第十届陈省身杯试题
第一届至第九届(2010-2018年)陈省身杯全国高中数学奥林匹克试题及答案【PDF版】
第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克1．已知锐角△ABC 的外接圆为⊙O ，边BC 、CA 、AB 上的高的垂足分别为D 、E 、F ，直线EF 与⊙O 的 AB 、AC 分别交于点G 、H ，直线DF 与BG 、BH 分别交于点K 、L ，直线DE 与CG 、CH 分别交于点M 、N ．证明：K 、L 、M 、N 四点共圆，且该圆的直径为2222()b c a +-，其中，BC =a ，CA =b ，AB =c ．证明 如图1，因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以，AFE ACB ∠=∠．图1°°2GB HA AFE 注意到，+∠=， °°°22AB AG GB ACB +∠==． 从而， HA AG =，即AG AH =．因为C 、A 、F 、D 四点共圆，所以，=BFD ACB AFE BFG ∠=∠∠=∠．从而，直线GH 与直线DK 关于直线AB 对称．由 °°AG AH =, 知GBA ABH ∠=∠．从而，直线BK 与直线BH 关于直线AB 对称．因此，点K 、H 关于直线AB 对称，即AK =AH ．类似地：点L 、G 关于直线AB 对称，即AL =AG ；G 、N 关于直线AC 对称，即AG =AN ；M 、H 关于直线AC 对称，即AM =AH ．综上，AL =AN =AG =AH =AK =AM ．因此，K 、L 、M 、N 四点共圆，且圆心为A ，半径为AG ，记该圆为⊙A ． 设⊙O 的半径为R ，⊙O 的直径AQ 与GH 交于点P ．如图2．图2则∠AGQ=90°，且AP ⊥GH ．由射影定理得2AG AQ AP =⋅．注意到，sin =cos sin AP AF AFE AC CAB ACB .=⋅∠⋅∠⋅∠2222222cos sin =22AQ AP R AC CAB ACBb c a b c a AB AC bc 故.⋅=⋅∠⋅∠+-+-=⋅⋅ 因此，2222b c a AG +-=，⊙A 的直径为2222()b c a +-．。
历届陈省身杯重要知识点-杂题
六年级历届陈省身杯重要知识点计数、数图谜、常用数学方法与杂题【例 1】（2011年陈省身杯第13题）9983被除数最小是_________。
【例 2】（2011年陈省身杯第14题）从1-2011中任意选出N 个数，保证其中任意5个数的和是15的倍数，N 最大是几？【例3】（2011年陈省身杯第16题）如图，将将1~9填入○中，使每个--的和相等，且大正方形上四角的数是连续的，求小正方形四角的数之和。
65【例 4】（2011年陈省身杯第19题）一次考试共10道题，每道题做对5分，做对一半给3分，错答或不答不给分，要想使这场比赛有3个人得分相同，至少要有（ ）人参加比赛?用黑白棋子摆成如图（最里圈为第1层，奇数层都是黑棋子，偶数层都是白棋子），照这样摆下去，前9层中共有_____________粒黑棋子。
【例6】（2010年陈省身杯第14题）在方框内填入适当的数字使乘法竖式成立，则算式成立时，其中两个乘数之和为________。
6432【例7】（2010年陈省身杯第15题）把一根圆木棍分成行长的四节，每节用红、黄、蓝三种颜色中的一种来涂，且三种颜色都要用上，共有_________种不同的涂法。
（如果两根木棍可以经过翻转使颜色顺序相同，那么认为这两根木棍是同一种涂法）【例8】（2010年陈省身杯第18题）经理有四封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信。
比如，正打第3封信时第4封信到了，应立即停下第3封信，转打第4封信；第4封信打完后，接着打第3封信，而不能先打第1封或第2封信。
打字员打完这四封信的先后顺序有________可能。
【例9】（2010年陈省身杯第20题）某班参加一次智力竞赛，共有a、b、c三题。
每题或者得满分或者得0分，其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分。
竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全对的有1人，答对两道题的有15人，答对a的人数与答对b的人数之和为29人；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25人；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，则这个班的平均成绩是______分。
2009年陈省身杯四年级试题
2009年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛四年级1. 计算123×982×841×72009_______ 2. 根据下图中数字排列的规律可知“△”、“☆”、“※”所代表的数之和是_______ 3. 一个整数除以42的余数是37那么用它分别除以3、6、7所得到的3个余数之和是________ 第2题图4. 一次数学竞赛共20道题目每答对一道题得6分每答错一道题倒扣4分。
小明答完了全部的题目却得到了0分那么他一共答错了______道题。
5. 如图用5个小正方形和1个大正方形拼成一个更大的正方形若此最大正方形的周长为120cm则图中的5个小正方形周长之和为_______㎝。
加参要我赛比身省陈第5题图第6题图第7题图6. 如上图数一数图中共有________个三角形。
7. 在上面的算式中不同的汉字代表不同的数字则其中四位数“我要参加”最大是_______。
8. 学校艺术团共有团员45人其中有22名同学会弹钢琴27名同学会拉小提琴而两样都会的同学人数恰好是两样都不会的同学人数的3倍则至少会其中一样的同学有______名。
9. 幼儿园将一筐苹果分给小朋友如果分给大班的小朋友每人5个则余10个如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个。
已知大班比小班多3个小朋友则这筐苹果共有_____个大班、小班共有小朋友_________人。
10. 甲乙两车分别从相距60千米的两地同时出发相背而行甲车每小时行44千米乙车每小时行46千米当两车相距240千米时甲车行驶了_______千米。
11. 图中有三台天平通过观察前两台天平可以发现5个“△”与3个“○”一样重1个“○”与1个“△”和2个“□”一样重。
这样可知1个“△”和1个“○”与_____个“□”一样重。
321 12. 华华、英英、宝宝、贝贝四个小朋友的年龄恰好构成一个等差数列。
我们若对他们的年龄两两求和可以得到五个不同的和数分别是14岁、16岁、18岁、20岁和22岁则他们四个人的年龄从小到大依次为_____岁、_____岁、_____岁和_____岁。
2010陈省身杯数学邀请赛四年级答案
2010年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛四年级1. 计算17474719196634_____⨯+⨯+⨯+⨯=分析：1747471919663447171961934=4736653=4766653=2826653=282+536=3356=2010⨯+⨯+⨯+⨯=⨯++⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯（）（）（）2. 十个连续自然数的和不大于100，这十个数的和最大是______。
分析：和=（首项+尾项）×项数÷2=（首项+尾项）×10÷2=（首项+尾项）×5和是5的倍数，所以最大为953. “陈省身数学周”组委会为了奖励参加活动的学生，买来数学故事数和数学文化书共2010本，其中数学文化书是数学故事书的4倍，那么数学故事数有_____本。
分析：和倍问题。
数学故事书有2010÷（4+1）=402（本）4. 数学课上，李老师布置了两道题，结果有34人答对了第一题；有46人做对了第二题；没有人两道题全部做错。
如果这个班共有52人，那么两道题都做对的有_____人。
分析：容斥原理。
则两道题都做对的有 34+46-52=28（人）5. 为庆祝元旦，学校在大门口安装了50盏彩灯，彩灯按照“黄黄红绿绿红黄黄红绿绿红…”的顺序依次排列，则在这50盏彩灯中，共有黄色的彩灯_____盏。
分析：周期问题。
可以找到是按照“黄黄红绿绿红”的顺序循环，6个一循环，即周期是6.那么50÷6=8…2,有8个这样的循环多两个黄灯,一个循环中有2个黄灯,那么共有黄灯8×2+2=18(盏)6. 如图，观察这个数表并找出它的规律，这个数表第15行的第一个数是______。
(2523211917)16141210975421？身杯身省陈第6题图 第8题图 第9题图分析:发现这个数表的奇数行是奇数,偶数行是偶数,而15是个奇数,所以这一行的数必定是奇数.又数表的每一行的最后一个数就为这一行行数的平方,那么14行的最后一个数为196,那么第15行的第一个数就为197.7. 2004年时，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍；而2010年时，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍，那么父亲出生在______年。
2010陈省身杯数学邀请赛五年级答案
2010年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级1. 计算：58+15⨯⨯8+25⨯8+35⨯8+45⨯8= 。
【分析】： 原式=58358558758958⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯相邻两个加数之间相差258⨯⨯。
是等差数列，所以原式=(58958)521000⨯+⨯⨯⨯÷=2. 在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于2010，而被减数是差的5倍，那么差等于 。
【分析】： 减数+差=被减数，被减数+减数+差=2010,所以2×被减数=2010，被减数=1005，差=被减数÷5=1005÷5=201.3. 数列2，9，17，24，32，39，47，54，62，……的2010项是 。
【分析】：经过观察，会发现奇数项和偶数项分别是公差是15的两个等差数列，2010即为偶数项等差数列的第1005项，由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-可知：第1005项为9+1004×15=15069.4. 如图，一个正方体被切成27个小长方体，这27个小长方体的表面积之和是原长方体表面积的_______倍。
第4题图 第8题图【分析】：本来的大长方体前后各有一个面，被切了两下之后相当于多了4个面，前后面的面积变为原来的3倍，同理，左右上下也变为原来3倍。
总面积也变为3倍。
5. 数学大师陈省身先生生于1911年，2010年是他诞辰99周年，若六位数2010恰好是99的倍数，则这个六位数是 。
【分析】：被99整除的特征：从末位开始两位一断，分成两位数，把这些两位数求和，这个和能被99整除原来的数就能，根据这个特征，方框里填入696. 一个平行四边形，其相邻的两边的长度分别是14cm 和10cm ，而它的一条高是12cm ，则这个平行四边形的面积是 cm 2。
如下图，由于直角三角形中，斜边肯定大于直角边，所以12cm 的高只能是图②中的，所以面积为10×12=120（cm 2 ）。
四年级数论整除(二)教师版
知识要点基础知识【例 1】 （第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试）某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于________。
【分析】 9138125⨯+=【例 2】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）在一个除法算式中，如果商是16，余数是8，那么被除数与除数之和最小是 。
【分析】 除数最小是9，此时被除数最小是1698152⨯+=，和是1529161+=。
整 除整除 当两个整数a 和(0)b b ≠，a 被b 除的余数为0时（商为整数），则称a 被b 整除或b 整除a ，也把a 叫作b 的倍数，b 叫作a 的约数；如果a 被b 除所得的余数不为0，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a ． 数的整除特征： ①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； ②一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除； ③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除； ④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除。
【例 3】 （1）两数的积是40，一个因数扩大为原来的3倍，另一个因数不变，积是多少？（2）两数的积是40，一个因数变为原来的一半，另一个因数也变为原来的一半，积是多少？ 【分析】（1）一个因数扩大为原来的3倍，另一个因数不变，积扩大为原来的3倍。
403120⨯=。
（2）一个因数变为原来的一半，另一个因数也变为原来的一半，积40410÷=。
【例 4】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）要使算式“□0144÷”的商是两位数，“□里最小可以填 ；要使“4734÷□”的商是两位数，“□”里最大可以填 。
历届陈省身杯重要知识点-应用题(答案)
六年级历届陈省身杯重要知识点——应用题模块应用题知识模块【例 1】（2010年陈省身杯第8题）甲、乙、丙三人共同加工2010个零件，如果他们分别加工一个零件需要10分钟、12分钟和25分钟，那么当工作完成时，甲比丙多加工了_____个零件。
甲、乙、丙每分钟加工零件数为：110、112和125，所以加工2010零件共需要1112010()9000101225÷++=（分钟），此时甲共加工了9000÷10＝900（个），丙共加工了9000÷25＝360（个），甲比丙多加工了900－300＝540（个）。
【例 2】（2007年陈省身杯第19题）甲、乙两个小组共同完成一批生产任务，7天可以完成。
实际上共同工作5天后，甲组及乙组的15人员调做其他工作，留下的乙组人员又经过6天完成全部任务。
则甲、乙两组单独完成这批任务分别需要花____天和____天。
甲与乙工效和为：17，共同工作5天后所剩工作量为：121577-⨯=，则45乙的工效应该为：216721÷=，则乙的工效为：14521584÷=，甲的工效为：15178412-=，则甲单独完成这批任务应为：111212÷=（天），乙单独完成这批任务为：55411684845÷==（天）【例3】（2006年陈省身杯第16题）甲筐苹果比乙筐苹果重14千克，将甲筐苹果售出37，乙筐苹果售出25后，两筐剩下的苹果重量相等。
那么原来甲筐中有苹果_____千克，乙筐中有苹果_____千克。
设乙筐苹果重x 千克，则甲筐苹果重(14)x +千克，则有：32(1)(14)(1)75x x -+=-35x =。
答：甲筐苹果重49千克，乙筐苹果重35千克。
【例 4】（2009年陈省身杯第9题）有三批货物共值152万元，第一，第二，第三批货物按重量比为2：4：3，按单价比为6：5：2，这三批货物为别价值______万元、______万元和______万元。
2016年陈省身杯国际青少年数学邀请赛(三年级)试题
2016年陈省身杯国际青少年数学邀请赛（三年级）试题1、计算（1+2+3+4+5）*8= 。
2、有一串数1, 2，4，7，11，16，……是按照一定规律依次排列的，按照此规律，这串数中的第十个数是。
3、学校举行了一次数学竞赛，赛后对参赛的70名同学进行了成绩统计，他们的成绩分布情况如图，其中代表成绩为“中等”的人数条被省去了，那么有人的得分为“中等”。
4、7个小矮人与白雪公主在森林里采蘑菇，如果小矮人平均每人采了4个蘑菇，白雪公主采了12个蘑菇，那么他们8人平均每人采了个蘑菇。
5、在如图的方格中填入9个数字，使得每行、每列及每条对角线上三个数之和都是12，则图中四个角上的数字之和为。
6、数一数，图中共有个三角形。
7、在算是“2□3□7□5”的三个方框中分别填入“+”、“-”、“×”这三个运算符号各一次，使得填入符号之后的运算结果最大。
这个最8、运动会中共有十名同学参加万米长跑比赛。
在比赛过程中，小明用尽全力刚刚超过了排在第三名的同学，那么现在小明的身后还9、贪吃蛇吃豆子，它用4天的时间将所有的豆子吃完。
如果第一天它吃掉了全部的一半；第二天吃了3颗；第三天吃的是第二天的210、总长度为910厘米的墙体包括10个均匀隔开的正方形柱子（墙体两侧均有柱子），柱子边长为10厘米。
那么，两相邻柱子间的距离11、小明、小丽和小辉三人平均每人吃了14个包子，其中小明吃的包子。
12、A、B、C、D四个城市分别派出2个足球队参加一次足球锦标赛，要求任何两个球队比赛一场，并且同一个城市的两个代表队之13、在如图的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表14、如图，其中每个小正方形的边长均为1厘米，则图中“2”、“0”、15、如图，我们可以用13根小棍搭出图1中的两层图形，用26根小棍搭出图2中的三层图形，用43根小棍搭出图3中的四层图形，16、图中的4×4方格被粗线分成了四个部分，请在每个小格内填入数字1、2、3或4，使得方格中的每行、每列及每个部分的四个小格中每个数字各出现1次，那么图中的A、B、C、D所代表的四个数字17、如图，有3张卡片，每张卡片上写着2个数字，若把3张卡片并排摆在一起，在横着读，就能得到2个三位数。
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第一天
1.已知在等腰△ABC中,AB=AC.三角形ABC的内切圆为⊙I,三角形BIC的外接圆为⊙O.D为⊙O上优弧BC上任意一点,E为线段DI上一点.证明:若过点E作DB的平行线与⊙I相切,则过点E作DC的平行线也与⊙I相切
.
2.设n>1是一个给定正整数,a1,a2,...,a n是n个两两互异的正整数.记M= {(a i,a j),[a i,a j]|1 i<j n}.求M所含不同元素个数的最小值.
3.甲、乙两人由甲开始用红、蓝铅笔轮流对1∼2019这2019个正整数二染色.要求相邻正整数不能异色.若所有数均染成同一种颜色,则乙胜;若还有数没有染色但轮到的人无法对任意一个没染色的数染色,则此人输.问,谁有必胜策略?
4.计算:
log2(
2018
∏
a=0
2018
∏
b=0
(
1+e2πab i
2019
))
其中,i为虚数单位.
第二天
5.已知锐角△ABC满足BC>CA>AB,△ABC的内切圆⊙I与边BC,CA,AB切于点A0,B0,C0,△ABC的垂心为H,HA,HB,HC的中点分别为A1,B1,C1这三点分别关于直线B0C0,C0A0,A0B0的对称点为A2,B2,C2证明:
（1）A2,B2,C2三点共线；
（2）A2B2
B2C2=tan∠BAC2−tan∠ABC2 tan∠ABC
2
−tan∠ACB
2
6.设k>1是给定的整数.是否存在无穷多个满足下面条件的整数x:x可表示成两个正整数的k次幂之差但不能表示成两个k次幂之和？
7.设A,B,C,D为平面上两辆不同的四个点,且其中任意三点不共线.证明:若线段AB,BC,CD,DA,AC,BD长度的平方均为有理数,则S△ABC
S△ABD
为有理数.
8.已知整数n 2,实数a满足0<a<n+1
n−1
,复数z满足z n+1−az n+az−1=0证明:|z|=1.。