微积分二复习要点
12-13-02《微积分二》复习要点整理(基本层次要求)
2012-2013-2《微积分二》（基本层次要求）复习纲要建议：1、以同步练习册、期中试卷为重要参考，依据以下“微积分（II）复习要点”所述重点及列出的教材练习，集中力量掌握重点、典型问题的求解思路和基本技巧。
在此基础上，第六章至第七章的较完整考点可参考本学期《期中试卷》。
此外，第九章仅限于第二节“可分离变量微分方程、齐次方程、一阶线性方程”三类方程的通解/特解的求解，建议以课堂例子及课后布置的有限数量的作业的难度为准。
2、在难度与期中考试水平相当的情况下，务必熟练掌握以下“三大计算”：积分（定积分、反常积分、二重积分）偏导（一阶偏导、二阶偏导、显函数/隐函数偏导）与全微分级数判敛（限于典型方法的典型应用，不追求过多技巧）微积分（II ）复习要点（共12页）（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用，建议按照提纲罗列顺序进行复习）Ch6+Ch7两章第一部分 计算偏导与全微分（以二元函数为主）()()().yz,x z yz ,xz,y ,x f z .10000y ,x y ,x ∂∂∂∂∂∂∂∂=或偏导函数求解偏导数具体形式已知初等函数问题()()().xz,x x 3,dxdz 2,y ,x f ,y y 1xz0000y ,x 000y ,x ∂∂==∂∂即得所求最后代入）一元函数的导数利用上学期方法求上述）函数则原二元函数变为一元代入）步骤如下：求具体点偏导解法：*().yz,00y ,x ∂∂可求出类似()().yzy ,x y ,x f ,*.x z ,x z 2,y y ,x f 1xz∂∂∂∂∂∂求导即得对视为常数中的将类似所得结果即为的导数对利用上学期方法求）视为常数中的将）步骤如下：求偏导函数 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！前提——熟记第三章P66导数公式、P64“四则运算”求导法则、P68复合函数求导之链式法则！同步练习册P13 Ex1 (1), Ex2 (1).().dz ,y ,x f z .2求全微分已知问题=.dy yzdx x z dz ,yz,x z 为所求则的具体结果—先分别求出—系利用全微分与偏导的关解法：∂∂+∂∂=∂∂∂∂配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P14 Ex4, Ex5.().yz,x y z ,y x z,x z ,y ,x f z .3222222∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=求解二阶偏导数具体形式已知初等函数问题().y x z ,x z y ,x f z :y x z .P233,*2的偏导再求此新函数关于）（即然后针对求出的结果求出首先针对比如求偏导—按照符号的定义逐阶—求法相关定义和记号参见二阶偏导的含义务必准确识别以上四个∂∂∂∂=∂∂∂ 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P17 Ex2, Ex1.,)717(P227,..4分结果再进一步具体算出各部）公式（如写出链式法则根据题目实际情况熟练“路线图”借助要点：（偏导）复合函数求导问题- 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P15 Ex1 1), 2).两例的法一即可！学会套用即可公式二元隐函数偏导一元隐函数导数公式熟记要点：（偏导或全微分）隐函数求导问题P231~P230.),237(P231),227(P230..5-- 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P16 Ex4, Ex5 2).第二部分 求二元函数的极值和条件最值()()()./8.7P238,3z ,z ,z ,z 2y ,x ,,y ,x ,,0z 0z ,z ,z 1y ,x f z .1yy yx xy xx k k 11y x y x 极小极大结论判定极值与否、定理逐个利用针对以上各驻点）求出）如解此方程组得所有驻点并令求出）解法步骤：的极值求二元初等函数问题''''''''⎩⎨⎧='='''= .32P238*解答过程、例例学会 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P19 Ex1.()()()()()()()().y ,x ,,y ,x 30y ,x F 0f F 0f F ,F 2y ,x y ,x f ,y ,x F 1.0y ,x y ,x f z .200000y y yx x x 为所求条件最值点则唯一若以上驻点）即解下列方程组：的驻点求）令）解法步骤：下的条件最值在条件二元初等函数（尤其经济背景）求具有实际背景问题令令令λ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=ϕ='=ϕ'λ+'='=ϕ'λ+'='λϕ+=λ=ϕ=λ该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记或同步练习册参考解答文档！并依照以上步骤做以下练习： 同步练习册P20 Ex5.第三部分 定积分相关要点基本前提：熟记P122~P123及P143不定积分公式！掌握不定积分的典型求法“拆加减、化乘积后凑微分或分部积分、（第二）换元积分——限于根式代换、三角代换、倒代换”。
微积分二期中复习
微积分(二) 期中复习10.4一． 单选题 1．设直线1158:121x y z L --+==与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为【 】A ．π/6 B. π/4 C. π/3 D. π/22．函数),(y x f z =在点),(00y x 处具有偏导数是它在该点存在全微分的【 】A.充分条件，而非必要条件B.必要条件，而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件，又非必要条件 3．设函数(),y y x z =由方程()sin yz x y =+所确定，则yx∂=∂【 】 A.zy x )cos(+ B.)cos(1y x z +- C.)cos()cos(1y x z y x +-++ D.)cos()cos(y x z y x +-+4．⎰⎰+=1)1(1D d x I σ，其中1|:|1≤x D ，1||≤y ；⎰⎰=22D xyd I σ，其中2D 是122≤+y x ，则1I 和2I 的值为【 】A.01>I ，02=IB.01<I ，02=IC. 01=I ，02=ID.01>I ，02<I5.参数方程cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的一般方程是【 】Ａ.222x y a += B. cos z x a b = C. sin z y a b = D. cos sin z x a b zy a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6.设(),z f x y =在点),(00y x 处不连续，则(),f x y 在该点处【 】A ．必无定义B ．极限必不存在C ．偏导数必不存在D ．全微分必不存在7.将⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),(交换积分次序后为【 】A.⎰⎰exdx y x f dy 1ln 0),( B.⎰⎰10),(ee ydx y x f dy C.⎰⎰xedx y x f dy ln 01),( D.⎰⎰e xdx y x f dy 1ln 0),(8.221x y +≤=⎰⎰【 】A ．π35B ．π65C ．π710 D ．π1110 二． 填空1．设已知两点()()1224,0,3M M 和，则与12M M方向一致的单位向量为 . 2．函数yx yx z --+=11的定义域为 .3．若z =(1,1)|dz = .4．函数22u xy z =-在点()2,1,1-处方向导数的最大值是 .5．设,10,:≤≤≤y x D π则⎰⎰+Dd xy σ)2(=_ .6.若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点（１,1-）取得极值，则常数________a =.7.已知()1,2,3OA = ，()2,1,1OB =-，则△AOB 的面积为 .8.曲线⎩⎨⎧==-09222y z x 绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程为 .9.xyy x y x 1sin)(lim 220+→→是 . 10.若),(y x z z =由方程0932222=--+++z xy z y x 确定，则函数),(y x z 的驻点是 .11.设xy z =，而()y x ϕ=是可导的正值函数，则=dxdz. 12.已知()()()1231,2,3,2,3,,2,,6a a ααα=-=-=-如果12,αα⊥则______;a =如果13,αα 则______.a =13.（1）经过()1,2,1P -并且与直线2,:341x t L y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面1∏的方程是_______________;（2）经过P 与直线L 的平面2∏的方程是_____________.14.（1）经过()2,3,1P -并且与平面:3560x y z ∏+++=垂直的直线1L 的方程是_________;（2）经过点P 且与直线12:345x y z L -+==垂直相交的直线2L 的方程是_____________.15.设()f x 为连续函数，()()0,t ty F t dy f x dx =⎰⎰则()2_________.F '=16.将积分化为极坐标形式计算()211222____________.xx dx xydy -+=⎰⎰1.求下列函数的偏导数和全微分 （1）设()1,yz xy =+求,x y z z 和dz .（2）设,uu e xy +=求2ux y∂∂∂.（3）设sin ,xyz e=求dz .（4）设,y z xyf x ⎛⎫=⎪⎝⎭其中()f u 可导，求x y xz yz +. （5）设22,z x z y y ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭其中()u ϕ可导，求y z . 2.设(),,z xy f x y x y =++-而()ln ,23,x s t y s t =+=- 其中(),f u v 具有连续的一阶偏导数，求.zs∂∂ 3.已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面与平面2210x y z ++-=平行，求点P 坐标．4.设()2,sin z f x y y x =-，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，求2.zx y∂∂∂ 5.设,x y z f xy g y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求2.z x y ∂∂∂ 6.设()()2,,,,,0,yu f x y z x e z ϕ== sin y x =其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数且0,z ϕ∂≠∂求.dudx7.在曲线224210,125.z x y x y =++⎧⎨+=⎩上，求竖坐标取最大值和最小值的点. 8.计算 ()2486Dxx y d σ+-+⎰⎰，其中(){}222,.D x y xy R =+≤9.计算()222xy Dx xye d σ++⎰⎰，其中（1）(){}22,1,D x y xy =+≤（2）D 由直线,y x =1,1y x =-=围成.10.计算Dyd σ⎰⎰，其中（1）D 1=与x 轴、y 轴围成，（2）D 由曲线x =直线2,x =-0,2y y ==围成.（1）()2sgn Dy x d σ-⎰⎰，其中:11,0 1.D x y -≤≤≤≤ （2）22Dx yd x y σ++⎰⎰，其中22:1, 1.D x y x y +≤+≥ （3）x yDe d σ+⎰⎰，其中(){},1.D x y x y =+≤（4）Dσ，其中D为曲线y =1y =-围成的平面区域.12.计算下列二次积分 （1）1.dy ⎰⎰（2）210.y xdx dy ⎰13．计算下列三重积分 （1）,xydv Ω⎰⎰⎰其中Ω是柱面221x y +=及平面0,0,0z x y ===所围成的在第一卦限内的闭区域； （2）,Ω其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的闭区域；（3）()22,xy dv Ω+⎰⎰⎰ 其中Ω是由曲面()222425z x y =+及平面5z =所围成的闭区域；（4）()222222ln 1,1z x y z dv x y z Ω++++++⎰⎰⎰其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域；四．证明题1.已知(),z f x y =由xyz a =确定，（其中a 是不为零的常数）证明2.x y xz yz z +=- 2.已知()z xy xF u =+，(),x u F u y =可微，验证：xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂. 3.证明()()()()()0.ayam a x m a x dy ef x dx a x ef x dx --=-⎰⎰⎰苏州大学 高等数学（下） 期中试卷2008.4一、单选题（每题3分，共15分）1．设(),f x y 在点(),a b 处的偏导数存在，则()(),,limx f a x b f a b x→--= （ ）A. (),x f a bB. (),x f a b -C. (),y f a bD. (),y f a b -2．设lnz =则dz = （ ）A.22y x ydyxdx ++ B. 22yx ydy xdx ++ C.2222y x ydy xdx ++ D. 2222yx ydy xdx ++3．若0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，则点),(00y x 是函数),(y x f z =的（ ）A. 极大值点B. 极小值点C. 极值点D. 驻点 4．将1l 0(,)xdx f x y dy -⎰⎰交换积分次序后为（ ）A. 1l 0(,)xdy f x y dx -⎰⎰ B.1100(,)ydy f x y dx -⎰⎰C.1l 0(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 1l 0(,)xdy f x y dx -⎰⎰5．设L 为直线y x =上从点()0,0到点()1,1之间的一段，则⎰=Lyds （ ）A.21B. 1C. 0D. 22二．填空（每小题3分，共15分）1．设()2,arctan ,xyf x y e y x =+则()1,1__________;xy f = 2．设()222,,,f x y z x y z =++则()1,1,2_________;f --=grad3．设L 为连接()1,0及()0,1两点的直线段，则()__________;Lx y ds +=⎰4．设3,Dσπ=其中()222:0,D x y a a +≤>则________;a =5．曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的切平面方程为______________. 三．求下列函数的偏导数或全微分（每题5分，共15分）1．由方程xyz =),(y x z z =在点()1,0,1-处的全微分;dz2．设(,)yz yf xy x =，其中f 具有二阶连续的偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂； 3．设1,xyz =求2222.z zx y x y∂∂+∂∂四．计算（每题6分，共48分）1． 求极限()(,0,0limsin x y x y →；2． 求22u x y xz =++在点()1,0,1沿方向()2,2,1=--l 的方向导数； 3． 求二重积分y xDed σ⎰⎰，其中D 由2,0,1y x y x ===所围成的平面区域；4． 计算,Dσ⎰⎰其中(){}2222,|4D x y x y ππ=≤+≤； 5． 计算⎰+Lydy xxydx 2其中L 是沿抛物线21y x =-从点()1,0A 到点()1,0B -的一段弧。
微积分第二章复习资料
§1.6 极限的四则运算法则
lim 定理：若 lim f ( x ) = A 、 g ( x ) = B，则有：
1. lim[ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B
半年后的本利和 A0 (1 + )
r m 如一年分m期计息，则一年后的本利和 A0 (1 + ) m
由于资金运转过程是持续不断进行的，所以计息分 期越细越合理 ，也就是让m→∞（也就是利息随时 计入本金），于是一年后的本利和
2. lim (1+ f (x))
f ( x)→0 1 f ( x)
1
f ( x)
=e
=e
3 x+4 2 5x 2.lim(1− ) 例：1.lim(1+ ) x→∞ x→∞ 2x 3x 注：碰到幂指函数，可以考虑用第二个重要极限求
解，方法是凑指数。
x +1 3.lim x→∞ x − 2
选证2
2x2 − x + 2 例：lim x→2 x2 + 4
注1：求初等函数在 x → x 0 时的极限，如果把 x = x0 代入函数有意义，则函数值就是极限值。
2x − 3 例：lim 2 x →1 x − 5 x + 4
注2：运用无穷小与无穷大的关系求极限。
5x2 + 2x −1 例：lim x →∞ 3x 2 − 1
练习： 1.lim sin 5x = 5 ： x→0 3x 3 sin( x −1) 1 2.lim 2 = x→ 1 2 x −1 sin 2x 2 3.lim = x→ tg3x 0 3
微积分A(二)总复习(向量代数和空间解析几何)
(6) a , b , c 共面 [a , b , c ] 0 a x a y az
bx cx by cy
a x bx a y by az bz 0.
bz 0. cz
二、空间解析几何
1、空间曲面方程 (1) 空间曲面一般方程
F ( x , y , z ) 0 或 z f ( x , y ) 等。
向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的 表示法
向量的积
数量积 混合积 向量积
空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 旋转曲面
曲线
参数方程 一般方程 参数方程
曲面
平 面
柱
面
直 线
二次曲面
一般方程
对称式方程 点法式方程
向 向量的坐标表达式、模、方向余弦、 量 单位向量、在另一向量上的投影; 空间两 代 点间的距离; 向量的垂直与平行、数量积 数 与向量积及其运算规律与性质意义 空 间 解 析 柱面、旋转曲面、二次曲面方程；空 几 何 间直线在坐标面上的投影
它满足交换律、结合律、分配律。
0 向量积 a b a b sin ( a ,^ b ) n , 0 a , b 所在平面的 n : 按“右手法则”垂直于 单位向量。 i j k a b a x a y az S a b . bx b y bz
a x a y az 0 与a 平行的单位向量为 a { , , } |a | |a | |a | 2 2 2 其中| a | a x a y az
的投影。
一、向量代数
ay ax a 的方向余弦为 cos , cos , |a | |a | az cos , 方向余弦满足 |a | cos2 cos2 cos2 1.
微积分二知识点总结
微积分二知识点总结1. 级数1.1 级数的定义级数可以看作是无穷多个数的和，即将无穷多个数按照一定的顺序加起来。
表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ + …1.2 收敛与发散级数的和是否有限可以分为两种情况： - 如果级数的部分和Sₙ当n趋于无穷大时有极限L，即limₙ→∞ Sₙ = L，则称该级数是收敛的； - 如果级数的部分和Sₙ当n趋于无穷大时无极限，即limₙ→∞ Sₙ不存在，则称该级数是发散的。
1.3 级数的判定法判定一个级数是收敛的还是发散的有多种方法，以下是常见的几种判定法： - 比较判定法：将要求解的级数与一个已知级数进行比较，确定其大小关系。
- 比值判定法：通过求级数的项与前一项的比值或相邻两项的比值的极限来判断级数的收敛性。
- 根值判定法：通过求级数的项的绝对值的n次方根的极限来判断级数的收敛性。
- 积分判定法：将级数转化为函数的积分形式，利用定积分的性质来判断级数的收敛性。
2. 泰勒级数2.1 泰勒级数的定义泰勒级数是一种用函数的无穷多个项的和来表示该函数的级数。
泰勒级数在微积分中起到了重要的作用，可以将一个复杂的函数近似地用一系列较简单的函数表示。
2.2 泰勒级数的求法泰勒级数的求法主要有以下几个步骤： 1. 求函数在某一点的各阶导数； 2. 计算函数在该点的各阶导数值并带入泰勒展开公式中； 3. 按照展开公式的形式将函数以多项式的形式展开。
2.3 常见的泰勒级数展开2.3.1 三角函数的泰勒级数展开•正弦函数的泰勒级数展开式：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + …•余弦函数的泰勒级数展开式：cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + …2.3.2 自然指数函数的泰勒级数展开•自然指数函数的泰勒级数展开式：e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …2.3.3 对数函数的泰勒级数展开•自然对数函数的泰勒级数展开式：ln(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + …3. 函数的极限3.1 函数的极限的定义函数的极限可以用来描述函数在某一点的取值趋于的结果。
微积分第二章笔记
微积分第二章笔记微积分是数学的一个重要分支，研究的是变化和积分的规律。
在微积分的学习中，第二章主要介绍了导数和微分，它们是微积分的基础概念，对于理解和应用微积分具有重要意义。
导数是微积分中的一个核心概念，表示函数在某一点上的变化率。
我们可以通过求导来计算函数的导数，一般用符号f'(x)表示。
导数的概念和计算方法可以应用于许多实际问题，比如物体运动的速度、曲线的切线等。
在计算导数时，需要注意使用各种导数公式和运算法则，以便准确计算函数的导数。
微分是导数的一种应用，表示函数在某一点上的近似变化量。
微分的计算方法包括使用导数公式和运算法则，以及利用极限的概念。
微分在自然科学和工程技术领域中有广泛的应用，比如研究物体的力学性质、优化问题的求解等。
在学习导数和微分的过程中，需要掌握一些基本的概念和技巧。
首先，我们需要了解函数的定义域和值域，以及函数的性质和图像。
对于常见的基本函数（如多项式函数、指数函数、对数函数等），要能够准确计算其导数和微分。
其次，需要掌握导数和微分的基本性质，比如导数的线性性质、微分的乘法法则和链式法则等。
此外，还需了解常用函数的导数和微分公式，如幂函数、三角函数等。
在实际应用中，导数和微分经常与其他数学概念结合使用。
例如，在求解极值问题时，可以利用导数的性质来判断函数的增减性，并应用极值定理求解最值。
另外，在曲线的研究中，可以利用导数和微分的性质来分析曲线的凹凸性和拐点问题。
在工程和科学实验中，导数和微分也可以应用于误差分析和最优化设计等方面。
综上所述，微积分的第二章主要介绍了导数和微分的概念、计算方法和应用。
通过深入理解和掌握这些知识，我们可以更好地理解变化和积分的规律，为后续学习和应用微积分打下坚实的基础。
在学习过程中，我们需要注重理论与实践的结合，灵活运用各种导数和微分的计算方法，培养数学思维和问题解决能力，以便更好地应对复杂的数学问题和实际应用。
微积分2总复习
全微分方程
积分因子
可 分 离
常数变易法 方程法 数 数法
高阶方程
法
区域 （1）邻域 ）
设 P0 ( x0 , y0 ) 是 xoy 平面上的一个点，δ 是某一 平面上的一个点， 正数，与点 P0 ( x0 , y0 ) 距离小于δ 的点 P ( x , y ) 的全 正数， 邻域， 体，称为点 P0 的δ 邻域，记为U ( P0 , δ ) ，
极限的运算
f 设 P → P0 时， ( P ) → A, f ( P ) → B, 则 (1). f ( P ) ± g( P ) → A ± B; ( 2). f ( P ) ⋅ g( P ) → A ⋅ B; ( 3). f ( P ) g( P ) → A B ( B ≠ 0).
多元函数的连续性
元函数统称为多元函数. 当 n ≥ 2 时， n 元函数统称为多元函数
多元函数的极限
定义 设函数 z = f ( x , y ) 的定义域为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是 其聚点， 其聚点，如果对于任意给定的正数ε ，总存在正数 δ ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 <| PP0 |= ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 的 一 切 点 ， 都 有 | f ( x , y ) − A |< ε 成 立 ， 则 称 A 为 函 数 z = f ( x , y ) 当 x → x0 ， y → y0 时的极限， 时的极限， 记为 lim f ( x, y ) = A
全微分形式不变性
无论 z是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 、 的函数，它的全微分形式是一样的. 的函数，它的全微分形式是一样的
微积分二知识点总结
微积分二知识点总结引言微积分是数学中的重要分支，用于研究函数的变化和曲线的性质。
微积分可以分为微分学和积分学两个部分。
本文将总结微积分二中的一些重要知识点，包括泰勒展开、泰勒级数、函数的傅里叶级数展开、常微分方程等内容。
泰勒展开和泰勒级数泰勒展开是函数在某一点附近用幂级数逼近的方法。
假设函数f(x)在x=a处具有n阶导数，那么泰勒展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)其中Rn(x)为余项，它表示当n趋向于无穷大时的误差。
泰勒级数是泰勒展开的一种特殊情况，当a=0时，泰勒展开可以简化为泰勒级数：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^n(0)x^n/n! + Rn(x)泰勒级数的应用非常广泛，可以用来近似计算各种函数的值。
傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的方法。
假设f(x)是一个周期为2π的函数，傅里叶级数展开可以表示为：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx))其中a0、an和bn为函数f(x)的系数。
傅里叶级数展开的基本思想是将一个周期函数分解成多个简单的正弦和余弦函数的叠加。
这种表示方法在信号处理和频谱分析中非常有用。
常微分方程常微分方程是描述函数的变化规律与函数本身及其导数之间的关系的方程。
常微分方程可以分为一阶和二阶常微分方程。
一阶常微分方程可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中f(x, y)为已知函数。
二阶常微分方程可以表示为：d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)常微分方程在物理学、工程学和经济学等领域中都有着广泛的应用。
总结微积分二是微积分的进阶课程，涵盖了泰勒展开、泰勒级数、函数的傅里叶级数展开、常微分方程等重要知识点。
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CH5 不定积分
不定积分的计算 第二换元积分法（带根号） 分部积分法 有理函数的积分
1 例如： x(1 x 2 )dx
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CH6 定积分
对称区间定积分的计算
（注意：非正常积分的情形）
变上限积分求导，
例如：F ( x) a f (t )dt , G ( x) 0
z z dz dx dy x y
多元函数极值、最值求法 ２ 先求驻点，再使用 B －AC 判别法。 应用题：条件最值（lagrange乘数法） 二重积分（交换积分次序、极坐标下的 计算）
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z z y x F ( x, y, z ) 0 , 则有 ; . F F x y z z
广义积分(t ) dt
求平面图形的面积、旋转体体积
证明题：常使用区间可加性、通过变量代换变 换积分限等手段。
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CH8 多元函数微积分
偏导数、全微分公式 复合函数求高阶偏导 隐函数求全微分
2z z f ( x y, xy) , 求 2 x F F
考试前把相关的公式再过一遍。 答疑时间： 2012年6月26、28日 3号楼407 上午8：30~12：00
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成绩与判卷
平时成绩：20% 期末成绩：80%
判卷：流水密封式
祝愿每位同学都顺利通过考试！
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CH7 无穷级数
无穷级数的和
u
n 1
n
s
无穷级数敛散性的判别： 条件收敛、绝对收敛 ； 正项级数敛散性的判别法（比较法、 比值法）、交错级数（leibniz 法） 2 n 1 幂级数求收敛域与和函数。 a n x 幂级数展开式基本公式 （间接展开法）
n 1
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CH9 微分方程
求通解及满足条件的特解： 可分离变量方程 dy y y 齐次方程 dx f ( x ) , 令u x 一阶线性齐次（非齐次）方程
y p ( x) y 0
y p( x) y Q( x), 其通解y e
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p ( x ) dx
p ( x ) dx [ Q( x)e dx C ]
考试注意事项
题型： 填空、选择、计算、应用、证明 答题 先易后难，注意时间。
计算题注意步骤详细.
细心
注意考试纪律
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复习注意事项
注意：
结合练习册、习题课、历年试卷进行复习
熟记求导、求积分、幂级数展开的基本公式