河南省名校2020届高三数学压轴第二次考试试题 理
2020届河南省八市重点高中联盟高考数学压轴试卷2(5月份)(含解析)
2020届河南省八市重点高中联盟高考数学压轴试卷2(5月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合A={x|0≤x2<1}，B={x|1≤x<2}，则A∪B=()A. {x|0<x<1}B. {x|−1<x<0}C. {x|1<x<2}D. {x|−1<x<2}3.设命题p：“若e x>1，则x>0”，命题q：“若a>b，则1a <1b”，则()A. “p∧q”为真命题B. “p∨q”为真命题C. “￢p”为真命题D. 以上都不对4.函数y=log a(−x)(a>0且a≠1)与函数y=a x(a>0且a≠1)在同一坐标系内的图象可能是()A. B.C. D.5.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是53960，则判断框中应填入的条件是()A. i>5？B. i<5？C. i>4？D. i<4？6.如图，F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过F1向一条渐近线作垂线，分别交C的左右两支于A，B两点，且|AB|=|BF2|，则ba=()A. √3B. 2√2C. 3+√3D. √3+17.如图，在矩形中，AD=1，AB=4，在CD上任取一点P，则△ABP为钝角三角形的概率为()A. √22B. √32C. √2−1D. √3−18.如图所示的圆锥的三视图是()A. 主视图和左视图是三角形，俯视图是圆B. 主视图和左视图是三角形，俯视图是圆和圆心C. 主视图是圆和圆心，俯视图和左视图是三角形D. 主视图和俯视图是三角形，左视图是圆和圆心9.用数学归纳法证明“，”时，从“”到“”左边需要添加的代数式为()A. B. C. D.10.过正三棱锥S−ABC侧棱SB与底面中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为()A. 13B. √33C. 13或√66D. √33或√6611. 已知抛物线C ：y 2=4x 与点M(−1,1)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于两点A ，B ，若MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则k =( ) A. 2B. 32C. 1D. 412. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图，则∑f 2019n=1(nπ6)=( )A. −1B. 12 C. 0 D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={lgx,x >1x 2−2x,x ≤1，则f[f(10)]=______．14. 向量a⃑ =(1,2)在b ⃑ =(3,1)上的投影为______． 15. 已知sinθ+cosθ=√55且θ∈(0,π)，则tan(θ−3π4)=______．16. 已知函数f(x)=|x −1|+|x −a|(1)若a =1，解不等式f(x)≥2；(2)若a >1，∀x ∈R ，f(x)+|x −1|≥2，求实数a 的取值范围． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }是首项为1，公差不为0的等差数列，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若b n =1a n a n+1，S n 是数列{b n }的前n 项和，求证：S n <1．18.某车间将10名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1号2号3号4号5号甲组457910乙组56789(1)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；(2)评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过14件，则称该车间“生产率高效”，求该车间“生产率高效”的概率．19.如图，四棱锥P−ABCD底面是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为PA，PD中点．(1)求证：EF//平面PBC(2)求证：平面PBC⊥平面PAB．20.已知动点M到点(8,0)的距离等于M到点(2,0)的距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)若直线y=kx−5与轨迹C没有交点，求k的取值范围；(3)已知圆x2+y2−8x−8y+16=0与轨迹C相交于A，B两点，求|AB|．21.已知函数f(x)=13x3+a2−12x2−a2x+a，x∈R，a∈R．(1)若函数f(x)在区间[0,2]内恰有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若a=−1，设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记F(t)=M(t)−m(t)，求函数F(t)在区间[−3,−1]上的最小值．22.已知点P(1+√10cosa,√10sina)(a∈[0,2π])，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q在曲线C：ρ=√2sin(θ−π4)上．(Ⅰ)求点P的轨迹极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)求点P的轨迹与曲线C交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．23.已知函数f(x)=|x−1|+|x+1|−2．(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥a2−a−2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：试题分析：，对应的点为，在第四象限考点：复数点评：复数运算中分子分母同乘以分母的共轭复数化简，复数对应的点为2.答案：D解析：解：∵集合A={x|0≤x2<1}={x|−1<x<1}，B={x|1≤x<2}，∴A∪B={x|−1<x<2}．故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析：本题考查了复合命题的判断，属于基础题．分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．解：命题p：“若e x>1，则x>0”是真命题，命题q：“若a>b，则1a <1b”是假命题，如：a=1，b=−1，故“p∨q”为真命题，故选：B．4.答案：A解析：解：函数y=log a(−x)其定义域满足：x<0，图象在左边，排除B，D；当a>1时，函数y=log a(−x)是单调递减，而函数y=a x是单调递增，故选：A．对a进行分类讨论，结合指数对数的图象可得答案；本题考查了函数图象变换，是基础题．5.答案：D解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得i=1，T=0，S=0满足判断框内的条件，执行循环体，i=2，T=1，S=12，满足判断框内的条件，执行循环体，i=3，T=2，S=14，满足判断框内的条件，执行循环体，i=4，T=3，S=548，满足判断框内的条件，执行循环体，i=5，T=4，S=53960，由题意，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出结果是53960，可得判断框内的条件为i<4．故选：D．对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及i的关系．最终得出选项．本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．6.答案：D解析：解：连接AF2，则|BF1|−|BF2|=2a，|AF2|−|AF1|=2a，又|AB|=|BF2|，∴|AF1|=2a，|AF2|=4a，又|F1F2|=2c，∴cos∠AF1F2=4a2+4c2−16a22×2a×2c =c2−3a22ac，又直线AB与双曲线的一条渐近线为：y=−bax垂直，∴直线AB的斜率为tan∠AF1F2=ab ，∴cos∠AF1F2=bc，∴c2−3a22ac =bc，即c2−3a2=2ab，∴b2−2a2=2ab，故(ba )2−2ba−2=0，∴ba =1+√3或ba=1−√3(舍)．故选：D．在△AF1F2中利用余弦定理计算cos∠AF1F2，再根据直线垂直求出cos∠AF1F2，从而列方程得出a，b 的关系．本题考查双曲线的简单性质，直线与直线的位置关系，属于中档题．7.答案：B解析：解：设以AB中点为圆心，AB为直径作圆，此圆与CD交于点E，F，则当点P在线段EF(不含端点)上运动时，△ABP为钝角三角形，由几何概型中的线段型得：△ABP为钝角三角形的概率P=2√34=√32，故选：B．先利用圆的应用得点P的运动位置，再由几何概型中的线段型求得P=2√34=√32，得解．本题考查了圆的应用及几何概型中的线段型，属中档题．8.答案：A解析：解：由于几何体是倒放的圆锥，所以其主视图和左视图都是等腰三角形．俯视图是圆；故选：A．根据几何体的三视图是分别从正前方，左方和上方得到射影图形解答．本题考查了几何体的三视图；属于基础题．9.答案：D解析：试题分析：解：当n =k 时，左边等于(k +1)(k +2)…(k +k)=(k +1)(k +2)…(2k)， 当n =k +1时，左边等于(k +2)(k +3)…(k +k)(2k +1)(2k +2)， 故从“k ”到“k +1”的证明，左边需增添的代数式是，故选D ．考点：数学归纳法．10.答案：C解析：解：延长BO 交AC 于D ，则D 为AC 中点．截面为△SBD ． 由正棱锥的性质，SO ⊥面ABC ，SD ⊥AC ，BD ⊥AC ，∠SDC 为侧面和底面所成角的平面角．设底面边长BC =2.易知SB ≠SD ． (1)若SD =BD ，则SC =BC ，正三棱锥S −ABC 为正四面体．BD =√BC 2−CD 2=√3，在△SDB 中，由余弦定理得cos∠SDB =SD 2+BD 2−SB 22SD⋅BD=3+3−42×√3×√3=13．(2)若SB =BD =√3，在RT △SDA 中，SD =√SA 2−AD 2= √3−1 =√2，在△SDB 中，由余弦定理得cos∠SDB =SD 2+BD 2−SB 22SD⋅BD=2×√2×√3=√66故选C ．如图，延长BO 交AC 于D ，则D 为AC 中点，∠SDC 为侧面和底面所成角的平面角．截面△SBD 分SD =BD ，SB =BD 两种情况求解．本题考查了正棱锥的性质，面面角的计算．考查空间想象能力、计算、推理论证能力．11.答案：A解析：解：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F(1,0)， ∴过A ，B 两点的直线方程为y =k(x −1)，联立{y 2=4xy =k(x −1)可得，k 2x 2−2(2+k 2)x +k 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=2(1+k 2)k 2，x 1x 2=1，∴y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)=4k ，y 1y 2=k 2(x 1−1)(x 2−1)=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]=−4， ∵M(−1,1)，∴MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1+1,y 1−1)，MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2+1,y 2−1)，∵MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴(x 1+1)(x 2+1)+(y 1−1)(y 2−1)=0，整理可得，x 1x 2+(x 1+x 2)+y 1y 2−(y 1+y 2)+2=0， ∴1+2+4k 2−4−4k +2=0， 即k 2−4k +4=0， ∴k =2． 故选：A ．由已知可求过A ，B 两点的直线方程为y =k(x −1)，然后联立方程组可得，k 2x 2−2(2+k 2)x +k 2=0，可表示x 1+x 2，x 1x 2，y 1+y 2，y 1y 2，由MA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，代入整理可求k ． 本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．12.答案：D解析：解：由图象可得x =π6时，f(x)取得最大值1， 且14T =5π12−π6=π4，即T =π， ω=2πT =2，即有f(x)=sin(2×π6+φ)， 可得sin(π3+φ)=1，解得φ=π6， 即有f(x)=sin(2x +π6)， f(nπ6)=sin(nπ3+π6)， 可得周期为2ππ3=6，由f(π6)=1，f(π3)=12，f(π2)=−12， f(2π3)=−1，f(5π6)=−12，f(π)=12，可得∑f 2019n=1(nπ6)=336×(1+12−12−1−12+12)+f(2017π6)+f(2018π6)+f(2019π6)=0+f(π6)+f(π3)+f(π2)=1+12−12=1． 故选：D ．由图象可得f(π6)取得最大值为1，以及f(x)的周期为π，可得f(x)的解析式，由f(nπ6)=sin(nπ3+π6)，可得周期为6，计算一个周期内的和，可得所求和．本题考查三角函数的解析式的求法，以及函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查运算能力，属于中档题．13.答案：−1解析：解：∵函数f(x)={lgx,x >1x 2−2x,x ≤1，∴f(10)=lg10=1，f[f(10)]=f(1)=12−2×1=−1． 故答案为：−1．推导出f(10)=lg10=1，从而f[f(10)]=f(1)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：√102解析：解：向量a ⃑ =(1,2)在b ⃑ =(3,1)上的投影为a ⃑ ⋅b ⃑|b ⃑ |=√32+12=√102， 故答案为：√102直接利用向量的数量积公式求解即可．本题考查平面向量的数量积的应用，考查计算能力．15.答案：−13解析：解：∵sinθ+cosθ=√55①，∴(sinθ+cosθ)2=15，即2sinθcosθ=−45<0， 又θ∈(0,π)， ∴θ∈(π2 , π )，∵(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=95， ∴sinθ−cosθ=3√55②，由①②解得，sinθ=2√55，cosθ=−√55， ∴tanθ=sinθcosθ=−2， ∴tan(θ−3π4)=tanθ+11−tanθ=−13．故答案为：−13．将sinθ+cosθ=√55两边平方，可推出2sinθcosθ的值以及θ的取值范围，从而得sinθ−cosθ的值，进而求得sinθ、cosθ和tanθ的值，最后利用正切的两角差公式将tan(θ−3π4)展开后，代入相应数据进行运算即可．本题考查三角恒等变换与三角函数的综合应用，主要包含同角三角函数的关系式、正切的两角差公式、三角函数在各象限的符号判断等基础考点，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.答案：解：(1)当a =1时，由f(x)≥2，得|x −1|≥1，解得：x ≤0或x ≥2．故f(x)≥2的解集为{x|x ≤0或x ≥2}；(2)令F(x)=f(x)+|x −1|，则F(x)={−3x +2+a,x <1x −2+a,1≤x <a 3x −2−a,x ≥a ，∴当x =1时，F(x)有最小值F(1)=a −1， 只需a −1≥2，解得a ≥3． ∴实数a 的取值范围为[3,+∞)．解析：(1)把a =1代入函数解析式，然后求解绝对值的不等式得答案；(2)构造函数F(x)=f(x)+|x −1|，写出分段函数后求得F(x)的最小值，由最小值≥2求解实数a 的取值范围．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了分段函数最值的求法，是中档题．17.答案：(I)解：设等差数列{a n }的公差为d ≠0，∵a 1，a 2，a 4成等比数列．∴a 22=a 1a 4，∴(1+d)2=1×(1+3d)，解得d =1．∴a n =1+(n −1)×1=n ． (II)证明：b n =1an a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，∴数列{b n }的前n 项和S n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1<1．解析：(I)设等差数列{a n }的公差为d ≠0，由a 1，a 2，a 4成等比数列．可得a 22=a 1a 4，即(1+d)2=1×(1+3d)，解得d 即可得出． (II)b n =1an a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．本题考查了“裂项求和”、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)依题意，x 甲=15(4+5+7+9+10)=7，x 乙=15(5+6+7+8+9)=15，S 甲2=15[(4−7)2+(9−7)2+(10−7)2]=5.2， S 乙2=15[(5−7)2+(8−7)2+(9−7)2]=2． ∵x 甲=x 乙，S 甲2>S 乙2，∴两组员工的总体水平相同，甲组员工的业务水平差异比乙组大．(Ⅱ)记“优秀团队”为事件A ，则从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件为： (4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)， (5,5)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)， (7,5)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)， (9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共25种，事件A 包含的基本事件为：(7,8)，(7,9)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共11种， ∴P(A)=1125．解析：(Ⅰ)先分别求出x 甲，x 乙和S 甲2，S 乙2，由此能够比较两组员工的业务水平．(Ⅱ)记“优秀团队”为事件A ，从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件共25种，事件A 包含的基本事件共11种，由此能求出“优秀团队”的概率．本题考查平均数、方差的求法，考查古典概率的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的合理运用．19.答案：证明：(1)∵四棱锥P −ABCD 底面是正方形，E ，F 分别为PA ，PD 中点．∴EF//AD ，AD//BC ， ∴EF//BC ，∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴EF//平面PBC ．(2)∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥PA ，∵四棱锥P −ABCD 底面是正方形， ∴BC ⊥AB ，∵PA ∩AB =A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴BC ⊥平面PAB ， ∵BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PAB ．解析：本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是基础题． (1)由已知得EF//AD ，AD//BC ，从而EF//BC ，由此能证明EF//平面PBC ． (2)由已知得BC ⊥PA ，BC ⊥AB ，由此能证明平面PBC ⊥平面PAB ．20.答案：解：(1)设M(x,y)，则√(x −8)2+y 2=2√(x −2)2+y 2，整理得x 2+y 2=16，即动点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2=16． (2)由{x 2+y 2=16y =kx −5，消去y 并化简得(1+k 2)x 2−10kx +9=0，因为直线y =kx −5与轨迹C 没有交点，所以Δ=100k 2−36(1+k 2)<0， 即16k 2−9<0，解得−34<k <34．(3)圆x 2+y 2−8x −8y +16=0的圆心坐标为C 1(4,4)，半径r =4，由{x 2+y 2=16&x 2+y 2−8x −8y +16=0&，得x +y −4=0这就是AB 所在的直线方程， 又圆心C 1(4,4)到直线AB 的距离d =√12+12=2√2，所以|AB|=2√r 2−d 2=2√16−8=4√2．或：AB 所在的直线方程x +y −4=0与x 2+y 2=16的交点坐标为A(4,0)，B(0,4)， 所以|AB|=√42+42=4√2．解析：本题主要考查了直线和圆的问题的综合运用．综合考查了学生分析和推理的能力． (1)设出点M 的坐标，利用已知距离的关系求得x 和y 的方程，即M 的轨迹方程．(2)联立直线和圆的方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，利用判别式确定k 的范围． (3)联立两个圆的方程求得AB 的直线方程，进而求得圆心到直线AB 的距离，利用勾股定理求得AB 的长度，21.答案：解：(1)由f(x)=13x 3+a 2−12x 2−a 2x +a ，x ∈R ，a ∈R ，得f′(x)=x 2+(a 2−1)x −a 2x ，由f′(x)=0，得x =−a 2或x =1， 当x ∈[0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数， 当x ∈(1,2]时，f′(x)>0，f(x)为增函数． ∴在x ∈[0,2]上f(x)有极小值，为f(1)，若函数f(x)在区间[0,2]内恰有两个零点，则{f(0)≥0f(2)≥0f(1)<0，即{a ≥083+2(a 2−1)−2a 2+a ≥013+a 2−12−a 2+a <0，解得：0≤a <1−√63或a >1+√63．∴使函数f(x)在区间[0,2]内恰有两个零点的实数a 的取值范围是[0,1−√63)∪(1+√63,+∞)；(2)当a =−1时，f(x)=13x 3−x +1，f′(x)=x 2−1， 由f′(x)=0，得x =±1．当x ∈(−∞,−1)，(1,+∞)时，f′(x)>0，当x ∈(−1,1)时f′(x)<0， ∴f(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上为增函数，在(−1,1)上为减函数．若t +3≤−1或t ≥1，即t ≤−4或t ≥1时，f(x)在[t,t +3]上为增函数，M(t)=f(t +3)=13(t +3)3−(t +3)+1，m(t)=f(t)=13t 3−t +1，F(t)=M(t)−m(t)=3t 2+9t +6；若{t <−1−1<t +3≤1，即−4<t ≤−2时，M(t)=f(−1)=53， m(t)=min{f(t),f(t +3)}=f(t)=13t 3−t +1，F(t)=53−13t 3+t −1=−13t 3+t +23；若{t +3>1−1≤t <1，即−1≤t <1时，m(t)=f(1)=13， M(t)=max{f(t),f(t +3)}=f(t +3)=13(t +3)3−(t +3)+1，F(t)=13(t +3)3−(t +3)+1−13=13t 3+3t 2+8t +203；若{t ≤−1t +3≥1，即−2≤t ≤−1时，M(t)=f(−1)=53， m(t)=f(1)=13，F(t)=53−13=43．∴F(t)={−13t 3+t +23,−3≤t ≤−243,−2≤t ≤−1．F′(t)=−t 2+1在x ∈[−3,−2]上小于0， F(t)=−13t 3+t +23在[−3,−2]上为减函数， F(t)min =43，F(t)max =203．∴函数F(t)在区间[−3,−1]上的最小值为43．解析：(1)求出原函数的导函数，得到函数在[0,2]内的极值点，求得极小值为g(1)，由{f(0)≥0f(2)≥0f(1)<0求解不等式组得到a 的取值范围；(2)把a =−1代入函数解析式，求出函数的导函数，得到函数的单调期间，然后对t 的范围分类讨论，求出函数F(t)在区间[−3,−1]上的解析式，利用导数求得函数的最小值43．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，正确的分类是解答该题的关键，属难度较大的题目．22.答案：解：(Ⅰ)∵{x =1+√10cosαy =√10sinα∴点P 的轨迹方程为：(x −1)2+y 2=10．将{x =ρcosθy =ρsinθ代入得ρ2−2ρcosθ−9=0． ∵ρ=√2sin(θ−π4)，∴ρsinθ−ρcosθ=1，∴曲线C 的直角坐标方程为：x −y +1=0．(Ⅱ)由{(x −1)2+y 2=10x −y +1=0，解得{x =2y =3或{x =−2y =−1，∴交点极坐标为(√13,arccos2√1313)，(√5,π+arccos2√55).解析：(Ⅰ)先写出点P 的轨迹方程，再由{x =ρcosθy =ρsinθ代入化简即得P 的极坐标方程，运用两角差的正弦公式化简曲线C ，再由{x =ρcosθy =ρsinθ，即可得到曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)先求出点P 的轨迹与曲线C 交点的直角坐标，再将其化为极坐标，注意ρ≥0，0≤θ<2π． 本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程和普通方程的互化，考查基本的运算能力．23.答案：解：(1)原不等式等价于{x ≤−1−2x ≥3或{−1<x ≤12≥3或{x >12x ≥3, 解得：x ≤−32或x ≥32，∴不等式的解集为{x|x ≤−32或x ≥32}；(2)∵f(x)=|x −1|+|x +1|−2≥|(x −1)−(x +1)|−2=0， 当且仅当−1≤x ≤1时等号成立， 且f(x)≥a 2−a −2在R 上恒成立， ∴a 2−a −2≤0，解得−1≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是−1≤a ≤2．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)通过讨论去掉绝对值，即可求不等式f(x)≥1的解集；(2)f(x)=|x −1|+|x +1|−2≥|(x −1)−(x +1)|−2=0，利用关于x 的不等式f(x)≥a 2−a −2在R 上恒成立，即可求实数a 的取值范围．。
河南省六市2020届高三第二次联考理科数学试卷含答案
理科答案一、选择题1--5CBADC 6--10ACDAB 11—12DA二、填空题13、14、2815、3416、第一空2n （2分）第二空{}2（3分）17.解：（1）由①2633()b ac c a b -+=+及余弦定理得，2223)a c b +-=-（所以362cos 222-=-+=ac b c a B ................3分②由cos 2cos C c b A a a +=及正弦定理，得cos sin cos sin 2sin cos sin sin C A A C B A A C +=，即sin(2sin cosAsinA sin A C B A+=）,0A C A π+∈ （，）sin sin 0A CB ∴+=≠（）1cos 2A ∴=0A π∈ （，），3A π∴=……………………6分因为32),,0(,2136cos ππ>∈-<-=B B B 所以且.,矛盾所以π>+B A 不能同时满足所以ABC ∆①②.............................8分（2）有（1）知，满足故ABC ∆①③④或②③④............................9分若ABC ∆满足①③④因为B ac c a b cos 2222--=024,36626822=-+⨯⨯⨯++=c c c c 即所以26-=c 解得.............................11分23sin 21-==∆∴B ac S ABC 的面积.............................12分另：若ABC ∆满足②③④.............................9分1sin ,sin 22236,sin sin ===B B B b A a 解得即2c ∴=...................................11分3sin 21==∆∴A bc S ABC 的面积.........................12分18.解：（1）过P 做AB PO ⊥与O ，连ODOC ,由题可知，3==CD AB ，222AB PB PA =+∴,3,32,2,1,2=====∴OC OD OA OB PO ，所以CD OC ⊥..........................................2分平面⊥PAB 底面ABCD ,交线为AB ，⊥∴PO 底面ABCD ，所以CD PO ⊥，又⊂=PO OC O PO OC ,, 平面POC ，故⊥CD 平面POC ，所以CD PC ⊥；.................................................6分（2）由（1）知OD AB ⊥，以O 为坐标原点，OP OB OD ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标如图所示..7分则)0,23,23(),0,0,32(),2,0,0(C D P ......................................8分所以)0,23,233(),2,0,32(-=-=CD PD 设平面平面PCD 的法向量),,(z y x m =故⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0232330232y x z x 令1=x ，可得)6,3,1(=m 平面PAB 的法向量取)0,0,1(=n ，..............10分所以1010101||||,cos ==>=<n m nm n m 故平面PCD 与PAB 夹角的余弦值为1010...............12分19.解：（1）设)(),,(1,100y x P y x M ，则),(00y x N --由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11221221220220b y a x b y a x 得0))(())((2101021010=-++-+b y y y y a x x x x 即2210101010))(())((ab x x x x y y y y -=-+-+222b a =∴，又122=-b a ，1,222==∴b a ，故椭圆C 的标准方程为：1222=+y x ...............4分（2）设直线PQ 的方程为：1+=ty x ，则直线MN 的方程为代入tyx =由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x ty x 得012)2(22=-++ty y t ，设)(2,2y x Q 则0)1(8)2(44222>+=++=∆t t t ，22122121,22ty y t t y y +-=+-=+.......7分所以222122)1(22||1||t t y y t PQ ++=-+=…..........................................9分由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1222y x ty x 得22022t y +=，......................................10分=∴||MN 2220220202)1(22)1(22t t y t y x ++=+=+...............................11分故22||||2=PQ MN 为常数.得证....…......................................12分20．【解析】（1）120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元，故估计50位农民的年平均收入x 为17．40千元．…………………………………...3分（2）由题意知()17.40,6.92X N ~，①()10.68270.841422P x μσ>-=+≈，所以17.40 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意，即最低年收入大约为14．77千元．…………………………………………6分②由()()0.954512.1420.50.97732P x P x μσ≥=≥-=+≈，每个农民的年收入不少于12．14千元的事件的概率为0．9773…………….……………………..….8分记1000个农民的年收入不少于12．14千元的人数为ξ，则()1000,B P ξ ，其中0.9773P =……………………………..………………………………….…9分于是恰好有k 个农民的年收入不少于12．14千元的事件概率为()()331010C1k k k p P k p ξ-=-=，从而由()()()()1001111P k k p P k k p ξξ=-⨯=>=-⨯-，得1001k p <……………………………………….…10分而1001978.2773p =，所以，当0978k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=-<=；当9791000k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=->=，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12．14千元的人数最有可能是978人．…………………………………………………………………………….….12分21.（1）1令 x t +=由题意知()(1)f x a x ≤+等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立…………1分令()2ln h t a at t =-+，则'22()at h t a t t-=-=………………………………………………2分当0a ≤时，'()0h t >，故()h t 在()0,+∞上单调递增，由于(1)0h =，不合题意…………………3分当0a >时，'2()()a t a h t t --=，故当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭'()0h t >()h t 单调递增当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭'()0h t <()h t 单调递减，故max 2()(22ln 22ln h t h a a a ==-+-……………………………………………………………4分所以要使()0h t ≤在0t >时恒成立，则只需max ()0h t ≤即22ln 22ln 0a a -+-≤()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则'22()1a a a aϕ-=-=，所以()0,2时x ∈'()0a ϕ<，()a ϕ单调递减()2,时x ∈+∞'()0a ϕ>，()a ϕ单调递增，又因为(2)0ϕ=所以满足条件的a 只有2，即2a =………………………………………………………………6分也可以分离参数或者数形结合，同样给分（2）由（1）知，1令 x t +=(1)()()1x f x g x x a +=+-变形成22ln ()(2)2t t t t t t θ+=>-，所以/22(2ln 4)()(2)t t t t θ--=-……………………………………………………………………7分令()2ln 4s t t t =--，则/22()1t s t t t -=-=由于2t >，所以/()0s t >。
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学(理)试卷及解析
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡完成,答在本试题上无效.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式:13V Sh =（其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高）. 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{}2|log 1A x x =<,{}2|0B x x x =->,则A B =（ ）A. {|12x x <<}B. {|2x x <}C. {|12x x ≤≤}D. {|14x x ≤<}【答案】A【解析】 求出不等式2log 1x <和20x x ->的解,然后根据集合的交集运算,即可得到本题答案.【详解】由2log 1x <,得02x <<,故{|02}A x x =<<,由20x x ->,得1x >或0x <,故{|1B x x =>或0}x <,所以,{|12}A B x x =<<.故选：A2.已知复数z 满足21i z i-=+,则z =（ ）A. 132i +B. 132i -C. 32i +D. 32i - 【答案】B【解析】利用复数的除法运算,即可得答案.【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ----===++-. 故选：B.3.由我国引领的5G 时代已经到来,5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP 增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图,下列说法正确的是（ ）A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,而后期是信息服务商处于领先地位,故C 项表达错误．故选：ABD ．4.411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A. 10B. 24C. 32D. 56。
2020届河南省顶级名校高考第二次联考数学(理)试卷
2020届河南省顶级名校高考第二次联考数学（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、集合xN x A 3|{∈=≥}1，)1(log |{2+∈=x N x B ≤}1，A S ⊆，φ≠⋂B S ，则集合S 的个数为( )A ．0B ．2C ．4D ．8 2、如果复数iai+-21(R a ∈,i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．3D ．3-3、已知向量)1,3(=a ,)3,3(-=b ,则向量b 在向量a 方向上的投影为( )),3(a A -，若点A 在抛物线241x y -=的准线上，则=αsin ( ) A ．23-BC ．－12D ．125、执行右边的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是 ( ) A ．5≤i B ．6≤i C ．7≤i D ．8≤i6、下列说法正确的是( )A. 设m 是实数，若方程12122=-+-my m x 表示双曲线，则2>m ． B.“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的充分不必要条件．C. 命题“R x ∈∃，使得0322<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，0322>++x x ”． D.命题“若0x 为()x f y =的极值点，则()00'=x f ”的逆命题是真命题． 7、如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是( ) A ．221x y x =--B ．2sin y x x =C ．ln xy x=D ．()22xy x x e =-8、如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )A ．116B ．316C ．14D ．13169、已知151x e dxn e =-⎰，其中 2.71e =…，e 为自然对数的底数，则在4(2)n x x--的展开式中2x 的系数是（ ）A ．240B ．80C ．80-D ．240-10、在ABC ∆中，三内角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,，且3=a ，A B B C sin )cos 3(sin sin 3+=，BC 边上的高为h ，则h 的最大值为 ( )A ．21 B ．1 C ．23D ．211、已知三棱锥ABC P -的四个顶点都在半径为3的球面上，AC AB ⊥，则该三棱锥体积的最大值是()A ．332B ．316 C ．364 D ． 6412、设'()f x 为函数()f x 的导函数，且满足321()3,'()'(6)3f x x ax bx f x f x =-++=-+，若()6ln 3f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．[)66ln6,++∞B ．[)4ln 2,++∞C ．[)5ln5,++∞ D．)6⎡++∞⎣第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13、己知),(y x 满足10203x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≥＋－≥≤，则y x 2-的最大值为___________14、在平行四边形ABCD 中，已知 60,2,1=∠==BAD AD AB ，若2,==， 则=⋅_________15、已知双曲线C ：22221x y a b－＝)0,0(>>b a 的左右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为30，则双曲线C 的渐近线方程为__________16、已知正ABC ∆的顶点A 在平面α上，顶点,B C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若△ABC 在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的范围是_______三、解答题 （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本题满分12分） 已知数列{}n a 满足对任意的正整数,n k 都有2()n k n k n a a a n k +-+=>，且该数列前三项依次为112+x ，x10，x12，又已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11=b ，=+1n b n S )1(≥n （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式;（2）令n n n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18、（本题满分12分）已知三棱锥ABC P -中，ABC ∆为等腰直角三角形，，1==AC AB ,5==PC PB 设点E 为PA 的中点，点D 为AC 的中点， 点F 为PB 上一点，且FB PF 2=. （1）证明：//BD 平面CEF ；（2）若AC PA ⊥，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．19、（本题满分12分） 在平面直角坐标系中，()()0,2,0,2B A -，且A B C ∆满足21tan tan =B A （1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()0,2-F 作直线MN 交轨迹E 于N M ,两点，若MAB ∆的面积是NAB ∆面积的2 倍，求直线MN 的方程．20、（本题满分12分） 随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入－个税起征点－专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用……等.其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．加扣除．请问李某月应缴纳的个税金额为多少？ （2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500 名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）.若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额X 的分布列与期望．21、（本题满分12分） 已知函数x e x x f x +-=)1()(2．（1）求)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,41上的最小值； （2）若x ae x f x g x--=)()(，当)(x g 有两个极值点)(,2121x x x x <时，总有)1)(2()(212++≤x e x t x eg ，求此时实数t 的值．选考题：共10分。
河南省洛阳市2020届高三数学第二次统一考试试题理含解析
某某省某某市2020届高三数学第二次统一考试试题 理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的某某、考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）．A. 50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦C. 1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D. (0,)A B =+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出集合A ，进而求出集合AB 和A B ，分析选项即可得到答案.【详解】根据题意，{}215|log (31)2|33B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭则15(0,),,33A B A B ⎛⎫⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭故选：D【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目, z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）．A. iB. i -C. 1i +D. 1i - 【答案】A 【解析】 【分析】先化简求出z ，即可求得答案. 【详解】因为(1)2z i -=，所以()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+ 所以111z i i -=+-= 故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）．A. 1225-B. 2425-C. 165D. 85【答案】B 【解析】 【分析】根据角终边上的点坐标，求得sin ,cos αα，代入二倍角公式即可求得sin 2α的值. 【详解】因为终边上有一点(3,4)P -，所以43sin ,cos 55αα==-， 4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫∴==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：B【点睛】此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.4.下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A. 中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B. 折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C. 第30届与第29届奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降【答案】B【解析】 【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误； B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确； C.30届与第29届奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误； D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确； 故选：B【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）A. 8B. 4C. 2D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义得62pAF =+，即可解得结果. 【详解】因为262pAF p ==+，所以4p =.故选B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.6.执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A. 7?S ≥B. 21?S ≥C. 28?S ≥D. 36?S ≥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时. 【详解】第一次循环：0,1S i == 第二次循环：1,2S i == 第三次循环：3,3S i == 第四次循环：6,4S i == 第五次循环：10,5S i == 第六次循环：15,6S i == 第七次循环：21,7S i == 第八次循环：28,8S i ==所以框图中①处填28?S ≥时，满足输出的值为8.故选：C【点睛】此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.7.下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）．A. ()ln f x x x =B. ()x x f x e e -=-C. ()sin 2f x x =D. 3()f x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】奇函数满足定义域关于原点对称且()()0f x f x +-=，在(0,1)上()'0f x ≥即可. 【详解】A ：因为()ln f x x x =定义域为0x >，所以不可能时奇函数，错误；B ：()x xf x e e -=-定义域关于原点对称，且()()0x xx x f x f x e ee e --+-=-+-=满足奇函数，又()'0xxf x e e-=+>，所以在(0,1)上()'0f x ≥，正确；C ：()sin 2f x x =定义域关于原点对称，且()()sin 2sin 20f x f x x x +-=+-=满足奇函数，()'2cos2f x x =，在(0,1)上，因为()()'0'122cos20f f =⨯<，所以在(0,1)上不是增函数，错误；D ：3()f x x x =-定义域关于原点对称，且()()33()0f x f x x x x x +-=-+-+=，满足奇函数，()2'31f x x =-在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误； 故选：B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A. 3- B. 6- C. 4D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.【详解】根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=- 则DC则CD AB ⊥则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=- 故选：B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）．A.5 C. D. 【答案】C 【解析】【分析】设M,N,P分别为1,AB BB和11B C的中点，得出11,AB BC的夹角为MN和NP夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出,,AC MQ MP和MNP∠的余弦值再求其正弦值即可.【详解】根据题意画出图形:设M,N,P分别为1,AB BB和11B C的中点，则11,AB BC的夹角为MN和NP夹角或其补角可知11522MN AB==，11222NP BC==.作BC中点Q，则PQM为直角三角形；11,2PQ MQ AC==ABC中，由余弦定理得22212cos4122172AC AB BC AB BC ABC⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭AC ∴=2MQ =在MQP △中，2MP ==在PMN 中，由余弦定理得222222cos 25MN NP PM MNP MH NP +-+-∠====-⋅⋅所以sin MNP ∠===故选：C【点睛】此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目.22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）．A.【答案】A 【解析】 【分析】直线l 的方程为bx y c a=-，令1a =和双曲线方程联立，再由2AF FB =得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.【详解】由题意可知直线l 的方程为bx y c a=-,不妨设1a =. 则x by c =-，且221b c =-将x by c =-代入双曲线方程2221y x b-=中，得到()4234120b y b cy b +--=设()()1122,,,A x y B x y则341212442,11b c b y y y y b b +=⋅=-- 由2AF FB =，可得122y y =-，故32442242121b cy b by b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩则22481b c b =-，解得219=b则3c ==所以双曲线离心率3c e a ==故选：A【点睛】此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）． A. {|31}x x -<<- B. 1{|1}3x x -<<- C. {|3x x <-或1}x >- D. {|1x x <-或1}3x >- 【答案】D 【解析】 【分析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数()()33x f x g x =， 则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+ 又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >- 故选：D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的X 围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC 内轨迹的长度为2．其中正确的个数是（ ）． A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的X围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.【详解】画出图形：若O为ABC的外心，则2===OA OB OC PO⊥平面ABC,可得PO OC⊥,即222PC PO OC+=，①正确; ABC若为等边三角形，⊥AP BC，又AP PB⊥可得AP⊥平面PBC，即AP PC⊥,由PO OC⊥可得222622PC PO OC AC+=+==，矛盾，②错误; 若90ACB ∠=︒，设PC与平面PAB所成角为θ可得2,2OC OA OB PC====，设C到平面PAB的距离为d 由C PAB P ABC V V--=可得11112223232d AC BC⋅⋅⋅=⋅即有222242AC BC AC BC d+⋅==，当且仅当2AC BC==取等号. 可得d22sin22dθ=即θ的X围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦，③正确；取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN 由中位线定理可得平面//OKN 平面PAC 可得M 在线段KN 上，而122KN PC ==，可得④正确； 所以正确的是：①③④ 故选：C【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）230x dx n =⎰，则12(1)n x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式2x 的系数为__________． 【答案】8- 【解析】 【分析】先根据定积分求出n 的值，再用二项展开式公式即可求解.【详解】因为2234400112444x dx x ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭⎰所以4n =4(1)x +的通项公式为41441r r r r rr T C x C x -+=⨯⋅= 当2r时，422234416r r r T C x C x x -=⨯⋅== 当3r =时，333444T C x x == 故12(1)n x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为4(2)68+-⨯=- 故答案为：8-【点睛】此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.14.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______.（用数字作答） 【答案】23 【解析】 【分析】由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5＝23，得解．【详解】①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为3353C C -=9，②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为3353C C -=9，③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为45C =5， 综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝23， 故答案为23．【点睛】本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题．()244f x x x =--.若()1f x <在区间()1,2m m --m 的取值X 围是__________．【答案】10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】 首先解不等式()1f x <，再由()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立，即()()1,21,5m m --⊆-得到不等组，解得即可.【详解】解：()244f x x x =--且()1f x <，即2441x x --<解得15x -<<，即()1,5x ∈-因为()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立，()()1,21,5m m ∴--⊆-111225m m m m -≤-⎧⎪∴-<-⎨⎪-≤⎩解得103x ≤<即10,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.ABC 中，角A 的平分线交BC 于D ，3BD =，2CD =，则ABC 面积的最大值为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】由角平分线定理得AB BDAC CD=,利用余弦定理和三角形面积公式，借助三角恒等变化求出ABC 面积的最大值.【详解】画出图形：因为3BD =，2CD =，由角平分线定理得32AB BD AC CD ==,设2,2,0,2AC x BAC παα⎛⎫=∠=∈ ⎪⎝⎭，则3AB x = 由余弦定理得：22249232cos 25x x x x α=+-⋅⋅⋅ 即2132512cos 2x α=-2175sin 232sin 23sin 221312cos 2ABC S x x x αααα∆=⋅⋅⋅=⋅=-()222222tan 75752sin cos 1tan 1tan 1312cos sin 13121tan αααααααα⋅⨯+==--⨯--⋅+ 2150tan 151125tan 125tan 2tan 150αααα⋅===++当且仅当125tan tan αα=，即1tan 5α=时取等号所以ABC 面积的最大值为15 故答案为：15【点睛】此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属于一般性题目.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）3(1,2,)n a n n ==，132(1,2,)n n b n n -=+=；（2）3(1)212nn n ++-【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{}n b 前n 项和． 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，由题意得 d=== 3．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3n设等比数列{bn ﹣an}的公比为q ，则 q 3===8，∴q=2，∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1=2n ﹣1， ∴bn=3n+2n ﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =3n+2n ﹣1， ∵数列{3n}的前n 项和为n （n+1）， 数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×= 2n ﹣1，∴数列{bn}的前n 项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．18.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD AB CD ===，4BC =，M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点，以AC 为折痕将ACD 折起，使点D 到达点P 位置（P ∉平面ABC ）．（1）若H 为直线QN 上任意一点，证明：MH ∥平面ABP ；（2）若直线AB 与直线MN 所成角为4π，求二面角A PC B --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）7【解析】 【分析】(1)根据中位线证明平面MNQ 平面PAB ，即可证明MH ∥平面ABP ；（2）以QM ，QC ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接QM ，∵M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点， ∴QMAB ，又∵QM ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，∴QM平面PAB ，同理，QN ∥平面PAB ，∵QM ⊂平面MNQ ，QN ⊂平面MNQ ，QM QN Q =，∴平面MNQ 平面PAB ， ∵MH ⊂平面MNQ ， ∴MH ∥平面ABP ．（2）连接PQ ，在ABC 和ACD 中，由余弦定理可得，2222222cos 2cos AC AB BC AB BC ABCAC AD CD AD CD ADC⎧=+-⋅⋅∠⎨=+-⋅⋅∠⎩，由ABC ∠与ADC ∠互补，2AD AB CD ===，4BC =，可解得AC = 于是222BC AB AC =+， ∴AB AC ⊥，QM AC ⊥，∵QM AB，直线AB与直线MN所成角为4π，∴4QMNπ∠=，又1QM QN==，∴2MQNπ∠=，即QM QN⊥，∴QM⊥平面APC，∴平面ABC⊥平面APC，∵Q为AC中点，PQ AC⊥，∴PQ⊥平面ABC，如图所示，分别以QM，QC，QP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则(2,3,0)B-，(0,3,0)C，(0,0,1)P ，(2,3,1)PB =--，(0,3,1)PC=-．设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=，∴n PBn PC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即23030x zy z⎧-=⎪-=．令1y=，则3x=3z=PBC的一个法向量为(3,1,3)n=．又平面APC的一个法向量为(1,0,0)m=，∴21cos,||||7m nm nm n⋅<>==⋅，∴二面角A PC B--21．【点睛】此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.19.某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值．该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．乙生产线样本的频数分布表质量指标[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]合计频数 2 18 48 14 16 2 100（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率；（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的22 列联表，并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？甲生产线乙生产线合计合格品考试附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．【答案】（1）0.0081（2）见解析，保留乙生产线较好．【解析】【分析】(1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出2K的观测值即可判断.【详解】（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：0.03250.08050.03250.03650.9⨯+⨯+⨯+⨯=．设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件A，事件A发生的概率为p，则由样本可估计0.9p=．那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件A 恰好发生2次，其概率为：2235(1)0.0081C p p -=． （2）22⨯列联表：2K 的观测值2200(9049610) 2.76518614100100k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， ∵2.765 2.706>，()2 2.7060.100P K >=， ∴有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．由（1）知甲生产线的合格率为0.9，乙生产线的合格率为184814160.96100+++=， ∵0.960.9>，∴保留乙生产线较好．【点睛】此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式即可，属于较易题目.()()ln x f x a x e bx c x =-+-.（1）若3a =，0c 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减，求b 的取值X 围；（2）若2a =，4b =，4c =，求证：当1x >时，()168ln 2f x <-．【答案】（1）(,]e -∞-（2）见解析【解析】【分析】(1) ()f x 在(0,)+∞上单调递减等价于()f x 0'≤在(0,)+∞恒成立，分离参数即可解决.(2)先对()f x 求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.【详解】（1）3a =，0c 时，()(3)x f x x e bx =-+，()(3)(2)x x x f x e x e b x e b '=-+-+=-+，∵()f x 在(0,)+∞上单调递减．∴(2)0x x e b -+≤，(2)xb x e ≤-． 令()(2)xg x x e =-， ()(2)(1)x x x g x e x e x e '=+-=-，01x <<时，()0g x '<；1x >时，()0g x '>，∴()g x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数．∴min ()(1)e g x g ==-，∴b e ≤-．∴b 的取值X 围为(,]e -∞-．（2）若2a =，4b =，4c =时，()(2)44ln x f x x e x x =-+-，44()(2)4(1)x x x f x e x e x e x x ⎛⎫'=-+-+-=-- ⎪⎝⎭， 令4()x h x e x=-，显然()h x 在(1,)+∞上为增函数． 又(1)40h e =-<，2(2)20h e =->，∴()h x 有唯一零点0x ．且0(1,2)x ∈，01x x <<时，()0h x <，()0f x '>；0x x >时，()0h x ≥，()0f x '<，∴()f x 在()01,x 上为增函数，在()0,x +∞上为减函数．∴()()0max 0000()244ln xf x f x x e x x ==-+-． 又()00040x h x e x =-=，∴004x e x =，004x x e =，00ln ln4x x +=． ∴()()000000082444ln 444ln 4x f x e x x x x x =-+-=-+-- 001844ln 4x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭． 18244ln 4168ln 22⎛⎫<+--=- ⎪⎝⎭，()012x <<． ∴当1x >时，()168ln 2f x <-．【点睛】此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，||3AB =，2BM MA =．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率存在的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，(0,1)E ，求22||||EP EQ +的取值X 围．【答案】（1）2214x y +=（2）2564,25⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出,EP EQ ，得到EP EQ ⊥，所以222||||||EP EQ PQ +=，代入韦达定理即可求解.【详解】（1）设()0,0A x ，()00,B y ，则22009x y +=，设(,)M x y ，由2BM MA =得()00003222(0)3x x x x x y y y y y ⎧⎧==-⎪⎪⇒⎨⎨-=-⎪⎪=⎩⎩． 又由于223(3)92x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 化简得M 的轨迹C 的方程为2214x y +=． （2）设直线PQ 的方程为35y kx =-， 与C 的方程联立，消去y 得()222464140525k x kx +--=， >0∆，设()11,P x y ，()22,Q x y ， 则12224520k x x k +=+，1226425100x x k -⋅=+， 由已知()11,1EP x y =-，()22,1EQ x y =-，则()()12121212881155EP EQ x x y y x x kx kx ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()212128641525k x x k x x =+-++ ()2226482464125100552025k k k k k -=+⨯-⨯+++ 222264641926425625100k k k k---++=+ 0=，故直线EP EQ ⊥．()()222221212||||||14EP EQ PQ k x x x x ⎡⎤+==++-⎣⎦()()()()22222222641254246414520251002514k k k k k k k ++⎡⎤-⎛⎫=+-⨯=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥+⎣⎦()()242264429252514k k k ++=+，令214k t +=，则22222116442925444276625||2525t t t t PQ t t ⎡⎤--⎛⎫+⨯+⨯⎢⎥ ⎪⎡⎤-++⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦== 24133176427252727t ⎡⎤⎛⎫=⨯--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 由于2141t k =+≥，101t<≤， 22564||25PQ ≤<． 所以，22||||EP EQ +的取值X 围为2564,25⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【点睛】此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]xOy 中，曲线1C的参数方程为1x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(0)3πθρ=>，直线l 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，点6,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线2C 交于点A ，曲线1C 与曲线2C 交于点B ，求PAB △的面积．【答案】（1）22cos 20ρρθ--=．60x -=（2）32【解析】【分析】(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标ρ的几何意义求解||AB ，再求点P 到直线AB 的距离即可算出三角形面积.【详解】解：（1）曲线221:(1)3C x y -+=，即22220x y x +--=． ∴22cos 20ρρθ--=．曲线1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=．直线l 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos 6θρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为60x -=． （2）设,3A A ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,3B B ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴sin 336A ππρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得3A ρ=． 又22cos 203B B πρρ--=，∴2B ρ=（1B ρ=-舍去）．∴||321AB =-=．点P 到直线AB 的距离为6sin 336ππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭， ∴PAB △的面积为131322⨯⨯=． 【点睛】此题考查参数方程，极坐标，直角坐标之间相互转化，注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标，属于较易题目.[选修4-5：不等式选讲]()|3||1|f x x x =-+-．（1）若不等式()f x x m ≤+有解，某某数m 的取值X 围；（2）函数()f x 的最小值为n ，若正实数a ，b ，c 满足a b c n ++=，证明：48ab bc ac abc ++≥．【答案】（1）[1,)-+∞（2）见解析【解析】【分析】(1)分离m 得到()()31g x f x x x x x =-=-+--，求()g x 的最小值即可求得m 的取值X 围；（2）先求出n ，得到2a b c ++=，利用乘"1"变化即可证明不等式.【详解】解：（1）设34,1()()312,134,3x x g x f x x x x x x x x x -+≤⎧⎪=-=-+--=-+<<⎨⎪-≥⎩， ∴()g x 在(,3]-∞上单调递减，在(3,)+∞上单调递增．故min ()(3)1g x g ==-．∵()m g x ≤有解，∴1m ≥-．即m 的取值X 围为[1,)-+∞．（2）()|3||1||(3)(1)|2f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时等号成立． ∴2n =，即2a b c ++=． ∵11444()114a a b b c c a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++++=++++++++ ⎪⎝⎭ 44616a b a c b c b a c a c b=++++++≥． 当且仅当12a =，12b =，1c =时等号成立． ∴1148a b c++≥，即48ab bc ac abc ++≥成立． 【点睛】此题考查不等式证明，注意定值乘"1"变化的灵活应用，属于较易题目.。
河南省名校联盟2020年高三联合压轴考试——数学(理)
河南省名校联盟2020年高三年级联合压轴考试理科数学本试卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{y ｜12y x -＝＋}，B ＝{x ｜x －3≤0}，则A ∩B ＝ A ．[1，2] B ．[1，3] C ．[2，3] D ．（2，＋∞）2．欧拉公式e ix ＝cosx ＋isinx （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，设复数cos sin 33z i ππ＝＋，则z 3等于A ．1322i B ．－1 C ．－1322i D ．－1322i 3．月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形．月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如右图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为1 ：2，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为A ．4233π－B ．2313πC ．3π D ．31π－4．数列{n a }的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…其规律是：偶数项是序号平方再除2；奇数项是序号平方减1再除2．如图所示的程序框图是为了得到该数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入A ．n 是偶数?，n ≤100?B ．n 是奇数?，n ≤100?C ．n 是偶数?，n ＜100?D ．n 是奇数?，n ＜100?5．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且对任意n N *∈都有21n n S a ＝－，设2log n n b a ＝，则数列{n b }的前6项之和为A ．11B ．16C ．10D ．156．声音中包含着正弦函数．音的四要素：音调、响度、音长和音色都与正弦函数的参数有关．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，是由基音和许多个谐音的结合，其函数可以是()11sin sin 2sin 323f x x x x ＝＋＋，则f （x ）的图象可以是7．过双曲线M ：2221y x b －＝（b ＞0）的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且5OB u u u r ＝4OA u u u r ＋OC u u u r ，则双曲线的离心率是A ．10B ．132C ．13D ．1338．已知定义在R 上的连续可导函数f （x ）无极值，且x ∀∈R ，f[f （x ）－2019x ]＝2020．若()2sin 6g x x mx π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋＋在[32π，2π]上与函数f （x ）的单调性相同，则实数m 的取值范围是A ．（－∞，－1]B ．[－1，＋∞）C ．（－∞，－2]D ．[－2，－1]9．在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，∠BCD ＝60°，3AB 2＋4BD 2＝24，若将△ABD 沿BD 折成直二面角A —BD —C ，则三棱锥A —BDC 外接球的表面积是A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π10．若e a π＝，b ＝3e ，3c π＝，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a11．已知F 为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则AD u u u r ·EB u u u r 的最小值为A ．60B ．62C ．64D ．6612．已知函数f （x ），g （x ）定义域为R ，f （x ）＋g （x ）＝1．若()()()()()()()f x f x g x F x g x f x g x ⎧⎪⎨⎪⎩，≥，＝，＜，且F （x ）＝x 2－2a ｜x ｜＋2a 2（a ∈R ），则关于x 的方程｜f （x ）－g （x ）｜＝1有两解时，a 的取值范围为A ．，－12）∪{1} B ．[，1] C ．（－2，－12]∪{1} D ．[－12，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置．13．变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≥，＋－≤，－＋≥，则目标函数z ＝2｜x ｜－3｜y －2｜的取值范围是__________．14．设1e u r ，2e u u r 为单位向量，非零向量a r ＝1xe u r ＋2ye u u r （x ，y ∈R ），若1e u r ，2e u u r 的夹角为3π，则y ar 的最大值等于__________． 15．在数列{n a }，{n b }中，1n a ＋＝()2n n a b ＋＋1n b ＋＝()2n n a b ＋－1a ＝1，1b ＝1．设11n n nc a b ＝＋，则数列{n c }的通项公式n c ＝__________．16．已知a ∈R ，函数()sin 2cos x f x a a x ＝－＋＋在区间[0，2π]上的最大值为12，则a 的取值范围为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角为A ，B ，C ，它们的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A C a b A ＋＝． （1）求角B 的大小； （2）若cosA ＝17，｜BA u u u r ＋BC uuu r ｜＝129，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AA 1⊥BC ，∠BAA 1＝45°．（1）求证：平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ；（2）若BB 1＝2AB ＝2，直线B 1C 1与平面ABB 1A 1所成角为45°，D 为CC 1的中点，求二面角B 1—AD —C 1的余弦值．19．（本小题满分12分）某工厂质检部门要对该厂流水线生产出的一批产品进行检验，如果检查到第n 0件仍未发现不合格品，则此次检查通过且认为这批产品合格，如果在尚未抽到第n 0件时已检查到不合格品则拒绝通过且认为这批产品不合格。
河南省名校联考2020届高三联考数学(理)试题Word版含解析
河南省名校联考2020届高三联考数学（理）试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简为的形式，再求.【详解】依题意，故，故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.2.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式得集合A，再根据集合补集与并集定义求结果.【详解】因为，所以,选B.【点睛】本题考查集合的补集与并集定义，考查基本分析求解能力，属基本题.3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过．．．的为（）A. 腾讯与百度的访问量所占比例之和B. 网易与搜狗的访问量所占比例之和C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和D. 新浪与小说的访问量所占比例之和【答案】B【解析】【分析】根据图表，分析出两个网站访问量不超过．．．的选项.【详解】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.4.为了得到函数的图象，需对函数的图象所作的变换可以为（）A. 先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变C. 先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变D. 先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图像变换规律作出判断.【详解】函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位得--,函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,函数的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变得-,所以选A.【点睛】本题考查三角函数图像变换，考查基本分析判别能力，属基本题.5.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，满足.若为等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件得在双曲线右支，代入方程解得，进而确定等腰三角形的腰，列方程解离心率.【详解】因为满足，所以在双曲线右支，因此,又为等腰三角形，所以,因为,所以，选B.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.6.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得，化简，代入求值即可.【详解】由，得，则故选：D【点睛】本题考查了三角函数的恒等变形，考查了三角函数的倍角公式和同角三角函数的基本关系等知识，也考查了计算能力，属于中档题7.已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（）A. B. 3 C. D. 6【答案】A【解析】【分析】求出圆心和半径，根据轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标.【详解】圆：可化为，故圆心为，半径为，由于轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A.【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.8.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.9.若，，，则实数，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.【详解】，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.10.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．【详解】程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+…＝1﹣3+5﹣7+9+…+，则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立，第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立，故条件为i＞2022？，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.11.在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接，证明点在直线上，当时，三角形的面积取得最小值，进而求得的值.【详解】取的中点，连接，设.作出图像如下图所示.易得，所以平面，所以.易得，所以平面，所以.故平面，所以在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取得最小值，此时点在点的位置.设正方体棱长为，故.，所以，所以，故，故选D.难度较大，属于难题..本题解题关键点在于找到点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到.12.已知，若，且，使得，则满足条件的的取值个数为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】先求,值域，再研究单调性与值域,进而确定取值范围，即得结果.【详解】因为，所以由题意得在上不单调，因为，所以,当时, ,, 当时, ,,因此，选A.【点睛】本题考查任意存在性问题以及函数值域与单调性，考查综合分析化简求解能力，属难题.二、填空题.13.若向量，，且，则实数____．【答案】【解析】【分析】由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解x的值即可．【详解】由，得且，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．14.若，满足约束条件，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先作出可行域，再根据斜率含义确定最优解.【详解】作出可行域，如图，则的最大值为.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.的展开式中，含的项的系数为_____.（用数字填写答案）【答案】35【解析】【分析】先根据二项展开式通项公式确定含的项的项数，再代入求结果.【详解】,即含的项的系数为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.16.如图所示，点，分别在菱形的边，上，，，则的面积的最小值为______．【答案】【解析】【分析】设,，在中，且由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，计算即可.【详解】在菱形中，，所以=，在中，=，设,,则,且由正弦定理得，在中， ,则,由正弦定理，得，在中，因为，所以，即，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理在三角形的应用，也考查了直角三角形的面积公式，三角函数求最值得问题，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）证明：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，，由，得，，求出，利用定义法即可判断；（II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可.【详解】设等差数列的公差为，，则，解得.所以，解得，所以.所以.所以.因为当时，,当时，,故是首项为，公差为的等差数列.（II）由可知，故.故.两式相减可得.故.【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，与交于点，，，.（Ⅰ）在线段上找一点，使得平面，并证明你的结论；（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）取线段上靠近的三等分点，连接，因为，，所以，由，得，所以，即可证明结论成立.（II）以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的个法向量为，由向量法即可求出二面角的平面角.【详解】（I）取线段上靠近的三等分点，连接.因为，，所以,所以.而，所以，所以.而平面.平面，故平面.（II）易知为等边三角形，所以.又，故，所以有.由已知可得，又，所以平面.以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，，，，则，，，.设平面的一个法向量为，则有即设，则，所以.设平面的个法向量为，则有即令，则，所以.所以.因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间线面平行的判定定理和利用向量法求二面角，也考查了计算能力，属于中档题. 19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.（Ⅰ）求得分在上的频率；（Ⅱ）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取5人参加问卷调查，记得分在间的人数为，求的分布列以及数学期望.【答案】（Ⅰ）0.3 ；（Ⅱ）70.5；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）由频率分布直方图可得所求的频率；（II）由频率分布直方图的平均值公式计算即可；（III）人数服从，即可得出P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3，4，5，及其分布列与数学期望E（X）．【详解】（I）依题意，所求频率.（II）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：即问卷调查的平均得分的估计值为.（III）依题意，.故,.,,.故的分布列为：故.【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知椭圆：，点，.（Ⅰ）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，，由点差法即可计算直线的斜率；（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.【详解】（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得即故直线的斜率（II）联立可得，由可得，解得.设由根与系数的关系可得又点到直线的距离当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.21.已知函数.（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由于函数在上单调递增，故另导函数恒大于零，分离常数得到，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.（2）令，则.将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立.【详解】（1）由题可知.令，即，当时有.令，则.所以当时，，所以在上单调递增.所以，即，故实数的取值范围为.（2）令，则.故.构造函数，则.所以在上单调递增，所以，所以当时，，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.在解题过程中，导数是一种工具的作用，用来求单调区间和最值.22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的极坐标方程；（Ⅱ）设点，曲线与直线交于，两点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）由普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，即可得到结果；（II）联立直线与曲线的方程得，设点对应得参数分别为，得，则，即可求的最小值.【详解】（I）曲线，将代入得,即曲线的直角坐标方程为直线，故故直线的极坐标方程为（II）联立直线与曲线的方程得即设点对应得参数分别为，则因为当时，取等号.所以的最小值为【点睛】本题考查普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于基础题.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（Ⅰ）在如图所示的网格纸中作出函数的图象；（Ⅱ）记函数的最小值为，证明：不等式成立的充要条件是.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此画出函数的图像.（2）根据（1）求得的值.将原不等式转化，然后判断出不等式成立的充要条件是.【详解】（1）依题意，，作出函数的图象如图所示：（2）由（Ⅰ）中图象可知..因为当时，，当时，，故不等式成立的充要条件是.【点睛】本小题主要考查利用零点分段法化简含有两个绝对值的函数，考查充要条件的证明，属于中档题.。
2020年河南省六市高三第二次联考理科数学试题 (含答案)
２．N0狕１
9
N
O
P
Q
RS
<
T
U（２，３），狕２＝
－２＋犻（犻U
V
0
W
X
），M
N
0狕１ 狕２
<VYU
Ａ．８５
Ｂ．－
８ ５
Ｃ．８ ５犻
Ｄ．－ ８ ５犻
３．9△犃犅犆 @犃犅→＝犮，犃→犆＝犫，ZT 犇 [\犅犇→＝１ ２犇→犆，M犃→犇＝
Ａ．１３犫＋ ２３犮
Ｂ．２ ３犫＋ １ ３犮
Ｃ．４ ３犫－ １ ３犮
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DEF3GHI<．
１．JKL犝＝犚，LF 犃＝｛狓｜（狓－４）（狓＋１）０｝，M瓓ＵＡ＝ Ａ．（－１，４］ Ｂ．［－１，４） Ｃ．（－１，４） Ｄ．［－１，４］
．
烆狓－３狔＋３≥０
１５．J ) 0 犳（狓）＝犲２狓 －犲－２狓 －４狓，M w G 犳（狓２）＋犳（－５狓－６）＜０ < H L D
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河南省名校2020届高三数学压轴第二次考试试题 理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若31zi i=+-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知集合{}|A x x a =>，{}2|430B x x x =-+≤，若A B B =I ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a >B ．3a ≥C ．1a ≤D ．1a < 3.各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2a ，312a ，1a 成等差数列，则4523a a a a ++的值为（ ） A．12+ B．32+ C．12 D．32-或32+ 4.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）A ．13B ．25 C. 23 D ．455.将曲线11:sin()26C y x π=+上各点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2:()C y g x =，则()g x 在[]0π-，上的单调递增区间是（ ） A ．5[,]66ππ-- B ．[,]6ππ-- C.2[,0]3π- D ．2[,]36ππ-- 6.若不等式组32420x y x y λ≤⎧⎪≤⎨⎪--+≥⎩表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()2-∞，B ．[1,2] C.[]24， D ．()2+∞，7.如图，“大衍数列”：024812L ，，，，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入7m =，则输出的S =（ ）A ．64B ．68 C.100 D ．140 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．483π-B ．283π- C.24π- D ．24π+ 9.如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点M 自点A 开始沿弧A B C O A D C ------匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度()v g t =的图像大致为（ ）A ．B ． C.D ．10.已知抛物线2:2(04)C y px p =<<的焦点为F ，点P 为C 上一动点，(4,0)A ，(2)B p ，且PA 15||BF 等于（ ）A ．112 B ．5 C. 92D ．4 11.正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均相等，D 为1AA 的中点.,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点（含端点），且满足1BM C N =.当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．平面DMN ⊥平面11BCC B B ．三棱锥1A DMN -的体积为定值C. DMN ∆可能为直角三角形 D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π12.定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时，31||212,012()3,12x x x f x x --⎧-≤≤⎪=⎨⎪-≤≤⎩，函数32()3g x x x m =++.若对任意[)4,2s ∈--，存在[)4,2t ∈--，不等式()()0f s g t -≥成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]4-∞，B ．(]8-∞， C.(]12-∞-， D ．312⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设平面向量m u r 与向量n r 互相垂直，且()211,2m n -=-u r r ，若||5m =u r ，则||n =r．14.已知11eea dx x =⎰，则二项式6(1)ax-的展开式中3x -的系数为 ． 15.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为 ． 16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第m 次“扩展”后得到的数列为12211,,,,,2n x x x -L ，并记212log (12)n t a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅L ，其中21,nt n N *=-∈，则数列{}n a 的前n 项和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在锐角ABC ∆中，D 为边BC 的中点，且3AC =，112AD =,O 为ABC ∆外接圆的圆心，且1cos 3BOC ∠=-.（1）求sin BAC ∠的值； （2）求ABC ∆的面积.18.某地高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等级划分标准：85分及以上，记为A 等级；分数在[)7085，内，记为B 等级；分数在[)6070，内，记为C 等级；60分以下，记为D 等级.同时认定等级为,,A B C 的学生成绩合格，等级为D 的学生成绩为不合格.已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[]50100，内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90,100分组作出甲校样本的频率分布直方图（如图1所示），乙校的样本中等级为,C D 的所有数据的茎叶图（如图2所示）.（1）求图1中x 的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C 等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X 表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.19.如图，在空间几何体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ACB ，ACD ∆与ACB ∆都是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影在ABC ∠的平分线上，已知BE 和平面ACB 所成角为60︒.（1）求证：DE ∥平面ABC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值.20.已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>的上、下焦点分别为12,F F ，上焦点1F 到直线43120x y ++=的距离为3，椭圆C 的离心率12e =. （1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆22223:116y x E a b+=，设过点(0,1)M 斜率存在且不为0的直线交椭圆E 于,A B 两点，试问y 轴上是否存在点P ，使得()PA PBPM PA PBλ=+u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u r ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.21. 已知函数()ln m x x x =.（1）设2()[()1]f x a m x x '=--(0)a ≠，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围； （2）设()[()1]b g x b m x x '=--+(0)b >，对任意121,[,]x x e e∈，有12|()()|2g x g x e -≤-成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线2:sin 2cos C a ρθθ=(0)a >，直线2:4x tl y t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）与曲线C 相交于,M N 两点.（1）求曲线C 与直线l 的普通方程；（2）点(2,4)P --，若PM MN PN 、、成等比数列，求实数a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图像恒有公共点，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADBAD 6-10:ABCBC 11、12：CA 二、填空题13.5 14. -160 15.()+∞U16.13234n n n S ++-=三、解答题17.解：（1）由题设知，2BOC BAC ∠=∠，∴cos cos21BOC ABC ∠=∠=212sin 3BAC -∠=-，∴22sin 3BAC ∠=，sin BAC ∠=. （2）延长AD 至E ，使2AE AD =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，∴CE AB =，在ACE ∆中，2AE AD ==AC =ACE BAC π∠=-∠，cos cos 3ACE BAC ∠=-∠=-，∴由余弦定理得，2222AE AC CE AC =+-cos CE ACE ∠g g ，即222CE =+-(3CE -gg ，解得2CE =，∴2AB CE ==，∴1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=∠g g 122=⨯=18.解析：（1）由题意，可知100.012100.05610x +⨯+⨯0.018100.010101+⨯+⨯=， ∴0.004x =.∴甲学校的合格率为(1100.004)100%-⨯⨯=0.96100%96%⨯=，乙学校的合格率为2(1)100%0.96100%96%50-⨯=⨯=.∴甲、乙两校的合格率均为96%. （2）样本中甲校C 等级的学生人数为0.01210506⨯⨯=，乙校C 等级的学生人数为4. ∴随机抽取3名学生中甲校学生人数X 的可能取值为0,1,2,3.∴343101(0)30C P X C ===，12643103(1)10C C P X C ==，21643101(2)2C C P X C ===，363101(3)6C P X C ===.∴X 的分布列为X0 1 2 3P130 310 1216数学期望()013010E x =⨯+⨯23265+⨯+⨯=.19.解析：（1）证明：由题意知，ABC ∆与ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接BO DO ，，则BO AC ⊥，DO AC ⊥.又∵平面ACD ⊥平面ABC ，DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么EF DO ∥，根据题意，点F 落在BO 上，∵BE 和平面ABC 所成角为60︒，∴60EBF ∠=︒.∵2BE =，∴3EF DO ==∴四边形DEFO 是平行四边形，∴DE OF ∥，∴DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .（2）由已知，,,OA OB OD 两两互相垂直，故以,,OA OB OD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，得3,0)B ，(1,0,0)C -，33)E .∴(1,3,0)BC =--u u u r，(0,1,3)BE =-u u u r，设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =u u r .∵2200n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r ，∴3030x y y z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩.令1z =，∴取2(3,3,1)n =-u u r ， 又∵平面ABC 的一个法向量1(0,0,1)n =u r ，∴12121213cos ,13||||n n n n n n ⋅<>==u r u u ru r u u r u r u u r .又由图知，所求二面角的平面角为锐角，∴ 二面角E BC A --的余弦值为1313.20.解析：（1）由已知椭圆C 方程为22221(0)y x a b a b+=>>，设椭圆的焦点1(0,)F c ，由1F 到直线43120x y ++=的距离为3，得|312|35c +=，又椭圆C 的离心率12e =，所以12c a =，又222a b c =+，求得24a =，23b =.椭圆C 方程为22143y x +=. （2）存在.理由如下：由（1）得椭圆22:1164x y E +=，设直线AB 的方程为1(0)y kx k =+≠，联立2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22(41)8120k x kx ++-=.22(8)4(41)12k k ∆=++⨯2256480k =+>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841k x x k +=-+，1221241x x k =-+. 假设存在点(0,)P t 满足条件，由于()||||PA PBPM PA PB λ=+u u u r u u u ru u u u r u uu r u u u u r ，所以PM 平分APB ∠. 易知直线PA 与直线PB 的倾斜角互补，∴0PA PBk k+=.即12120y t y tx x --+=，即2112()()0x y t x y t -+-=.（*） 将111y kx =+，221y kx =+代入（*）并整理得12122(1)()0kx x t x x +-+=，∴2212(1)(8)204141t k k k k -⨯--⋅+=++，整理得3(1)0k k t +-=，即(4)0k t -=，∴当4t =时，无论k 取何值均成立. ∴存在点(0,4)P 使得()||||PA PBPM PA PB λ=+u u u r u u u ru u u u r u uu r u u u r . 21.解析：()ln 1m x x '=+（1）函数2()ln (0)f x a x x a =+≠的定义域为(0,)+∞，∴22()2a x af x x x x+'=+=.①当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，取10ax e-=，则112()1()0a a f e e --=-+<，（或：因为00x <<01x e<时，所以20000()ln ln f x a x x a x =+<1ln 0a a a e+<+=.）因为(1)1f =，所以0()(1)0f x f <g ，此时函数()f x 有一个零点.②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<时，()0f x '<，所以()f x 在上单调递减；当x >()0f x '>，所以()f x 在)+∞上单调递增.要使函数()f x 有一个零点，则ln 02a f a ==，即ln()12a-=，2a e =-.综上所述，若函数()f x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >. （2）因为对任意121,[,]x x e e∈，有12|()()|2g x g x e -≤-成立，因为12|()()|g x g x -≤max min [()][()]g x g x -，所以max min [()][()]2g x g x e -≤-.所以()ln bg x b x x =-+，所以1(1)()b b b b x g x bx x x---'=+=. 当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在1[,1)e 上单调递减，在(]1e ，上单调递增，min [()](1)1g x g ==， ∵1()b g b e e -=+与()b g e b e =-+，所以max 1[()]max{(),()}g x g g e e =. 设1()()()h b g e g e =-=2(0)b b e e b b --->，则()220b b h b e e -'=+->=，所以()h b 在()0+∞，上单调递增，故()(0)h b h >，所以1()()g e g e>.从而max [()]()b g x g e b e ==-+.所以12b b e e -+-≤-即10b e b e --+≤,设()1(0)b b e b e b ϕ=--+>，则()1bb e ϕ'=-.当0b >时，()0b ϕ'>，所以()b ϕ在()0+∞，上单调递增.又(1)0ϕ=，所以10b e b e --+≤，即()(1)b ϕϕ≤，解得1b ≤.因为0b >，所以b 的取值范围为(0,1].22.解析：（1）因为2sin 2cos a ρθθ=，所以2(sin )2cos a ρθρθ=，即曲线C 的普通方程为22(0)y ax a =>，由2:4x t l y t =-+⎧⎨=-+⎩，得直线l 的普通方程为2y x =-. （2）直线l的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入22y ax =，得到2)t a t -+8(4)0a ++=，8(4)0a a ∆=+>.设点,M N 分别对应参数12,t t ，恰为上述方程的根，则有12)t t a +=+，128(4)t t a ⋅=+，则120t t ⋅>.又1PM t =，2PN t =，12MN t t =-.因为2MN PM PN =⋅，所以221212()()t t t t -=+12124t t t t -⋅=⋅2(4)5(4)0a a +-+=，得1a =，或4a =-.因为0a >时，所以1a =. 23.解析：（1）当5m =时，52(1)()3(11)52(1)x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，由()2f x >得不等式的解集为33{|}22x x -<<. （2）由二次函数223y x x =++=2(1)2x ++，该函数在1x =-取得最小值2，因为2(1)()2(11)2(1)m x x f x m x m x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，在1x =-处取得最大值2m -，所以要使二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图像恒有公共点，只需22m -≥，即4m ≥。