.30m -<< B.32m -<< C.34m -<<D.13m -<<5.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A.14 B ．16C ．15D ．176.已知函数()2f x x bx =+的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行,若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ,则2017S 的值为( )A.20162017 B. 20142015 C. 20152016 D. 201720187.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线,NO AM 的位置关系是（ ） A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直8. 在ABC △中，2AB BC =，以,A B 为焦点，经过点C 的椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则( ) A.12111e e -= B.12112e e -= C.2212111e e -= D.2212112e e -= 9. 在等比数列{}n a 中, 1401a a <<=,则能使不等式12121110n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数n 是( )A.5B.6C.7D.810.已知定义在(0)+∞,上的函数()f x 满足()()xf x f x '>恒成立(其中()f x '为函数()f x 的导函数)，对于任意实数10x >，20x >，下列不等式一定正确的是( ) A.()()()1212f x x x f x f ≥⋅ B.()()()1212f x x x f x f ≤⋅ C.()()()1212f x x x f f x +>+ D.()()()1212f x x x f f x +<+11.已知点()0,2R ，曲线()()24:0C y px p =>，直线y m = (0m >且2m ≠)与曲线C 交于,M N两点，若RMN △周长 的最小值为2，则p 的值为( ) A.8B.6C.4D.212.已知函数()32113(1)f x x ax ax a =-++≤在()1212,x x x x ≠处的导数相等，则不等式()12f x x m +≥恒成立时m 的取值范围为( ) A.(],1-∞-B.(],0-∞C.(],1-∞D.4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知直线 10x y --= 与抛物线 2y ax = 相切，则 a = ． 14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1210,3a a a ≠=，则105S S =___________. 15.已知三棱锥P ABC -的各顶点均在一个半径为R 的球面上,球心O 在AB 上, PO ⊥平面ABC,ACBC=则三棱锥与球的体积之比为__________. 16.已知函数32()692f x x x x =-+-，给出以下命题:①若函数()3y f x bx =+不存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是(1,)+∞; ②过点(0,2)M 且与曲线()y f x =相切的直线有三条; ③方程2()2f x x=-的所有实数的和为16. 其中真命题的序号是___________.三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 17.(10分)已知函数()f x x a =-.(1).当2?a =时,解不等式()7|1|f x x ≥--；(2).若()1f x ≤的解集为[0,2], 11(0,0)2a m n m n+=>>,求证: 43m n +≥.18.(12分)已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos 0A A +=．有三个条件：①1a =； ②b =； ③ABCS=其中三个条件中两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题： （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积．19.(12分)随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：200名.(1).求频数分布表中,x y 的值；(2).已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.5%，“财富通”的平均年化收益率为4.5%.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X ，求X 的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.20.(12分)在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，12BC CD AD ==.E M ､ 分别为棱AD PD ､的中点，PA CD ⊥. (1)证明:平面//MCE 平面PAB ；(2)若二面角P CD A --的大小为45︒，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值｡21.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为()()122,0,2,0F F -，点1,P ⎛- ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为-1的直线l 与椭圆C 相交于,M N 两点，使得11F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.22.(12分)己知函数()2ln f x ax bx x =+-．（1）当2a =-时，函数()f x 在()0,∞+上是减函数，求b 的取值范围； （2）若方程()0f x =的两个根分别为()1212,x x x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.新余一中、宜春一中2021届高二联考数学试卷答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C A B D C A C D B C 13、已知直线10x y--=与抛物线2y ax=相切，则a=．12答案及解析：答案：1414、记nS为等差数列{}n a的前n项和，1210,3a a a≠=，则105SS=___________.14答案及解析：答案：4解析：因213a a=，所以113a d a+=，即12a d=，所以105SS=11111091010024542552a d aaa d⨯+==⨯+．15、已知三棱锥P ABC-的各顶点均在一个半径为R的球面上,球心O在AB上,PO⊥平面ABC,3ACBC=,则三棱锥与球的体积之比为__________.15答案及解析：答案：3:8π解析：如图:依题意,2AB R=,又3ACBC=,90ACB∠=,因此3AC R=,BC R=,3111333326P ABC ABCV PO S R R R R-∆⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭.而343Rπ=,因此3334:363R Rππ==.16、已知函数32()692f x x x x=-+-，给出以下命题:①若函数()3y f x bx =+不存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是(1,)+∞; ②过点(0,2)M 且与曲线()y f x =相切的直线有三条; ③方程2()2f x x=-的所有实数的和为16. 其中真命题的序号是___________.16答案及解析： 答案：②解析：因为32()36(93)2y f x bx x x b x =+=-++-，所以2'31293y x x b =-++，若函数326(93)2y x x b x =-++-不存在单调递减区间，则有21212(93)0b -+≤，解得1b ≥，所以①错误;设过点(0,2)M 的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则有2000023129y x x x --+=，又点00(,)x y 在曲线()y f x =上，所以320000692y x x x =-+-，代入上式，得320000032(1)(1(10x x x x x ⎡⎤⎡⎤-+=---=⎣⎦⎣⎦，解得01x =或01x =+01x =-所以过点(0,2)M 且与曲线()y f x =相切的直线有三条，②正确;计算得函数32()692f x x x x =-+-的图象关于点(2,0)成中心对称，且函数22y x=-的图象也关于点(2,0)成中心对称，所以方程2()2f x x=-的所有实数根的和为2228⨯⨯=，③错误.综上所述，真命题的序号为②.17、已知函数()f x x a =-.(1).当2?a =时,解不等式()7|1|f x x ≥--; (2).若()1f x ≤的解集为11[0,2],(0,0)2a m n m n+=>>,求证: 43m n +≥.答案：1.当2?a =时,不等式为217x x -+-≥, ∴1217x x x <⎧⎨-+-≥⎩或12217x x x ≤≤⎧⎨-+-≥⎩或2217x x x >⎧⎨-+-≥⎩, ∴不等式的解集为(][),25,-∞-⋃+∞.2. ()1f x ≤,即1x a -≤,解得11a x a -≤≤+,而()1f x ≤, 解集是[]0,2,∴1012a a -=⎧⎨+=⎩,解得 1a =,所以111(0,0)2m n m n+=>>,∴1144(4)()3322n m m n m n m n m n+=++=++≥.当且仅当1,m n ==.18、已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b ccos 0A A +=．有三个条件：①1a =；②b =ABCS其中三个条件中两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题： （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积．18答案：（1cos 0A A +=，所以π2sin()06A +=，即5π6A =，A为钝角，与1a b =<=矛盾， 故①②中仅有一个正确，③正确；显然1sin 2ABCSbc A =，得bc = 当①③正确时，由2222cos a b c bc A =+-，得2220b c +=-<（无解）, 当②③正确时，由于bcb 1c =； （2）因为5π6A =，π2CAD ∠=，则π3BAD ∠=, 则1sin 1212sin 2ABD ACD AB AD BADS S AC AD CAD ⋅⋅∠==⋅⋅∠， 13ADB ABC S S =，故ABD ． 19、随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：200名. 1.求频数分布表中,x y 的值；2.已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.5%，“财富通”的平均年化收益率为4.5%.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X ，求X 的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息. 19答案及解析： 答案：1.据题意，得2001200200x y x y -=⎧⎨+=-⎩，所以600400x y =⎧⎨=⎩.2.据600:4003:2=，得这被抽取的5人中使用“余额宝”的有3人，使用“财富通”的有2人.10000元使用“余额宝”的利息为10000 2.5%250⨯=（元）. 10000元使用“财富通”的利息为10000 4.5%450⨯=（元）. X 所有可能的取值为500（元），700（元），900（元）. 203225C C 3(500)1C 0P X ===，113225C C 3(C 700)5P X ===，025232C C 1(900)1C 0P X ===.所以的分布列为：X500 700 900P310 35 110()500700900660101010E X =⨯+⨯+⨯=（元）.20、如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒， 12BC CD AD ==.E M ､分别为棱AD PD ､的中点，PA CD ⊥.(1)证明:平面//MCE 平面PAB ;(2)若二面角P CD A --的大小为45︒，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值｡20答案及解析：答案：解：（1）证明：因为点E 为AD 的中点， 1,//2BC AD AD BC =所以四边形ABCE 为平行四边形，即//EC AB . 因为E M 、分别为棱AD PD 、的中点， //EM AP ， EM EC E ⋂=，所以平面//MCE 平面PAB （2）如图所示，因为,PA AB PA CD AB CD ⊥⊥，与为相交直线，所以AP ⊥平面ABCD . 不防设2AD =，则11.2BC CD AD ===以与AD 垂直的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系设()()()(),0,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,AP h A D C P h =-，从而()()0,2,,1,0,0PD h CD =-=，而PCD 的法向量记为()111,,m x y z =，则00m PD m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得111200y hz x -=⎧⎨=⎩，令11y =，则122,0,1,z m h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 又面ACD 的法向量为()0,0,1，二面角P CD A --的大小为45.22241h h =+，解得2h = 所以()()()0,0,2,0,1,0,1,2,0P E C -，所以()()()1,1,0,0,1,2,0,0,2EC PE AP =-=-=，设平面PCE 的法向量为()222,,n x y z =，则00n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得2222200y z x y -=⎧⎨-+=⎩. 令22y =，则222,1x z ==，所以()2,2,1n = 设直PA 与平面PCE 所成角为θ，则1sin cos ,3AP n AP n AP nθ====.21、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为()()122,0,2,0F F -，点1,P ⎛- ⎝⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为-1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得11F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 21答案及解析：答案：（1）因为椭圆C 的左右焦点分别为()12,0F -，()22,0F，所以2c =.由椭圆定义可得2a =，解得a =222642b a c =-=-=，所以椭圆C 的标准方程为22162x y += （2）假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程为y x t =-+， 由22162x y y x t ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得223()60x x t +-+-=，即()2246360x tx t -+-=，()222(6)443696120t tt ∆=--⨯⨯-=->，解得t -<，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1232t x x +=，212364t x x -=，由于11F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1F E MN ⊥，所以111F EMN K K =-=又3,44t t E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以141324F Et Kt==+，解得4t=-.当4t =-时，不满足t -<. 所以不存在满足条件的直线l . 解析：22、己知函数()2ln f x ax bx x=+-．（1）当2a =-时，函数()f x 在()0,∞+上是减函数，求b 的取值范围； （2）若方程()0f x =的两个根分别为()1212,x x x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.22答案及解析：- 11 -答案：（1）∵()f x 在()0,+∞上递减，∴()140f x x b x '=-+-≤对()0,x ∈+∞恒成立.即14b x x ≤+对()0,x ∈+∞恒成立，所以只需min 14b x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭. ∵0x >，∴144x x +≥，当且仅当12x =时取“=”，∴4b ≤.（2）由已知，得()()2111122222ln 0ln 0f x ax bx x f x ax bx x ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩，∴21112222ln ln x ax bx x ax bx ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩两式相减，得()()()11212122lnx a x x x x b x x x =+-+-()()1212x x a x x b =-++⎡⎤⎣⎦.由()12f x ax b x '=+-知()12121222x x f a x x b x x +⎛⎫'=++- ⎪+⎝⎭()121112212122122121ln ln x x x x x x x x x x x x x x -⎡⎤=-=-⎢⎥-+-+⎣⎦12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，设()120,1x t x =∈，则12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+()()21ln 1t g t t t -=-+.∴()()()()22211411t g t t t t t -'=-=>++.∴()g t 在()0,1上递增，∴()()10g t g <=.∵120x x -<，∴12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦()1210g t x x =>-. 即1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.。