第6讲 剪切与挤压的实用计算
剪切和挤压的实用计算
剪切和挤压的实用计算剪切和挤压是物理学中涉及材料力学行为的重要概念，广泛应用于工程设计、建筑结构、材料研究等领域。
在实际计算过程中，我们常常需要计算材料的剪切和挤压行为，以便更好地理解和预测材料在受力情况下的行为。
本文将介绍剪切和挤压的基本概念，并给出一些实用计算方法。
1.剪切：剪切是指在两个相对运动的平行平面之间的相对滑动，它是由垂直于平行平面的力引起的。
剪切力是使剪切发生的原因，剪切应力是由剪切力引起的应力。
剪切应力的计算公式为：τ=F/A其中，τ是剪切应力，F是作用在平行面上的剪切力，A是剪切应力作用的面积。
剪切应变的计算公式为：γ=Δx/h其中，γ是剪切应变，Δx是平行面滑动的位移，h是剪切应变的高度。
2.挤压：挤压是指在一个封闭容器中向内施加的力，使材料在容器内受到压缩。
挤压力是导致挤压发生的原因，挤压应力是由挤压力引起的应力。
挤压应力的计算公式为：σ=F/A其中，σ是挤压应力，F是作用在挤压面上的挤压力，A是挤压应力作用的面积。
挤压应变的计算公式为：ε=ΔL/L其中，ε是挤压应变，ΔL是受挤压材料的长度变化，L是原始长度。
3.实用计算：在实际计算中，我们往往需要确定材料的剪切和挤压强度，以及材料的最大变形能力。
剪切强度的计算方法：根据材料的剪切应力，选择适当的试验方法来测量剪切强度。
常用的试验方法有剪切强度试验和拉伸试验。
挤压强度的计算方法：根据材料的挤压应力，选择适当的试验方法来测量挤压强度。
常用的试验方法有挤压试验和压缩试验。
变形能力的计算方法：根据材料的剪切应变和挤压应变，通过试验测量材料的最大变形能力。
常用的试验方法有拉伸试验、压缩试验和剪切试验。
在计算过程中，需要考虑材料的应变硬化和弹塑性行为，并结合材料力学理论进行计算。
总结：剪切和挤压的实用计算是工程设计和材料研究中的重要环节。
通过计算剪切应力、剪切应变、挤压应力和挤压应变，可以更好地了解材料在受力情况下的行为，并为工程设计和材料选择提供依据。
剪切和挤压的实用计算
第3章剪切和挤压的实用计算3.1剪切的概念在工程实际中，经常遇到剪切问题。
剪切变形的主要受力特点是构件受到与其轴线相垂直的大小相等、方向相反、作用线相距很近的一对外力的作用（图3-1a），构件的变形主要表现为沿着与外力作用线平行的剪切面（m - n面）发生相对错动（图3-1b）。
F,Hi |图3-1工程中的一些联接件，如键、销钉、螺栓及铆钉等，都是主要承受剪切作用的构件。
构件剪切面上的内力可用截面法求得。
将构件沿剪切面m—n假想地截开，保留一部分考虑其平衡。
例如，由左部分的平衡，可知剪切面上必有与外力平行且与横截面相切的内力F Q （图3-1c）的作用。
F Q称为剪力，根据平衡方程7丫=0，可求得F Q二F。
剪切破坏时，构件将沿剪切面（如图3-la所示的m-n面）被剪断。
只有一个剪切面的情况，称为单剪切。
图3-1a所示情况即为单剪切。
受剪构件除了承受剪切外，往往同时伴随着挤压、弯曲和拉伸等作用。
在图3-1中没有完全给出构件所受的外力和剪切面上的全部内力，而只是给出了主要的受力和内力。
实际受力和变形比较复杂，因而对这类构件的工作应力进行理论上的精确分析是困难的。
工程中对这类构件的强度计算，一般采用在试验和经验基础上建立起来的比较简便的计算方法，称为剪切的实用计算或工程计算。
3.2剪切和挤压的强度计算3.2.1剪切强度计算剪切试验试件的受力情况应模拟零件的实际工作情况进行。
图3-2a为一种剪切试验装置的简图，试件的受力情况如图3-2b所示，这是模拟某种销钉联接的工作情形。
当载荷F增大至破坏载荷F b时，试件在剪切面m-m及n-n处被剪断。
这种具有两个剪切面的情况，称为双剪切。
由图3-2c可求得剪切面上的剪力为F Q2-64 -图3-2由于受剪构件的变形及受力比较复杂，剪切面上的应力分布规律很难用理论方法确定，因而工程上一般采用实用计算方法来计算受剪构件的应力。
在这种计算方法中，假设应力在剪切面内是均匀分布的。
剪切与挤压的实用计算
剪切与挤压的实用计算1.基本理论剪切是指沿着平面内条线上的应力沿剪切方向相对另一平面移位的力。
材料在受到剪切力作用时，会发生剪切变形并产生剪切应力。
剪切应力τ的计算公式为：τ=F/A其中，τ表示剪切应力，F表示受力，A表示受力面积。
材料的抗剪强度表示了材料在剪切载荷下破坏的抵抗能力，通常用剪切强度σs表示，剪切强度也可以通过横截面上的最大剪切应力来计算，即σs = τmax。
2.剪切计算方法在实际工程中，剪切常常涉及到材料的剪切强度计算、剪切连接件的设计以及剪切抗力的计算等。
（1）剪切强度计算根据材料的剪切性能参数，可以计算材料的抗剪强度。
一般来说，剪切强度与材料的抗拉强度有一定的关系。
对于金属材料来说，一般有以下公式用于计算剪切强度：σs=k·σu其中，σs表示材料的剪切强度，k表示剪切系数，一般取0.6~0.8，σu表示材料的抗拉强度。
（2）剪切连接件设计在机械设计中，常常需要设计剪切连接件，如销轴连接、键连接等。
设计剪切连接件时，需要根据剪切载荷和材料的强度参数来计算连接件的尺寸。
以销轴连接为例，假设在动力传动系统中，传递的扭矩为T，需设计一个销轴连接。
根据材料的抗剪强度和材料的弹性模量，可以计算出销轴的直径d。
d=[16·T/(π·τs)]^(1/3)其中，d表示销轴的直径，T表示扭矩，τs表示材料的抗剪强度。
（3）剪切抗力计算在工程结构设计中，剪切抗力的计算是非常重要的。
常见的剪切抗力计算方法有剪切弯曲理论、剪切流动理论等。
对于简支梁的剪切抗力计算来说，可以使用剪切弯曲理论。
根据弯矩与剪力之间的关系，可以得到梁上任意一点的剪切力V和弯矩M之间的关系：V = dM / dx其中，V表示剪切力，M表示弯矩，dM表示单位长度上的弯矩的变化，dx表示单位长度。
1.基本理论挤压是指沿轴线方向作用于材料上的静态或动态力。
当材料受到挤压力作用时，会发生长度方向的变形，并产生挤压应力。
第6章 杆件的剪切、挤压与扭转
根据所观察到的现象，假设横截面如同刚性平面般绕杆的轴 线转动，即平面假设
上式中dφ/dx为扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面是个 常量，表明切应变γρ与ρ成正比，即沿半径按直线规律变化
6.4 等直圆杆扭转轴的内力与应力
6.4.3等直圆杆扭转时横截面上的切应力 2.物理方面
建筑力学
第6章 杆件的剪切、挤压与扭转
第6章 杆件的剪切、挤压与扭转
教学目标
了解剪切与挤压的实用计算方法 了解扭矩计算方法 掌握扭矩图绘制方法 掌握切应力的计算及分布规律 掌握扭转角计算 教学重点与难点
扭矩计算方法及扭矩图绘制 切应力的计算及扭转角计算
6.1 剪切与挤压概念
剪切是杆件的基本变形形式之一，当杆件受到图所 示大小相等、方向相反、作用线相距很近的一对横向力 作用时，杆件发生剪切变形，此时截面相对错动趋势。
（1）假定应力分布规律，计算出各部分的“名义应力”； （2）根据实物或模拟实验，采用同样的计算方法，由破 坏荷载确定材料的极限应力 （3）然后根据上述两方面的结果建立强度条件。
6.2 剪切与挤压的实用计算 6.2.1剪切的实用计算
在连接件中，铆钉和螺栓连接是较为典型的连接方 式，其强度计算对其他连接形式具有普遍意义
根据剪切强度条件可得
6.2 剪切与挤压的实用计算
解：(1)按剪切强度条件求F
(2)按挤压强度条件求F
(3)按连接板抗拉强度求Fs
许用荷载
[]
6.3 扭转的概念
等截面直杆扭转
（1）受力特点是：杆件受力偶系作用，这些力偶的作 用面都垂直于杆轴线； （2）变形特点：两端截面A与B之间产生相对扭转角 （φ3）杆表面的纵向线将由斜线逐渐变成螺旋线。
第6讲 剪切与挤压的实用计算
第6讲教学方案——剪切与挤压的实用计算§2-13剪切和挤压的实用计算1．工程上的剪切件通过如图3-1所示的钢杆受剪和图3-2所示的联接轴与轮的键的受剪情况，可以看出，工程上的剪切件有以下特点：1）受力特点杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。
2）变形特点两外力作用线间截面发生错动，由矩形变为平行四边形。
(见动画：受剪切作用的轴栓)。
因此剪切定义为相距很近的两个平行平面内，分别作用着大小相等、方向相对（相反）的两个力，当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构件在这两个平行面间的任一（平行）横截面将只有剪力作用，并产生剪切变形。
2．剪应力及剪切实用计算剪切实用计算中，假定受剪面上各点处与剪力Q 相平行的剪应力相等，于是受剪面上的剪应力为AQ=τ （3-1）式中：Q —剪力；A —剪切面积τ—名义剪切力剪切强度条件可表示为： []ττ≤=AQ（3-2） 式中：[]τ—构件许用剪切应力。
剪切面为圆形时，其剪切面积为：42d A π=对于如图3-3所示的平键，键的尺寸为l h b ⨯⨯，其剪切面积为：l b A ⋅=。
例2-14 电瓶车挂钩由插销联接，如图3-4a 。
插销材料为20#钢，[]MPa 30=τ，直径mm 20=d 。
挂钩及被联接的板件的厚度分别为mm 8=t 和mm 125.1=t 。
牵引力kN 15=P 。
试校核插销的剪切强度。
解：插销受力如图3-4b 所示。
根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿m —m 和n—n 两个面向左错动。
所以有两个剪切面，称为双剪切。
由平衡方程容易求出2PQ =插销横截面上的剪应力为()[]τπτ<=⨯⨯⨯==-MPa 9.231020421015233A Q故插销满足剪切强度要求。
例2-15 如图3-8所示冲床，400max =P kN ，冲头[]400=σMPa ，冲剪钢板360=b τ MPa ，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。
《工程力学》剪切与挤压的实用计算
《工程力学》剪切与挤压的实用计算剪切和挤压是工程力学中两个非常重要的概念。
在工程实践中，往往需要对结构承受的剪切和挤压力进行计算，并通过计算结果来评估结构的稳定性和安全性。
本文将分别介绍剪切和挤压的概念和公式，并通过实例说明如何进行实用计算。
剪切是指力在结构内部沿着切面作用，导致结构内部产生剪应力和剪应变。
剪应力是垂直于切面方向的力与切面面积之比。
在工程实践中，常见的剪切力作用包括轴向力、剪力和扭矩。
对于轴向力和剪力，其剪应力可以通过下式计算：τ=F/A其中，τ为剪应力，F为作用力的大小，A为剪切面积。
对于扭矩作用，其剪应力的计算则需要考虑到截面形状和应力分布的不均匀性。
常见的情况是圆形截面的轴向受拉时的剪应力分布。
在这种情况下，剪应力的最大值出现在截面外圆周，可以通过下式进行计算：τ=T*r/I其中，τ为剪应力，T为扭矩的大小，r为截面距离外圆周的距离，I为截面的惯性矩。
挤压是指力在结构内部沿着压力方向作用，导致结构内部产生压应力和压应变。
挤压力作用常见于柱子或支撑结构的承重部分。
在计算挤压力时，首先需要确定结构的截面形状和尺寸。
然后可以通过下式计算挤压应力：σ=F/A其中，σ为挤压应力，F为挤压力的大小，A为截面积。
在实际工程中，剪切和挤压的计算往往需要考虑到结构的复杂性和非线性等因素。
此时，可以通过使用数值计算方法或专业软件进行计算，来得到更准确的结果。
此外，还需要根据结构的特点和工程要求，对计算结果进行适当的修正和调整。
举个例子来说明剪切和挤压的实用计算。
假设有一根圆柱形的支撑柱，柱子的直径为10cm，高度为2m。
假设柱子受到的挤压力为5000N。
1.根据柱子的直径计算出柱子的截面积：A = π * r^2 = π * (5cm)^2 = 78.54cm^22.将挤压力代入公式，计算出挤压应力：σ = F / A = 5000N / 78.54cm^2 = 63.73N/cm^2通过这个例子可以看出，挤压力的计算相对简单，只需要确定结构的截面形状和尺寸，并代入公式即可。
剪切和挤压的实用计算
τ
=
FS A
≥τb
τb 为 剪 切 强
度极限 。
例：已知钢板厚度δ＝10 mm，其剪切极限应力为τu＝300 MPa。
若用冲床将钢板冲出直径d＝10 mm的孔，问需要多大的冲剪力 F？
解：剪切面是钢板内被冲头 冲出的圆饼体的柱形侧面， 其面积为
A = π dδ = π × 25×10−3 ×10 ×10−3
= 19MPa
≤ [σ bs ] =
200MPa
故挤压强度也是足够的。
在工程实际中，有时也会遇到与前面问题相反的情况，就 是剪切破坏的利用。例如车床传动轴上的保险销(图a)，当载荷 增加到某一数值时，保险销即被剪断，从而保护车床的重要部 件。又如冲床冲模时使工件发生剪切破坏而得到所需要的形状 (图b)，也是利用剪切破坏的实例。对这类问题所要求的破坏条 件为：
2.13 剪切和挤压的实用计算
讨论剪切的内力和应力时，以剪切面n-n将受剪构 件分成两部分，并以其中一部分为研究对象，如图所 示。n-n截面上的内力FS与截面相切，称为剪力。
n
τ
n
F
τ
F
实用计算中，假设在剪切面上剪切应力是均匀分 布的。
2.13 剪切和挤压的实用计算
n
τ
n
F
τ
F
若以A表示剪切面面积，则应力是
此幻灯片处于隐藏状态！
例 2.5 m3挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键连
接，已知键所受的力为F＝12.1 kN。平键的尺寸为：b＝28 mm，
h＝16 mm，l2＝70 mm，圆头半径R＝14 mm。键的许用切应力
[τ]=87 MPa，轮毂的许用挤压应力取[σbs]＝100 MPa，试校核键
剪切和挤压—剪切和挤压的实用计算(建筑力学)
剪切与挤压
（2）校核铆钉的挤压强度
挤压力
FC = F1= 40kN
由挤压强度条件
FQ
F4
160 103
M Pa 127.4M Pa 140M Pa
As d 2 4 3.14 202
铆钉满足挤压强度要求。
剪切与挤压
（3）校核钢板的抗拉强度
剪切与挤压
例8- 现有两块钢板，拟用材料和直径都相同的四个铆钉 搭接。已知作用在钢板上的拉力F=60kN，两块钢板的厚度均 为t=0mm，宽度b=50mm，铆钉的直径d=0mm。铆钉所用材 料的许用应力为[σc]= 30 MPa，[τ] = 40MPa 。钢板的许用应 力为[σc]= 60MPa，试校核该铆钉的强度。
截面1-1和截面3-3处净面积相同，而截面3-3处轴力较小，
故不是危险截面，需要对截面1-1和截面2-2进行强度校核。 截面1-1
1
FN1 A1
F (bd
)t
160103 MPa 123.1MPa
(150 20 )10
截面2-2
2
FN 2 A2
3F 4 (b 2d)t
3160103 MPa 109.1MPa
• 当挤压面为平面时，挤 压计算面积与挤压面积相 等；
• 当挤压面为半圆柱面 时，挤压计算面积为挤压 面在圆柱体的直径平面上 的投影面积。
剪切与挤压
为了保证构件不发生挤压破坏，要求பைடு நூலகம்压应力不超过 材料的许用挤压应力。所以挤压强度条件为
c
Fc Ac
[ c ]
式中：[σc]为材料的许用挤压应力，可查有关设计手册。
(150 2 20) 10 4
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第6讲教学方案——剪切与挤压的实用计算
§2-13剪切和挤压的实用计算
1．工程上的剪切件
通过如图3-1所示的钢杆受剪和图3-2所示的联接轴与轮的键的受剪情况，可以看出，工程上的剪切件有以下特点：
1）受力特点
杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。
2）变形特点
两外力作用线间截面发生错动，由矩形变为平行四边形。
(见动画：受剪切作用的轴栓)。
因此剪切定义为相距很近的两个平行平面内，分别作用着大小相等、方向相
对（相反）的两个力，当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构件在这两个平行面间的任一（平行）横截面将只有剪力作用，并产生剪切变形。
2．剪应力及剪切实用计算
剪切实用计算中，假定受剪面上各点处与剪力Q 相平行的剪应力相等，于是受剪面上的剪应力为
A
Q
=τ （3-1） 式中：Q —剪力；A —剪切面积 τ—名义剪切力
剪切强度条件可表示为： []ττ≤=A
Q
（3-2） 式中：[]τ—构件许用剪切应力。
剪切面为圆形时，其剪切面积为：
4
2
d
A
π
=
对于如图3-3所示的平键，键的尺寸为l
h
b⨯
⨯，其剪切面积为：l
b
A⋅
=。
例2-14电瓶车挂钩由插销联接，如图3-4a。
插销材料为20#钢，[]MPa
30
=
τ，直径mm
20
=
d。
挂钩及被联接的板件的厚度分别为mm
8
=
t和mm
12
5.1=
t。
牵引力kN
15
=
P。
试校核插销的剪切强度。
解：插销受力如图3-4b所示。
根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿m—m和n —n两个面向左错动。
所以有两个剪切面，称为双剪切。
由平衡方程容易求出
2
P
Q=
插销横截面上的剪应力为
()
[]τ
π
τ<
=
⨯
⨯
⨯
=
=
-
MPa
9.
23
10
20
4
2
10
15
2
3
3
A
Q
故插销满足剪切强度要求。
例2-15 如图3-8所示冲床，400
max
=
P kN，冲头
[]400
=
σMPa，冲剪钢板360
=
b
τMPa，设计冲头
的最小直径值及钢板厚度最大值。
解：（1）按冲头压缩强度计算d
[]σ
π
σ≤
=
=
4
2
d
P
A
P
所以
[]
4.34=≥
σπP
d cm
（2）按钢板剪切强度计算t
b dt
P A Q τπτ≥==
所以
04.1=≤
b
d P
t τπcm 3．挤压及其实用计算
挤压：联接和被联接件接触面相互压紧的现象，如图3-5就是铆钉孔被压成长圆孔的情况。
有效挤压面：挤压面面积在垂直于总挤压力作用线平面上的投影。
挤压时，以P 表示挤压面上传递的力，bs A 表示挤压面积，则挤压应力为
[]bs bs
bs A P
σσ≤=
（3-3） 式中：[]bs σ—材料的许用挤压应力，一般
[]()[]σσ2~7.1=bs
对于圆截面：dt A bs =，如图3-6c 所示。
对于平键：hl A bs 2
1
=
，如图3-7所示。
例2-16 截面为正方形的两木杆的榫接头如图所示。
已知木材的顺纹许用挤压应力[]MPa
8
bs
=
σ，顺纹许用剪切应力[]MPa
1
=
τ，顺纹许用拉应力[]MPa
10
t
=
σ。
若P=40kN，作用于正方形形心，试设计b、a及l。
解：1.顺纹挤压强度条件为
[]
bs
bs ba
P
σ
σ≤
=
[]2
4
6
3
10
50
10
8
10
40
m
P
ba
bs
-
⨯
=
⨯
⨯
=
≥
∴
σ
（a）
2. 顺纹剪切强度条件为
[]τ
τ≤
=
=
bl
P
A
Q
[]2
4
6
3
m
10
400
10
10
40
P
bl-
⨯
=
⨯
=
≥
∴
τ
（b）
3. 顺纹拉伸强度条件为
[]
t
)a
b(
2
1
b
P
σ
σ≤
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
-
=
()
[]24
6
3
t
2m
10
80
10
10
10
40
2
P
2
ba
b-
⨯
=
⨯
⨯
⨯
=
≥
-
∴
σ
（c）
联立（a）、（b）、（c）式，解得
mm
44
m
10
4.4
a
mm
351
m
10
1.
35
l
mm
114
m
10
4.
11
b
2
2
2
=
⨯
≥
=
⨯
≥
=
⨯
≥
-
-
-
例2-17 2..53
m挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键连接，已知键所受的力为
P＝12.1kN。
平键的尺寸为：b=28mm，h=16mm,
2
l=70mm，圆头半径R＝14mm（图3－10）。
键
的许用切应力[]=τ87MPa ，轮毂的许用挤压应力取[]bs σ＝100MPa ，试校核键连接的强度。
解： （1）校核剪切强度 键的受力情况如图3－10c 所示，此时剪切面上的剪力（图3－10d ）
为
N 12100kN 1.12P Q ===
对于圆头平键，其圆头部分略去不计（图3－10e ），故剪切面面积为 ()R 2l b bl A 2P -==
()2
4
2
m
1076.11cm 76.114.1278.2-⨯==⨯-=
所以，平键的工作切应力为
4
1076.1112100
A Q -⨯=
=
τ []MPa 87MPa 3.10Pa 103.106
=<=⨯=τ
满足剪切强度条件。
（2）校核挤压强度 与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。
轮毂挤压面上的挤压力为 P ＝12100N
挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为2
h
，则挤压面面积（图 3－10f)为
()4.120.72
6
.1l 2h A P bs ⨯-=
⋅=
2
4
2
m 1036.3cm 36.3-⨯== 故轮毂的工作挤压应力为
4
bs bs 1036.312100A P -⨯==
σ []MPa 100MPa 36Pa 1036bs 6
=<=⨯=σ
也满足挤压强度条件。
所以，此键安全。