特征方程法求递推数列的通项公式
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，na 为常数列，即0101,;xb a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5360ix +-=要使n a 为常数，即则必须.53601ix a +-== 二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x B A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B的方程组）。
例3：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。
解法一（待定系数——迭加法） 由025312=+-++n n n a a a ，得)(32112n n n n a a a a -=-+++， 且a b a a -=-12。
则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，32为公比的等比数列，于是 11)32)((-+-=-n n n a b a a 。
把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入，得a b a a -=-12，)32()(23⋅-=-a b a a ，234)32()(⋅-=-a b a a ，•••21)32)((---=-n n n a b a a 。
把以上各式相加，得])32()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(321)32(11a b n ---=-。
a b b a a a b a n n n 23)32)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。
解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。
32,121==x x , ∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A 。
又由b a a a ==21,，于是⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b BA a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a三、(分式递推式)定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程hrx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a nn λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则112--=n n n c c a λλ，,N ∈n其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有.N ,)221211(2313)(11212111∈⋅-⋅-⋅+-=--⋅--=--n r p r p a a c n n n λλλλ∴.N ,)51(521∈-=-n c n n∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n nn λλ 即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a nn n 例5．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a（4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？解：作特征方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答.(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p rn a b n --+-=)1(1151131)1(531⋅-⋅-+-=n ,8121-+-=n令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在， 当n ≤4，N ∈n 时，51751--=+=n n b a n n λ.(3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,811)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,7435581111∈++=+-+=+=n n n n b a nn λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51=a 时，数列}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当11351--=n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在.于是知：当1a 在集合3{-或,:1135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在. 练习题：求下列数列的通项公式：1、 在数列}{n a 中，,7,121==a a )3(3221≥+=--n a a a n n n ，求n a 。
（key ：21)1(32---+⋅=n n n a ）2、 在数列}{n a 中，,5,121==a a 且2145---=n n n a a a ，求n a 。
（key ：)14(31-=n n a ）3、 在数列}{n a 中，,7,321==a a )3(2321≥-=--n a a a n n n ，求n a 。
（key ：121-=+n n a ）4、 在数列}{n a 中，,2,321==a a n n n a a a 313212+=++，求n a 。
（key ：2)31(4147--⋅+=n n a ） 5、 在数列}{n a 中，,35,321==a a )4(3112n n n a a a -=++，求n a 。
（key ：1321-+=n n a ）6、 在数列}{n a 中，,,21b a a a ==n n n qa pa a +=++12，且1=+q p .求n a .（key ：1=q 时，))(1(a b n a a n --+=；1≠q 时，qq a b b aq a n n +---+=-1))((1）7、 在数列}{n a 中，,,21b a a a a +==0)(12=++-++n n n qa a q p pa （q p ,是非0常数）.求n a .（key ：b p q q p p a a n n )](1[1---+= (q p ≠)；b n a a n )1(1-+=）(q p =)8、在数列}{n a 中，21,a a 给定，21--+=n n n ca ba a .求n a .(key:122211)(a c a a n n n n n ⋅--+⋅--=----αβαβαβαβ)(βα≠；若βα=，上式不能应用，此时，.)2()1(1122----⋅-=n n n a n a n a αα附定理3的证明定理3(分式递推问题)：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程hrx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a nn λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则112--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换N ,∈-=n a d n n λ 则λλ-++=-=++hra qpa a d n n n n 11h ra hq r p a n n +-+-=λλ)(hd r hq r p d n n ++-+-+=)())((λλλλλλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2①∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r hr qp λλλλ将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n n n λλ②将rpx =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,rp≠于是.0≠-r p λ③当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ当01≠d 即λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+④由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r hp -=λ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr h p h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n rp r d d n n λ 令.N ,1∈=n d b n n 则.N ,1∈-+=+n rp r b b n n λ故数列}{n b 是以rp rλ-为公差的等差数列.∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n rp rn b b n λ其中.11111λ-==a db 当0,N ≠∈n b n 时，.N ,1∈+=+=n b d a nn n λλ 当存在,N 0∈n 使00=n b 时，λλ+=+=0001n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列}{n a 是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于1a ，不妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ故21111λλ--=+++n n n a a c ，将hra qpa a n n n ++=+1代入再整理得N ,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a hq r p a c n n n λλλλ⑤由第（1）部分的证明过程知rpx =不是特征方程的根，故.,21rp r p ≠≠λλ 故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N ,2211211∈--+--+⋅--=+n rp h q a r p hq a rp r p c n n n λλλλλλ⑥∵特征方程hrx qpx x ++=有两个相异根1λ、2λ⇒方程………………………………………………最新资料推荐………………………………………11 / 11 0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ，而方程xr p xh q x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程. ∴222111,λλλλλλ-=---=--rp h q r p h q 将上两式代入⑥式得N ,2121211∈--=--⋅--=-n c rp r p a a r p r p c n n n n λλλλλλ 当,01=c 即11λ≠a 时，数列}{n c 是等比数列，公比为r p r p 21λλ--.此时对于N ∈n 都有.))(()(12121111211------=--=n n n r p r p a a r p r p c c λλλλλλ 当01=c 即11λ=a 时，上式也成立. 由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n 所以.N ,112∈--=n c c a n n n λλ(证毕)注:当qr ph =时,h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,h ra q pa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.。
特征根法
(45) 特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
递推数列的特征方程法探究--兼谈数列求通项公式
递推数列的特征方程法探究--兼谈数列求通项公式蔡军军【期刊名称】《中小学教学研究》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】4页(P19-21,26)【作者】蔡军军【作者单位】苏州市高新区第一中学，江苏苏州 215011【正文语种】中文数列问题在高考中有着非常重要的地位，其中数列求通项公式，通常作为各省市的高考压轴题出现。
而递推数列的通项公式求解，往往令师生最为头疼。
那么，什么是递推数列，包含哪些类型.一般而言，数列求通项公式，都有哪些方法策略？下面，我对这几方面做些研究、探索不足之处，敬请同行批评指正。
一、递推数列的分类递推数列，顾名思义是指可以通过递推找出其规律的数列。
用通俗的一句话来解释“递推”就是：知道他的过去，就知道他的现在.知道他的过去和现在，就知道他的将来。
根据递推式不同，一般可将递推数列分为以下4类：递推数列名称递推式满足条件一阶线性递推数列 an+1=pan+q（p≠0 且p≠1，p，q 是常数）二阶线性递推数列an+2=pan+1+qan（p≠1，p，q是常数）一次分式递推数列an+1=pan+q ran+h（p，q，r，h∈R，且ph≠qr，r≠0，a1≠-h r）二元一阶线性递推数列 an+1=pan+qbn bn+1=ran+hbn｛二、递推数列的特征方程法引理（一）一阶线性递推数列引理1.已知数列{an}满足a1=b，an+1=pan+q（p≠0 且p≠1，p，q 是常数），称方程 x=px+q 为数列{an}的特征方程，设特征方程的根为x0，则①当x0=a1时，数列{an}为常数列；②当x0≠a1时，数列{an-x0}是以 p（p≠0）为公比的等比数列.简证：设特征方程x=px+q，得根为x0=，数列{an-x0}是以p为公比的等比数列，证毕。
（二）二阶线性递推数列引理2.已知数列{an}满足an+2=pan+1+qan（p≠1，p，q是常数），a1=a，a2=b，称方程 x2=px+q 为数列{an}的特征方程，设特征方程的根为x1，x2。
特征根法求通项公式
特征方程法 解递推关系中 通项公式一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个,1,0≠≠c c 数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为,d cx x +=特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中是以为}{n b c 公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为由特征,1,0≠c 方程得作换.10cdx -=元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列是以为}{n b c 公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说说说说明定理1的应用.例1．已知数列满}{n a 足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列是以为}{n b 31-公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列满}{n a 足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中为虚数i 单位。
特征方程法求数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -= 则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
数列三项递推求通项特征方程
数列三项递推求通项特征方程数列是我们日常生活中非常常见的数学模型，它们可以描述一种事物或现象的变化规律。
在数列中，常常需要计算出第 n 项，而有些数列可以通过递推关系式来求解第 n 项。
其中，三项递推是一种常见的递推方式。
在这篇文章中，我们将介绍如何利用三项递推求解数列的通项公式，以及如何使用特征方程来解决数列的求解问题。
一、数列三项递推求通项公式对于数列 {a1，a2，a3，…，an}，如果它们之间存在递推关系式：an = f(an-1，an-2，an-3)，n ≥ 4那么我们可以通过这个递推关系式来求解数列的通项公式。
具体来说，我们可以通过迭代使用递推关系式，通过已知的前三项（a1、a2、a3），逐个求出数列的每一项。
当我们求得第 n 项时，我们就可以得到数列的通项公式。
例如，我们考虑这样一个数列：{1，1，2，3，5，8，13，…}我们发现这个数列的特点是，每一项都是前两项之和。
我们可以用以下递推关系式来描述这个数列：an = an-1 + an-2，n ≥ 3利用这个递推关系式，我们可以求出数列中的每一项，如下所示：a1 = 1a2 = 1a3 = a2 + a1 = 2a4 = a3 + a2 = 3a5 = a4 + a3 = 5a6 = a5 + a4 = 8a7 = a6 + a5 = 13…我们发现，这个数列的通项公式可以写成：an = fib(n)，n ≥ 1其中，fib(n) 表示斐波那契数列的第 n 项。
这个数列是一个非常著名的数列，每一项都是前两项之和，它的前几项是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…二、特征方程的应用除了使用递推关系式来求解数列的通项公式之外，我们还可以使用特征方程的方法来解决这个问题。
特征方程是什么呢？它可以帮助我们求出数列的通项公式。
对于一个递推关系式：an = c1an-1 + c2an-2 + … + cm an-m，n ≥ m我们可以构造一个特征方程：x^m - c1x^(m-1) - c2x^(m-2) - … - cm = 0其中，x 是未知数。
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项原理特征根法是解线性递推方程的一种重要方法，可以用于求数列通项。
在本文中，我将详细介绍特征根法的原理，并展示如何利用此方法求解数列的通项。
一、特征根法的基本原理特征根法基于以下核心思想：解线性递推方程，一般需要首先找到数列的通解，然后根据已知初始条件来确定特定的通解。
特征根法通过构造特征方程，寻找数列的特征根，进而求解通解的方法。
设数列的通项表示为：an = c1 * λ1^n + c2 * λ2^n + ... + ck * λk^n其中，c1, c2, ..., ck是待定系数，λ1, λ2, ..., λk是数列的特征根。
现在，让我们来详细讨论特征根法的求解步骤。
二、求解步骤1.根据已知的递推关系式，得到数列的特征方程。
对于一般的线性递推方程，形如：an = a1 * an-1 + a2 * an-2 + ... + ak * an-k其特征方程可表示为：x^k - a1 * x^(k-1) - a2 * x^(k-2) - ... - ak = 02.求解特征方程的根。
通过求解特征方程的根来得到数列的特征根。
这里需要用到一些代数求根的方法，比如因式分解、配方法等。
3. 根据特征根，构造数列的通解。
特征根λ1, λ2, ..., λk 对应的解分别为c1 * λ1^n, c2 * λ2^n, ..., ck * λk^n。
由于特征根可能为复数，所以通解可能包含实部和虚部。
4. 利用已知的初始条件，确定数列的具体通解。
根据已知的初始条件（比如前几项的值），代入数列的通解方程，并解出待定系数 c1,c2, ..., ck。
这样，我们就得到了数列的特定通解。
三、一个具体的求解例子为了更好地理解特征根法的求解步骤，我们来看一个具体的例子。
假设数列的递推关系为：an = 2 * an-1 - 3 * an-2，其中a0 = 2, a1 = 5步骤1：得到特征方程。
特征方程为：x^2-2x+3=0。
特征方程法求解递推关系中的数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列｛a n ｝的项满足a j = b,a n 4 = ca n • d ,其中c = 0, c = 1,求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法一一特征方程 法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 x =cx • d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式•下面以定理形式进行阐述.定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为 x 0，则当x 0 = a 4时，a n为常数列，即a n 二a i ；当X o 二a i 时,a^ b n ' x o ，其中｛b n ｝是以c 为公比 的等比数列，即 b n = b 4c n J,b 4 =a 4-x 0.pl证明：因为c = 0,1,由特征方程得x 0——.作换元b n = a n - x 0,贝U 1 -c n 1当X 。
=a 1时，b 1 =0 ,数列｛b n ｝是以c 为公比的等比数列， 故b n =b1C _; 当 x ° 二a 1 时，d =0 , ｛b n ｝为 0 数列，故 a * =a 1,n • N.（证毕） 下面列举两例，说明定理 1的应用.1例1•已知数列｛a n ｝满足：a n^^a -2,- N,a—,求a n.13 解：作方程x x -2,则x 0. 3 2b"a n「x0 © d—注乂a .cd1 -c二 c(a n -X °) = cb n . 11一2 -3 一2 +X — a-fl等的比公为11 1 n4丁 3) ,a n-3b n —3叫-」)n‘, n N. 2 2 2 3b n列是例2.已知数列｛a n｝满足递推关系：a n ^（2a n - 3）i, n，N,其中i为虚数3单位。
当a i 取何值时，数列｛a .｝是常数数列?a^ :-,a 2二：给出的数列：a n 爲方程x 2- px -q =0，叫做数列 :a n / 的特征方程。
数列的递推特征方程法
数列的递推特征方程法特征方程法是通过构造特征方程，然后求解特征方程得到通解的一种方法。
下面我们将详细介绍特征方程法在数列递推中的应用。
首先，让我们来回顾一下数列的一般形式。
一个数列可以表示为：aₙ=c₁aₙ₋₁+c₂aₙ₋₂+...+cₙaₙ₋ₙ其中aₙ表示数列的第n项，c₁,c₂,...,cₙ为常数，k为递推阶数。
为了求解递推关系，我们首先要确定数列的特征方程。
特征方程的核心思想是假设数列的n项与前面的k项有关，然后构造一个特征方程来描述这个关系。
假设数列的特征方程为：xₙ-c₁xₙ₋₁-c₂xₙ₋₂-...-cₙ₋₁x₁-cₙ=0其中x₁,x₂,...,xₙ为变量。
我们可以通过观察数列的递推关系来确定特征方程中的系数。
具体方法如下：1.观察递推关系中的系数c₁,c₂,...,cₙ；3.求解特征方程，得到特征根。
特征方程的解，也称为特征根，是特征方程的根，通常由它的重根个数决定数列的通解形式。
当特征根都是互不相等的实数时，数列的通解可以表示为：aₙ=A₁r₁ⁿ+A₂r₂ⁿ+...+Aₙrₙⁿ其中A₁,A₂,...,Aₙ为常数，r₁,r₂,...,rₙ为特征根。
当特征根中存在共轭复根时，数列的通解可以表示为：aₙ = (A₁r₁ⁿ + A₂r₂ⁿ + ... + Aₙrₙⁿ)cos(ωn) + (B₁r₁ⁿ + B₂r₂ⁿ+ ... + Bₙrₙⁿ)sin(ωn)其中A₁,A₂,...,Aₙ,B₁,B₂,...,Bₙ为常数，r₁,r₂,...,rₙ为特征根，ω为共轭复根的辐角。
通过特征方程法，我们可以求解出数列的通解。
在实际问题中，根据已知的数列前几项，我们可以构造数列的递推关系并使用特征方程法求解出数列的通解。
然后根据题目给出的条件，我们可以求解出具体的系数，从而得到数列的具体形式。
总结起来，特征方程法是通过构造特征方程来求解数列的递推关系的一种方法。
通过特征方程的解，我们可以得到数列的通解，并根据题目给出的条件得到数列的具体形式。
特别解析特征方程法求解递推关系中的数列通项
特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列. 于是：.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数，即则必须.53601ix a +-== 二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
特征方程求递推数列通项公式
特征方程求递推数列通项公式特征方程是解递推数列通项公式的一种常用方法。
递推数列是指数列中的每一项都是前一项的一些函数关系的数列。
假设我们的递推数列是{a_n}，并且已经知道其通项公式是An。
如果我们能够找到一个方程f(x)=0（称为特征方程），其中x是未知数，且满足特征方程的根为r1、r2、..、rk，那么递推数列的通项公式可以表示为An=C1*r1^n+C2*r2^n+...+Ck*rk^n，其中C1、C2、..、Ck是常数。
下面我们以一些具体的例子来说明如何使用特征方程求递推数列的通项公式。
【例子一】已知递推数列的前两项是a_0=1，a_1=1，且每一项都是前两项之和，即a_n=a_(n-1)+a_(n-2)。
首先，我们将递推数列的通项公式假设为An=r^n，其中r是未知数。
代入递推数列的定义式，我们得到r^n=r^(n-1)+r^(n-2)。
进行整理，我们得到r^2=r+1，这就是递推数列的特征方程。
现在我们需要找到特征方程的根。
我们将特征方程转化为二次方程的标准形式，即r^2-r-1=0。
使用求根公式，我们可以得到两个根：r1=(1+√5)/2≈1.618和r2=(1-√5)/2≈-0.618因此，递推数列的通项公式可以表示为An=C1*(1+√5)/2^n+C2*(1-√5)/2^n。
【例子二】已知递推数列的前两项是a_0=2，a_1=6，且每一项都是前一项的两倍，即a_n=2*a_(n-1)。
同样地，我们假设递推数列的通项公式为An=r^n，其中r是未知数。
代入递推数列的定义式，我们得到r^n=2*r^(n-1)。
进行整理，我们得到r=2因此，递推数列的通项公式可以表示为An=C*2^n，其中C是常数。
通过以上两个例子，我们可以看出使用特征方程求递推数列的通项公式的基本步骤如下：1.假设递推数列的通项公式为An=r^n，其中r是未知数。
2.代入递推数列的定义式，得到一个关于r的方程，即特征方程。