【全国百强校Word】云南师大附中2018届高三高考适应性月考卷(一)理数试题

云南师大附中2018届高考适应性月考（一）理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,}A y y x x R ==+∈，集合2{1,}B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ） A ．{(0,1)} B ．{1} C ．φ D ．{0}2. 已知复数11iz i+=-，则z =（ ） A ．2 B ．2 C ．4 D ．53.已知平面向量,a b 的夹角为045，(1,1)a =，1b =，则a b +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x = C. 2sin(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2813a a +=，735S =，则8a =（ ） A ．8 B ．9 C.10 D ．116.已知点(,)P x y 在不等式组20020x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．17.从某社区随机选取5名女士，其身高和体重的数据如下表所示： 身高x （cm ） 155 160 165 170 175 体重y （kg ）5052555862根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+，据此得出a 的值为（ ） A ．43.6 B ．-43.6 C.33.6 D ．-33.68.若直线20ax by +-=（0,0a b >>）始终平分圆22222x y x y +--=的周长，则112a b+的最小值为（ ） A ．3224- B ．3222- C. 3222+ D ．3224+ 9.函数()sin lg f x x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．510.已知,,,,,a b c A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，满足::cos :cos :cos a b c A B C =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形 C.直角三角形 D ．等腰直角三角形 11.已知正三棱锥S ABC -及其正视图如图所示，则其外接球的半径为（ ）A ．33 B ．433 C. 536 D ．73612.定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，32()ln(1)x f x e x x =+++，且()()f x t f x +>在(1,)x ∈-+∞上恒成立，则关于x 的方程(21)f x t +=的根的个数叙述正确的是（ ）A ．有两个B ．有一个 C.没有 D ．上述情况都有可能第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 121()x x+展开式中常数项是 ．14.执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 ．（结果用分数表示）15.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限内的交点为M ，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为N ，满足MN MF =，则双曲线离心率的值是 ．16.设O 是ABC ∆的三边垂直平分线的交点，H 是ABC ∆的三边中线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 的对应的边，已知22240b b c -+=，则AH AO ∙的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 满足11a =，123n n a a +=+（*n N ∈）. （1）求证：数列{3}n a +是等比数列；（2）若{}n b 满足(21)(3)n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示.甲 乙（1）分别求出甲乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪一个小组的成绩更稳定： （２）从甲组成绩不低于60分的同学中，任意抽取3名同学，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[60,70)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望.19. 如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，1AC 与平面11A ADD 及平面ABCD 所成角分别为030，045，,M N 分别为1AC 与1A D 的中点，且1MN =.（1）求证：MN ⊥平面11A ADD ；（2）求二面角1A AC D --的平面角的正弦值.20. 已知椭圆:C 22221x y a b +=（0,0a b >>）的两个顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，点P 为椭圆上异于,A B 的点，设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，1212k k =-.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若1b =，设直线l 与x 轴交于点(1,0)D -，与椭圆交于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21. 设函数2()ln f x x x b x =++（1）若函数()f x 在1[,)2+∞上单调递增，求b 的取值范围；（2）求证：当1n ≥时，5ln ln(1)ln 24n n -+<-请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为：13x ty t=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），点(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）分别写出曲线C 在直角坐标系下的标准方程和直线l 在直角坐标系下的一般方程； （2）求11PA PB+的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =++-.（1）请写出函数()f x 在每段区间上的解析式，并在图中的直角坐标系中作出函数()f x 的图象；（2）若不等式2122x x a a ++-≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.云南师大附中2018届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDDCDABDCBDA【解析】1．[1)A =+∞，，(1]B =-∞，，故选B ． 2．1ii ||11i z z +===-，故，故选D ．3．222()25+=++=a b a ab b ，所以||5+=a b ，故选D ． 4．π6πππ2πsin 2sin 2sin 23633y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−→=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭向左平移个单位，故选C ．5．285213a a a +==，所以5132a =，又17747()7352a a S a +===，所以45a =，32d =， 8a =11，故选D ．6．当22x y ==，时，z 取得最大值4，故选A ．7．由表中数据可得16555.4x y ==，，因为回归直线必过()x y ，，代入回归方程得ˆ43.6a=-,故选B ．8．直线平分圆周，则直线过圆心(11)，，所以有2a b +=，11111()222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭≥2123221224⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭（当且仅当2b a =时取“=”），故选D ．9．作出sin y x =，|lg |y x =的图象如图，由图象知有4个零点，故选C ．10．由正弦定理得：::sin :sin :sin a b c A B C =，又::cos :cos :cos a b c A B C =，所以有tan tan tan A B C ==，即A B C ==，所以ABC △是等边三角形，故选B ．11．由三视图知：三棱锥S ABC -是底面边长为23，高为3的正三棱锥，设其外接球的半径为R ，则有：22(3)4R R =-+，解得：736R =，故选D ．12．由题意知：32()e ln(1)x f x x x =+++在(0)+∞，上单调递增，()()f x t f x +>在(1)x ∈-+∞，上恒成立，必有2t ≥，则(21)f x t +=的根有2个，故选A ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 141516答案4952945233203⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】 13．36122112121C ()C rr rrr r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，3602r -=，解得：4r =，代入得常数项为495． 14．该程序执行的是11111111112913248102132481045S ⎛⎫=+++=-+-++-=⎪⨯⨯⨯⎝⎭．15．由已知：22||||b bc b FM MN a a a ==-，，由||||FM MN =知：22bc b a a =，2323c b e ==∴，∴． 16．2211()3322b c AH AO AB AC AO ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r g ，又22240b b c -+=，代入得：AH AO =u u u r u u u r g 2221421(4)3226b b b b b ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，又22240c b b =-+>，所以02b <<，代入得AH AO uuu r uuu rg 的取值范围为203⎛⎫ ⎪⎝⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：因为123n n a a +=+，所以132(3)n n a a ++=+， 而11a =，故数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，即132n n a ++=，因此123n n a +=-．所以1(21)2n n b n +=-，2311232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，① 34221232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，②①−②有231222(22)(21)2n n n S n ++-=+++--⨯，所以2(23)212n n S n +=-+． 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）5160626371748182688x +++++++==甲，5862646669717381688x +++++++==乙，222222222(5168)(6068)(6268)(6368)(7168)(7468)(8168)(8268)8s -+-+-+-+-+-+-+-=甲103=，222222222(5868)(6268)(6468)(6668)(6968)(7168)(7368)(8168)8s -+-+-+-+-+-+-+-=乙45=，所以乙组的成绩更稳定．（Ⅱ）由题意知ξ服从参数为3，3，7的超几何分布，即(337)H ξ，，，ξ的取值可能为：0，1，2，3，3437C 4(0)C 35P ξ===，214337C C 18(1)C 35P ξ===，124337C C 12(2)C 35P ξ===，3337C 1(3)C 35P ξ===，ξ的分布列为：ξ123P43518351235135ξ的数学期望：339()77E ξ⨯==．19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N ACA D ，分别为，的中点，所以MN 为1A CD △的中位线， 所以MN∥CD，又因为CD⊥平面11A ADD ， 所以MN⊥平面11A ADD ．（Ⅱ）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为CD⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角， 即1CA D ∠=30︒，又因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1ACA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角，即145ACA∠=︒， 所以1MN =，2CD =，14A C =，1A A =22，22AC =，如图2，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，1(2222)C ，，，1(0022)A ，，，C(2，2，0)，B(2，0，0)， 在正方形ABCD 中，BD⊥AC，∴BD uuu r是平面1A AC 的法向量，(220)BD =-，，u u u r . 设平面1A CD 的法向量为()n x y z =，，r， 由(200)DC =，，，1(0222)DA =-，，， 所以有202220x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， ∴02x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1A CD 的一个法向量为(021)n =，，. 设二面角1A ACD --的大小为α， 则223|cos |3223α==.∴36sin =α．20．解：（Ⅰ）00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：2200221x y a b +=，整理得：2222002()b y x a a =--，又10y k x a=+，20y k x a=-，所以201222012y k k x a ==--，212212b k k a =-=-联立两个方程有，22c e a ==解得：． （Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b =，又1b =，所以椭圆C 的方程为22121x y +=.设直线l 的方程为：1x my =-，代入椭圆的方程有：22(2)210m y my +--=， 设1122()()M x y N x y ，，，，1212222122m y y y y m m -+==++由韦达定理：，，222121212*********||||()4222|2||2|OMNm m S OD y y y y y y m m ++=-=+-==++△所以，令21(1)m t t +=≥，则有221m t =-， 代入上式有222212221|2||1|2OMNm t S m t t t +===+++△≤，当且仅当1t =，即0m =时等号成立，所以OMN △的面积的最大值为22．21．（Ⅰ）解：22()21b x x bf x x x x ++'=++=，当0b ≥时，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上()0f x '≥恒成立，所以()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增成立， 当0b <时，由220x x b ++=，解得1184bx -±-=，易知，()f x 在11804b ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1184b ⎛⎫-+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增， 由题意有，118142b -+-≤，解得1b -≥． 综上所述，1b -≥．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当1b =-时，()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， 对任意1n ≥，有112n n +≥成立， 所以112n f f n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≥，代入()f x 有23ln ln 21114n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≥，整理得：2223ln 2ln (1)41n n n n n +⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的标准方程为：22143x y +=，直线l 的一般方程为：330x y --=．（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为标准方程：112()32x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，，代入椭圆方程得：254120t t +-=，解得12625t t ==-，， 所以12114||11||||||3PA PB t t +=+=．23．解：（Ⅰ）12(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩，≤≤，，函数的图象如图所示．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值是min ()3f x =，所以要使不等式2|1||2|2x x a a ++-+≥恒 成立，有232a a +≥，解之得[31]a ∈-，．云南师大附中2018届高考适应性月考卷（一） 理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDDCDABDCBDA【解析】1．[1)A =+∞，，(1]B =-∞，，故选B ． 2．1ii ||11i z z +===-，故，故选D ．3．222()25+=++=a b a ab b ，所以||5+=a b ，故选D ．4．π6πππ2πsin 2sin 2sin 23633y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−→=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭向左平移个单位，故选C ．5．285213a a a +==，所以5132a =，又17747()7352a a S a +===，所以45a =，32d =， 8a =11，故选D ．6．当22x y ==，时，z 取得最大值4，故选A ．7．由表中数据可得16555.4x y ==，，因为回归直线必过()x y ，，代入回归方程得ˆ43.6a=-,故选B ．8．直线平分圆周，则直线过圆心(11)，，所以有2a b +=，11111()222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭≥2123221224⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭（当且仅当2b a =时取“=”），故选D ．9．作出sin y x =，|lg |y x =的图象如图1，由图象知有4个零点，故选C ．图110．由正弦定理得：::sin :sin :sin a b c A B C =，又::cos :cos :cos a b c A B C =，所以有tan tan tan A B C ==，即A B C ==，所以ABC △是等边三角形，故选B ．11．由三视图知：三棱锥S ABC -是底面边长为23，高为3的正三棱锥，设其外接球的半径为R ，则有：22(3)4R R =-+，解得：736R =，故选D ．12．由题意知：32()e ln(1)x f x x x =+++在(0)+∞，上单调递增，()()f x t f x +>在(1)x ∈-+∞，上恒成立，必有2t ≥，则(21)f x t +=的根有2个，故选A ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 141516答案4952945233203⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】 13．36122112121C ()C rr rrr r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，3602r -=，解得：4r =，代入得常数项为495． 14．该程序执行的是11111111112913248102132481045S ⎛⎫=+++=-+-++-=⎪⨯⨯⨯⎝⎭．15．由已知：22||||b bc b FM MN a a a ==-，，由||||FM MN =知：22bc b a a =，2323c b e ==∴，∴． 16．2211()3322b c AH AO AB AC AO ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r g ，又22240b b c -+=，代入得：AH AO =u u u r u u u r g2221421(4)3226b b b b b ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，又22240c b b =-+>，所以02b <<，代入得AH AO uuu r uuu r g 的取值范围为203⎛⎫⎪⎝⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：因为123n n a a +=+，所以132(3)n n a a ++=+，而11a =，故数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列．………………………（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列， 即132n n a ++=，因此123n n a +=-．所以1(21)2n n b n +=-，2311232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，① 34221232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，②①−②有231222(22)(21)2n n n S n ++-=+++--⨯，所以2(23)212n n S n +=-+．……………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）5160626371748182688x +++++++==甲，5862646669717381688x +++++++==乙，222222222(5168)(6068)(6268)(6368)(7168)(7468)(8168)(8268)8s -+-+-+-+-+-+-+-=甲103=，222222222(5868)(6268)(6468)(6668)(6968)(7168)(7368)(8168)8s -+-+-+-+-+-+-+-=乙45=，所以乙组的成绩更稳定．…………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由题意知ξ服从参数为3，3，7的超几何分布，即(337)H ξ，，，ξ的取值可能为：0，1，2，3，3437C 4(0)C 35P ξ===，214337C C 18(1)C 35P ξ===，124337C C 12(2)C 35P ξ===，3337C 1(3)C 35P ξ===，ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 P 435 1835 1235 135ξ的数学期望：339()77E ξ⨯==．……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N AC A D ，分别为，的中点，所以MN 为1A CD △的中位线，所以MN∥C D ，又因为CD⊥平面11A ADD ，所以MN⊥平面11A ADD ．…………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为CD⊥平面11A ADD ，所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角，即1CA D ∠=30︒，又因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1ACA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角，即145ACA ∠=︒，所以1MN =，2CD =，14A C =，1A A =22，22AC =，如图2，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，1(2222)C ，，，1(0022)A ，，，C(2，2，0)，B(2，0，0)， 在正方形ABCD 中，BD⊥AC，∴BD uuu r 是平面1A AC 的法向量，(220)BD =-，，u uu r.设平面1A CD 的法向量为()n x y z =，，r，由(200)DC =，，，1(0222)DA =-，，，图2所以有202220x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， ∴02x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1A CD 的一个法向量为(021)n =，，.设二面角1A AC D --的大小为α， 则223|cos |3223α==.∴36sin =α．…………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：2200221x y a b +=，整理得：2222002()b y x a a =--，又010y k x a =+，020y k x a =-，所以201222012y k k x a ==--，212212b k k a =-=-联立两个方程有，22c e a ==解得：．………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b =，又1b =，所以椭圆C 的方程为22121x y +=.设直线l 的方程为：1x my =-，代入椭圆的方程有：22(2)210m y my +--=，设1122()()M x y N x y ，，，，1212222122m y y y y m m -+==++由韦达定理：，，222121212221118821||||()4222|2||2|OMN m m S OD y y y y y y m m ++=-=+-==++△所以，令21(1)m t t +=≥，则有221m t =-， 代入上式有222212221|2||1|2OMN m t S m t t t +===+++△≤，当且仅当1t =，即0m =时等号成立，所以OMN △的面积的最大值为22．…………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：22()21b x x bf x x x x ++'=++=，当0b ≥时，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上()0f x '≥恒成立，所以()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增成立，当0b <时，由220x x b ++=，解得1184bx -±-=，易知，()f x 在11804b ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1184b⎛⎫-+-+∞⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增， 由题意有，118142b -+-≤，解得1b -≥．综上所述，1b -≥．………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当1b =-时，()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增，对任意1n ≥，有112nn +≥成立， 所以112n f f n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≥，代入()f x 有23ln ln 21114n n nn n n ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≥， 整理得：2223ln 2ln (1)41n n n n n +⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥. ………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线C 的标准方程为：22143x y +=，直线l 的一般方程为：330x y --=．………………………………………………（5分）（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为标准方程：112()32x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，，代入椭圆方程得：254120t t +-=，解得12625t t ==-，， 所以12114||11||||||3PA PB t t +=+=．……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）12(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩，≤≤，，函数的图象如图3所示．………………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值是min ()3f x =，所以要使不等式2|1||2|2x x a a ++-+≥恒成立，有232a a +≥， 解之得[31]a ∈-，．………………………………………………………………………（10分）图3。