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条件概率-课件
没有影响，P (A)
2 3
,
P (B )
1 3
思考3：一般地，对于事件A，B，如果事 件A的发生不影响事件B发生的概率，那 么P(B|A)与P(B)有什么关系？根据条件 概率计算公式可得什么结论？
P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A) P(B).
思考4：设A，B为两个事件，如果P(AB) ＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独 立.你能列举一个相互独立事件的实例吗？
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/32021/3/32021/3/32021/3/3
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
探究（一）：相互独立事件的概念
思考1：先后两次抛掷一枚质地均匀的骰 子，设事件A为“第一次抛掷得到点数是 1”，事件B为“第二次抛掷得到点数是 2”，那么事件A的发生对事件B发生的概 率是否有影响？事件A、B发生的概率分 别是多少？
没有影响，都为 1 . 6
思考2：某三张奖券中只有一张能中奖， 现分别由三名同学有放回地各随机抽取1 张，设事件A为“第一个同学没有抽到中 奖奖券”，事件B为“第三个同学抽到中 奖奖券”，那么事件A的发生对事件B发 生的概率是否有影响？事件A、B发生的 概率分别是多少？
2.公式P(AB)＝P(A)P(B)可以理解为： 相互独立事件同时发生的概率，等于它 们的概率之积.如果事件A与B不相互独 立，那么事件A与B同时发生的概率应利 用条件概率求解.
3.两个事件互斥与两个事件相互独立 是完全不同的两个概念，若事件A与B互 斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这是和 事件的加法公式；若事件A与B相互独立， 则P(AB)＝P(A)P(B)，这是积事件的乘 法公式.
条件分布律条件分布函数条件概率密度ppt课件
第三章 随机变量及其分布
一、随机变量的独立性
§4随机变量的独立性
设 (X， Y )是二维随机变量，其联合分布函数为 F (x， y) ，又随机变量X 的分布函数为FX (x)， 随机变量Y 的分布函数为FY ( y)．
如果对于任意的x， y，有
F (x， y) FX (x) FY (y)
则称 X， Y 是相互独立的随机变量．
第三章 随机变量及其分布
一 、离散型随机变量的条件分布律
§3条件分布
设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为 P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j=1,2,...
(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：
P{ X xi } pi• pi j , i 1,2, j 1
1 2
- 2)
(y
- 2 )2
2 2
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第三章 随机变量及其分布
又随机变量Y 的边缘密度函数为
§3条件分布
fY (y)
1
- ( y-2 )2
e 2
2 2
2 2
(- < y < )
因此，对任意的 y，fY ( y) 0，
( ) ( ) f X Y
xy
f (x， y) fY (y)
所以，当0 < y < 1时， 0,
其它.
fY (y) f (x，
-
y)dx
y 1 dx - ln(1 -
0 1- x
y
y).
所以，随机变量 Y 的密度函数为
1
fY
(y)
ln(1 -
0,
y),
条件概率 课件
题型二 条件概率的性质
例2 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白 球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱, 然后从2号箱中随机取出一球．问从2号箱中取出红球 的概率是多少？
【解】 设事件 A:最后从 2 号箱中取出的是红球;事件 B: 从 1 号箱中取出的是红球． 则 P(B)＝2＋4 4＝23,P(－B )＝1－P(B)＝13. P(A|B)＝5＋3＋3＋1 1＝49. P(A|－B )＝8＋3 1＝13,
2
即先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率为12.
【名师点评】 条件概率的计算方法有两种: (1)利用定义计算,先分别计算概率 P(AB)和 P(A),然后代入 公式 P(B|A)＝PPAAB. (2) 利用 缩小 样本 空间 计算 (局 限在 古典 概型 内),即 将原 来 的样本空间 Ω 缩小为已知的事件 A,原来的事件 B 缩小为 AB,利用古典概型计算概率:P(B|A)＝nnAAB.
P(A)＝P(AB∪A－B )＝P(AB)＋P(A－B ) ＝P(A|B)P(B)＋P(A|－B )P(－B ) ＝49×23＋13×13 ＝1217.
【 名 师 点 评 】 若 事 件 B,C 互 斥 , 则 P(B ∪ C|A) ＝ P(B|A)＋P(C|A),即为了求得比较复杂事件的概率,往往 可以先把它分解成两个(若干个)互不相容的较简单事件 之和,求出这些简单事件的概率,再利用加法公式即得所 求的复杂事件的概率．
1 因此,P(B|A)＝PPAAB＝16＝13,
2
即先摸出 1 个白球不放回,再摸出 1 个白球的概率为13.
(2)设“先摸出一个白球放回”为事件 A1, “再摸出一个白球”为事 件 B1,两次都摸到白球为事 件
《条件概率》课件
答案2
两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析：第一次取到白球 的概率为$frac{6}{10}$，第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$，因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
《条件概率》ppt课件
contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条 件下，事件A发生的概率，这可以表示 为在事件B发生的条件下，事件A发生 的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发 生时，另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发 生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法，通过计算不 同行动方案在不同自然状态下的期望效用值，选择最优的行 动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状 态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中，常常需要计算不同类别下的条件概率，以设计最优的分类器。例如， 在朴素贝叶斯分类器中，通过计算不同特征在不同类别下的条件概率，实现分类器的设
两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析：第一次取到白球 的概率为$frac{6}{10}$，第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$，因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
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contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条 件下，事件A发生的概率，这可以表示 为在事件B发生的条件下，事件A发生 的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发 生时，另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发 生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法，通过计算不 同行动方案在不同自然状态下的期望效用值，选择最优的行 动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状 态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中，常常需要计算不同类别下的条件概率，以设计最优的分类器。例如， 在朴素贝叶斯分类器中，通过计算不同特征在不同类别下的条件概率，实现分类器的设
概率论与数理统计条件概率PPT课件
（ 1 ） P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = 0 . 9 × 0 . 9 = 0 . 8 1 （ 2 ） P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) － P ( A B ) = 0 . 9 + 0 . 9 － 0 . 8 1 = 0 . 9 9
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
《概率统计》
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§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
《概率统计》
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二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
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§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
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二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
《2.2.1 条件概率》PPT课件(安徽省县级优课)
B
已知A发生
AB A
P(B) n(B) 2 1 n() 6 3
P(B A) n( AB) 2 1 n( A) 4 2
思考：抛掷一颗骰子,观察出现的点数 B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝ A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ 若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的 概率.
n() P( AB) P( A)
n()
1.条件概率的定义：
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则
P(B A) P( AB) P( A)
在原样本空间 的概率
称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。
一般把P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率。
公式变形：若P(A) 0,则P(AB) P(B A) • P(A)
注：P(B|A)表示在事件A发生的条件下B发生的概率
思考：你知道第一名同学的抽奖结果为什么会
影响最后一名同学的抽奖结果吗？
分析： 若不知道第一名同学的抽奖结果，则样本空间为、
{X1X2Y , X2X1Y , X1YX2，X2YX1，YX1X2，YX2X1}
若知道了第一名同学的抽奖结果，则样本空间变成
2.2.1 条 件 概 率
探究： 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无 放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小？
分析：如果三张奖券分别用X1，X 2，Y 表示，其中Y 表示
那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果为：
={X1X 2Y , X 2 X1Y , X1YX 2 , X 2YX1,YX1X 2 ,YX 2 X1}
【解】 如图，n(Ω)＝9， n(A)＝3，n(B)＝4， ∴n(AB)＝1， ∴P(AB)＝19， P(A|B)＝nnABB＝14.
条件概率公开课ppt课件
$P(A/B) = frac{P(B/A)P(A)}{P(B)}$
事件A和B的独立性
在贝叶斯定理中，事件A和B可以 是独立的，也可以是相关的。
全概率公式
如果事件B能分为互不相容的事 件$B_1, B_2, ldots, B_n$，则
$P(A) = sum_{i=1}^{n} P(A/B_i)P(B_i)$
条件分布
在给定其他随机变量取值的条件下，某个随机变量的条件 分布描述了该随机变量取值的概率分布。条件分布可通过 联合分布和边缘分布求得。
边缘分布与条件分布关系
边缘分布是条件分布的特例，当不给定其他随机变量取值 时，条件分布退化为边缘分布。
多元随机变量独立性判断
独立性定义
若多元随机变量中的任意随机变量取值与其他随机变量取值无关，则称这些随机变量相互独立。
条件概率公开课ppt课 件
contents
目录
• 条件概率基本概念 • 条件概率分布与期望 • 多元随机变量条件概率 • 贝叶斯定理及其应用 • 条件概率在统计学中地位和作用 • 总结与展望
01
条件概率基本概念
条件概率定义及性质
条件概率是指在某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。具体地，如果事 件B已经发生，那么事件A在事件B发生的条件下发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B)。
性质 条件数学期望和条件方差具有一些重要的性质，如线性性 质、常数性质、独立性等。
条件概率分布变换方法
离散型随机变量的条件概率分布
01
对于离散型随机变量，可以通过列举法或者公式法求得条件概
率分布。
连续型随机变量的条件概率分布
02
对于连续型随机变量，可以通过求解条件概率密度函数进而求
事件A和B的独立性
在贝叶斯定理中，事件A和B可以 是独立的，也可以是相关的。
全概率公式
如果事件B能分为互不相容的事 件$B_1, B_2, ldots, B_n$，则
$P(A) = sum_{i=1}^{n} P(A/B_i)P(B_i)$
条件分布
在给定其他随机变量取值的条件下，某个随机变量的条件 分布描述了该随机变量取值的概率分布。条件分布可通过 联合分布和边缘分布求得。
边缘分布与条件分布关系
边缘分布是条件分布的特例，当不给定其他随机变量取值 时，条件分布退化为边缘分布。
多元随机变量独立性判断
独立性定义
若多元随机变量中的任意随机变量取值与其他随机变量取值无关，则称这些随机变量相互独立。
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目录
• 条件概率基本概念 • 条件概率分布与期望 • 多元随机变量条件概率 • 贝叶斯定理及其应用 • 条件概率在统计学中地位和作用 • 总结与展望
01
条件概率基本概念
条件概率定义及性质
条件概率是指在某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。具体地，如果事 件B已经发生，那么事件A在事件B发生的条件下发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B)。
性质 条件数学期望和条件方差具有一些重要的性质，如线性性 质、常数性质、独立性等。
条件概率分布变换方法
离散型随机变量的条件概率分布
01
对于离散型随机变量，可以通过列举法或者公式法求得条件概
率分布。
连续型随机变量的条件概率分布
02
对于连续型随机变量，可以通过求解条件概率密度函数进而求
事件的条件概率和三个基本公式ppt课件
(3) 可列可加性 设 A1, , An 是 两 两 不 相 容 的 事 件 ， 则
P Ai B P( Ai B)
i1
i1
并由此推出条件概率的其它性质：
(4) P(Ø B) 0；
(5) P( A B) 1 P( A B) ;
(6) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B)
这就是有关抽签顺序问题的正确解答.
也就是说， 抽签不必争先恐后.
12
三、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比 较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和 乘法公式的综合运用.
综合运用
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
第三节
1
一、条件概率
对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言 的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出 附加的条件，即已知某一事件B已经发生，要求另 一事件A发生的概率。
例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生 率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。
一般, P (A1A2…An )
=P(A1)P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1)
与次序无关。 6
例1 设 A, B 为 任意 两个 事件 ，且 已知P( A) 0.5， P(B) 0.6， P(B | A) 0.4 , 求P( A | B ) ．
解 P( AB) P( A)P(B | A) 0.5 0.4 0.20；
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
10
用Ai表示“第i个人抽到入场券” ，i＝ 1则,2A,3i,4表,5.示“第i”个人. 未抽到入场券
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(2)因为n( AB) A 6, 所以
2 3
n( AB) 6 3 P( AB) . n( A) 20 10
（3）法一： 由(1)(2)可得，在第1次抽 到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概 率为 P( AB) 3 / 10 1 P( B A) . P( A) 3/ 5 2 法二：因为n(AB)=6,n(A)=12,所以
三、条件概率的性质
1、 0≤P（A|B）≤1 ；
2、若B和C是两个互斥事件，则
P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）
四、应用
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题。 如果不放回地依次抽取2道题，求 （1）第1次抽到理科题的概率； （2）第1次和第2次都抽到理科题的概率； （3）在第1次抽到理科题的要件下，第2次 抽到理科题的概率。 分析：设第1次抽到理科题为事件A，第 2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2 次都抽到理科题为事件AB。由条件概率 求法公式可求。
问题2：若已经知道第一名同学没有 抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽 到中奖奖券的概率又是多少？
分析：因为已经知道第一名同学没有抽到中 奖奖券，所以所有可能的抽取情况变为 A={NNY，NYN} 由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖 n( B ) 1 券的概率为 ，不妨记为P(B|A).
n( A) 2
n( AB) 6 1 P( B A) . n( A) 12 2
例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每 位数字都可从0~9中任选一个。某人在银 行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最 后一位数字。求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就 按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数， 不超过2次就按对的概率。
(2)用B表示最后一位按偶数的 事件, 则 P ( A B ) P( A1 B) P( A1 A2 B ) 1 4 1 2 . 5 5 4 5
练习：P61 1、2。
分析 : 设第i次按对密码为事件 Ai (i 1,2),则 A A1 ( A1 A2 )表示不超过2次就按对密码 .
解 : 设第i次按对密码为事件 Ai (i 1,2),则 A A1 ( A1 A2 )表示不超过2次就按对密码 . (1)因A1与 A1 A2互斥,由概率的加法公式得 1 9 1 1 P( A) P( A1 ) P( A1 A2 ) . 10 10 9 5
显然P(B) ≠P(B|A),即知道了事件A的发 生，会影响事件B发生的概率。
二、条件概率的概念
问题： 如何求事件B发生在事件A发生 的情况下的概率？ 在事件A发生的情况下事件B发生，等价 于事件事件B同时发生，即AB发生。又 A必然发生，所以只考虑在A发生的范围内B 发生的概率。即 P( B A) n( AB) .
解：设第1次抽到理科题为事件A，第 2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2 次都抽到理科题主事件AB。 （1）从5道题中不放回地依次抽取2道的 2 事件数为 n() A5 20. 1 1 n( A) A3 A4 12.于是 由分步乘法计数原理，
n( A) 12 3 P( A) . n() 20 5
2.2.1
条件概率
一、引入 3张奖券中只有一张能中奖， 问题： 现分别由3名同学无放回地抽取，问最 后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比 其他同学小？
分析：若抽到中奖奖券用“Y”表示，没有抽 到用“N”表示，则所有可能抽到的情况为 Ω={YNN,NYN,NNY} 用B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事 件，则B={NNY}，由古典概型可知，最 后一名同学抽到中奖奖券的概率为 n( B) 1 （用n(B)表示事件B中基本 P( B) 事件的个数） n() 3
n( A)
n( AB) n( AB) / n() P( AB) 又P( B A) . n( A) n( A) / n() P( A)
条件概率： 一般地，设A，B为两个事件，且 P( AB) P(A)>0,称
P( B A) P( A)
为在事件A发生的条件下，事件B发生的 条件概率。P(B|A)读作A发生的条件下 B的概率。