关于无限集基数的研究
《离散数学》 第六章 集合的基数
定理6.2.5 可数个可数集的并集仍然是一可数集。
在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素
的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个
数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为： a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 故S是可数的，定理得证。
（3）card X = card Y。
6.3 基数的比较
定理6.3.3 设X、Y为任意两个集合， 如果cardX ≼· cardY，cardY ≼· cardX， 则cardX=cardY。
例6.3.1
证明[0，1]和（0，1）有相同的基数。
解 根据定理6.3.3，我们只需构造两个单射函数：
f：（0，1） → [0，1]，f（x）=x
6.2 可数集和不可数集
6.2.1 可数集
定理6.2.5
证明 为：
可数个可数集的并集仍然是一可数集。
设S1，S2 ， S3，……是可数个可数集，分别表示 S1={a11，a12，a13，…，a1n，…} S2={a21，a22，a23，…，a2n，…} S3={a31，a32，a33，…，a3n，…} …………
6.1 基数的概念
定义 6.1.3 设 X 为任意集合，称 card X 为集合 X 的基数，并作 以下规定： （ 1 ）对于任意的集合 X 和 Y ，规定 card X = card Y ，当且仅当 X≈Y； （2）对于任意有限集合X，规定与X等势的那个唯一的自然数n为X 的基数，记作 card X = n （3）对于自然数集合N，规定 card N = （读作阿列夫零） （4）对于开区间（0，1），规定 card（0，1）= （读作阿列夫）
⑵ 若X≈Y，则X≼· Y且Y≼· X。
无穷集合及基数
集合与图论
一一对应与可数集
定义4.1 设A，B是集合，若存在着从A到B的 双射，就称A和B等势(或对等)，记作A≈B。
Cantor把自然数集N+称为可数集(或可列集)， 这是因为它的元素可以一个一个的数出来。 凡是与自然数集N+等势的集合，它们的元素 通过一一对应关系，也都可以一个一个的数出来， 因此： 定义4.2 凡是与自然数集N+等势的集合，称为 可数集(或可列集)。
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集合与图论
一一对应与可数集
1874年，Cantor注意到伽利略”悖论”。 在1874年到1897年间完全解决了这个问题。 Cantor详细地分析了断定有限集合的元素多少 的方法，即采用数数的方法。他认为“数数的过程” 就是作“一一对应的过程”。 Cantor认为这种“一一对应”的方法不仅适用 于有限集，也适用于无限集。 他牢牢地抓住这个原则，抛弃了部分必定小于 全体的教条，经历了大约23年之后，他才冲破了传 统观念的束缚，革命性的解决了伽利略“悖论”。 Cantor认为在N+与N(2)之间存在着一一对应(即 双射)，因此N+与N(2)的元素个数是相等的。
集合与图论
伽利略“悖论”
1638年意大利的天文学家伽利略发现了下面 的问题： N+={1,2,3,…,n,…}与N(2)={1,4,9,…,n2,…} 这两个集合，哪一个的元素更多一些？ 一方面，凡是N(2)的元素都是N+的元素，也就 是说N(2)⊆N+，而且由于2，3，5等元素都不在N(2) 中，所以N(2)⊂N+。这样看来，N+中的元素要比 N(2)中的元素要多。
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集合与图论
伽利略“悖论”
但另一方面，对于N+中的每个元素都可以在N(2) 中找到一个元素与之对应，这样看来，N(2)中的元素 不比N+中的元素要少。
第三章 基数(集合论讲义)
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证明：由定义直接得到。 事实上，任何两个集合的基数都可以进行比较。
定理 3.3 （Zermelo）设 A 和 B 是任意两个集合，则 | A |<| B | ，| A |=| B | ，| A |>| B |
三者中恰有一个成立。
选择公理 设集族 A = {Aα :α ∈ S}中的元素 Aα 都是非空集，则存在指标集 S 上的函数 f ， 使得对任意α ∈ S ，都有 f (α ) ∈ Aα 。
i =1
则 A 中元素可如下排列：
a1,1, a1,2 , a2,1, a1,3 , a2,2 , a3,1, a1,4 , a2,3 , a3,2 , a4,1, , a1,n−1, a2,n−2 , , an−1,1,
2
所以 A 是可列集。
上述证明方法称为对角线法。
推论 2.1 有理数集 是可列集。
单地认为它们的规模相同。自然数集 和 的幂集 2 似应有所区别。最终的做法是，两个
集合规模是否相同取决于它们之间是否存在一一映射。
定义 1.1 设 A ， B 是任意两个集合，若存在一个双射 f ： A → B ，则称 A 和 B 等势，或 称 A 和 B 的基数相同，记为 A ∼ B ， A 的基数记为 | A | 。
由定理 2.1 知，ℵ0 是最小的无限基数，问：是否有最大的无限基数。下面的定理回答这个
问题。
定理 3.5 （Cantor）对于任何集合 A ，必有 | A |<| ρ( A) | 。
证明：首先来说明| A |≤| ρ( A) | 。为此作映射 f ： A → ρ( A) x ⎯⎯f →{x}
显然，f 是单射。所以| A |≤| ρ( A) | 。再来说明 | A |≠| ρ( A) |。否则存在双射 g ：A → ρ( A) 。 若 a ∈ g(a) ，则称 a 是 A 的“内部元素”；若 a ∉ g(a) ，则称 a 是 A 的“外部元素”。设 B 是由 A 的外部元素所组成的集合，即， B = {x : x ∉ g(x)} 。因 B ∈ ρ( A) ，故存在 b ∈ A ， 使 得 g(b) = B 。 但 是 b ∈ g(b) 当 且 仅 当 b ∉ g(b) ， 矛 盾 。 故 | A |≠| ρ( A) | 。 总 之 ， | A |<| ρ( A) | 。
集合论中的集合的基数与有限集合的性质
集合论中的集合的基数与有限集合的性质集合论是数学中的一个重要分支，研究对象是集合及其性质。
在集合论中，我们经常会涉及到集合的基数以及有限集合的性质。
本文将介绍集合的基数概念，并探讨有限集合的一些性质。
一、集合的基数在集合论中，基数是用来描述集合中元素的数量的概念。
对于一个集合A，记为|A|，表示集合A的基数。
集合的基数可以是有限的，也可以是无限的。
1. 有限集合的基数对于一个有限集合A，其基数表示集合中元素的个数。
例如，对于集合A={1, 2, 3, 4, 5}，其基数为5，记为|A|=5。
有限集合的基数是一个非负整数。
2. 无限集合的基数对于一个无限集合A，其基数表示集合中元素的数量是无穷的。
常见的无限集合有自然数集合N，整数集合Z，有理数集合Q以及实数集合R等。
无限集合的基数可以是可数无穷的，也可以是不可数无穷的。
二、有限集合的性质有限集合具有一些特殊的性质，下面我们将介绍几个常见的有限集合性质。
1. 空集的基数为0空集是不包含任何元素的集合，记为∅。
空集的基数为0，即|∅|=0。
2. 子集的基数小于等于原集合的基数对于一个有限集合A和其子集B，有|B|≤|A|。
这是因为子集B中的元素个数不会超过原集合A中的元素个数。
3. 幂集的基数对于一个有限集合A，幂集P(A)是包含A的所有子集的集合。
幂集P(A)的基数为2的A的基数次方，即|P(A)|=2^|A|。
例如，对于集合A={1, 2, 3}，其幂集P(A)的基数为2^3=8。
4. 有限集合的并集与交集对于两个有限集合A和B，其并集A∪B中的元素个数为|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，其中|A∩B|表示A和B的交集的基数。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，其并集A∪B的基数为|A∪B|=3+3-1=5。
5. 有限集合的补集对于一个有限集合A和全集U，A的补集A'表示U中不属于A的元素构成的集合。
有|A'|=|U|-|A|。
基数及其比较
1963年柯亨（1934-）证明了连续统假设对集合论 中的常用公理是独立的。这又表明，从集合论的常用 公理出发，根本不可能证明连续统假设是正确的。因 此，1966年柯亨获得菲尔兹奖。于是，a与ｃ间是否有 基数存在的问题，回答是： 不知道。 不过，大多数数学家承认这个假设，即认为a与ｃ 之间没有其它基数。 无限数有无穷多个，没有最大的。这些工作都归 功于集合论的创始人康托。在康托之前，不同的无穷 集合所含的元素的个数多少没有明确区别，均含有无 穷多个。现在就能区分它们之间哪一个含有更多或是 否含有同样多的元素。
5.3解决方法
为了解决集合论的悖论，为了解决集合论中自 身的问题，一些著名数学家在本世纪初开始了集合论 公理化方面的研究，产生了各种不同的学派和各种不 同的公理系统，解决了悖论问题，大大推进了集合论 的发展，有关集合论公理化方面的内容，本书作为自 学介绍，有兴趣读者请参看有关文献。 本书是以朴素的观点来介绍集合论的，因此未给 出公理系统，但对于计算机科学的一般问题以及大多 数数学问题及其应用，这已足够了。
但凭着我们的直觉与前面的定理可知，这种说法 是符合我们的看法的，只不过是现在说不清楚，之所 以说不清楚，是因为这里面有几个概念未加定义。 于是，我们下面就要把有限集合个数的概念推广， 使它对无穷集合也有精确的定义，这就是无穷集合基 数的概念；然后确定比较两个集合基数大小的方法。
3.1基数的本质
由于我们已经定义了有限集合的基数的概念，即 集合中所含元素的个数，现在便从此进行分析和推广。 有限集合的基数是一个具体的数，可是这个数又 是什么呢？实际上，数只是一个抽象的概念，给一个 具体的数只不过是对这个概念的一种符号表示。
例如：对于“5”这个数。 世界上有“5”这个事物吗？没有。 有的只是具体的5个事物，如5个人，5只笔，5张 桌子等等，而这个“5”无非就是一个符号，它表明具 有5个事物所形成的集合的共性。 它们的共性就是它们相互对等，即它们的元素之 间可以建立起一一对应。 于是， “5”这个符号就是赋给每个含有五个元 素的集合的一个记号，即若与含有五个元素的集对等， 则都赋以相同的记号“5”。 实际上，这就是“5”的本质。
基数的基本概念
基数的基本概念基数（Cardinal number）是数学中表示数量的概念，用于表示集合的大小或元素的个数。
在数学中，基数是集合论中的一个重要概念，它用于度量集合的元素个数，是一种数学语言中描述数量的方式。
基数的基本概念源自人们对实际生活中的物体、事物、数量的观察和认知。
自然数是最早形成的基数概念，它用于表示自然世界中物体、事物的个数。
例如，我家有3只小猫，这里的"3"就代表了小猫的数量，即猫这个集合的基数。
在数学中，除了自然数之外，还有无限个基数可以用来表示不同集合的大小。
由于集合的大小是无法直接观察和感知的，所以需要借助数学工具来描述和比较不同集合的大小。
基数的引入就是为了满足这个需求。
在集合论中，基数的定义是通过对集合之间的一一对应关系进行研究而得到的。
两个集合A和B之间存在一一对应关系，如果存在一个函数，将A的元素与B 的元素一一对应起来。
根据Cantor-Bernstein定理，如果两个集合之间存在一一对应关系，那么它们的基数是相等的。
基于这个思想，可以通过找到两个集合之间的一一对应关系来比较它们的大小，从而确定它们的基数。
对于有限集合，它的基数就是它的元素个数。
例如，一个集合中有4个元素，那么它的基数就是4。
而对于无限集合，它的基数不能够通过直接数数得到，而是通过与其他无限集合找到一一对应关系来确定。
对于无穷集合来说，基数的比较更为复杂。
作为最早研究无穷集合基数的数学家，Cantor提出了一个重要的结论——无穷集合可以有不同的基数大小。
他定义了一个最小的无穷基数，称为可数基数，用aleph-null（א₀）表示。
其中，“aleph”是希伯来语的第一个字母，“null”表示无穷的概念。
这个基数表示的是可数集合的大小，例如自然数集、整数集和有理数集等都是可数集合，它们的基数都是aleph-null。
另外一个重要的基数是连续基数，用c表示。
连续基数表示的是不可数集合的大小，例如实数集和幂集（集合的所有子集构成的集合）等。
可数集在所有无限集中有最小的基数的证明
可数集在所有无限集中有最小的基数的证明可数集在所有无限集中有最小的基数，这个话题听起来可能有点儿晦涩，但咱们用轻松的方式聊聊。
想象一下，一个无边无际的海洋，这里有大大小小的岛屿。
可数集就像是那些能用手指头数得过来的小岛，虽然很多，但总能一一列举出来。
你可能会想，这样的岛屿在海洋里，难道就不显眼吗？它们在无限的海洋中是多么特别啊！想想看，无限集像是一个狂欢派对，大家都在兴奋地跳舞，根本没有尽头。
而可数集就像是一群守规矩的朋友，虽然他们也在派对上，但还是一个个有秩序地排队。
比如，自然数就是这些可数集中的一员。
你可以一一数出它们来，1、2、3……一直数下去，完全没有止境。
而其他无限集，比如实数，就像是一个庞大的舞池，大家的舞姿各不相同，根本无法一一数清楚。
咱们再深入一点。
假设有一个更大的无穷集，像是全体实数的集合，那可是一个数都数不清的世界。
为什么呢？因为实数中有无理数，它们可不像可数集那么简单明了。
可数集的基数，咱们可以用“阿列夫零”这个词来形容，听起来很神秘对吧？而实数的基数就被称为“连续统的基数”，这就更大了。
就像可数集是小朋友的游乐场，而实数集合则是成人的豪华派对，各种复杂的数学关系都在里面。
为什么可数集在所有无限集中会有最小的基数呢？想象一下，假设有个家伙试图把可数集和某个超大的无穷集合混在一起。
他想把它们放在一个大框框里，但可数集总是能找到自己的一席之地。
就算整个框框再大，最后还是会发现可数集总能被数清楚。
就像是海洋中那些岛屿，无论海水多么浩瀚，岛屿总能以某种方式被辨认出来。
大家可以想象一下，咱们用可数集来构造更大的集，像是用乐高积木搭建房子。
每一块积木都代表一个元素，搭建的过程就像是在创造一个新的集合。
而这个过程是可以无限进行的，虽然总是回到那一小块“可数集”，可这小块儿却是基础中的基础，怎么都离不开它。
再往深了说，数学家们很早就意识到，可数集有一种独特的魅力。
在所有无限集中，它是个独立的小明星，虽小却不可或缺。
连续函数集合的基数
连续函数集合的基数连续函数集合的基数在数学中，函数是一个非常基本的概念，它描述了一种指定输入值如何被映射到输出值的关系。
通过从一个集合中选择输入值并应用函数，我们可以得到一个新的输出集合。
在实际应用中，函数的应用非常广泛，从物理中的运动方程到计算机科学中的算法实现都可以使用函数概念。
这个概念非常重要，因为它帮助我们描述和理解自然界和人类活动中的很多现象。
连续函数是一种非常常见和重要的函数类型。
这种函数在输入值的微小变化下，输出值的变化也很小，从而表现出一种平滑连续的关系。
在数学中，连续函数可以用几何方式来描述，在坐标系中，它们是图形上的平滑线条或曲线。
连续函数在物理、工程、经济学和自然科学等领域中都有广泛应用。
因此，研究连续函数集合的特性和性质对于解决各种实际问题是非常有意义的。
在数学中，我们将函数集合的基数定义为集合中元素的数量。
在连续函数集合中，基数表示该集合中连续函数的数量。
连续函数集合包括所有定义在实数集上的连续函数。
简单来说，它是一组连续函数的集合，其中每个函数都具有定义域和值域为实数的属性。
这个集合是非常庞大的，包括了无限多的连续函数，数量是非常庞大的。
接下来，我们将会详细介绍连续函数集合的基数。
基数的定义在数学中，基数是一个集合的大小或容量，它表示集合中元素的数量。
对于有限集合，基数很容易计算。
对于无限集合，基数的计算就变得复杂了。
基数是一个重要的概念，因为它帮助我们比较不同集合的大小，判断它们是否具有相同的数量。
对于一个无限集合，我们用符号“|X|”表示它的基数。
如果两个集合的基数相等，我们称它们是等势的。
具有相同基数的集合有时也被称为基数相同或等基数。
如果一个集合的基数和自然数中的某个数字相等，我们称这个集合是可数的。
如果一个集合的基数大于自然数中所有数字的数量，则称该集合是不可数的。
连续函数集合的基数对于一个集合，它的基数等于该集合的元素数量。
对于连续函数集合，我们需要考虑集合中函数的数量。