有关周期函数问题的再探讨

有关周期函数问题的再探讨
焦建玲　(合肥安徽教育学院　230061)
周期函数是一类特殊的函数,理解和掌握函数的周期性对我们研究函数的性质有较大帮助.因此教学中应注意抓好周期函数概念的教学.贵刊1995年第3期发表了蒋世信《浅谈概念教学——对周期函数概念教学的体会》一文(以下简称文(1)),作者从概念的内涵、外延及纵横联系等方面对周期函数进行了深入细致的挖掘,这对我们把握周期函数的教学很有启发意义.
文(1)虽是一篇很有参考价值的文章,但笔者阅后,觉得其中有些问题不甚清楚,经过认真考虑,并在课堂上展开讨论后,有了些绪论,经整理成小文,以供参考.
其一是文(1)在“利用概念外延及无关特征检验概念变式获得”中为帮助学生澄清概念,达到正本清源的目的,编制了以下两个问题:
问题1　图象重复出现的函数一定是周期函数吗?
问题2　周期函数的图象必定是重复出现的吗?
乍一看觉得这两个问题提得非常好,它从正反两方面揭示了周期函数与图象重复出现这一特性之间的关系.但在对这两个问题作进一步深入细致的考虑后发现,这两个问题中涉及到的“图象重复出现”这一关键词,作为一个概念,其本身的含义很含糊.笔者曾就这两个问题在学生中展开讨论,并请学生就下述两图象回答其“图象是否重复出现”
?
图(1)
上述两图象形状完全相同,不同之处在于图(1)各间距a i 均相等,即a 1=a 2=…,而图(2)各
间距a i 不全相等,即至少存在两间距a i ,a j (i ≠j )有a i ≠a j .结果肯定与否定回答同时发现,且双方
图(2)
各执一词,难以统一,可见要回答上述两问题,需
首先明确界定“图象重复出现”这一名词概念,否则不同的理解,会产生不同的结论.
一般来说,上述两图象均可称为“图象重复出现”,其中图(1)具有特点:长度一定的一个区间上的函数图象每平移一个固定长度(a i )后,函数图象能完全重合,称之为函数图象规则性地重复出现;图(2)具有特点:长度一定的一个区间上的函数图象每平移某个长度(a i ,i =1,2,…)后,函数图象完全重合,称之为不规则性地重复出现.显然上述两种理解方式是不同的,但都可称为函数图象重复出现,因此在讨论有关函数图象是否重复出现的问题时,须先明确是按第(1)种理解,还是按第(2)种理解.针对文(1)是讨论周期函数,周期函数的函数值每间隔一个固定长度(周期T )后重复出现(f (x +T )=f (x )),因此,相应地研究周期函数的图象是否重复出现时,应看长度一定的一个区间上的周期函数的图象每间隔一个固定长度(即周期T )后其图象是否完全重合,即采用上述第(1)种理解——规则性地重复出现为宜.
其二,文(1)在探讨了函数图象重复出现与周期函数间的关系问题后,得出结论:“只有函数值为非常数值的周期函数,它的图象具有这样的特征:从定义域内的任意一点x 0开始,长度为一个周期的区间上的函数图象将至少一端重复出现,且延续至无穷.”也是值得商榷的.可举反例如下:
设函数f (x )=x -n ,x ∈D =U ∞
n =1
〔n -1,n -1n +1〕,则f (x )为非常数值函数,且f (x )为周期函数.
f (x )的非常数性很显然,下证f (x )为周期
函数.
事实上,对任意x ∈D ,必存在一个自然数
n 0,,使得　n 0-1≤x ≤n 0-1
n 0+1
,即　n 0≤x +1≤n 0+1-1
n 0+1,
又　n 0+1-1n 0+1<n 0+1-1
(n 0+1)+1
,
∴　(n 0+1)-1≤x +1<(n 0+1)-1
(n 0+1)+1
,
故　x +1∈D ,且
f (x +1)=(x +1)-(n 0+1)=x -n 0=f (x ).
所以f (x )为周期函数,且有周期T =1,其图象如下图所示
:
图(3)
f (x )的图象为一族平行线段,且f (x )在区
间〔n -1,n -1
n +1〕
(n ∈N )上的线段长度为2(1-1
n +1
),即从左至右逐渐递增,从而沿x 轴向右每平移1个单位,函数f (x )的图象不能完全重合,即不呈规则性地重复出现.
其三,要回答文(1)中所提的两个问题,除了先要界定“图象重复出现”概念外,其结论还依赖于周期函数概念本身定义的选择.在目前所见的书刊中,周期函数的定义不完全统一,主要有以下两种:
定义1　对于函数y =f (x ),若存在常数T ≠0,使当x 取定义域内的每一个值时,f (x -T )=f (x )=f (x +T )都成立,则称y =f (x )是周期函数,常数T 叫做这个函数的周期.
定义2　对于函数y =f (x ),如果存在一个不为零的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,f (x +T )=f (x )都成立,那么就把函数y =f (x )叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期.对于一个周期函数来说,如果在所有的周期中存在一个最小的正数,就把这个最小的正
数叫做最小正周期.
定义2是我国现行高中《代数》教材中的定义.显然定义2包含了定义1.
文(2)分析了上述两种定义用来刻画周期函数是不相称的(这里不考虑其理由是否可信),在此基础上,作者给出了
定义3(文(2)定义5)　如果在定义域D 至多一方有界的函数y =f (x )具有下列性质之一
(i )D 上、下都无界时,存在常数T ≠0,使对任意的x ∈D ,都有f (x -T )=f (x )=f (x +T );
(ii)D 仅有下界时,存在常数T >0,使:¹对任意的x ∈D ,都有f (x +T )=f (x );º对任意的x ∈{x ûx ≥inf D +T ,x ∈D }(当且仅当inf D ∈D 时取等号),都有f (x -T )=f (x );
(iii)D 仅有上界时,存在常数T <0,使:¹对于任意的x ∈D ,都有f (x +T )=f (x );º对任意的x {x ûx ≤sup D +T ,x ∈D }(当且仅当sup D ∈D 时取等号),都有f (x -T )=f (x );则称函数y =f (x )是周期函数,常数T 叫做这个函数的周期.
可以看出定义1与定义3下的周期函数图象规则性地重复出现,定义2下的周期函数图象未必规则性地重复出现.而文(2)作者认为定义2不恰当的理由恰恰就是其包含了一些函数图象不呈规则性重复出现的函数,如其二中所例举的函数.换言之,文(2)作者认为周期函数的图象一定是规则性地重复出现的函数.因此要回答文(1)中所提的两个问题,不仅应先界定“图象重复出现”这个概念,还应选择合适的定义,而定义的选择又牵涉到人们的观念,这不是本文所要讨论的问题,有兴趣的读者可进一步考虑.
参考资料
1　蒋世信.浅谈概念教学——对周期函数概念教学的体会.数学
通报,1995,3.
2　张光华.谈谈周期函数的定义.中学数学(湖北),1992,11.。