例析高中数列中常见的易错点

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高中数学考前归纳总结数列中的易错题剖析

1、忽视对项数n 的讨论：例1、已知数列{}n a 的首项11a =，通项n a 与前n 项和n S 之间满足12(2)n n n a S S n -=-≥，求数列{}n a 的通项公式。

【错解】 1n n n a S S -=-，112n n n n S S S S --∴-=-，即1112n n S S --=， 1{}nS ∴是以1为首项，2为公差的等差数列， 11(1)221n n n S ∴=+-⨯=-，即121n S n =-， 12(21)(23)n n n a S S n n --∴=-=--。

【剖析】上述解法忽视了对项数n 的讨论致错。

【正解】当2n ≥时， 1n n n a S S -=-，112n n n n S S S S --∴-=-，即1112n n S S --=， 1{}nS ∴是以1为首项，2为公差的等差数列， 11(1)221n n n S ∴=+-⨯=-，即121n S n =-，所以当2n ≥时，12(21)(23)n n n a S S n n --=-=--。

又当1n =时，11a =不满足上式，1,1,2,2(21)(23)n n a n n n =⎧⎪∴=-⎨≥⎪--⎩。

2、忽视等比数列的前n 项和公式1(1)1nn a q S q -=-的使用条件：1q ≠例2、求和：(a －1)＋(a 2－2)＋(a 3－3)＋…＋(a n －n ) .【错解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n) －(1＋2＋3＋…＋n )=(1)(1)12n a a n n a -+--. 【分析】利用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 的取值不能为1.【正解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n) －(1＋2＋3＋…＋n ) 当a =1时，S =22n n -；当1a ≠时，S =(1)(1)12n a a n n a -+-- 3、忽视公比的符号例3、已知一个等比数列{}n a 前四项之积为116数列的公比．【错解】四个数成等比数列，可设其分别为33,,,,a a aq aq q q则有4116a a aq q⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1q =或1q =，故原数列的公比为23q =+23q =- 【分析】按上述设法，等比数列{}n a 的公比是2q ，是正数，四项中各项一定同号，而原题中无此条件，所以增加了限制条件。

数列解题中的几种常见错误及解析举例

立．当ｎ：１时，０ｌ＝Ｓ，即５与０关系公式 Ⅱ ＝ｌ
种情况：当ｇ＝１时，Ｓ＝ｎ。 ① 口；② 当ｑ≠ １时，
一
！
２
１一ｇ ‘
正解当ｑ＝１时，’ ＝ｎ，。＋ｎ＝２．Ｓ ’０．．．ａ，。＝２ａ．ｎ．当ｑ≠１时，Ｓ＝（１）十（２十０）十… ＋（十０。十口。）
泛的联系，以在历届高考中都受到了命题者的青睐，每年所是
成立的条件为ｎ２使用ｓｓ求ｎ＞Ｉ，一只能表示第二项以后
的各项，而第一项是否能用这个ｏ表示，尚需验证，只有当｜一ｓ
（ｎ＋３ｎ＋２）一［ｎ一１＋（（）２ｎ一１＋３）］
点粗浅的教学体会，当之处，批评指正．不请
数学学习与研究２１．００７
＝
是分步条件蜮
因此
要分两步：
＝
（ｌ２０＋口＋… ＋）＋（口＋。＋… ＋ｎ）
！垡２ｎ二：＋ｒ上
．
先求ｎ＝１结果当，，ｌ ≥２时使用。＝Ｓ一Ｓ，后验证是最
１＿ｑ
否可以合并．在解题的过程中，往只想到。Ｓｓ，而往＝一而忽略了。Ｓ一Ｓ成立的条件为ｎ．＝ ≥２
高考必考内容之一．其作为重点研究对象和载体的等差、尤等比数列，就更需要正确地理解和掌握了．解题时，在如果没有扎

高考数列易错点归纳

数列1.数列的第n 项与前n 项的和的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n S a a a =+++L ). 2.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为()12n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 3.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为()111,11,1n n a q q S qna q ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩. 4.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1,(1)111n n nb n n d q S d q db n q q q q+-=⎧⎪=⎛⎫-⎨-+≠ ⎪⎪---⎝⎭⎩. 【易混易错】易错点1．已知n S 求n a 时, 易忽略1n =致错．【例1】已知数列{}n a 的前项和为n S ＝12n 2＋12n ＋1，求{}n a 的通项公式．【错因】1n n n a S S -=-成立的条件是2n ≥，当1n =要单独验证．易错点2．利用等比数列前n 项和公式时，忽略公比1q =致错．【例2】求数列2311,3,5,7,......(21),.....(0)n a a a n aa --≠的前n 项和．【错解】由于1(21)n n a n a -=-(*)n N ∈，23211357......(23)(21)n n n S a a a n a n a --=+++++-+-n aS =2341357......(23)(21)n n a a a a n a n a -+++++-+-两式相减得231(1)1222.....2(21)n nn a S a a a an a --=+++--=12(21)11nn a n a a-----g21(21)12(1)1n n n a n a S a a--+∴=---g .【错因】上述解法只适合1a ≠的情形．事实上，当1a =时，1357......(23)(21)n S n n =+++++-+-2(121)2n n n +-==【正解】221(21)12,1(1)1,1n n n a n a a a a S n a ⎧--+-≠⎪--=⎨⎪=⎩g ．易错点3．忽略数列与函数的区别致错．【例3】已知函数5,6()(4)4,62x a x f x ax x -⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，数列{}n a 满足()n a f n =（*N n ∈），且数列{}n a 是单调递增数列，则a 的取值范围是_______．【错解】由题有651402(4)642a aa a -⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪-⨯+<⎪⎩，得78a <<．【错因】忽略数列与函数的区别致错，实际上，数列是一串离散的点，不能直接将6n =代入到分段函数的两个部分进行比较．【正解】由题有1402(5)(6)a a f f >⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩，得4887a <<．【例4】已知数列22n a n tn =-+在[2,)+∞上是递增数列，则实数t 的取值范围是_______．【错解】依题意，22tn =≤，解得4t ≤，所以t 的取值范围是(,4]-∞．【错因】数列的定义域是全体的正整数，不是实数，所以不能按照函数的处理办法．【正解】依题意，23a a <，即422932t t -+<-+，故5t <．易错点4．数列的定义域是全体的正整数．【例5】已知数列133n a n =-，其前n 项和为n S ，则n S 的最大值是________．【错解】由题意，110a =，2(10133)323529()22624n n n S n +-==--+，当236n =时，n S 的最大，最大值为52924n S =．【错因】数列的自变量是正整数，不能取非正数．【正解】方法1：由题意，110a =，2(10133)323529()22624n n n S n +-==--+，当4n =时，离二次函数对称轴最近，所以n S 的最大值为4S =223434222⨯-⨯=．方法2：令1330n a n =->，解得134n <，即{}n a 前4项为正数，后面项均为负数，所以n S 的最大值为4S =223434222⨯-⨯=．易错点5．乱用结论致错．【例6】已知等差数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和分别为23,,m m m S S S ，230,90m m S S ==，求3m S ．【错解】因为322m m m S S S +=，30m S =，290m S =，所以322150m m m S S S =-=．【错因】以为{}n a 为等差数列，则23,,m m m S S S 也是为等差数列致错．【正解】设数列的公差为d ，则123......m m S a a a a =++++，212312...........m m m m S a a a a a a +=+++++++，31232213...........m m m m S a a a a a a +=+++++++11()2m m S a m -=+，2131()2m m m S S a m --=+，32151()2m m m S S a m --=+ 所以232,,m m m m m S S S S S --是公差为2m d 的等差数列，所以()2322m m m m m S S S S S -=+-．即32(9030)3090m S ⨯-=+-，3180m S ∴=．易错点6．乱设常量致错．【例7】数列{}n a 与{}n b 的前项和分别为,n n S T ，且:(513):(45)n n S T n n =++，则1010:a b =_______.【错解】(513),(45)n n S n k T n k =+=+，则15n n n a S S k -=-=，14n n n b T T k -=-=，所以1010:5:4a b =．【错因】从:(513):(45)n n S T n n =++可知，比值:n S (513)n +=n T :(45)n +随着项数的变化而变化，不能设为常数，这里忽略了项数的可变性而致错．【正解】设(513),(45)n n S n nk T n nk=+=+，则1(108)n n n a S S n k-=-=+，1(81)n n n b T T n k -=-=+，其中2n ≥，:n n a b ∴=(108):(81)n n ++．所以1010:a b =4:3．易错点7．用归纳代替证明致错．【例8】【四川高考理数改编】已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ ，若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；【错解】依题意112132=112=32a a a qa a a ìïïïï+=+íïïï+ïî，解得123124a a a ì=ïïïï=íïïï=ïî，因为2213a a a =，所以{}n a 是一个等比数列，所以1*2()n n a n -=?N ．【错因】由前3项成等比数列，就认为数列{}n a 为等比数列．【正解】由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列.从而1=n n a q -.由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q+q -=，由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N .易错点8．数列加绝对值后，认为其还是等差数列．【例9】在等差数列{}n a 中，331n a n =-，记||n n b a =，求数列{}n b 的前30项和. 【错解】依题意，||n n b a =也是等差数列，11||28b a ==，3030||59b a ==，所以3012330(2859)30||||||......||12602S a a a a +⨯=++++==．【错因】这里易错点是{}n b 也为等差数列，而解题的关键是绝对值号内的n a 的正负号进行讨论，当10n ≤时，0,11n a n <≥时，0n a >【正解】3012330||||||......||S a a a a =++++1231011121330(......)(......)a a a a a a a a =-+++++++++110113010()20()22a a a a ++=-+=755．易错点9．使用构造法求数列通项公式时，弄错首项致错．【例10】已知数列{a n }满足a 1＝1，121n n a a +=+，求n a 的通项公式．【错解】*121()n n a a n N +=+∈Q ，112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以2为公比的等比数列 11122n n n a --∴=⨯=*()n N ∈．【错因】新数列的首项是112a +=，不是1a ．【正解】*121()n n a a n N +=+∈Q ，112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列 12.n n a ∴+=即 *21().n n a n N =-∈【即时检测】1.已知数列{a n }是1为首项，2为公差的等差数列，{b n }是1为首项，2为公比的等比数列，设n b n a c =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是( )A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【分析】由题设知21n a n =-，12n n b -=，由1121124222n n n b b bn T a a a a a a a n -+=++⋯+=+++⋯+=--和2019n T <，得1222019n n +--<，由此能求出当2019n T <时n 的最大值．【详解】{}n a Q 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b Q 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，()()()()1121121242211221241221n n n n b b bn T c c c a a a a a a a --∴=++⋯+=++⋯+=+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯-()121242n n -=+++⋯+- 12212nn -=⨯-- 122n n +=--，2019n T <Q ，1222019n n +∴--<，解得：10n ≤．则当2019n T <时，n 的最大值是10．故选：B ．【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，结合含两个变量的不等式的处理问题，易出错，属于中档题.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S 的值为（） A. 1008 B. 1009C. 1010D. 1011【答案】C【分析】利用()12n n n S S a n --=≥，结合数列的递推公式可解决此问题．【详解】解：当 2n ≥时，12n n a S n -+=①，故121n n a S n ++=+② 由②－①得，()1121n n n n a a S S +--+-=，即()112n n a a n ++=≥ 所以()()()201912345201820191010S a a a a a a a =+++++⋯++= 故选：C ．【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，含有n S 时常用()12n n n S S a n --=≥进行转化．3.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是（） A. 24 B. 48C. 12D. 60【答案】A【解析】由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设等比数列的首项为，则有7(12)38112a -=-，解得3a =．∴该塔中间一层（即第4层）的灯盏数为33224⨯=．选A ．4.已知等差数列{a n }的公差0≠d ，前n 项和为S n ，若对所有的)(*∈N n n ，都有10S S n ≥，则（）．A. 0≥n aB. 0109<⋅a aC. 172S S <D. 019≤S【答案】D【解析】由n N *∀∈，都有10S S n ≤，10110,0a a ∴≤≥，1191020a a a ∴+=≤，()119191902a a S +∴=≤故选：D.点睛：利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量. 5.已知数列{a n }的前n 项和n S 满足*1(1)26()2nn n n S a n n N --=-+∈，则100S =（） A. 196 B. 200C. 10011942+D. 10211982+【答案】B【解析】()11262nn n nS a n --=-+（1）当2n ≥时，()1111112(1)62n n n n S a n ------=--+（2），（1）-（2）得; ()()1112112n n n n n n a a a --=-+---,当n 为偶数时，1122n n a -=-，当102n =时，101102122a -=，当n 为奇数时，11222n n n a a -=-+，101n =时，1001011012122a a +=- 100100162a ∴=-100100100120062002S a ∴=+-+=。

数列常见错误分析

《数列》常见错误辩析数列是高中数学的重要内容之一，在最近几年的高考中，有关数列问题每年有两个左右，约占总分的12％.由于数列学习要求较高，同学们在学习的过程中经常会因为概念不清、忽略条件、思维混乱、考虑不周等原因而错解题目.下面就一些常见错误分类辨析如下，希望能对同学们有所帮助.错误一：陷入“n ”的误区例1 已知数列1，4，7，10，…，3n +7，…其中后项比前项大3. 求这个数列的通项公式.错解：数列的通项公式是37n a n =+.错误原因：有些同学看见含有n 的式子，就认为该项就是此数列的第n 项，而实际上题目给出的该项是已经化简了的结果，而并没有按照数列通项公式最原始的结构给出. 正解：数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以32n a n =-. 错误二：“貌合神离”导致错误例2 已知数列1{}1n a a =，，且1()n n a a n n *+-=∈N ，求数列{}n a 的通项公式. 错解：∵1()n n a a n n *+-=∈N ，∴{}n a 是以1为首项，以n 为公差的等差数列，则21(1)1n a n n n n =+-=-+.错误原因：有些同学看见1()n n a a n n *+-=∈N 的结构就联想到1()n n a a d n *+-=∈Z ，没有意识到等差数列定义中要求后项减前项是同一个常数这一条件，只是记住了公式的外形，而没有领会公式内在的本质要求，所以造成了把变量当成常量的错误. 正解：1()n n a a n n *+-=∈Z∴2132431()()()()123(1)n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++- ，即2111(1)1222n n n n na a n a +--=-∴=-+ ，. 错误三：特殊代替一般例3 已知函数()31xf x x =+，数列{}n a 满足111()()n n a a f a n *+==∈Z ，，求证：数列是等差数列. 错解：∵11()1()(N )31n n xf x a a f a n x *+===∈+，，. ∴212111()43114a f a a ====⨯+，，3232132111111()737a f a a a a a a ===-=-= ，，（常数） ∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列.错误原因：这是初学者经常犯的一个错误，把对有限项成立的式子作为数列的通项公式，忽略了数列通项公式定义中“每一项”三个字而致错，因为对数列定性的结论是要求对数列所有项都成立的，而对局部的验证不能代替一般的证明. 正解：11()1()(N )31n n xf x a a f a n x *+===∈+，，. ∴11131111.331n n n n n n n na a a a a a a a ++++==∴-=+，，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，3为公差的等差数列.错误四：把“1a ”遗忘例4 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121log 2n S n =+，则数列{}n a 是（）. （A（B（C ）公比为12的等比数列（D ）既非等差也非等比数列错解：∵12111122n n n n n n a a S S a ++-⎛⎫=-=-∴=⎪⎝⎭，，选（C ）错误原因：对公式成立的条件没有记住，1n n n a S S -=-对2n ≥成立，而对1n =时却未必成立，同学们在解题的过程忽略了2n ≥这一隐藏条件，而导致了判断的错误. 正解：当n =1时，321112a S ⎛⎫==⎪⎝⎭，当n ≥2时，12112n n n n a S S +-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭332211122a ⎛⎫⎛⎫=≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴32121(1)21(2)2n n n a n +⎧⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩≥ 正确答案为（D ）.错误五：随意编造性质例5 在等差数列{}n a 中，()n m a m a n m n ==≠，，则m n a +=__________. 错解：m n m n a a a m n +=+=+.错误原因：受等差数列性质：“若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+”的“启发”；于是有些同学就“想当然”认为也有m n m n a a a +=+性质，随意构造结论，而导致此题的错解.正解：∵1m n a a n md m n m n--===---，∴()()0m n n a a m n n d m m +=++-=+-=. 错误六：对公式理解深度不够例6 已知n n S T ，分别为等差数列{}{}n n a b ，前n 项的和，且723n n S n T n +=+，那么55a b =_________. 错解：由题意设(72)(3)n n S n k T n k =+=+，，则有5545543730787a S S k kb T T k k--===--. 错误原因：上述的错解是此题众多错解中的最普遍的解法.其解题过程看上去似乎步步有理，但为什么又是错误的呢？原因就是对等差数列前n 项和公式没有理解透彻.错解中设(72)(3)n n S n k T n k =+=+，，即将等差数列前n 项的和看成了是关于n 的一次函数，显然是错误的.事实上，在等差数列中1(1)2n n n S na d -=+，即2n S An Bn =+，它不一定是n 的一次函数.正解：法一：设(72)(3)n n S n nk T n nk =+=+，，则有55455418512065402812a S S k kb T T k k --===--. 法二：5519955199265212a a a a Sb b b b T +====+. 上述简单地列举了数列学习中同学们常犯的一些错误，当然易错点远不止这些.要想在平常的练习、考试中少出错误，我们首先要吃透定义，深刻理解数列性质的内涵与外延.同时，做一些必要的针对性练习，记录自己在练习中经常出现的错误进行反思，这样就能避免出现类似错误. 则有55455418512065402812a S S k kb T T k k --===--. 法二：5519955199265212a a a a Sb b b b T +====+. 上述简单地列举了数列学习中同学们常犯的一些错误，当然易错点远不止这些.要想在平常的练习、考试中少出错误，我们首先要吃透定义，深刻理解数列性质的内涵与外延.同时，做一些必要的针对性练习，记录自己在练习中经常出现的错误进行反思，这样就能避免出现类似错误.错误七对概念理解不透彻例1 下列说法正确的是（）Ａ．若1n n a a q +=（n *∈N ，q 为常数），则数列{}n a 是等比数列Ｂ．若2b ac =，则数列a b c ，，是等比数列Ｃ．任何两个数都有等差中项和等比中项Ｄ．数列a b c ，，是等差数列2a c b ⇔+=错解：不少学生会选择A 或B解析：对于各项全为零的常数列来讲，满足（A ）、（B ）两个选项，但显然这个常数列不是等比数列．对于（C ）选项，若两数异号，或者有一个数是零，则显然这两数没有等比中项．而上述所有问题对等差数列来讲都是不存在的，所以正确答案选（D ）．例2. 数列{}n a 中任何相邻两项x y ，满足223220x xy y x y ++-+=，那么此数列是（）Ａ．等差数列Ｂ．等比数列Ｃ．等差数列或等比数列Ｄ．以上均不对解析：∵22322()(2)(2)(2)(1)0x xy y x y x y x y x y x y x y -+-+=----=---=·， ∴2x y =或1x y -=．我们很容易误选（Ｃ）．但数列1000 ，，，，满足上式，它既不是等差数列，也不是等比数列．所以答案应选（D ）．。

2024年高考数学数列易错知识点总结

2024年高考数学数列易错知识点总结高考数学中的数列作为重要考点之一，经常涉及到的知识点较多且易错。

在2024年高考数学考试中，以下是数列的易错知识点总结：一、数列的基本概念与性质1. 数列的概念：数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。

需要区分数列的元素与项，元素是指数列中的具体数字，而项是指元素所在的位置。

2. 等差数列与等差中项：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。

等差中项是指位于等差数列中的任意一项。

3. 等差数列的通项公式：对于等差数列${a_1, a_2,a_3, ..., a_n}$，其通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，d表示公差。

4. 等比数列与等比中项：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。

等比中项是指位于等比数列中的任意一项。

5. 等比数列的通项公式：对于等比数列${a_1, a_2,a_3, ..., a_n}$，其通项公式为$a_n = a_1r^{n-1}$，其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，r表示公比。

6. 等差数列与等比数列的前n项和公式：等差数列的前n项和公式为$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，等比数列的前n项和公式为$S_n = \\frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$。

7. 数列的性质：数列的奇数项和与偶数项和的关系，数列的倒数项和与首项和的关系。

如等差数列中的奇数项和是首项和的一半，倒数项和是首项和的倒数。

二、数列的综合应用1. 数列的增长率与减少率：通过对序列中的元素进行操作，可以计算出数列的增长率与减少率。

如等差数列中，相邻元素的增长率是公差d；等比数列中，相邻元素的增长率是公比r。

2. 数列的问题转化：将数列问题转化为方程或等价式，从而找到解题的方法。

如通过设置未知数，将一个复杂的数列问题转化为简单的方程求解。

浅析高考备考数学易错知识点——数列

浅析高考备考数学易错知识点——数列一、前言数列在历年的高考中属于必考的知识点,一般都是两个小题或一道解答题或一道小题一道大题,重点考查求数列的通项公式、前项和两大问题,但是数列题一般是以简单的题型来考查,所以很多时候是因粗心大意导致失误,下面笔者将从实例出发,分析易错的知识点,以期能尽量减少考生在该模块中的丢分.二、《数列》模块常见错误类型1.等比数列中的项不能为0例1.若成等比数列,求 .误解：成等比数列,,解得错因分析：由于有两个值,很多学生思维不严谨,不会重新带回去检验,容易错误的得出两个答案.正解：成等比数列,,解得当时, ,舍去, ,则公比为2.忽略公式的适用条件例2.已知数列的前n项之和 ,则是什么数列？误解：（常数）为等比数列错因分析：由于忽略公式的适用条件是正解：当时,；当时,（常数）但既不是等差数列,也不是等比数列3.裂项相消求和裂项时容易出错例3.求数列求数列的前项和误解：错因分析：裂项的时候不知道如何裂项，做题时可以先设正解：常见的裂项公式:；；；；；一般地, .4.错位相减求和时项数处理不当例4.求数列的前项和误解：则错因分析：在利用错位相减法求和的时候,一般分为五步：写出前；写出；错位相减；求和；化简.其中在求和的时候是求一个等比数列的前项和,所以很多同学容易求成前项和；另外在化简的时候也是由于指数的运算不熟练导致化简结果错误.正解：则错位相减法求和可以套用如下公式可以快速求和：若数列的通项为 ,则数列的前项和为 ,其中 .三、总结数列在近几年高考中一般考得都比较简单，属于平时训练时要拿满分的题型，为此提出一些看法，供考生参考；1.做题的时候要考虑全面,避免错解漏解；2.平时做题要多加总结,以期不变应万变.四、题型检测1.（2012年新课标卷）等比数列的前项之和为 ,若 ,求公比 .满足 ,求的通项公2. 已知数列的前项之和为,式.3.（2014年山东卷）已知等差数列的公差为2,前项和为 ,且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令 ,求数列的前项和 .4.（2017年天津卷）已知数列是等差数列，其前项和为 ,是首项为2的等比数列,且公比大于0, .（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.。

高考数学数列易错知识点总结

高考数学数列易错知识点总结高考数学中，数列是一个重要的考点，也是学生易错的地方之一。

在解题过程中，经常会遇到一些易错的知识点。

下面总结了一些高考数学数列易错知识点，希望能够帮助到你：1. 数列的递推公式与通项公式的区别：很多学生容易混淆数列的递推公式和通项公式。

递推公式是用前一项的表达式来表示后一项的公式，通项公式是用项数n的表达式来表示第n项的公式。

在解题时，要明确区分递推公式和通项公式的用法和含义。

2. 数列的基本性质：数列的基本性质包括数列的有界性、单调性和有限性。

有界性指的是数列的项都在一定的范围内，可以是上界或下界；单调性指的是数列的项是递增或递减的；有限性指的是数列的项是有限的，不存在无限项。

在解题时，要注意数列的基本性质，根据题目中给出的条件判断数列的性质。

3. 等差数列和等差数列的前n项和公式：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

等差数列的前n项和公式为Sn = (a1 + an)n/2，其中Sn为前n项和。

在解题时，要熟练掌握等差数列的相关公式，并进行灵活运用。

4. 等比数列和等比数列的前n项和公式：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。

等比数列的通项公式为an = a1 *r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)，其中Sn为前n项和。

在解题时，要熟练掌握等比数列的相关公式，并进行灵活运用。

5. 通项公式的证明与应用：在解题过程中，有时会遇到需要证明通项公式的问题。

要能够灵活运用数学归纳法和代数方法，进行通项公式的证明。

同时，要能够根据通项公式，求解具体的问题，包括求某一项的值、判断第n项的性质等。

6. 数列极限的计算与判断：数列极限是数列中项随着项数增大而趋于的值。

在解题过程中，要能够根据给定的数列，计算出数列的极限值，并进行判断。

人教版数学高二-备课资料数列问题中常见错误剖析

数列问题中常见错误剖析数列是高中数学重要内容之一，是每年高考的必考知识点,也是学生主要得分点之一，但部分同学常常会忽视一些细节问题，导致在高考中得分不是很高。

本文结合具体实例进行剖析，加强同学们解题时的防犯意识，以提高数学解题能力。

一.忽视等比数列中公比不为０例1.在等比数列{}n a 中，有21)(lim 321=++++∞→n n a a a a ，求1a 的取值范围。

错解：设公比为q ，则2111=-q a ， ∴11a q -= ， ∵q ＜１ ∴11a -＜１解得０＜1a ＜１。

剖析：上面解答中忽视了等比数列概念中要求0≠q 这一条件。

正解：由无穷等比数列各项和知 ⎪⎩⎪⎨⎧=-<<211101q a q ，可得 12101<-<a ，从而解得)1,21()21,0(1⋃∈a 。

二.注意公比q 一定是常数例2.数列{}n a 的首项为12，0n a >，且2211(2)(1)0()n n n n n a n a a a n *+++-++=∈N ，求{}n a 的通项公式．错解：由已知，得[]11()(2)(1)0n n n n a a n a n a ++++-+=．因为100n n n a a a +>+>，，所以1(2)(1)n n n a n a ++=+，即112n n a n a n ++=+．所以{}n a 是首项为12，公比为12n n ++的等比数列．所以{}n a 的通项公式为11122n n n a n -+⎛⎫=⨯ ⎪+⎝⎭．剖析：此解中由“112n n a n a n ++=+”就认为{}n a 是等比数列．其实，等比数列定义中的1n n a q a +=不仅仅是一种形式，而且要求q 必须为常数，这里的12n n ++显然不是常数，故解答错误．正解：由已知得112n n a n a n ++=+，即时112n n n a a n ++=+．所以1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----= (1221111321)n n n n n n n --=⨯=+-+···…·．三.忽视隐含条件致误例3.已知四个实数成等比数列，其积为36，中间两数之和为5，求这四个数．错解：设比四个实数为33a a aq aq q q，，，，由题知33365a a aq aq q q a aq q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩···，，解之得a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩当a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，这四个数为492332，，，；当3a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或3a q ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时，这四个数为943223，，，．综上得这四个数为492332，，，或943223，，，．剖析：此题设法巧妙，事实上，当设四个数为33a a aq aq q q，，，时，已经隐含了这个等比数列的公比为20q >，即这个数列的各项应该为符号相同的．但此题中并没有这种限制，所以运用这种设法，虽然巧妙，但已经把这四个数正负相间（即公比为负）的另一种情形给弄丢了，正确解法如下：正解：设这四个数为23a aq aq aq ，，，．由题知232365aaq aq aq aq aq ⎧=⎪⎨+=⎪⎩···，，解之得232aq aq =⎧⎨=⎩，，或223aq aq =⎧⎨=⎩，，或261aq aq =⎧⎨=-⎩，，或216.aq aq =-⎧⎨=⎩，故这四个数为492332，，，或943223，，，或116366--，，，或136616--，，，．四.忽视利用1--=n n n S S a 求通项时n ≥２的条件例4.在数列{}n a 中，已知前n 项和2232+-=n n S n ，求该数列的通项公式。

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ｆＳ．（＝Ｄ
＋口９＋… ＋）
：
三七一竺七＋１５４
２２
所以ｓ：要七２
５４。
ａｎ１ｓ一Ｓ（＞２）
正解：当月＝１时，ａｌ＝Ｓｌ＝５；当，ｚ ≥２时，ａｎ＝２ｎ＋
一
ｑ一ｑ４＿ｑ＋１＝０
，
即（ｑ一１）（ｑ一１）＝Ｏ。
，
‘
．
。ｇ≠ １，． ’ ．ｑ２ — １ ≠０
．
ｑ４＝１ｇ＝一１。，
・
．
ｇ＝１或ｑ＝一１。
方面是数列的基本概念，另一方面是数列的运算。下面对
２＋１ —２（一１）一２（一１）一１＝４ｎ，
Ｉ５，：１
‘ ・・
［出错原因与防范措施］在数列｛ａ｝中，若ａ，ａ：，… ，
ａｍ ≤０，ａ＋１，… ，ａｎ＞０，数列｛｝的前项和为ｓ，数列
常见的几种易错点进行归纳总结，同时结合例题进行剖析，
三忽视分类讨论或讨论不当导致错误例３，若等差数列｛｝的首项ａ＝２０，公差＝－３，求Ｓｋ＝ｌａｌＩ＋ｌａ２ｌ＋ｌａ３ｌ＋…＋１Ｉ。错解：由题意可知ａｎ＝２０－３（一１）＝２３－３ｎ，因此
以便今后我们在碰到类似的问题时不至于再出错。
一
忽视数列首项的重要性导致错误
例ｌ，已知数列｛｝的前项之和为ｓ＝２ｎ＋２＋１，则数列｛ａ｝的通项公式。
错解：ａＨ＝４ｎ。
由 ≥０，解得 ≤ ，即数列｛｝的前７项大于０，从第８
概念理解不透彻所致。在解关于由Ｓ求的题目是，按两
２（ａｌ＋ａ２＋０３＋ …＋ａ７）一（口１＋啦＋０３＋ … ＋７＋８
步进行讨论，可避免出错。（１）当ｎ＝ｌ时，口１＝ｓ；（２）当＂ ≥２时，＝Ｓｎ－Ｓ。检验ａ是否适合由（２）求得的解析式，若符合，则统一；若不符合，则用分段函数表达：
项开始，以后各项均小于０。当 ≤７时，Ｓｋ￣ｌａｌｌ＋Ｉ口２Ｉ＋Ｉ口３ｌ＋… ＋１ａ小＝口ｌ＋ｄ２＋…
二忽视对等比数列中公比的分类讨论导致错误例２，设等比数列｛ａ｝的前项和为ｓ，ｓ＋ｓ＝ｓ，则数列的公比是
学园ｌＸＵＥＹＵＡＮ
２０１４年第１期
例析高中数列中常见的易错点
张福庆福建省德化第一中学
・
．．
数列是高中数学的重点之一，它既有相对的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，也是初等与高等数学的衔接点，因而也是历年高考的重点。考查的内容主要有两个方面，
错解：一１。
。
［出错原因与防范措施］本题出错的原因是在表示等比数列｛｝的前 ”项和时，学生只是想到：，把ｇ：１
的情况不自觉地排除在外，这是对前ｎ项和公式理解不透彻
所致，解等比数列的问题，一定要注意对公比的分类讨论，这是防止出错的一个好方法。正解：（１）当ｇ＝１时，ｓ２＋ｓ４＝６ａ，，ｓ６＝６ａ１。
项开始，以后各项均小于０。ｌ口１ｌ＋ｌ口２ｌ＋１口３ｌ＋ …＋Ｉｌ（ａ１＋口２＋口３＋… ＋口７）一（口８＋口９＋… ＋）
：
［出错原因与防范措施］本题出错的原因是没有注意到
＝
ｓ一Ｓ是在 ≥２的条件下才能成立。这是由于对数列
：
Ｓ２＋Ｓ４＝Ｓ６成立。
（２）当ｑ ≠１时，由Ｓ２＋Ｓ４＝Ｓ６。
２）＋— ４）ａｌ（１＿ｑ得．— ａｌ（１＿ｑ
— —
：
望
１一
１一
１一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三ｊ｝一竺七＋１５４
不再是一个一个的知识点，而是一片一片的知识网，乃至一棵一棵的知识树。
‘ ．．
＋口：一三＋．３４ｋ。
２２
当七 ≥８时，ｌａｌＩ＋ｌａ２Ｊ＋ｌａ３ｌ＋… ＋ｌａｋｌ＝（ａｌ＋口２＋口３＋ …
＋口７）一（ａ８＋日９＋… ＋）＝２（ａ１＋口２＋口３＋… ＋口７）一（ａ１＋＋＋… ＋口７＋口８＋口９＋… ＋）
｛ｌａｌ｝的前项和为Ｔ，则：
ａ
ｎ
１４，＂２
当 ≤ 时，Ｔ＝一（口１＋口２＋…＋）＝－－Ｓ；当 ≥ 时，Ｔ＝一（口１＋口２＋…＋口）＋（ａ＋ｌ＋…＋）＝Ｓ－２ｓ，要注意这个转化策略。在数列问题中，一定要注意项数ｎ的取值范围，特别是在它取不同的值造成不确定的因素时，要注意对其加以分类讨论。正解：由题意可知＝２０ —３（一１）＝２３－３ｎ，因此由ａｎ ≥０，解得 ≤ ，即数列｛｝的前７项大于０，从第８