集合的基数优秀课件
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第三章 基数(集合论讲义)
4
证明：由定义直接得到。 事实上，任何两个集合的基数都可以进行比较。
定理 3.3 （Zermelo）设 A 和 B 是任意两个集合，则 | A |<| B | ，| A |=| B | ，| A |>| B |
三者中恰有一个成立。
选择公理 设集族 A = {Aα :α ∈ S}中的元素 Aα 都是非空集，则存在指标集 S 上的函数 f ， 使得对任意α ∈ S ，都有 f (α ) ∈ Aα 。
i =1
则 A 中元素可如下排列：
a1,1, a1,2 , a2,1, a1,3 , a2,2 , a3,1, a1,4 , a2,3 , a3,2 , a4,1, , a1,n−1, a2,n−2 , , an−1,1,
2
所以 A 是可列集。
上述证明方法称为对角线法。
推论 2.1 有理数集 是可列集。
单地认为它们的规模相同。自然数集 和 的幂集 2 似应有所区别。最终的做法是，两个
集合规模是否相同取决于它们之间是否存在一一映射。
定义 1.1 设 A ， B 是任意两个集合，若存在一个双射 f ： A → B ，则称 A 和 B 等势，或 称 A 和 B 的基数相同，记为 A ∼ B ， A 的基数记为 | A | 。
由定理 2.1 知，ℵ0 是最小的无限基数，问：是否有最大的无限基数。下面的定理回答这个
问题。
定理 3.5 （Cantor）对于任何集合 A ，必有 | A |<| ρ( A) | 。
证明：首先来说明| A |≤| ρ( A) | 。为此作映射 f ： A → ρ( A) x ⎯⎯f →{x}
显然，f 是单射。所以| A |≤| ρ( A) | 。再来说明 | A |≠| ρ( A) |。否则存在双射 g ：A → ρ( A) 。 若 a ∈ g(a) ，则称 a 是 A 的“内部元素”；若 a ∉ g(a) ，则称 a 是 A 的“外部元素”。设 B 是由 A 的外部元素所组成的集合，即， B = {x : x ∉ g(x)} 。因 B ∈ ρ( A) ，故存在 b ∈ A ， 使 得 g(b) = B 。 但 是 b ∈ g(b) 当 且 仅 当 b ∉ g(b) ， 矛 盾 。 故 | A |≠| ρ( A) | 。 总 之 ， | A |<| ρ( A) | 。
《离散数学》 第六章 集合的基数
6.2.1 可数集
定理6.2.5 可数个可数集的并集仍然是一可数集。
在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素
的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个
数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为： a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 故S是可数的，定理得证。
称 X 绝对劣势于 Y ，记作 X≺· Y ，同样，我们也称 X 的基数小于 Y 的
基数，记作cardX≺· cardY。
6.3 基数的比较
定理 6.3.1 X≈Z。 设 X 、 Y 为两个集合，则 X≼· Y 当且仅当存在 ZY ，使得
证明 先证必要性。因为X≼· Y，所以必存在函数f：X→Y。现令fˊ： X→ranf ，则显然 fˊ是双射函数，所以 X≈ranf 。因此可取 Z = ranf Y。 再证充分性。设ZY，且X≈Z，则必存在双射函数g：X→Z。现构造 一函数gˊ：X→Y，其中对于X中任意元素x，都有gˊ（x）=g （x），则显然gˊ是单射函数，所以X≼· Y。 推论 设X、Y为两个集合， ⑴ 若XY，则X≼· Y；
均为可数集。
定理6.2.1
集合X为可数集的充分必要条件是可以排列成
X={x1，x2，…，xn，…}
的形式。
6.2 可数集和不可数集
6.2.1 可数集
定理6.2.2 任一无限集必含有可数子集。
证明 设X为无限集合，现从X中任意取出一个元素，记为x1，因为 X是无限的，显然X－{x1}还是无限集合，然后从X－{x1}中再取出 一元素，记为x2，而X－{x1，x2}还是无限的，所以又可再取一元 素x3，如此重复这一过程，就可得到X的可数子集。 定理6.2.3 任意无限集，一定与它的某一真子集等势。 证明 设X为无限集合，根据定理6.4，X必含有可数子集A＝{a1， a2， …， an， …}，设B=X－A，定义函数f：X→X－{a1}，使得f （an）=an+1 （n=1， 2，…），而对于任意元素b∈B，有f（b） =b，显然f是双射函数，定理得证
定理6.2.5 可数个可数集的并集仍然是一可数集。
在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素
的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个
数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为： a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 故S是可数的，定理得证。
称 X 绝对劣势于 Y ，记作 X≺· Y ，同样，我们也称 X 的基数小于 Y 的
基数，记作cardX≺· cardY。
6.3 基数的比较
定理 6.3.1 X≈Z。 设 X 、 Y 为两个集合，则 X≼· Y 当且仅当存在 ZY ，使得
证明 先证必要性。因为X≼· Y，所以必存在函数f：X→Y。现令fˊ： X→ranf ，则显然 fˊ是双射函数，所以 X≈ranf 。因此可取 Z = ranf Y。 再证充分性。设ZY，且X≈Z，则必存在双射函数g：X→Z。现构造 一函数gˊ：X→Y，其中对于X中任意元素x，都有gˊ（x）=g （x），则显然gˊ是单射函数，所以X≼· Y。 推论 设X、Y为两个集合， ⑴ 若XY，则X≼· Y；
均为可数集。
定理6.2.1
集合X为可数集的充分必要条件是可以排列成
X={x1，x2，…，xn，…}
的形式。
6.2 可数集和不可数集
6.2.1 可数集
定理6.2.2 任一无限集必含有可数子集。
证明 设X为无限集合，现从X中任意取出一个元素，记为x1，因为 X是无限的，显然X－{x1}还是无限集合，然后从X－{x1}中再取出 一元素，记为x2，而X－{x1，x2}还是无限的，所以又可再取一元 素x3，如此重复这一过程，就可得到X的可数子集。 定理6.2.3 任意无限集，一定与它的某一真子集等势。 证明 设X为无限集合，根据定理6.4，X必含有可数子集A＝{a1， a2， …， an， …}，设B=X－A，定义函数f：X→X－{a1}，使得f （an）=an+1 （n=1， 2，…），而对于任意元素b∈B，有f（b） =b，显然f是双射函数，定理得证
离散数学课件第九章集合的基数
= {}∪{{}}
= {,{}}
= {, +}
+++ ={,{}}+ = {,{}}∪{{,{}}} = {,{},{,{}}} = {, +, ++ }
说明
前边的集合都是后边集合的元素。 前边的集合都是后边25集合的子集。
自然数的定义
利用后继的性质，可以考虑以构造性的方法用集合来给出自 然数的定义，即 0= 1=0+＝+ ＝{}＝{0} 2=1+＝{}+ ＝{}∪{{}}＝{,{}}＝{0,1} 3＝2+＝{,{}}+＝{,{},{,{}}}＝ {0,1,2} … n＝{0, 1, …, n1} …
说明 这种定义没有概括出自然数的共同特征。
26
归纳集
定义9.4 设A为集合，如果满足下面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ两个条件： （1）∈A （2）a(a∈A→a+∈A)
称A是归纳集。
例如：下面的集合 {, +, ++, +++,…} {, +, ++, +++, … , a, a+, a++, a+++, …} 都是归纳集。
27
自然数n和自然数集合N的定义
定义9.5 自然数 （1）一个自然数n是属于每一个归纳集的集合。 （2）自然数集N是所有归纳集的交集。 说明：根据定义9.5得到的自然数集 N 恰好由, +, ++,
+++,…等集合构成。而这些集合正是构造性方法所定义的 全体自然数。
例如：自然数都是集合，集合的运算对自然数都适用。 2∪5＝{0,1}∪{0,1,2,3,4}＝{0,1,2,3,4}＝5 3∩4＝{0,1,2}∩{0,1,2,3}＝{0,1,2}＝3 4-2＝{0,1,2,3}-{0,1}={2,3} 2×3＝{0,1}×{0,1,2}＝{<028,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>}
《集合的基数》课件
集合论与其他学科的交叉研究
未来，集合论将与更多学科进行交叉研究，例如计算机科学、物理学和 哲学等。这些交叉研究将有助于深入理解无穷的概念和数学的本质。
03
集合论教育的重要性
随着集合论在各个领域的广泛应用，教育界将更加重视集合论的教育。
未来，将会有更多的教材和课程资源涌现，以帮助学生们更好地学习和
理解集合论。
尽管集合论已经取得了很大的进展，但 仍存在一些未解决的问题和挑战。例如 ，关于无穷的深刻问题、集合论与物理 学的关系等。
未来展望
01 02
集合论的进一步发展
随着数学和其他学科的发展，集合论将会继续发展并应用到更广泛的领 域中。未来，数学家们将进一步探索无穷的奥秘，并试图解决一些长期 存在的数学问题。
03
集合的基数在数学中的应用
在实数理论中的应用
01
实数集合的基数是可数无穷，这 为实数理论中的许多概念和性质 提供了基础。
02
例如，实数轴上的连续性、极限 、连续函数等概念都与集合的基 数有关。
在概率论中的应用
概率论中，样本空间的基数表示所有 可能结果的个数，是概率计算的基础 。
例如，在概率论中，事件的概率是该 事件所包含的样本点个数与样本空间 中样本点个数的比值。
为了解决早期集合论的问题，数学家们 开始对集合论进行公理化。其中，ZF（ Zermelo-Fraenkel）公理系统是最著名 的集合论公理系统之一。
2
集合论的应用
随着现代数学的发展，集合论的应用越 来越广泛。它不仅在数学领域中有着重 要的应用，还涉及到计算机科学、物理 学和哲学等领域。
3
集合论的挑战
数据挖掘与机器学习
在数据挖掘和机器学习中，集合基数用于描述数据集的大 小和多样性。例如，在分类或聚类算法中，集合基数可以 影响算法的性能和结果。
未来，集合论将与更多学科进行交叉研究，例如计算机科学、物理学和 哲学等。这些交叉研究将有助于深入理解无穷的概念和数学的本质。
03
集合论教育的重要性
随着集合论在各个领域的广泛应用，教育界将更加重视集合论的教育。
未来，将会有更多的教材和课程资源涌现，以帮助学生们更好地学习和
理解集合论。
尽管集合论已经取得了很大的进展，但 仍存在一些未解决的问题和挑战。例如 ，关于无穷的深刻问题、集合论与物理 学的关系等。
未来展望
01 02
集合论的进一步发展
随着数学和其他学科的发展，集合论将会继续发展并应用到更广泛的领 域中。未来，数学家们将进一步探索无穷的奥秘，并试图解决一些长期 存在的数学问题。
03
集合的基数在数学中的应用
在实数理论中的应用
01
实数集合的基数是可数无穷，这 为实数理论中的许多概念和性质 提供了基础。
02
例如，实数轴上的连续性、极限 、连续函数等概念都与集合的基 数有关。
在概率论中的应用
概率论中，样本空间的基数表示所有 可能结果的个数，是概率计算的基础 。
例如，在概率论中，事件的概率是该 事件所包含的样本点个数与样本空间 中样本点个数的比值。
为了解决早期集合论的问题，数学家们 开始对集合论进行公理化。其中，ZF（ Zermelo-Fraenkel）公理系统是最著名 的集合论公理系统之一。
2
集合论的应用
随着现代数学的发展，集合论的应用越 来越广泛。它不仅在数学领域中有着重 要的应用，还涉及到计算机科学、物理 学和哲学等领域。
3
集合论的挑战
数据挖掘与机器学习
在数据挖掘和机器学习中，集合基数用于描述数据集的大 小和多样性。例如，在分类或聚类算法中，集合基数可以 影响算法的性能和结果。
第六章集合的基数
iA iA
15/73
第六章 集合的基数
定义g:[0,1]→P(N)。如下： 对每一[0,1]中数的二进制表示(如果这种表示不唯
一，则取定其中之一)。 0.x0 x1x2 (xi为0或1) g(0.x0 x1x2 ) {i | xi 1}
• 定理6.15：(康托定理)设M为任意集合，记M的幂
y 的M
，使得g(y)=B，而
y B y {a | a M a g(a)} y g( y) y B
矛盾。 ∴g不存在，即|M| |S|， ∴ |M|<|S|
➢定理说明：没有最大的基数，也没有最大的集合
。
17/73
➢(2)对以上自然数n, n< ，即|{0,1,2, …,n-
1}| ≤|{0,1,2, …}|;
➢(3) <c，即|{0,1,2, …}|<|R|; ➢(4)是否存在无限集B，使得 <|B|<c，至今尚解
决的理论问题。
• 定理6.12：对任意集合A，B，C有(1)|A|≤|A|；
(2)|A|≤|B|，|B|≤|C|，则|A|≤|C|。
• 定义6.1：设S为任意集合，S∪{S}称为S的后继集
合，记为 S ，显然 S S , S S 。
例：令 S ，则 可以构造出集合序列：
0 1 { } 2 { }{{ }} { ,{ }}
将上面 的集合依次命名为0,1,2，…，就可构造出自 然数，用“:=”来命名；即
6/73
第六章 集合的基数
一个集合是可数集的充要条件是它的元素可以排成 一个无穷序列的形式。
• 定理6.5：整数集为可数无限集。
证：建函数：f:Z→N：
第六章集合的基数
2012-12-4
17
6.1 可数集和不可数集
1 设A和B是无限集,C是有限集. 下列集合是否一定 是无限集？
(1) A
B
(2) A B
(3) A C (4) A C
Ev , B Od , A B
解 (1) 不一定. 反例 A
(2) 不一定. 反例 (4) 一定是. 否则 ( A C ) C
2012-12-4
12
6.1 可数集和不可数集
例6.1.11 Q 是可数集 证作
f : Q Q ,
f (x) x
显然 f 是双射，于是 Q ~ Q 由 N ~ Q 知 N ~ Q , 故 Q 是可数集 又 Q Q { 0 } Q , 由定理6.1.4知 Q 是可数集
x1 , 当 x 为奇数时 2 f (x) x , 当 x 为偶数时 2
2012-12-4 2
6.1 可数集和不可数集
定义6.1.5若有 n N , 使 N n ~ A , 则称A是有限集, 且 称其基数为n , 记为 | A | n ；若A不是有限集, 则称 A为无限集
其中 0
x ij 9 ( i , j N ).
构造 y 0 . y 0 y1 y 2 如下
若 x ii 1 若 x ii 1
1, yi 2,
2012-12-4
14
6.1 可数集和不可数集
则 y [ 0 ,1 ], 但 y f ( N ). 这就说明了 f 不是满射，故不是双射 由 f 的任意性知N与[0,1]之间不存在双射，故[0,1]不 是可数无限集。
f 作：2 : [ 0 ,1 ] ( 0 ,1 ), 2 f2是单射，所以 | [ 0 ,1 ] | | ( 0 ,1 ) | f2 ( x ) x 1 4
《离散数学》第三章集合的基数
第三章 集合的基数
本章讨论集合论中较为困难的问题—集 合的基数问题；但只限于对基数作一简 单介绍；如学时较少可不讲本章或对本 章作恰当的删减.
本章主要概念为:集合的等势、有限集与 无限集、可数集与不可数集及较为常见 的集合的基数.
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1 2020/2/14
第一节 无穷集的概念
本节主要内容: 1.两个集合等势的定义； 2.基数的概念:基数是集合的一种性质，一
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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4 2020/2/14
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
种与该集合等势的集合所构成的集合族 的共同性质，即任何两个集合，如果它 们等势，它们便有相同的基数 （Von.Neumann的观点）； 3.利用等势的概念来定义有限集与无限集.
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2 2020/2/14
第二节 可数集与不可数集
可数集是无限集中最简单的一种，本节把无 限集区分为可数集与不可数集，主要结论有:
1.任意可数集都有一个与其等势的真子集; 2.任意一个无限集都包含一个可数子集； 3.可数集的任意无限子集是可数集； 4.可数集与有限集的并集是可数集； 5.两个（因而有限个）可数集的并集仍是可数
集； 6.可数个可数集的并集是可数集； 7.两个（因而有限个）可数集合的笛卡尔积仍
然是可数集.
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5 2020/2/14
3 2020/2/14
本章讨论集合论中较为困难的问题—集 合的基数问题；但只限于对基数作一简 单介绍；如学时较少可不讲本章或对本 章作恰当的删减.
本章主要概念为:集合的等势、有限集与 无限集、可数集与不可数集及较为常见 的集合的基数.
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1 2020/2/14
第一节 无穷集的概念
本节主要内容: 1.两个集合等势的定义； 2.基数的概念:基数是集合的一种性质，一
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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4 2020/2/14
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
种与该集合等势的集合所构成的集合族 的共同性质，即任何两个集合，如果它 们等势，它们便有相同的基数 （Von.Neumann的观点）； 3.利用等势的概念来定义有限集与无限集.
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2 2020/2/14
第二节 可数集与不可数集
可数集是无限集中最简单的一种，本节把无 限集区分为可数集与不可数集，主要结论有:
1.任意可数集都有一个与其等势的真子集; 2.任意一个无限集都包含一个可数子集； 3.可数集的任意无限子集是可数集； 4.可数集与有限集的并集是可数集； 5.两个（因而有限个）可数集的并集仍是可数
集； 6.可数个可数集的并集是可数集； 7.两个（因而有限个）可数集合的笛卡尔积仍
然是可数集.
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5 2020/2/14
3 2020/2/14
基数和序数PPT课件
基数和序数PPT课件
演讲人
目录
01
1基数和序数简介
02
2基数和序数区别
1基数和序数简介
基数： 在数学上，基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两 个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个 人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。 序数： 集合论基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的 数的推广。序数概念是建立在良序集概念之上的，而良序集又 是偏序集、全序集的特殊情形。
谢谢
2基：基数是1，2，3，4……序数是第一，第二，第三，第四等。 2、基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集 合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。序数是在基数的基础上再增 加一层意思。 3、基数和序数的用处不同：基数可以比较大小，可以进行运算。例如：设|A|=a，|B|=β，定义 a+β=|{(a,0):a∈A}∪{(b,1):b∈B}|。另，a与β的积规定为|AxB|，A×B为A与B的笛卡儿积;序数，汉语表 示序数的方法较多。通常是在整数前加“第”，如：第一，第二。也有单用基数的。如：五行：一曰水， 二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。
演讲人
目录
01
1基数和序数简介
02
2基数和序数区别
1基数和序数简介
基数： 在数学上，基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两 个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个 人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。 序数： 集合论基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的 数的推广。序数概念是建立在良序集概念之上的，而良序集又 是偏序集、全序集的特殊情形。
谢谢
2基：基数是1，2，3，4……序数是第一，第二，第三，第四等。 2、基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集 合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。序数是在基数的基础上再增 加一层意思。 3、基数和序数的用处不同：基数可以比较大小，可以进行运算。例如：设|A|=a，|B|=β，定义 a+β=|{(a,0):a∈A}∪{(b,1):b∈B}|。另，a与β的积规定为|AxB|，A×B为A与B的笛卡儿积;序数，汉语表 示序数的方法较多。通常是在整数前加“第”，如：第一，第二。也有单用基数的。如：五行：一曰水， 二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。
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f:(0,1 ) R , f(x)tan2x1
2
则 f 是(0,1)到R的双射函数。从而证明了(0,1)≈R 。
6
等势集合的实例(5)
（5）[0,1]≈(0,1)。 其中(0,1)和[0,1]分别为实数开区间和闭区间。
01
1 1 1 1
2 22 23
2n
1 2
1 22
1 1 1 1
记作A＜·B。如果B不是真优势于A，则记作A≮·B。
例如：
N ≤· N N ≤· R A ≤· P(A)
N ＜· R A ＜· P(A)
16
R ≮· N N ≮· N R≤·N
2 3 2 4 2 5
2 n 2
1/ 2
双射函数
f
:
[0,1](0,1)，
f
(x)
1/ 22 1/ 2n12
7 x
x0 x 1 x 1/ 2n,n 1,2,... 其它x
等势集合的实例(6)
（6）对任何a, b∈R，a<b， [0,1]≈[a,b]。
双射函数 f：[0,1]→[a,b]，f(x)＝(ba)x+a。
注意：为了保证表示式的唯一性，如果遇到0.24999…，则将x 表示为0.25000…。
设 f:N→[0,1]是从N到[0,1]的任何一个函数。f的所有函数值为：
f(0)=0.a1(1)a2(1)… f(1)=0.a1(2)a2(2)…
… f(n1)=0.a1(n)a2(n)…
…
令y的表示式为0.b1b2…，并且满足bi ≠ ai(i)，i=1,2,…， 则y∈[0,1]， 但y与上面列出的任何一个函数值都不相等。
集合的基数优秀课件
1
9.1 集合的等势与优势
通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的量。 集合的势越大，所含的元素越多。 定义9.1 设A, B是集合，如果存在着从A到B的双射函数，
就称A和B是等势（same cardinality）的，记作A≈B。 如果A不与B等势，则记作A ≈ B。
2
等势集合的实例(1)
14
康托定理
（2）设g：A→P(A)是从A到P(A)的任意函数， 如下构造集合B： B＝{x| x∈A∧xg(x)}
则B∈P(A)。
但是对任意x∈A，都有
x∈B xg(x) 所以，对任意的x∈A都有B≠g(x)，即Bran g 即P(A) 中存在元素B，在A中找不到原像。 所以，g不是满射的。 所以， A ≈ P(A)。
等势的性质
定理9.1 设A，B，C是任意集合， （1）A≈A。 （2）若A≈B，则B≈A。 （3）若A≈B，B≈C，则A≈C。 证明 （1） IA是从A到A的双射，因此A≈A。
（2） 假设A≈B ，存在 f : AB是双射， 那么 f1 : BA是从B到A的双射，所以B≈A。
（3） 假设A≈B，B≈C，存在 f :AB，g:BC是双射， 则fg : AC是从 A 到 C 的双射。 所以A≈C。
只需证明任何函数f：N→[0,1]都不是满射的。
构造一个[0,1]区间的小数b，使得b在N中不存在原像。
（2）任取函数f：AP(A)，构造B∈P(A)，使得B在A中不存在 原像。
或者使用反证法。
12
康托定理
（1）首先规定[0,1]中数的表示。
对任意的x∈[0,1]，令x = 0.x1x2… , （0 ≤ xi ≤ 9）
说明 根据这个定理可以知道N ≈ P(N)。 综合前面的结果，可知N≈ {0,1}N 。 实际上，P(N)，{0,115}N和R都是比N“更大”的集合。
优势
定义9.2
（1） 设A, B是集合，如果存在从A到B的单射函数，就称B优
势于A，记作A≤·B。 如果B不是优势于A， 则记作
A≤·B。
≈
（2）设A, B是集合，若A≤·B且A B，则称B真优势于A，
（1）Z≈N。 2x x0
f:Z N, f(x) 2x1 x0 则f是Z到N的双射函数。 从而证明了Z≈N。
3
等势集合的实例(2)
（2） N×N≈N。
双射函数 f:N N N , f( m ,n ) ( m n 1 ) ( m n ) m
2
4
等势集合的实例(3)
（3）N≈Q。
把所有形式为p/q (p,q为整数且q>0) 的数排成一张表。
2/1 3/1 …
[3]
-1/2 0/2
[2]
1/2
2/2
[12]
3/2 …
[7]
-1/3 0/3
[8]
1/3
[9]
2/3 3/3 …
[15]
-1/4 5 0/4
[14]
1/4
2/4
[13]
3≈R。 其中实数区间 (0,1)={x| x∈R∧0<x<1}。
10
若干等势集合
N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N R ≈ [0,1] ≈(0,1) 任何的实数区间（开区间、闭区间以及半开半闭的区间）
都与实数集合R等势。 问题：N和R是否等势？
11
康托定理
定理9.2 康托定理
（1）N ≈ R。
（2）对任意集合A都有A ≈ P(A)。
分析
（1）如果能证明N ≈ [0,1]，就可以断定N≈ R。
8
例9.2
例9.2 设A为任意集合，则P(A)≈{0,1}A。
证明
复习
构造f：P(A)→{0,1}A， f(A)=A ，A∈P(A)。
其中A 是集合A 的特征函数。 (1)易证 f 是单射的。 (2)对于任意的 g∈{0,1}A，
那么有 g：A→{0,1}。令 B={x| x∈A∧g(x)=1}
则BA，且B=g，即B∈P(A)，使得f(B)=g。 所以 f 是满射的。 由等势定义得P(A)≈{90,1}A。
以0/1作为第一个数，按照箭头规定的顺序可以“数遍”表中 所有的数。计数过程中必须跳过第二次以及以后各次所遇到的 同一个有理数。
[18]
[5]
… -3/1 -2/1
[17]
… -3/2 -2/2
… -3/3
[6]
-2/3
[16]
… -3/4 -2/4
[4]
[0]
-1/1 0/1
[1]
1/1
[10]
[11]
即f不是满射的。
所以，N
≈ 13
R。
康托定理
假设A≈P(A)，则必有函数 f : A→P(A)是双射函数。 如下构造集合B： B＝{x| x∈A∧x f (x)} 可知 B∈P(A)。 于是存在唯一一个元素b∈A，使得 f(b)＝B。 若b∈B，则由B的定义知，b f (b)，即 bB，矛盾。 若bB，则b f (b)，于是由B的定义知， b∈B，矛盾。
2
则 f 是(0,1)到R的双射函数。从而证明了(0,1)≈R 。
6
等势集合的实例(5)
（5）[0,1]≈(0,1)。 其中(0,1)和[0,1]分别为实数开区间和闭区间。
01
1 1 1 1
2 22 23
2n
1 2
1 22
1 1 1 1
记作A＜·B。如果B不是真优势于A，则记作A≮·B。
例如：
N ≤· N N ≤· R A ≤· P(A)
N ＜· R A ＜· P(A)
16
R ≮· N N ≮· N R≤·N
2 3 2 4 2 5
2 n 2
1/ 2
双射函数
f
:
[0,1](0,1)，
f
(x)
1/ 22 1/ 2n12
7 x
x0 x 1 x 1/ 2n,n 1,2,... 其它x
等势集合的实例(6)
（6）对任何a, b∈R，a<b， [0,1]≈[a,b]。
双射函数 f：[0,1]→[a,b]，f(x)＝(ba)x+a。
注意：为了保证表示式的唯一性，如果遇到0.24999…，则将x 表示为0.25000…。
设 f:N→[0,1]是从N到[0,1]的任何一个函数。f的所有函数值为：
f(0)=0.a1(1)a2(1)… f(1)=0.a1(2)a2(2)…
… f(n1)=0.a1(n)a2(n)…
…
令y的表示式为0.b1b2…，并且满足bi ≠ ai(i)，i=1,2,…， 则y∈[0,1]， 但y与上面列出的任何一个函数值都不相等。
集合的基数优秀课件
1
9.1 集合的等势与优势
通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的量。 集合的势越大，所含的元素越多。 定义9.1 设A, B是集合，如果存在着从A到B的双射函数，
就称A和B是等势（same cardinality）的，记作A≈B。 如果A不与B等势，则记作A ≈ B。
2
等势集合的实例(1)
14
康托定理
（2）设g：A→P(A)是从A到P(A)的任意函数， 如下构造集合B： B＝{x| x∈A∧xg(x)}
则B∈P(A)。
但是对任意x∈A，都有
x∈B xg(x) 所以，对任意的x∈A都有B≠g(x)，即Bran g 即P(A) 中存在元素B，在A中找不到原像。 所以，g不是满射的。 所以， A ≈ P(A)。
等势的性质
定理9.1 设A，B，C是任意集合， （1）A≈A。 （2）若A≈B，则B≈A。 （3）若A≈B，B≈C，则A≈C。 证明 （1） IA是从A到A的双射，因此A≈A。
（2） 假设A≈B ，存在 f : AB是双射， 那么 f1 : BA是从B到A的双射，所以B≈A。
（3） 假设A≈B，B≈C，存在 f :AB，g:BC是双射， 则fg : AC是从 A 到 C 的双射。 所以A≈C。
只需证明任何函数f：N→[0,1]都不是满射的。
构造一个[0,1]区间的小数b，使得b在N中不存在原像。
（2）任取函数f：AP(A)，构造B∈P(A)，使得B在A中不存在 原像。
或者使用反证法。
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康托定理
（1）首先规定[0,1]中数的表示。
对任意的x∈[0,1]，令x = 0.x1x2… , （0 ≤ xi ≤ 9）
说明 根据这个定理可以知道N ≈ P(N)。 综合前面的结果，可知N≈ {0,1}N 。 实际上，P(N)，{0,115}N和R都是比N“更大”的集合。
优势
定义9.2
（1） 设A, B是集合，如果存在从A到B的单射函数，就称B优
势于A，记作A≤·B。 如果B不是优势于A， 则记作
A≤·B。
≈
（2）设A, B是集合，若A≤·B且A B，则称B真优势于A，
（1）Z≈N。 2x x0
f:Z N, f(x) 2x1 x0 则f是Z到N的双射函数。 从而证明了Z≈N。
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等势集合的实例(2)
（2） N×N≈N。
双射函数 f:N N N , f( m ,n ) ( m n 1 ) ( m n ) m
2
4
等势集合的实例(3)
（3）N≈Q。
把所有形式为p/q (p,q为整数且q>0) 的数排成一张表。
2/1 3/1 …
[3]
-1/2 0/2
[2]
1/2
2/2
[12]
3/2 …
[7]
-1/3 0/3
[8]
1/3
[9]
2/3 3/3 …
[15]
-1/4 5 0/4
[14]
1/4
2/4
[13]
3≈R。 其中实数区间 (0,1)={x| x∈R∧0<x<1}。
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若干等势集合
N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N R ≈ [0,1] ≈(0,1) 任何的实数区间（开区间、闭区间以及半开半闭的区间）
都与实数集合R等势。 问题：N和R是否等势？
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康托定理
定理9.2 康托定理
（1）N ≈ R。
（2）对任意集合A都有A ≈ P(A)。
分析
（1）如果能证明N ≈ [0,1]，就可以断定N≈ R。
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例9.2
例9.2 设A为任意集合，则P(A)≈{0,1}A。
证明
复习
构造f：P(A)→{0,1}A， f(A)=A ，A∈P(A)。
其中A 是集合A 的特征函数。 (1)易证 f 是单射的。 (2)对于任意的 g∈{0,1}A，
那么有 g：A→{0,1}。令 B={x| x∈A∧g(x)=1}
则BA，且B=g，即B∈P(A)，使得f(B)=g。 所以 f 是满射的。 由等势定义得P(A)≈{90,1}A。
以0/1作为第一个数，按照箭头规定的顺序可以“数遍”表中 所有的数。计数过程中必须跳过第二次以及以后各次所遇到的 同一个有理数。
[18]
[5]
… -3/1 -2/1
[17]
… -3/2 -2/2
… -3/3
[6]
-2/3
[16]
… -3/4 -2/4
[4]
[0]
-1/1 0/1
[1]
1/1
[10]
[11]
即f不是满射的。
所以，N
≈ 13
R。
康托定理
假设A≈P(A)，则必有函数 f : A→P(A)是双射函数。 如下构造集合B： B＝{x| x∈A∧x f (x)} 可知 B∈P(A)。 于是存在唯一一个元素b∈A，使得 f(b)＝B。 若b∈B，则由B的定义知，b f (b)，即 bB，矛盾。 若bB，则b f (b)，于是由B的定义知， b∈B，矛盾。