数形结合思想在高中数学中的应用探究
例谈“数形结合”思想在高考数学中的应用
２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀例谈 数形结合 思想在高考数学中的应用∗◉湖北江汉大学数学与大数据系㊀周㊀岭㊀许㊀璐㊀㊀著名数学家华罗庚曾说过: 数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休 ．所谓 数形结合 就是把抽象的数学语言㊁数量关系与直观的几何图形㊁位置关系结合起来,通过 以形助数或 以数解形 ,即通过抽象思维与形象思维的结合,将复杂问题简单化,抽象问题具体化,达到实现优化解题路径的目的,起到事半功倍的效果．下面将结合高考数学试题实例,分析说明 数形结合 思想在解决问题中的作用和简捷．１数形结合思想在解析几何中的应用例１㊀(２０２３年全国新高考Ⅰ卷)过点(０,－２)与圆x ２＋y ２－４x －１＝０相切的两条直线的夹角为α,则s i n α＝(㊀㊀)．A．１㊀㊀㊀B ．１５４㊀㊀C ．１０４㊀㊀D．６４分析:此题可以先将圆的方程化为标准形式,设出切线方程,利用点到直线的距离公式求出两条切线的斜率,最后利用夹角公式求得s i n α的值,但是计算相对复杂．解析:依题意,圆的方程可化为(x －２)２＋y ２＝５．图１如图１,得到圆心C (２,０),r ＝５,P (０,－２)．所以|P C |＝２２．设过点P 的两条切线为P A 和P B ,则øA P B ＝α,可得s i nα２＝r |P C |＝５２２＝１０４,c o sα２＝１－(s i n α２)２＝６４．所以s i n α＝２s i nα２c o s α２＝１５４．故选:B ．例２㊀(２０２３年新高考I 卷)已知双曲线C :x ２a ２－y ２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的左㊁右焦点分别为F １,F ２．点A 在C 上,点B 在y 轴上,F １A ңʅF １B ң,F ２A ң＝－２３F ２B ң,则C 的离心率为．分析:此题常见解法是设出点A ,B 的坐标,利用已知条件列出三个方程,再解出方程求得点A ,B 的坐标,进而得出双曲线C 的离心率．这样计算量会很大,如果利用数形结合的思想结合双曲线的定义求其离心率将会大大简化计算．解析:由F ２A ң＝－２３F ２B ң,得|F ２A ||F ２B |＝２３．设|F ２A |＝２x ,则|F ２B |＝３x ,|A B |＝５x ,|F １B |＝|F ２B |＝３x ．由双曲线的定义,得|A F １|＝|A F ２|＋２a ＝２x ＋２a ．设øF １A F ２＝θ,则s i n θ＝３x ５x ＝３５,所以c o s θ＝４５＝２x ＋２a５x,解得＝a ,则|A F １|＝４a ,|A F ２|＝２a ．图２如图２,在әF １A F ２中,由余弦定理,可得c o s θ＝１６a ２＋４a ２－４c ２１６a２＝４５．整理,得５c ２＝９a ２．故e ＝c a ＝３５５．点评:这类题目考查了学生 数学抽象 的核心素养．解决此类题的关键在于将数学符号语言和图形语言相互转化,利用图形的直观性,结合相关定义㊁公式即可快速解题．２数形结合思想在立体几何中的应用例３㊀(２０２２年新高考I 卷)已知正方体A B C D ＧA １B １C １D １,则(㊀㊀)．A．直线B C １与D A １所成的角为９０ʎB ．直线B C １与C A １所成的角为９０ʎC ．直线B C １与平面B B １D １D 所成的角为４５ʎD．直线B C １与平面A B C D 所成的角为４５ʎ分析:此题可以通过建立空间直角坐标系来判断各选项是否正确,但计算较繁琐．解析:选项A ,B 的判断略．９３∗基金项目:江汉大学研究生科研创新基金项目 基于新课标新课改背景下提升中学生数学学科核心素养的探究 ,项目编号为K Y C X J J ２０２３５０;教育部产学合作协调育人２０２２年第一批立项项目 基于P y t h o n 的大数据分析与应用课程混合教学模式探索 ,项目编号为２２０５０６６２７２４２０５７．学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀图３如图３所示,连接A１C１,设A１C１ɘB１D１＝O,连接B O．由B B１ʅ平面A１B１C１D１,C１O⊂平面A１B１C１D１,得C１OʅB１B．因为C１OʅB１D１,B１D１ɘB１B＝B１,所以C１Oʅ平面B B１D１D,所以øC１B O为直线B C１与平面B B１D１D的夹角．设正方体棱长为１,则C１O＝２２,B C１＝２,于是s i nøC１B O＝C１O B C１＝１２．所以直线B C１与平面B B１D１D所成的角为３０ʎ,故选项C错误．因为C１Cʅ平面A B C D,所以øC１B C为直线B C１与平面A BC D的夹角,易得øC１B C＝４５ʎ,故选项D正确．综上所述,此题选:A B D．点评:本题主要考查立体几何中直线与直线的夹角㊁直线与平面的夹角,是对学生 逻辑推理 直观想象核心素养的考查．此题如果通过建系来计算,将比较复杂,耗时较长;若采取 传统 方法,结合图形并运用立体几何㊁三角函数相关知识,即可快速㊁直观作出判断．３数形结合思想在函数中的应用例４㊀(２０２１年全国乙卷)设aʂ０,若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,则有(㊀㊀)．A．a＜b B．a＞b C．a b＜a２D．a b＞a２分析:此题如果利用导数知识来求该函数的极大值点,再通过a与b的大小来判断选项将非常复杂．如果通过数形结合先考虑函数的零点情况,注意零点附近左右两侧函数值是否变号,结合极大值点的性质,对a进行分类画出该函数的图象再来判断选项将大大简化了问题,既直观又方便快捷[１]．解析:若a＝b,则f(x)＝a(x－a)３为单调函数,无极值点,不符合题意,故aʂb．所以f(x)有x＝a和x＝b两个不同零点,且在x＝a附近左右两侧不变号,在x＝b附近左右两侧变号．因为x＝a为函数f(x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,所以f(x)在x＝a附近左右都小于０．①当a＜０时,由x＞b,f(x)ɤ０,画出f(x)的图象如图４所示．由b＜a＜０,得a b＞a２．图４㊀㊀㊀图５②当a＞０时,由x＞b,f(x)＞０,画出f(x)的图象如图５所示．由b＞a＞０,得a b＞a２．综上a b＞a２成立．故选:D．例５㊀(２０２１年新高考I卷)已知O为坐标原点,点A(１,０),P１(c o sα,s i nα),P２(c o sβ,－s i nβ),P３(c o s(α＋β),s i n(α＋β)),则(㊀㊀)．A．|O P１ң|＝|O P２ң|B．|A P１ң|＝|A P２ң|C．O Aң O P３ң＝O P１ң O P２ңD．O Aң O P１ң＝O P２ң O P３ң分析:此题如果画出图形,利用数形结合思想解题,既直观又简捷．图６解析:如图６,可得|O P１ң|＝|O P２ң|＝１,故选项A正确．仅当α＝－β时,|A P１ң|＝|A P２ң|成立．故选项B错误．由O Aң O P３ң＝|O Aң| |O P３ң|c o s(α＋β),O P１ң O P２ң＝|O P１ң| |O P２ң| c o s(α＋β),|O Aң|＝|O P３ң|＝|O P１ң|＝|O P２ң|＝１,可知O Aң O P３ң＝O P１ң O P２ң．故选项C正确．观察图象,易得‹O Aң,O P１ң›＝α,‹O P２ң,O P３ң›＝α＋２β．故选项D错误．此题应选:A C．例６㊀(２０２１年新高考I卷)若过点(a,b)可以作曲线y＝e x的两条切线,则(㊀㊀)．A．e b＜a B．e a＜bC．０＜a＜e b D．０＜b＜e a分析:此题要求作出曲线y＝e x的两条切线,通过几何图形进行直观想象,很容易判断各选项是否正确．解析:作出y＝e x的图象．易得,若想作出切线,点(a,b)需在曲线y＝e x的下方和x轴上方,如图７,即b＜e a．图７㊀㊀图８但点(a,b)在x轴及其下方时,仅能作出一条切线,如图８．所以点(a,b)需在y轴上方,即b＞０．综上,可得０＜b＜e a．故选:D．综上所述,在高考数学中利用数形结合思想解题往往可以起到简化计算㊁提高解题效率的作用．因此,平时教学中教师应通过数形结合思想丰富的展现形式不断对其进行渗透,促进学生数与形相互转换的能力,刺激学生学习数学的欲望,引导学生投入到数形结合分析的专题探究中[２],从而达到数学抽象思维具象化㊁发散化的教学目的,最终达到提升学生核心素养和全面发展的教育目的．参考文献:[１]常国良．数学教学中渗透直观想象素养的三重境界[J]．教学与管理,２０２０(３１):６２Ｇ６４．[２]李兆芹．探究数形结合思想如何有效运用于高中数学教学[J]．数学学习与研究,２０１８(５):４３．Z０４。
数形结合思想方法在高中数学教学中的应用分析
探索篇•方法展示数形结合思想方法在高中数学教学中的应用分析郭艳华（辽宁省抚顺市新宾满族自治县高级中学，辽宁抚顺）数学是一门逻辑性较强的学科，知识学习难度较高，对于中学生而言感觉十分枯燥、乏味。
高中数学中，新课程教育改革要求教师可以转变教学理念，选择合适的教学方法，突出学生主体地位，帮助学生学习知识，掌握合理的学习方法，养成良好的学习素养，促进综合素质全面发展。
但是，由于种种客观因素影响，在高中数学学习中受到一系列因素制约和影响，还有待进一步完善，充分发挥数形结合思想方法优势，提升数学教学有效性。
由此，加强高中数学教学中数形结合思想方法应用研究，可以为后续教育改革奠定基础。
一、数形结合思想方法概述高中数学知识抽象、复杂，逻辑性较强，学生学习难度较大。
数、形作为数学知识学习中的主要元素，主要是指数量关系和空间图像。
在特殊情况下，可以将数量关系转变为空间图形，空间图形也可以转变为数量关系，力求将复杂问题精简化，帮助学生解题，提升学习成效。
数形结合思想方法在数学知识学习中，将数学图像转变为数学语言，有机整合抽象思维和形象思维，解决抽象性问题，在加深知识理解和记忆的同时，有效提升学生的解题能力[1]。
高中数学学习中，应该遵循双向性原则和等价性原则。
主要是在几何图形分析时，兼顾对代数抽象性的分析，充分发挥代数语言逻辑特点，避免集合直观思维的束缚，提升学习成效；等价性原则则是要求在数字和图形相互转变中，保持等价关系，究其根本在于部分图形自身局限性，画图中无法把握精准性，可能影响到解题效果，所以需要注重数字和图形的等价。
二、高中数学中数形结合思想方法的应用（一）代数转图形由于图形自身直观性特点，有助于加深复杂知识的理解和记忆，优势较为突出。
在高中数学学习中，对于部分抽象、复杂的代数问题，可以利用数形结合思想方法将其转化为图形问题进行分析，这样可以有效锻炼学生的逻辑思维，梳理解题思路，在解题的同时，提高学生的解题能力。
数形结合思想在高中数学教学中的应用分析
数形结合思想在高中数学教学中的应用分析数形结合思想是一种将数学和几何相结合的方法，在高中数学教学中具有广泛的应用。
通过数形结合思想，可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念，培养他们的几何直觉和空间想象力。
在高中数学中，数形结合思想常常应用于解决几何问题。
在解决平面几何问题时，可以通过画图来帮助学生直观地看到几何形状和关系，从而更好地理解问题的本质。
通过分析图形的特点和性质，可以将几何问题转化为代数方程，从而用代数方法解决问题。
数形结合思想还可以用于解决数论问题。
数论是数学中研究整数性质和结构的学科，其中很多问题可以通过数形结合思想来解决。
在研究素数分布规律时，可以通过数形结合的方法来探究素数之间的关系，从而得到一些有用的结论。
还可以通过利用几何图形来展示数论中的一些规律和性质，进一步深化学生对数论的理解。
数形结合思想在高中数学教学中的应用还可以帮助学生更好地理解函数和方程的性质。
通过将函数和方程与几何图形相联系，可以使学生对函数和方程的变化规律有更直观的认识。
在学习二次函数时，可以通过绘制二次函数的图像来研究函数的凹凸性、顶点坐标等性质，从而更好地理解二次函数的特点。
数形结合思想还可以用于解决概率问题。
在研究概率时，通过构建几何模型来表示概率实验的过程，可以直观地看到概率的计算方法和结果。
在求解排列组合问题时，可以通过绘制树状图或数组来辅助计算，从而更好地理解排列组合的概念和计算方法。
数形结合思想还可以用于解决最优化问题。
最优化问题是数学中的一个重要分支，其中很多问题可以通过数形结合的方法来解决。
在求解最大最小值问题时，可以通过画出函数的图像来找到函数的极值点，从而得到最优解。
数形结合思想在高中数学教学中的有效运用
数形结合思想在高中数学教学中的有效运用
数形结合思想是一种重要的思想方法，它将数学和几何相结合，利用图形和形状来推
导出数学规律，是一种将抽象问题转化为具体问题的思考方式。
在高中数学教学中，数形
结合思想具有很好的应用价值，可以更好地帮助学生理解数学知识，提高数学素养和应用
能力。
一、数形结合思想在平面几何中的应用
1.平面图形的解析方法。
平面几何是数形结合思想最常用的领域之一，常常需要利用
图形的形状和大小来分析和解决问题。
例如，在证明平面图形之间面积的关系时，可以通
过分析图形的对称性和相似性来推导出结论。
2. 比例关系的图示方法。
比例是数学中常见的重要概念，可以用图形来表示。
例如，通过图形的大小和比例关系，可以帮助学生更加直观地理解数学中的比例和比例关系，从
而更好地应用到实际问题中。
3. 二次函数图形的解析方法。
二次函数图像是高中数学中较为复杂的内容之一，学
生往往难以理解。
利用数形结合思想，可以将二次函数图形转化为图形的形状和特征，通
过图形的变化来推导出函数的特性和性质，从而更好地理解二次函数的概念和应用。
2. 函数求极值和最值的图示方法。
在函数求极值和最值时，可以利用图形的形状和
大小来分析和解决问题。
例如，在求函数的最大值和最小值时，可以通过图形的上下凸性
和变化趋势来推导出最值的位置和数值，从而更好地掌握函数求极值和最值的方法。
数形结合思想在高中数学教学中的运用研究
数形结合思想在高中数学教学中的运用研究摘要：数形结合思想是数学教学中的重要理念，通过将数学和几何形式结合，可以更加直观地理解数学知识，提高学生的学习兴趣和学习效果。
本文将从数形结合思想在高中数学教学中的意义和重要性、数形结合思想在解决实际问题中的应用以及数形结合思想在高中数学教学中的实际操作等方面展开研究，希望能够为高中数学教学提供一定的参考和借鉴。
关键词：数形结合思想；高中数学教学；实际问题；应用研究；教学操作一、引言二、数形结合思想在高中数学教学中的意义和重要性1. 提高学习兴趣数学教学中，通过数形结合思想，可以使抽象的数学知识更加具体和直观，从而提高学生的学习兴趣。
通过图形展示不同的数学定理和问题，可以使学生更容易理解和记忆，从而激发学习兴趣，增加学习动力。
2. 加深理解数形结合思想可以帮助学生更深入地理解数学概念和原理。
通过观察图形、几何形状和数学关系，学生可以更加直观地理解数学知识，从而更容易掌握和运用。
3. 培养思维能力数形结合思想可以培养学生的空间想象力和逻辑推理能力，提高学生的数学思维水平。
通过观察、研究和推理，学生可以更好地理解和运用数学知识，提高解决问题的能力。
三、数形结合思想在解决实际问题中的应用数形结合思想在解决实际问题中有着广泛的应用，特别是在几何问题和应用题中往往能够发挥出更大的作用。
1. 几何问题2. 应用题在应用题中，数形结合思想可以帮助学生更加直观地理解和解决各种实际问题。
通过图形展示一个实际问题的几何形式，可以更容易地建立数学模型，从而更容易地解决应用题。
1. 利用图形展示数学知识2. 引导学生观察、分析和推理。
数形结合思想在高中数学教学中的应用分析
数形结合思想在高中数学教学中的应用分析
数形结合思想是通过将数学与几何相结合的方式来解决问题，它充分利用了几何图形
的直观性和数学公式的精确性。
在高中数学教学中，数形结合思想可以被广泛应用于各种
数学概念和技巧的讲解，以及问题的解决。
在几何学中，数形结合思想可以用于解决诸如平面面积、体积等问题。
例如，如果我
们将一个三角形分成两个小的三角形，那么它们的面积加起来就等于原来的三角形的面积。
这就是数形结合思想的应用。
在高中数学教学中，这个思想可以用于教学基本几何概念，
例如勾股定理，三角形面积，正方体体积等。
另一方面，数形结合思想在代数学中也有重要的应用。
例如，在解方程的时候，我们
可以通过画出函数图像，通过图像的交点得到解方程的方法。
在高中数学教学中，这个思
想可以用于数学分析和高等代数的教学中。
此外，数形结合思想也可以用于数学模型的建立和实际问题的解决。
例如，当我们需
要解决一个有关面积或体积的实际问题时，我们可以通过用数学公式计算出形状的尺寸，
然后用这些尺寸来计算出我们所需要的面积或体积。
在高中数学教学中，这个思想可以用
于实际应用问题的教学中，例如纯算题，数学建模竞赛等等。
总之，数形结合思想在高中数学教学中的应用非常广泛。
它可以用于解决几何和代数
问题，用于建立数学模型，和解决实际问题。
更重要的是，数形结合思想可以帮助学生更
好地理解和运用数学知识，拓展他们对数学的视野，进而对数学产生了浓厚的兴趣。
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用1. 引言1.1 数形结合在高中数学教学中的重要性数目。
感谢理解！数形结合在高中数学教学中的重要性体现在多个方面。
数形结合可以帮助学生更深入地理解数学概念，将抽象的数学知识具体化，让学生更直观地感受到数学的美妙之处。
数形结合可以促进学生的逻辑思维能力和空间想象能力的发展，培养学生解决问题的能力。
数形结合还能够激发学生学习数学的兴趣，提高他们学习数学的积极性与主动性。
通过数形结合的教学方法，学生可以更全面地理解数学知识，将数学与实际生活中的问题联系起来，提高数学学习的效果和质量。
数形结合在高中数学教学中扮演着重要的角色，为学生提供了更丰富多彩的学习体验，有助于他们全面提升数学素养。
2. 正文2.1 数形结合的教学方法数、格式等。
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用是一种非常重要的教学方法，它通过结合数学中的符号和几何中的图形，使学生更直观地理解抽象的数学概念。
在进行数形结合的教学时，教师需要运用多样化的教学方法，以激发学生的学习兴趣和提高他们的学习效果。
教师可以通过举例说明的方式引入数形结合的概念，让学生从具体的实例中感受数学与几何之间的联系。
在解决几何问题时，可以让学生通过画图的方式将问题可视化，再通过数学方法解决问题，从而深刻理解数学与几何之间的联系。
教师可以组织学生进行小组讨论或合作学习，让他们互相交流思想，共同探讨解决问题的方法。
通过互动交流，学生可以更好地理解数形结合的概念，并且在实践中加深对知识的理解。
教师还可以借助现代化的技术手段，如数学软件或在线资源，来辅助数形结合的教学。
通过多媒体教学，学生可以更直观地感受到数学与几何之间的联系，提高学习效果。
2.2 数形结合在几何学习中的应用数目、格式要求等。
数形结合在几何学习中起着至关重要的作用，通过将数学知识与几何图形相结合，可以帮助学生更好地理解几何概念，提高他们的几何思维能力。
在高中数学教学中，数形结合可以应用于各种几何问题的解决中，如计算三角形的面积、判断平行四边形的性质等。
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用数形结合是指数学中将数学概念与图形形式相结合，通过使用图形直观地表示数学问题，从而加深学生对数学概念的理解和记忆。
在高中数学教学中，数形结合的巧妙应用可以使学生更加深入地理解和掌握数学知识，并能够更好地应用于解决实际问题。
数形结合可以帮助学生更加形象地理解几何图形的性质。
以平行四边形为例，传统教学中通常使用文字和符号来描述平行四边形的定义和性质，但学生往往难以直观地理解其几何特征。
而将平行四边形的定义和性质与相应的图形形式结合起来，可以使学生通过观察图形直观地感受到其特点，从而更好地理解和记忆。
数形结合还可以帮助学生更加直观地理解数学中的变量和函数关系。
在函数的教学中，常常使用符号和公式来表述函数关系，但对于学生来说，往往难以把握函数图形与其代数表达的对应关系。
而通过绘制函数图形，可以使学生直观地观察到函数关系的变化规律，从而更加深入地理解和掌握函数的性质和特点。
数形结合在解决数学问题中也有着巧妙的应用。
以解方程为例，传统的解方程方法往往通过运算步骤来推导出方程的解，但对于一些复杂的方程，运算步骤往往会较为繁杂，学生容易迷失在计算中。
而通过数形结合的方法，可以将方程转化为图形问题，通过观察图形解决方程，不仅更能激发学生的兴趣，还能够简化解题过程，提高解题效率。
在几何证明中，数形结合也有着重要的应用价值。
几何证明通常需要通过逻辑推理和形式化的描述来确立结论，而对于一些复杂的几何证明，学生往往难以从中找到突破口。
而通过数形结合的方法，可以将几何问题转化为数学问题，通过对数学关系或性质的推导来解决几何证明，从而使学生更加直观地理解几何问题的本质，提高几何证明的能力。
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数形结合思想在高中数学中的应用探究
作者：冯新玲
来源：《课程教育研究·学法教法研究》2018年第14期
【摘要】数形结合思想是高中数学思想中非常重要的数学方法和数学原则，也是全面提高学生素质的重要方法之一，掌握好数形结合的思想是学习高中数学的关键，在数学教学中有至关重要作用和地位。
它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，给人以直觉的启示，有利于分析题中的数量之间关系，丰富想象，化繁为简，化难为易。
对理解、掌握、运用数学方法和解决数学问题起到有效的推动作用。
【关键词】高中数学数形结合应用
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）14-0126-02
数学是一门逻辑性较强的学科，它不仅要求学生具有一定的空间想象能力，还要求学生具有解答数量关系的能力。
数形结合思想是一种很重要的数学思想，强调数和形的结合，数指的是数量关系，而形则指的是空间图象，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
是高中数学新教材中的内容能很好的培养和发展学生的数形结合思想.教材中这一方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观.还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，从而提高数学素养。
一、数形结合的思路
在教学的过程中，学生是主要参与者，老师只起到引导、启发的学生通过学习理论知识以及将知识转化为实践当中的应用能力，及时的给予学生提出新的问题，与学生一起探讨思索新问题的解决方案和思路。
把更多的时间留给学生，让学生独立的去思考如何解决问题，培养学生独立自主的解题能力，使得学生的知识基础过硬。
学生从一些课本基础的代数或者几何问题作为练习将代数和几何相互转化，熟悉相互转化的技巧，通过基础的训练之后，接触一些有难度的代数几何问题，将之用数形结合的方式解析出来，由此逐渐培养学生的做题技巧和做题能力。
利用数形结合的思路可以解决一些数学问题，发现数与形的内在联系，将会收到事半功倍的效果。
数形结合不仅仅是一种解题的方法，然而作为一种重要的数学思想，可以拓宽学生的思路，可以实现将知识转化为实际能力的过程，让学生更快更有效的解决数学问题。
二、高中数学“数形结合”相互转化的途径
首先，“形”到“数”的有效转换。
高中数学教学中形到数的转换有三种方式，第一是向量法，将几何图像进行向量化，将抽象的几何图像通过科学的推理转换为精简的代数化，特别是对于抽象的空间向量有着高效的作用。
第二是解析法，针对相关的题目建立一目了然的坐标
系，将复杂的几何图形变化转换为坐标的简单运算。
第三是三角形法，将抽象的几何问题与有迹可循的三角形相关联，运用不变的三角定理来解决问题。
其次，“数”到“形”的有效转换。
数到形的转换大体概括为三个方面，第一是在解决方程或者不等式这类问题时，可以借助函数的图像以及函数的性质来进行转换解题。
第二，可以通过对某个代数式的结构分析进行构造几何模型，通过二者的已知条件进行相应的解题。
第三，将代数式转换为平面向量，利用平面向量的数量以及模的性质来寻求解题的规律。
三、数形结合思想在高中数学中的具体应用
1.数形结合思想在解函数问题中的应用。
函数的图像是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。
函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。
例1求函数y=x2-2x-3，xE（-1，2）的值域。
解析：所求函数为二次函数，由于函数是非单调的，所以并不能代端点值去求值域，因此需要借助图像来观察，如右图：（略）
借助图像的直观表达可知道，具有区间范围的该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最小值是在对称轴处取得，即当x=1时，y=-4。
从而该函数的值域为：（0，-4）。
小结：对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。
2.数形结合思想解答不等式问题中的应用。
不等式灵活变换的特点和广泛应用的价值，对培养学生能力，发展学生思维提出了较高的教学要求。
例2求证：（a与c、b与d不同时相等）
分析：考察不等号两边特点为，其形式类同平面上两点间距离公式。
在平面直角坐标系中设A（a，b），B（c，d），O（0，0）.如图，当A、B、O三点不共线时，|AB|
当A、B、O三点共线，且A、B在O点同侧时，|AB|
当A、B、O三点共线，且A、B在O点异侧时，或A、B之一与原点O重合时，
|AB|=|AO|+|BO|综上可证。
3.数形结合思想在解析几何问题中的应用
“坐标法”是研究平面解析几何的最基本方法，通过建立适当的直角坐标系，利用点的坐标——数字特征来刻画平面图形的结构特征，利用代数的方法求解平面图形中的推理、运算问题，将几何问题“代数化。
例3已知A（1，1）为椭圆x2/9+y2/5=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求|PF1|+|PA|的最大值和最小值。
解：由x2/9+y2/5=1可知a=3，b=，c=2，左焦点F1（–2，0），右焦点F2（2，0）.由椭圆定义，|PF1|=2a–|PF2|=6–|PF2|，
∴|PF1|+|PA|=6–|PF2|+|PA|=6+|PA|–|PF2|
4.数形结合思想在解方程问题中的应用
例4设方程lx2-1l=k+1，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况。
分析：我们可把这个问题转化为确定函数y1=lx2-1l与y2=k+1图像交点个数的情况，因函数表示平行于x轴的所有直线，从图像可以直观看出：①当k0时y1与y2有两个交点，原方程不同解的个数有二个。
参考文献：
[1]刘志英.浅谈数形结合思想在高中数学中的应用[J].中学生数理化，2013（5）.
[2]孔令伟.数形结合思想在高中数学教学与解题中的应用[D].辽宁师范大学，2012.。