【配套K12】优化方案2016高中数学第二章平面向量 5从力做的功到向量的数量积新人教A版必修

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【优化方案】2016高中数学第二章平面向量 5从力做的功到向量的数量积训练案知能提升新人教A版必修4

【优化方案】2016高中数学第二章平面向量 5从力做的功到向量的数量积训练案知能提升新人教A 版必修4[A.基础达标]1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2中，是真命题的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 解析：选D.因为(a ·b )c 是与c 共线的向量，(c ·a )b 是与b 共线的向量，所以(a ·b )c 与(c ·a )b 不一定相等，排除①.因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直，所以排除③，故选D.2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B ．π4 C.π3 D ．π2 解析：选C.因为a ·b ＝|a ||b |cos θ，所以1×4cos θ＝2，即cos θ＝12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.3．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( ) A.7 B ．10 C.13 D ．4解析：选C.因为|a |＝|b |＝1，又a 与b 的夹角为60°，所以|a ＋3b |2＝|a |2＋6a ·b ＋9|b |2＝1＋6×cos 60°＋9＝13. 即|a ＋3b |＝13.4．在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则λ等于( ) A.a ·（b －a ）|a －b |2 B ．a ·（a －b ）|a －b |2C.a ·（b －a ）|a －b | D ．a ·（a －b ）|a －b |解析：选B.由题意知OD →·AB →＝0，即AB →·(OA →＋AD →)＝0，所以AB →·(OA →＋λAB →)＝0，所以λ＝－AB →·OA →AB →2＝－（OB →－OA →）·OA→（OB →－OA →）2＝a ·（a －b ）|a －b |2，故选B. 5．若向量a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，则|a －b －c |的最小值为( )A.2－1 B ．1 C.2＋1 D ． 2解析：选A.因为a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，所以a ·b ＝0，所以|a －b |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，所以|a －b －c |≥|a －b |－|c | ＝2－1.6．已知单位向量e 1，e 2的夹角为120°，则|2e 1－e 2|＝________．解析：|2e 1－e 2|＝（2e 1－e 2）2＝4e 21－4e 1·e 2＋e 22＝5－4×1×1×cos 120°＝7.答案：77．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，则向量AB →在向量AC →上的投影等于________．解析：因为等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，所以∠BAC ＝120°，因此向量AB →在向量AC →上的投影为|AB →|cos 120°＝－12.答案：－128．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.答案：－8或59.设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 的夹角为60°，求k 的值．解：(1)因为|k a ＋b |＝3|a －k b |，所以(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，且|a |＝|b |＝1，即k 2＋1＋2k a ·b ＝3(1＋k 2－2k a ·b )，所以a ·b ＝k 2＋14k.因为k 2＋1≠0，所以a ·b ≠0，即a 与b 不垂直．(2)因为a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.所以k 2＋14k ＝12.所以k ＝1.10．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5. (1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值．解：(1)由|3a －b |＝5得(3a －b )2＝5，所以9a 2－6a ·b ＋b 2＝5.因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，所以9－6a ·b ＋1＝5，所以a ·b ＝56.所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15.所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a ·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203.所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439.因为0°≤θ≤180°，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4392＝339. 所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339. [B.能力提升]1.如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC .若|AB →|＝a ，|AD →|＝b ，则AC →·BD →＝( )A ．a 2－b 2B ．b 2－a 2C ．a 2＋b 2D ．a ·b解析：选B.因为AD →⊥DC →，所以AC →在AD →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAD ＝|AD →|，又AB →⊥BC →，所以AC →在AB →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAB ＝|AB →|.所以AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →＝|AD →||AD →|－|AB →||AB →|＝b 2－a 2.2．在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．10解析：选D.|PA |2＋|PB |2|PC |2＝PA →2＋PB→2PC→2＝（PC →＋CA →）2＋（PC →＋CB →）2PC→2＝2PC →2＋2PC →·CA →＋2PC →·CB →＋CA →2＋CB →2PC→2＝2|PC →|2＋2PC →·（CA →＋CB →）＋AB →2|PC →|2＝|AB →|2|PC →|2－6＝42－6＝10.3．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．解析：根据题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ||b |2＝x 2（x e 1＋y e 2）2＝x 2（x e 1）2＋（y e 2）2＋2xy e 1·e 2 ＝x 2x 2＋y 2＋2xy cosπ6＝x 2x 2＋y 2＋3xy＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋3y x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋322＋14.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋322＋14≥14，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ||b |2≤4，所以0<|x ||b |≤2.故|x ||b |的最大值为2.答案：24．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC→·BE →＝1，则AB 的长为________．解析：设AB 的长为a (a >0)，又因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，于是AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝－12a 2＋14a ＋1，由已知可得－12a 2＋14a ＋1＝1.又a >0，所以a ＝12，即AB 的长为12.答案：125.如图，在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，如果AM ＝2，求OA →·(OB →＋OC →)的最值．解：因为OB →＋OC →＝2OM →，所以OA →·(OB →＋OC →)＝OA →·2OM →＝2|OA →||OM →|·cos 180°＝－2|OA →||OM →|，|OA →|＋|OM →|＝2，设|OM →|＝t (0≤t ≤2)⇒|OA →|＝2－t .所以OA →·(OB →＋OC →)＝－2(2－t )t ＝2t 2－4t ＝2(t －1)2－2(0≤t ≤2)．所以当t ＝1时，OA →·(OB →＋OC →)取得最小值－2.当t ＝0或2时，OA →·(OB →＋OC →)取得最大值0.6．(选做题)已知非零向量a 、b ，设其夹角为θ，是否存在θ，使得|a ＋b |＝3|a －b |成立，若存在，求出θ的取值范围，若不存在，请说明理由．解：假设存在满足条件的θ，由|a ＋b |＝3|a －b |可得：(a ＋b )2＝3(a －b )2，即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a ·b ＋|b |2)⇒|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0⇒|a |2－4|a |·|b |cos θ＋|b |2＝0.已知向量a 、b 为非零向量，则|b |≠0，上式同除以|b |2得到：⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ||b |2－4cos θ|a ||b |＋1＝0，由Δ≥0得到：(－4cos θ)2－4≥0，解得cos θ≤－12或cos θ≥12，又知cos θ∈[－1，1]，则－1≤cos θ≤－12或12≤cos θ≤1，因为θ∈[0，π]．所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π满足题意．因此，当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π时，使得|a ＋b |＝3|a －b |.。

高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积教案北师大版

2.5 从力做的功到向量的数量积整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.图1我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功W=|F||s|cosθ.功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义,掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W可由下式计算:W=|F||s|cosθ,其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？推进新课新知探究提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a ,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2A.b+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cos θ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cos θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a .方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ＜2π时，cos θ＞0,从而a ·b ＞0;当2π＜θ≤π时,cos θ＜0,从而a ·b ＜0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); ③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab =bca =c .但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .图3(3)对于实数a 、b 、c 有(a ·b)c=a (b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立. 讨论结果①是数量,叫数量积.②数量积满足a ·b =b ·a .(交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); (a .+b )·c =a ·c+b·c (分配律).③1°(a+b )2=(a +b )·(a +b )=a ·a +a .·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;2°(a .+b )·(a .-b )=a .·a .-a .·b +b ·a .-b ·b =a .2-b 2. 提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考: 1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b|Cos θ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量. 1°e ·a =a ·e =|a |cos θ. 2°a ⊥b ⇔a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |. 特别地a ·a =|a |2或|a |=a a ∙.4°cos θ=||||b a ba ∙. 5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.应用示例思路1例1 已知|a .|=3,|b |=4,且a 与b 的夹角θ=150°,求a ·b . 活动:本例是让学生熟悉向量数量积的基本概念. 解:a ·b =|a ||b |cos θ=3×4×c os150°=12×(-23)=-63. 点评:直接利用向量数量积的定义.例 2 已知平面上三点A 、B 、C 满足||=2,||=1,||=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A.BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,||2+||2=||2,∴△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°, 从而sin∠A.BC=23,sin∠BAC=21 ∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°. 故·+·+·=2×1×c os120°+1×3c os90°+3×2c os150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ). 解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a .·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cos θ-6|b |2=62-6×4×c os60°-6×42 =-72.例3 已知|a |=3,|b |=4,且a .与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直? 解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0.∴k=±43 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a .-k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练(007海南三亚)设a 、b 、c 是非零向量,下列命题正确的是( ) A.(a .·b )·c =a .·(b ·c )B.|a .-b |2=|a .|2-2|a .||b |+|b |2C.若|a .|=|b |=|a .+b |,则a 与b 的夹角为60°D.若|a |=|b |=|a .-b |,则a .与b 的夹角为60°解析:设θ是a .和b 的夹角,∵|a |=|b |,∴|a -b |2=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=2|a |2-2a ·b =|a |2. ∴cos θ=21. 又∵0≤θ≤180°,∴θ=60°. 答案:D例4 在△A.BC 中,设边BC,CA.,A.B 的长度分别为a,b,c.证明a 2=b 2+c 2-2bcCosA., b 2=c 2+a 2-2cacosB, c 2=a 2+b 2-2acosC.图5证明:如右图,设=c ,=a ,=b ,则a 2=|a |2=||2=·=(AC -AB )·(AC -AB )=(b -c )·(b -c ) =b ·b +c ·c -2b ·c=|b |2+|c |2-2|b ||c |cosA. =b 2+c 2-2bccosA.同理可证其他二式,我们把这个结果称为余弦定理,以后我们还要专门讨论它的意义.思路2 例1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,CD =c ,=d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a .,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵+BC +CD +=0, 即a +b +c +d =0, ∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即A.B=CD,且BC=DA., ∴四边形A.BCD 是平行四边形. 故=-CD ,即a =-c . 又a ·b =b ·c =-a .·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,四边形ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |=|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的 A.BCD,若AB =a ,BC =b ,则CA =a +b ,DB =a -b 由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC=60°,b 与DB 所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a .-b 〉=||||)(b a b b a b --∙作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a .|,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2. ∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=-21|b |2-|b |2=-23|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(-21)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a .-b 〉=||||)(b a b b a b --∙,代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b .又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会. 变式训练设向量c =m a +n b (m,n∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a .⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c ∴|c |2=n b ·c.由已知|c |2=16,b ·c =-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |c os120°=-4, ∴|b |·4·(-21)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b , ∴8m -4a ·b =0,即a ·b =2m.①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12.②联立①②，得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4. 例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.图6证明:菱形ABCD 中,=(如图6), 由于AC =AD +AB ,BD =AD -AB , 可得·BD =(AD +AB )·(AD -AB ) =(AD )2-(AB )2=|AD |2-|AB |2=0,所以⊥BD ，即菱形的两条对角线互相垂直.例4 已知单位向量e 1,e 2的夹角为60°,求向量a =e 1+e 2,b =e 2-2e 1的夹角. 解:由单位向量e 1、e 2的夹角为60°,得e 1·e 2=c os60°=21, 所以a ·b =(e 1+e 2)·(e 2-2e 1) =-2e 1·e 1-e 1·e 2+e 2·e 2 =-2-21+1=-23.① 又|a |2=|e 1+e 2|2=|e 1|2+2e 1·e 2+|e 2|2=3,|b |2=|e 2-2e 1|2=4|e 1|2-4e 1·e 2+|e 2|2=3, 所以|a |=|b |=3.②由①②可得cos θ=213323||||-=⨯-=∙b a b a 又0＜θ＜π,所以θ=120°. 知能训练课本本节练习1—5. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解. 作业课本习题2—53、5.设计感想本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手.备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下: 两个向量a .与b 的向量积是一个新的向量c :(1)c 的模等于以a .及b 两个向量为边所作成的平行四边形的面积; (2)c 垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a .、b 、c 三向量成右手系——设想一个人站在c 处观看a .与b 时,a .按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b ，如图8.图8向量a 与b 的向量积记作a ×b .设a 与b 两个向量的夹角为θ,则|a .×b |=|a ||b |sin θ.在上面的定义中已默认了a 、b 为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则 a ×b =0.向量的向量积服从以下运算律: (1)a ×b =-b ×a ;(2)a ×(b +c )=a ×b +a ×c ; (3)(m a )×b =m(a ×b ). 二、备用习题1.已知a ,b ,c 是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( ) ①|a ·b |=|a ||b ⇔|a ∥b ②a 与b 反向⇔a ·b =-|a ||b | ③a ⊥b ⇔|a +b |=|a -b | ④|a |=|b |⇔|a ·c |=|b ·c |A..1B.2C.3D.4 2.有下列四个命题:①在△ABC 中,若AB ·＞0,则△ABC 是锐角三角形; ②在△ABC 中,若AB ·＞0,则△ABC 为钝角三角形; ③△ABC 为直角三角形的充要条件是·=0; ④△ABC 为斜三角形的充要条件是·BC ≠0.其中为真命题的是( )A..①B.②C.③D.④ 3.设|a |=8,e 为单位向量,a 与e 的夹角为60°,则a 在e 方向上的投影为( ) A..43 B.4 C.42D.8+23 4.设a ,b ,c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a ·b )c -(c ·a .)b =0;②|a |-|b |＜|a .-b |;③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2. 其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④ 5.在△A.BC 中,设=b ,AC =c ,则22)(|)||(|c b c b ∙-等于( ) A..0 B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC 6.设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________. 7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 的夹角为150°,求: (1)(a -3b )·(2a +b ); (2)|3a -4b |.9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.解：已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3144337+. 9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos3π=1. ∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21. 又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12. ∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |cos θ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23cos θ, ∴cos θ=-147,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为-147.。

高中数学第二章平面向量 2.5 从力做的功到向量的数

2.5 从力做的功到向量的数量积典题精讲例1若|a |=1，|b |=2，(a -b )⊥a ，则向量a 与b 的夹角为（）A.30°B.45°C.90°D.135°思路解析：设a 与b 的夹角为θ，∵（a -b ）·a =0.∴|a |2-b ·a =0.∴b ·a =1.∴cos θ=||||b a b a ∙=22. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°.答案：B绿色通道：求向量a 与b 的夹角的步骤：（1）计算b ·a ，|a |，|b |；（2）计算cos 〈a ，b 〉；（3）根据范围确定夹角的大小.变式训练1已知a 与b 都是非零向量，且a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.思路分析：求a 与b 的夹角余弦值，只要求出a ·b 与|a |、|b |即可.解：∵（a +3b ）⊥（7a －5b ）,∴（a +3b ）·（7a －5b ）=0.∴7a 2+16a ·b －15b 2=0.①又∵（a －4b ）⊥（7a －2b ）,∴（a －4b ）·（7a －2b ）=0.∴7a 2－30a ·b +8b 2=0.②①－②得46a ·b =23b 2，即有a ·b =21b 2=21|b |2. 代入①式，得7|a |2+8|b |2－15|b |2=0，故有|a |2=|b |2，即|a |=|b |.∴cos〈a ，b 〉=21||||||21||||2==∙b b b b a b a . 又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉=60°，即a 与b 的夹角为60°.变式训练2已知△ABC 中，a =5，b =8，·=-20，试求C.有个同学求解如下：解：如图2-5-4，∵||=a =5，||=b =8，图2-5-4 218520||||-=⨯-=CA BC . 又∵0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°.这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？思路解析：这位同学的解答不正确，其原因就在于没能正确理解向量夹角的定义.由于BC 与CA 两向量的起点并不同，故∠C≠〈BC ，CA 〉,而是∠C＋〈BC ,CA 〉=180°，则cos 〈, 〉218520-=⨯-=. 又∵0°≤〈BC ,CA 〉≤180°，∴〈BC ,CA 〉=120°.∴∠C=60°.所以这位同学的解答不正确，∠C=60°；批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么这道题就能做对了，请你再试试吧.例2已知向量a 、b 不共线，且|2a +b |=|a +2b |，求证：（a +b ）⊥（a －b ）.思路分析：可以证明（a +b ）与（a －b ）垂直，转化为证明（a +b ）与（a －b ）的数量积为零.也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.证法一：∵|2a +b |=|a +2b |，∴（2a +b )2=（a +2b )2.∴4a 2+4a ·b +b 2=a 2+4a ·b +4b 2.∴a 2=b 2.∴（a +b ）·（a －b ）=a 2－b 2=0.又a 与b 不共线，a +b ≠0，a －b ≠0，∴（a +b ）⊥（a －b ）.证法二：如图2-5-5所示，在平行四边形OCED 中，设=a ，=b ,A 、B 、N 、M 分别是OC 、OD 、DE 、EC 的中点.图2-5-5则有2a +b =OC +OB =OC +CM =OM ，a +2b =+=+=ON ,a +b =21,a -b =BA =NM . ∵|2a +b |=|a +2b |，∴|OM |=|ON |.∴△OMN 是等腰三角形.可证F 是MN 的中点. ∴OE ⊥BA . ∴⊥. ∴21⊥BA . ∴（a +b ）⊥（a －b ）.绿色通道：证明向量垂直的两种方法：①应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.②应用向量加减法的几何意义来证明.变式训练向量a 、b 均为非零向量，且|a |=|b |，求证：(a -b )⊥(a ＋b ）.思路分析：转化为证明向量(a -b )和(a ＋b )的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明.证法一：如图2-5-6所示，在平行四边形OACB 中,图2-5-6 设OA =a ,OB =b ,则a -b =，a+b =OC ， ∴|OA |=|OB |.∴四边形OA ＣB 是菱形.∴OC ⊥BA .∴⊥OC ，即(a -b )⊥(a ＋b ）.证法二：∵|a |=|b |，∴(a -b )·(a ＋b ）=a 2-b 2=|a |2-|b |2=0.∵a 、b 均为非零向量,∴a -b ≠0，a ＋b ≠0.∴(a -b )⊥(a ＋b ）.问题探究问题（1）在Rt△ABC 中，∠BA C=90°，化简||2+||2-2||·||cos 〈,〉；（2）在等边△ABC 中，化简||2+||2-2||·||cos 〈,〉；（3）由（1）和（2）你发现了什么结论，并加以证明.导思:归纳、猜想、证明是人类认识世界和发现世界的主要手段，观察式子的结构特点，结合向量的数量积便可发现结论.探究：（1）∵∠BA C=90°，∴cos〈AB ,AC 〉=0. ∴||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2+||2=||2. (2)∵||2=||2=||2,〈,〉=60°， ∴||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2+|AC |2-||2=||2=|BC |2.(3)可发现如下结论：在△ABC 中，有 ||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2； ||2+|BC |2-2|||BC |cos 〈,BC 〉=|AC |2； |CA |2+|CB |2-2|CA ||CB |cos 〈CA ,CB 〉=|AB |2. 可以用语言叙述：三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.此结论称为余弦定理.证明：如图2-5-7，在△ABC 中，有-=,图2-5-7 ∴(-AB )2=2BC . ∴2AB +2AC -2·=2BC ,即|AB |2+|AC |2-2|AB ||AC |cos 〈AB ,AC 〉=|BC |2. 同理可证：||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2; ||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2.。

北师大版必修4高中数学第2章平面向量5从力做的功到向量的数量积

a 与 b 反向
θ＝_9_0_° a 与 b 垂直，记作__a_⊥__b_，规定_0_可与任一向量垂直
思考 1：△ABC 为正三角形，设A→B＝a，B→C＝b，则向量 a 与 b 的夹角是多少？
[提示] 如图，延长 AB 至点 D，使 AB＝BD，则B→D＝a，
∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量 a 与 b 的夹角为 120°.
A.]
2．已知三角形 ABC 中，B→A·B→C<0，则三角形 ABC 的形状为( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰直角三角形
A [∵B→A·B→C＝|B→A|·|B→C|·cos B<0，
∴cos B<0，又∵B 为△ABC 的内角．
∴2π<B<π.]
3．已知向量|a|＝2，|b|＝2，a·b＝1，则|a－b|＝( )
算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的问题．提升数学运算素养.
垂直的几何问题．(难点)
自主预习探新知
1．向量的夹角
定义已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB＝θ 叫作向量 a 与 b 的夹角
范围
0°≤θ≤180°
θ＝0_°_
a 与合作探究提素养
求向量的数量积【例 1】已知|a|＝4，|b|＝5，且 a 与 b 的夹角为 60°. 求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a－b)2；(4)a2－b2. [解] 由题知 θ＝60°，|a|＝4，|b|＝5. (1)a·b＝|a||b|cos θ＝4×5×cos 60°＝10. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2×10＋52＝61. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝42－20＋52＝21. (4)a2－b2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9.

高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积课件北师大版必修4

a 与 b 的夹角是
()
5π
2π
A. 6
B. 3
π
π
C.3
D.6
解析：设 a 与 b 的夹角为 θ，由题意得：
3a －b ·a ＝0， 3|a |2－a ·b ＝0，
⇒
4a －b ·b ＝0
4a ·b －|b |2＝0，
∴|a |＝ 13a ·b ，|b |＝2 ∵0≤θ≤π，∴θ＝π.
a ·b .∴cos
[点睛] (1)向量的数量积不满足消去律：若 a，b，c 均为非零向量，且 a·c＝b·c，但得不到 a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为 a·b，b·c 是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c 与向量 c 共线，a·(b·c)与向量 a 共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
a ·b θ＝＝
|a ||b |
3a ·b ＝
2a ·b
3 2.
答案：D
结束
语同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
[点睛] (1)两个向量的数量积是两个向量之间的乘法，它与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时只能写成 a·b，而不能写成 a×b 或 ab.
(2)向量的数量积为一实数，可正、可负、可为 0.这不同于数乘向量，其结果仍为向量．
3．向量的数量积的性质 (1)若 e 是单位向量，则 e·a＝ a·e ＝ |a|cos θ ； (2)a⊥b⇔a·b＝0 ； (3) |a| ＝ a·a；
(3)数量积的特殊情况：当两个向量相等时，a·a＝ |a|2. 当两个向量 e1，e2 是单位向量时，e1·e2＝ cos θ . (4)几何意义：a 与 b 的数量积等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影 |b|cos θ 的乘积，或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上的射影 | a |cos θ的乘积．

【精品提分练习】高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积学案北师大版必修40108296

§5 从力做的功到向量的数量积内容要求 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量数量积与向量射影的关系.3.会进行平面向量数量积的运算(重点).4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(难点)．知识点1 向量的夹角与投影 (1)夹角：①定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的夹角； ②范围：0°≤θ≤180°； ③大小与向量共线、垂直的关系； θ＝⎩⎪⎨⎪⎧0°⇔a 与b 同向，180°⇔a 与b 反向，90°⇔a ⊥b .(2)投影：①定义：如图所示：OA →＝a ，OB →＝b ，过点B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ.|b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的投影数量(简称投影)．②大小与夹角的关系：等边△ABC 中，BA →与BC →的夹角是多少？BA →与AC →，AC →与BC →的夹角又分别是多少？提示 BA →与BC →的夹角就是△ABC 的一个内角(∠ABC )，因此BA →与BC →的夹角是π3.BA →与AC →首尾相接，由∠BAC ＝π3知它的补角为23π，因此BA →与AC →的夹角是23π.AC →与BC →有共同的终点C ，若延长AC ，BC ，则可知所得的角的大小与∠ACB 的大小相等，均是π3，因此AC →与BC →的夹角是π3. 知识点2 向量的数量积(1)定义：已知两个向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上投影|a |cos θ的乘积．(3)物理意义：力对物体做功，就是力F 与其作用下物体的位移s 的数量积F ·s . (4)性质：①若e 是单位向量，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0(其中a ，b 为非零向量)； ③|a |＝a ·a ； ④cos θ＝a ·b|a |·|b |(|a ||b |≠0)；⑤对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |≤|a ||b |. (5)运算律：交换律：a ·b ＝b ·a .结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 【预习评价】1．已知三角形ABC 中，BA →·BC →＜0，则三角形ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＜0， ∴cos B ＜0，又∵B 为△ABC 的内角． ∴π2＜B ＜π. 答案 A2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________．解析 |a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3. 答案 2 3题型一数量积的基本概念【例1】下列判断：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ·c |＝|b ·c |；③a ，b 共线⇔a ·b ＝|a ||b |；④|a ||b |<a ·b ；⑤a ·a ·a ＝|a |3；⑥a 2＋b2≥2a·b；⑦非零向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影长．其中正确的是________（填序号）．解析由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a ＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③错；对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错；对于⑥，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；对于⑦，当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错；对于⑧，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量，而非射影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．答案①②⑥规律方法对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．【训练1】给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．解析因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．答案④题型二数量积的运算【例2】已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b，a·(a＋b)．解①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27.若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9－18＝－9.②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°. ∴a ·b ＝0，a ·(a ＋b )＝a 2＝9. ③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3×6×12＝9.a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝18.规律方法 (1)向量的数量积在表示时，a 与b 之间必须用实心圆点“·”来连接而不能用“×”连接，也不能省略．(2)求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]．②分别求|b |和|a |.③求它们的数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.【训练2】已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，试求： (1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )； (3)(a ＋b )·(a ＋b )； (4)(a －2b )·(3a ＋b )．解 (1)a ·b ＝|a |·|b |·cos θ＝3×4×cos 120°＝－6. (2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝－7.(3)(a ＋b )·(a ＋b )＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a |·|b |·cos θ＋|b |2＝13. (4)(a －2b )·(3a ＋b )＝3a 2－5a ·b －2b 2＝25.方向1 求向量的模【例3－1】已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求： (1)|a ＋b |；(2)|3a －4b |；(3)|(a ＋b )·(a －2b )|. 解由已知a ·b ＝|a ||b |cos θ ＝4×2×cos 120°＝－4，a 2＝|a |2＝16，b 2＝|b |2＝4.(1)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a ＋b |＝2 3.(2)∵|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， ∴|3a －4b |＝419.(3)∵(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12， ∴|(a ＋b )·(a －2b )|＝12. 方向2 求向量的夹角【例3－2】设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝2m ＋n2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝n －3m2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故a 与b 的夹角为120°. 方向3 数量积的综合应用【例3－3】设两个向量e 1，e 满足|e 1＝2，|e 2|＝1，向量e 1与e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，求实数t 的取值范围．解由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得cos θ＝t e 1＋7e 2e 1＋t e 2|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|＜0，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0.化简，得2t 2＋15t ＋7＜0，解得－7＜t ＜－12.当夹角θ为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ＜0，∴⎩⎨⎧λ＝－14，t ＝－142，故实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.规律方法 1.求向量夹角时要注意：(1)当已知a ·b 是非坐标形式时，需求得a ·b 及|a |，|b |或它们之间的关系； (2)当已知a ，b 的坐标时，可直接利用公式求解． (3)注意夹角的范围θ∈[0，π]．2．对于a 2＝|a |2体现了数形结合思想，也给出了解决与模有关问题的思路.课堂达标1．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a·b |＝|a ||b | C ．λ(a·b )＝λa·bD ．|a·b |≤|a ||b |解析因为|a·b |＝||a |·|b |cos θ|(θ为向量a 与b 的夹角)＝|a |·|b |·|cos θ|，当且仅当θ＝0或π 时，使|a ·b |＝|a |·|b |，故B 错．答案 B2．已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是( ) A ．60° B ．30° C ．135°D ．45°解析 ∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1，设a 与b 的夹角为θ， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－11×2＝－22. 又∵ θ∈[0°，180°]， ∴ θ＝135°. 答案 C3．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝________. 解析 a ·a ＋a ·b ＝12＋1×1×cos 120°＝12.答案 124．已知向量a 在向量b 方向上的射影是23，|b |＝3，则a·b 的值为________．解析 a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝|b ||a |cos 〈a ，b 〉＝3×23＝2.答案 25．已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？解要想(k a －b )⊥(a ＋2b )，则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k |a |2＋(2k －1)a·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，解得k ＝1415，即当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．课堂小结1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b ＝0或θ＝90°时)． 2．向量数量积的性质及作用：设a 和b 是非零向量，a 与b 的夹角为θ.(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.即当a 与b 共线时，|a ·b |＝|a ||b |.此性质可用来证明向量共线．(3)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(4)cos θ＝a ·b|a ||b |，此性质可求a 与b 的夹角.基础过关1．下面给出的关系式中正确的个数是( )①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a ·b )2＝(|a |·|b |cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ≠a 2·b 2，选C.答案 C2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5解析 |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1. 答案 A3．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋b 2＝0，设a 与b 的夹角为θ， ∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴cos θ＝－|b |22|a ||b |＝－|b |22|b |2＝－12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 答案 C4．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.解析由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 答案－8或55．已知a ⊥b ，(3a ＋2b )⊥(k a －b )，若|a |＝2，|b |＝3，则实数k 的值为________．解析由已知a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝9，由(3a ＋2b )·(k a －b )＝0⇒3k a 2＋(2k －3)a ·b －2b 2＝0，∴12k －18＝0，∴k ＝32.答案 326．已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．解由向量垂直得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b a －5b ＝0，a －4ba －2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b ＝15b 2，7a 2－30a ·b ＝－8b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝12|b |2，|a |＝|b |，设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12|b |2|b |2＝12，又∵θ∈[0，π]， ∴a 与b 的夹角为π3.7．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的射影．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12.|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1. 设向量2a －b 与向量a ＋b 的夹角为θ， ∴|2a －b |cos θ. ＝|2a －b |·a －b a ＋b|2a －b |·|a ＋b |＝a －ba ＋b|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的射影为12.能力提升8．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．[0，π6]B ．[π3，π]C ．[π3，23π]D ．[π6，π]解析因为Δ＝a 2－4|a |·|b |cos θ(θ为向量a 与b 的夹角) 若方程有实根，则有Δ≥0即a 2－4|a |·|b |cos θ≥0，又|a |＝2|b |，4|b |2－8|b |2cos θ≥0， ∴cos θ≤12，又0≤θ≤π，∴π3≤θ≤π. 答案 B9．设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( ) A ．若θ确定，则|a |唯一确定 B ．若θ确定，则|b |唯一确定 C ．若|a |确定，则θ唯一确定 D ．若|b |确定，则θ唯一确定解析 |b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b ·t ＋t 2a 2＝|a |2t 2＋2|a |·|b |cos θ·t ＋|b |2. 因为|b ＋t a |min ＝1，所以4|a |2·|b |2－4|a |2·|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1. 所以|b |2sin 2θ＝1，所以|b |sin θ＝1，即|b |＝1sin θ. 即θ确定，|b |唯一确定．答案 B10．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________. 解析 b ·c ＝b ·[t a ＋(1－t )b ]＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0，解得t ＝2.答案 211．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AD →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析因为E 为CD 的中点，所以BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →.因为AC →·BE→＝1，所以AC →·BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →·(AD →＋AB →)＝AD →2－12AB →2＋12AB →·AD →＝1，即1－12AB →2＋12|AB →|cos60°＝1，所以－12AB →2＋14|AB →|＝0，解得|AB →|＝12. 答案 1212．已知单位向量e 1，e 2的夹角为π3，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角．解 ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为π3， ∴e 1·e 2＝1×1×cos π3＝12. ∵a·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32， |a |＝a 2＝e 1＋e 22＝1＋2×12＋1＝3， |b |＝b 2＝e 2－2e 12＝1＋4－4×12＝3， ∴cos θ＝a·b |a ||b |＝－32×13×3＝－12. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.∴a 与b 的夹角为2π3. 13.(选做题)如图所示，在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝2，|AD →|＝1，∠DAB ＝60°.求：(1)AD →·AB →；(2)AC →与DB →夹角θ的余弦值．解 (1)AD →·AB →＝|AD →||AB →|cos ∠DAB ＝2×12＝1. (2)AC →＝AD →＋AB →，DB →＝AB →－AD →，∴AC →·DB →＝AB →2－AD →2＝4－1＝3，AC →2＝AD →2＋AB →2＋2AB →·AD →＝1＋4＋2＝7，|AC →|＝7， DB →2＝AB →2＋AD →2－2AB →·AD →＝4＋1－2＝3，|DB →|＝3.cos θ＝AC →·DB →|AC →||DB →|＝37×3＝217.。

高中数学第2章平面向量及其应用5从力的做功到向量的数量积5.1向量的数量积课件北师大版必修第二册

基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)零向量与任一向量的数量积为0. (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
(√) (×)
(3)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.
(×)
[解析] (1)根据向量数量积的定义，0·a＝0×|a|×cos θ＝0.
(2)向量a与b可能垂直．
(3)向量b与向量a，c可能垂直，所以a与c不一定相等．
【对点练习】❸ (1)已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cos α＝13，若向量 a＝3e1－2e2，则|a|＝___3__.
(2)已知向量 a，b 的夹角为 120°，|a|＝4，|b|＝3，则|a－3b|＝__1_3_3_. 3π
(3)已知|a|＝1，|b|＝ 2，且 a＋b 与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是___4__. (4)已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则 a 与 b 的夹角 θ 的取值范围是__2_3π_，__π__.
题型二
向量的投影数量
例 2 (1)已知向量 a，b，其中|a|＝1，|a－2b|＝4，|a＋2b|＝2，
则 a 在 b 方向上的投影数量为
( A)
A．－1
B．1
C．－2
D．2
(2)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝5，则 2a－b 在 a 方向
上的投影数量为
(B )
A．－
[分析] (1)根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可．
[解析] (1)①a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×－12＝－3. ②(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.

【配套K12】高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积优化训练

2.5 从力做的功到向量的数量积5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列命题中正确的个数有（）①a ·0=0 ②0·a=0 ③0-= ④|a ·b |=|a ||b | ⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠0 ⑥a ·b =0，则a 与b 中至少有一个为0 ⑦a 与b 是两个单位向量，则a 2=b 2A.7B.5C.4D.2解析：7个命题中只有③⑦正确.对于①,两个向量的数量积是一个实数，应有0·a =0；对于②,应有0·a =0；对于④,由数量积定义，有|a ·b |=|a ||b |·|cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a ·b |=|a ||b |；对于⑤,若非零向量a 、b 垂直，有a ·b =0；对于⑥,由a ·b =0可知a ⊥b ，可以都非零.答案：D2.已知|a |=3，|b |=6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角为60°时，分别求a ·b . 解：①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ=0°，∴a ·b =|a ||b |cos0°=3×6×1=18；若a 与b 反向，则它们的夹角θ=180°，∴a ·b =|a ||b |cos180°=3×6×（-1）=-18.②当a ⊥b 时，它们的夹角θ=90°，∴a ·b =0.③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b =|a ||b |cos60°=3×6×21=9. 3.已知|a |=10，|b |=12，a 与b 的夹角为120°，求a ·b .解：由定义，a ·b =|a ||b |cos θ=10×12×cos120°=-60.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.给出下列命题：①在△ABC 中，若·＜0，则△ABC 是锐角三角形；②在△ABC 中，若·＞0，则△ABC 是钝角三角形；③△ABC 是直角三角形AB ·=0；④△ABC 是斜三角形一定有AB ·BC ≠0.其中，正确命题的序号是____________________.解析：①∵AB ·<0，∴BA ·=-AB ·>0.∴∠B 是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.∴推不出△ABC 是锐角三角形.故命题①是假命题. ②∵·>0，∴·=-·<0.∠A 是钝角，因而△ABC 是钝角三角形.故命题②是真命题.③△ABC 是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B、∠C.而AB ·BC =0仅能保证∠B 是直角.故命题③是假命题.④一方面，当△ABC 是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故AB ·≠0.故命题④是真命题.答案：②④2.若向量a 、b 、c 满足a +b +c =0，且|a |=3,|b |=1,|c |=4，则a ·b +b ·c +a ·c =____________. 解法一：∵a +b +c =0,∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c =0.∴2(a ·b +b ·c +a ·c )=-(a 2+b 2+c 2)=-(|a |2+|b |2+|c |2)=-(32+12+42)=-26.∴a ·b +b ·c +a ·c =-13.解法二：根据已知条件可知|c |=|a |+|b |,c =-a -b ，所以a 与b 同向，c 与a +b 反向.所以有a ·b +b ·c +a ·c =3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.答案：-133.已知a 、b 是两个非零向量，同时满足|a |=|b |=|a -b |，求a 与a +b 的夹角.解法一：根据|a |=|b |，有|a |2=|b |2.又由|b |=|a -b |，得|b |2=|a |2-2a ·b +|b |2,∴a ·b =21|a |2. 而|a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2=3|a |2,∴|a +b |=3|a |.设a 与a +b 的夹角为θ，则cos θ=23||3||||21||||||)(22=+=++a a a a b a a b a a ， ∴θ=30°.解法二：设向量a =(x 1，y 1),b =(x 2,y 2),∵|a |=|b |,∴x 12+y 12=x 22+y 22.由|b |=|a -b |，得x 1x 2+y 1y 2=21(x 12+y 12)，即a ·b =21(x 12+y 12). 由|a +b |2=2(x 12+y 12)+2×21(x 12+y 12)=3(x 12+y 12)，得|a +b |=3(x 12+y 12). 设a 与a +b 的夹角为θ，则cos θ=233)(21)(||||)(21212121221212121=+++++=++y x y x y x y x b a a b a a ， ∴θ=30°.解法三：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB.∵|a |=|b |，即||=||，∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时=a +b ，BA =a -b .而|a |=|b |=|a -b |，即|OA |=|OB |=|BA |.∴△AOB 为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a 与a +b 的夹角为30°.4.若(a +b )⊥(2a -b )，(a -2b )⊥(2a +b )，试求a 与b 的夹角的余弦值.解：由(a +b )⊥(2a -b ),(a -2b )⊥(2a +b )有⎪⎩⎪⎨⎧=-∙-=-∙+⎩⎨⎧=+∙-=-∙+,0232,02,0)2()2(,0)2()(2222b b a a b b a a b a b a b a b a 即 ∴a 2=85b 2,|a |2=85|b |2a |=85|b |. 由2a 2+a ·b -b 2=0得 a ·b =b 2-2a 2=|b |2-2|a |2=|b |2-2×85|b |2=41-|b |2， ∴cos θ=1010||85||41||||22-=-=∙b b b a b a . ∴a 、b 的夹角的余弦值为1010-. 5.已知|a |=5,|b |=12，当且仅当m 为何值时，向量a +m b 与a -m b 互相垂直?解：若向量a +m b 与a -m b 互相垂直，则有(a +m b )·(a -m b )=0，∴a 2-m 2b 2=0.∵|a |=5,|b |=12,∴a 2=25,b 2=144.∴25-144m 2=0. ∴m=±125. ∴当且仅当m=±125时，向量a +m b 与a -m b 互相垂直. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若向量a 、b 、c 为任意向量，m∈R ，则下列等式不一定成立的是( )A.（a +b ）+c =a +（b +c ）B.（a +b ）·c =a ·c +b ·cC.（a ·b ）c =a （b ·c ）D.m （a +b ）=m a +m b解析：根据向量的加、减、乘运算法则解答此题.（a ·b ）·c ≠a ·（b ·c ）.答案：C2.已知a 、b 、c 为任意非零向量，若a =b ，则下列命题：①|a |=|b |；②a 2=b 2；③a 2=a ·b ；④c ·（a -b ）=0.正确的有( )A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④解析：a =b ⇒|a |=|b |；a 2=b 2；a 2=a ·b ；c ·（a -b ）=0，而四个命题均不能推出a =b 成立.答案：D3.对任意向量a 、b ，|a ||b |与a ·b 的大小关系是( )A.|a ||b |＜a ·bB.|a ||b |＞a ·bC.|a ||b |≥a ·bD.两者大小不定解：|a ||b |-a ·b =|a ||b |-|a ||b |cos θ=|a ||b |（1-cos θ）.∵θ∈［0，π］，∴-1≤cos θ≤1，1-cos θ∈［0，2］.又|a |≥0，|b |≥0，1-cos θ≥0，∴|a ||b |≥a ·b .答案：C4.设a 、b 、c 是任意的非零向量，且相互不共线，则①（a ·b ）c -（c ·a ）b =0；②a 2=|a |2；③（b ·c ）a -（c ·a ）b 不与c 垂直；④（3a +2b ）·（3a -2b ）=9|a |2-4|b |2中，是真命题的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④解析：命题①中，a ·b 的运算结果为数，故（a ·b ）c 为一向量，同理（a ·c ）b 也是一向量，向量之差为向量.故①不正确.由数量积的性质知②正确.又［（b ·c ）a -（c ·a ）b ］·c =（b ·c ）（a ·c ）-（c ·a ）（b ·c ）=0，而（a ·c ）b 与（b ·c ）a 不可能同时为零向量,故命题③不正确，④正确.答案：D5.下列命题：①△ABC 为锐角三角形，则必有·＞0；②若a ·b =0，则a ⊥b ；③若a ·b =a ·c ，且a ≠0，则b =c ；④ |a ·b |=|a ||b |⇔a ∥b .其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析：命题①：AB ·BC =|AB ||BC |·cos（π-∠ABC）＜0，不正确.命题②：当a 、b 为0时，a ·b =0a ⊥b ，不正确.命题③：a ·b =a ·c ，即|a ||b |·cos θ1=|a ||b |·cos θ2，又a ≠0，∴|b |cos θ1=|c |cos θ2不一定有b =c .故不正确.命题④：|a ·b |=||a ||b |cos θ|=|a |·|b |·|cos θ|=|a ||b |⇒|cos θ|=1⇒θ=0或π，故a ∥b .另外当a 、b 中有一个为0时，也有a ∥b .故正确.答案：A6.已知e 为单位向量，|a |=4，a 与e 的夹角为32π，则a 在e 方向上的投影为________________.解析：投影为||e e a ∙=|a |·cos 32π=-2. 答案：-27.向量α、β满足|α+β|=|α-β|，则α与β的夹角是_________________.解析：∵|α+β|=|α-β|，∴|α+β|2=|α-β|2，即α2+2α·β+β2=α2-2α·β+β2.∴α·β=0.又α、β均为非零向量，故α与β的夹角为90°.答案：90°8.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互间的夹角均为120°.（1）求证：（a -b ）⊥c ；（2）若|k a +b +c |=1（k∈R ），求k 的值.（1）证明：∵（a -b ）·c =a ·c -b ·c =|a ||c |·cos120°-|b ||c |cos120°，又|a |=|b |=|c |，∴（a -b ）·c =0，即（a -b ）⊥c .（2）解：由|k a +b +c |=1，得|k a +b +c |2=12，即（k a +b +c ）2=1，∴k 2a 2+b 2+c 2+2b ·c +2k a ·b +2k a ·c =1.又a ·b =a ·c =b ·c =21-， ∴k 2-2k=0.解得k=2或0.9.已知|a |=3,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,c =3a +5b ,d =m a -3b .(1)当m 为何值时,c 与d 垂直?(2)当m 为何值时,c 与d 共线?解：（1）由向量垂直的条件得c ·d =0，c ·d =（3a +5b ）·（m a -3b ）=3m a 2+（5m-9）a ·b -15b 2=27m+3（5m-9）-60，∴42m -87=0. ∴m=1429即m=1429时c 与d 垂直（2）由向量共线的条件是c =λd∴3a +5b =λ（m a -3b ）.∴3a +5b =m λ·a -3λ·b∵a 与b 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=-=,59,35,53,3m m λλλ解得即当m=59-时c 与d 共线。

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§5 从力做的功到向量的数量积, )1．问题导航(1)计算两个向量的数量积时，需要确定哪几个量？(2)向量的数量积运算结果和向量的线性运算结果有什么区别？(3)若两个向量的数量积大于零，则这两个向量的夹角一定是锐角吗？若两个向量的数量积小于零，则这两个向量的夹角一定是钝角吗？2．例题导读P 95例1.通过本例学习，学会计算两个向量的数量积．试一试：教材P 97习题2－5 A 组T 2你会吗？P 95例2.通过本例学习，学会利用向量的数量积求解与三角形有关的问题．试一试：教材P 97习题2－5 A 组T 6你会吗？P 96例3.通过本例学习，学会利用向量数量积证明几何中的垂直关系．试一试：教材P 97习题2－5 B 组T 2你会吗？P 96例4.通过本例学习，学会利用向量的数量积计算两个向量的夹角．试一试：教材P 97习题2－5 A 组T 5你会吗？1．力做的功一个物体在F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为W ＝|F ||s |cos θ，其中θ 是F 与s 的夹角．，如图，作OA →＝a ，OB →＝的夹角(1)若e 是单位向量，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos_θ．(2)若a ⊥b ，则a ·b ＝0；反之，若a ·b ＝0，则a ⊥b .通常记作a ⊥b ⇔a ·b ＝0．(a ，b 为非零向量)(3)a 、b 同向⇔a ·b ＝|a ||b |；a 、b 反向⇔a ·b ＝－|a ||b |；特别地a ·a ＝a 2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |(|a ||b |≠0)．(5)对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |≤|a ||b |.当且仅当a ∥b 时等号成立． 5．向量数量积的运算定律(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2等等．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的数量积的运算结果是一个向量．( ) (2)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( ) (3)若a·b ＝b·c ，则一定有a ＝c .( ) 解析：(1)错误．向量的数量积是一个数． (2)错误．向量a 与b 可能垂直．(3)错误．向量b 与向量a ，c 可能垂直，所以a 与c 不一定相等．答案：(1)× (2)× (3)×2．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2解析：选A.向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a ·b |b |＝－123＝－4，故选A.3．已知|a |＝3，|b |＝4，则(a ＋b )·(a －b )＝________．解析：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7. 答案：－74．已知△ABC 中，BC ＝4，AC ＝8，C ＝60°，则BC →·CA →＝________．解析：画图可知向量BC →与CA →的夹角为角C 的补角，故BC →·CA →＝|BC →|×|CA →|cos(π－C )＝4×8×(－12)＝－16.答案：－161．对数量积概念的三点说明(1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角．(2)从运算上看：两向量a ，b 的数量积称作内积，写成a·b ，其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，不可省略．(3)两向量的数量积有明确的物理和几何意义，学习时注意掌握． 2．理解数量积的几何意义要关注的三点(1)a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是不同的．(2)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)，也可以写成a·b|a |. (3)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零． 3．数量积性质的作用性质(2)是利用向量法研究垂直问题的依据；性质(3)可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化；性质(4)可用来求两个向量的夹角，它的实质是平面向量数量积的逆用；性质(5)反映了两个数量的大小关系，是向量中很重要的一个不等式，用它可研究几何问题中的某些不等关系，证明不等式或用来求有关函数的最值．但要特别注意该不等式中“＝”成立的条件．b≠0a |a·b|≤|a|·|b|向量数量积的运算(1)已知|a |＝4，|b |＝5，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．(2)已知△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且2OA →＋3OB →＋4OC →＝0，求OC →·AB →的值．(链接教材P 95例1)[解] (1)①a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a |·|b |cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，所以a ·b ＝|a |·|b |cos 180° ＝4×5×(－1)＝－20. ②当a ⊥b 时，θ＝90°，所以a ·b ＝|a |·|b |cos 90°＝0. ③当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a |·|b |cos 30°＝4×5×32＝10 3.(2)由2OA →＋3OB →＋4OC →＝0，得2OA →＝－3OB →－4OC →，两边平方得，4＝9＋16＋24OB →·OC →，所以OB →·OC →＝－78，3OB →＝－2OA →－4OC →，两边平方得，9＝4＋16＋16OA →·OC →，所以OA →·OC →＝－1116，所以OC →·AB →＝OC →·(OB →－OA →) ＝OB →·OC →－OA →·OC →＝－78＋1116＝－316.方法归纳求向量数量积的方法及注意事项(1)方法：分别求出向量a 与向量b 的模及向量a 与向量b 夹角的余弦值，然后根据数量积的定义求解．(2)注意事项：①要牢记数量积的运算公式；②要注意确定两个向量的夹角；③对于平行向量要注意两向量是同向还是反向．(3)求形如(m a ＋n b )·(p a ＋q b )的数量积，可以先展开，再求a 2、b 2、a ·b .1．(1)在Rt △ABC 中，C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16(2)若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足6CM →＝3CB →＋2CA →，则MA →·MB →＝________．解析：(1)AB →·AC →＝(CB →－CA →)·(－CA →)＝－CB →·CA →＋CA →2＝16.(2)由6CM →＝3CB →＋2CA →可得MC →＝－12CB →－13CA →，在△MAC 中，MA →＝MC →＋CA →＝－12CB →＋23CA →，在△MBC 中，MB →＝MC →＋CB →＝12CB →－13CA →，MA →·MB →＝(－12CB →＋23CA →)·(12CB →－13CA →)＝－14CB →2＋12CB →·CA →－29CA →2，又等边△ABC 中，|CB →|＝|CA →|＝2，CB →·CA →＝|CB →|·|CA →|cos 60°＝2，则MA →·MB →＝－89.答案：(1)D (2)－89向量模的问题(1)已知向量a 与b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，则|b |＝________． (2)设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，|a |＝1，则|b |＝________． (链接教材P 97习题2－5 A 组T 4) [解析] (1)因为|2a ＋b |＝10，所以(2a ＋b )2＝10，所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝10，又因为向量a 与b 的夹角为45°且|a |＝1，所以4|a |2＋4|a ||b |cos 45°＋|b |2＝10，故4×12＋4×1×|b |×22＋|b |2＝10，整理得|b |2＋22|b |－6＝0，解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)．(2)因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )．因为(a －b )⊥c ，所以c ·(a －b )＝0，所以－(a ＋b )·(a －b )＝0，所以a 2－b 2＝0，所以|b |＝|a |＝1. [答案] (1) 2 (2)1本例(2)中，加上条件a ⊥b ，其他不变，求|c |.解：由已知可得c ＝－(a ＋b )，而(a －b )⊥c ，有(a －b )·[－(a ＋b )]＝0，所以a 2－b 2＝0，又|a |＝1，得|b |＝1，而a ⊥b ，所以c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2，即|c |＝ 2.方法归纳求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．2．(1)平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12(2)若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B ． 2C ．1D ．22(3)已知同一平面上的向量a ，b ，c 两两所成的角相等，并且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求|a ＋b ＋c |.解：(1)选B.|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.(2)选B.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝0，（2a ＋b ）·b ＝0，即⎩⎨⎧a 2＋b ·a ＝0，①2a ·b ＋b 2＝0，②将①×2－②得，2a 2－b 2＝0，所以b 2＝|b |2＝2a 2＝2|a |2＝2，故|b |＝ 2.(3)①当向量a ，b ，c 共线且同向时，所成的角均为0°，所以|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝6；②当向量a ，b ，c 不共线时，易知a ，b ，c 皆为非零向量．设a ，b ，c 所成的角均为θ，则3θ＝360°，即θ＝120°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1.同理b ·c ＝－3，c ·a ＝－32，由|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝3，故|a ＋b ＋c |＝ 3.综上所述，|a ＋b ＋c |＝6或 3.向量的夹角与垂直(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．(2)已知向量a ，b 满足a －b 与a ＋b 垂直，2a ＋b 与b 垂直，则a 与b 的夹角为________．(3)已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝12.①求|b |；②当a ·b ＝12时，求向量a 与b 的夹角θ的值．[解] (1)因为|a |＝（3e 1－2e 2）2＝9＋4－12×1×1×13＝3，|b |＝（3e 1－e 2）2＝9＋1－6×1×1×13＝22，所以a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝83×22＝223.故填223.(2)因为a －b 与a ＋b 垂直，所以(a －b )·(a ＋b )＝0.所以a 2＝b 2.所以|a |＝|b |. 因为2a ＋b 与b 垂直，所以(2a ＋b )·b ＝0.所以2a ·b ＋b 2＝0.所以a ·b ＝－12b 2＝－12|b |2.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12|b |2|b |2＝－12.因为0≤θ≤π，所以θ＝2π3.故填2π3.(3)①因为(a －b )·(a ＋b )＝12，即a 2－b 2＝12，所以|b |2＝|a |2－12＝1－12＝12，故|b |＝22. ②因为cos θ＝a ·b |a ||b |＝22，又0°≤θ≤180°，所以θ＝45°. 方法归纳求向量夹角的基本步骤及注意事项 (1)步骤(2)注意事项在个别含有|a |，|b |与a ·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．3．(1)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，a ·(b －a )＝－1，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D ．π2 (2)已知向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B ．2π3 C.3π4 D ．5π6(3)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．解析：(1)因为|a |＝2， a ·(b －a )＝－1，所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1，所以a ·b ＝3. 又因为|b |＝3，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.(2)设a 与b 的夹角为θ，因为|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，所以a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos θ＝9＋63cos θ＝0，则cos θ＝－32；又因为θ∈[0，π]，所以θ＝5π6，即a 与b 的夹角为5π6.(3)向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 120°＝－3.由AP →⊥BC →得，AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，所以AC →2－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＝0，即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝712.答案：(1)C (2)D (3)712设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为3，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________．[解析] 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，即2t e 21＋2t 2e 1·e 2＋7e 1·e 2＋7t e 22<0，因为|e 1|＝2，|e 2|＝1，且e 1与e 2的夹角为π3，化简即得：2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当夹角为π时，2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，可求得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.所以所求实数t 的范围是⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. [错因与防范] (1)解答本题常会出现错误的答案为(－7，－12)．原因是不理解数量积的符号与向量夹角的关系，不等式“(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0”与“向量夹角为钝角”并不等价，其中还包含了共线且反向的情况．(2)注意问题转换的等价性数量积的符号同向量夹角的关系如下：对于非零向量a 和b 及其夹角θ，①a ·b ＝0⇔a ⊥b ；②a ·b >0⇔θ为锐角或零角；③a ·b <0⇔θ为钝角或平角．如本例应排除向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2共线且反向的特殊情形后才等价．4．(1)已知a 是单位向量，|b |＝6，且(2a ＋b )·(b －a )＝4－3，则a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°(2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a ，b 的夹角为________．解析：(1)设a ，b 的夹角为θ.由(2a ＋b )·(b －a )＝2a ·b －2a 2＋b 2－a ·b ＝a ·b －2＋6＝a ·b ＋4＝4－3，所以a ·b ＝－3，又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝6·cos θ＝－3，所以cos θ＝－22，又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°，故a 与b 的夹角为135°. (2)设a ，b 的夹角为θ.由|a |＝|b |＝|a ＋b |，得|a |2＝|a ＋b |2，所以|a |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，得a ·b ＝－12|b |2，所以a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－12|b |2，所以cos θ＝－12，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.答案：(1)D (2)2π31．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，()AB →－DB→·AB →＝0，则该四边形是( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．直角梯形 D ．正方形解析：选B.由AB →＋CD →＝0知，AB →＝DC →，所以AB 綊CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形．因为()AB →－DB →·AB →＝()AB →＋BD →·AB →＝AD →·AB →＝0，所以AD ⊥AB ，所以四边形ABCD 是矩形，故选B.2．等边三角形ABC 的边长为1，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →等于( ) A ．0 B ．1C ．－12D ．－32解析：选D.由已知|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝cos 120°＋cos 120°＋cos 120°＝－32.3．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．解析：设a ，b 的夹角为θ，由(a ＋2b )·(a －b )＝－6，得a 2＋a ·b －2b 2＝－6，又|a |＝1，|b |＝2，所以a ·b ＝1，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.答案：60°, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2中，是真命题的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 解析：选D.因为(a ·b )c 是与c 共线的向量，(c ·a )b 是与b 共线的向量，所以(a ·b )c 与(c ·a )b 不一定相等，排除①.因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直，所以排除③，故选D.2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B ．π4 C.π3 D ．π2 解析：选C.因为a ·b ＝|a ||b |cos θ，所以1×4cos θ＝2，即cos θ＝12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.3．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( ) A.7 B ．10 C.13 D ．4解析：选C.因为|a |＝|b |＝1，又a 与b 的夹角为60°，所以|a ＋3b |2＝|a |2＋6a ·b ＋9|b |2＝1＋6×cos 60°＋9＝13. 即|a ＋3b |＝13.4．在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则λ等于( ) A.a ·（b －a ）|a －b |2 B ．a ·（a －b ）|a －b |2C.a ·（b －a ）|a －b | D ．a ·（a －b ）|a －b |解析：选B.由题意知OD →·AB →＝0，即AB →·(OA →＋AD →)＝0，所以AB →·(OA →＋λAB →)＝0，所以λ＝－AB →·OA →AB →2＝－（OB →－OA →）·OA→（OB →－OA →）2＝a ·（a －b ）|a －b |2，故选B. 5．若向量a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，则|a －b －c |的最小值为( )A.2－1 B ．1 C.2＋1 D ． 2解析：选A.因为a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，所以a ·b ＝0，所以|a －b |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，所以|a －b －c |≥|a －b |－|c | ＝2－1.6．已知单位向量e 1，e 2的夹角为120°，则|2e 1－e 2|＝________．解析：|2e 1－e 2|＝（2e 1－e 2）2＝4e 21－4e 1·e 2＋e 22＝5－4×1×1×cos 120°＝7.答案：77．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，则向量AB →在向量AC →上的投影等于________．解析：因为等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，所以∠BAC ＝120°，因此向量AB →在向量AC →上的投影为|AB →|cos 120°＝－12.答案：－128．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.答案：－8或59.设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 的夹角为60°，求k 的值．解：(1)因为|k a ＋b |＝3|a －k b |，所以(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，且|a |＝|b |＝1，即k 2＋1＋2k a ·b ＝3(1＋k 2－2k a ·b )，所以a ·b ＝k 2＋14k.因为k 2＋1≠0，所以a ·b ≠0，即a 与b 不垂直．(2)因为a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.所以k 2＋14k ＝12.所以k ＝1.10．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5. (1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值．解：(1)由|3a －b |＝5得(3a －b )2＝5，所以9a 2－6a ·b ＋b 2＝5.因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，所以9－6a ·b ＋1＝5，所以a ·b ＝56.所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15.所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a ·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203.所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439.因为0°≤θ≤180°，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4392＝339. 所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339. [B.能力提升]1.如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC .若|AB →|＝a ，|AD →|＝b ，则AC →·BD →＝( )A ．a 2－b 2B ．b 2－a 2C ．a 2＋b 2D ．a ·b解析：选B.因为AD →⊥DC →，所以AC →在AD →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAD ＝|AD →|，又AB →⊥BC →，所以AC →在AB →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAB ＝|AB →|.所以AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →＝|AD →||AD →|－|AB →||AB →|＝b 2－a 2.2．在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．10解析：选D.|PA |2＋|PB |2|PC |2＝PA →2＋PB→2PC→2＝（PC →＋CA →）2＋（PC →＋CB →）2PC→2＝2PC →2＋2PC →·CA →＋2PC →·CB →＋CA →2＋CB →2PC→2＝2|PC →|2＋2PC →·（CA →＋CB →）＋AB →2|PC →|2＝|AB →|2|PC →|2－6＝42－6＝10.3．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．解析：根据题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ||b |2＝x 2（x e 1＋y e 2）2＝x 2（x e 1）2＋（y e 2）2＋2xy e 1·e 2 ＝x 2x 2＋y 2＋2xy cosπ6＝x 2x 2＋y 2＋3xy＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋3y x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋322＋14.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋322＋14≥14，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ||b |2≤4，所以0<|x ||b |≤2.故|x ||b |的最大值为2.答案：24．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC→·BE →＝1，则AB 的长为________．解析：设AB 的长为a (a >0)，又因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，于是AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝－12a 2＋14a ＋1，由已知可得－12a 2＋14a ＋1＝1.又a >0，所以a ＝12，即AB 的长为12.答案：125.如图，在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，如果AM ＝2，求OA →·(OB →＋OC →)的最值．解：因为OB →＋OC →＝2OM →，所以OA →·(OB →＋OC →)＝OA →·2OM →＝2|OA →||OM →|·cos 180°＝－2|OA →||OM →|，|OA →|＋|OM →|＝2，设|OM →|＝t (0≤t ≤2)⇒|OA →|＝2－t .所以OA →·(OB →＋OC →)＝－2(2－t )t ＝2t 2－4t ＝2(t －1)2－2(0≤t ≤2)．所以当t ＝1时，OA →·(OB →＋OC →)取得最小值－2.当t ＝0或2时，OA →·(OB →＋OC →)取得最大值0.6．(选做题)已知非零向量a 、b ，设其夹角为θ，是否存在θ，使得|a ＋b |＝3|a －b |成立，若存在，求出θ的取值范围，若不存在，请说明理由．解：假设存在满足条件的θ，由|a ＋b |＝3|a －b |可得：(a ＋b )2＝3(a －b )2，即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a ·b ＋|b |2)⇒|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0⇒|a |2－4|a |·|b |cos θ＋|b |2＝0.已知向量a 、b 为非零向量，则|b |≠0，上式同除以|b |2得到：⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ||b |2－4cos θ|a ||b |＋1＝0，由Δ≥0得到：(－4cos θ)2－4≥0，解得cos θ≤－12或cos θ≥12，又知cos θ∈[－1，1]，则－1≤cos θ≤－12或12≤cos θ≤1，因为θ∈[0，π]．所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π满足题意．因此，当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π时，使得|a ＋b |＝3|a －b |.。