第三节格林公式28页PPT
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格林公式ppt课件
D D
单连通区域
复连通区域
单连通区域就是没有“洞”的区域.
；.
2
对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向
如下 :沿L的这一方向行走时, D始终位于他的左侧.
单连通区域 D 的边界曲 线L的正向是逆时针方向.
复连通区域D 的边界曲 线L由 L1 和 L2 组成, L1 逆时 针 L2 顺时针方向为边界曲 线L的正向.
Q P
x y
0,
)
Q x
当P
U
P y (M
M0
0, )
. 由连续定义知
G时,
有 (Q P ) , 有 Q P ,
x y
2
2 x y
2
即U(M0, ) 上恒有
Q P x y
. 2
二重积分的性质
设 是U (M0 , )的 正 向 边 界 曲 线, 是U (M0 , )的 面 积.
条曲线,若 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
则 称 该 曲 线 积 分 在G内 与 路 径
无 关, 否 则 便 说 与 路 径 有 关.
B
L2
L1
AG
；.
18
曲线积分在G内与路径无关,
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L
xdy y dx x2 y2
D
( Q x
P
Q P x y
)dxdy
0
y ；.
为 错 误 结 果.
14
课堂练习
P214.3
求
L
ydx xdy 2( x 2 y2 )
,
其
单连通区域
复连通区域
单连通区域就是没有“洞”的区域.
；.
2
对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向
如下 :沿L的这一方向行走时, D始终位于他的左侧.
单连通区域 D 的边界曲 线L的正向是逆时针方向.
复连通区域D 的边界曲 线L由 L1 和 L2 组成, L1 逆时 针 L2 顺时针方向为边界曲 线L的正向.
Q P
x y
0,
)
Q x
当P
U
P y (M
M0
0, )
. 由连续定义知
G时,
有 (Q P ) , 有 Q P ,
x y
2
2 x y
2
即U(M0, ) 上恒有
Q P x y
. 2
二重积分的性质
设 是U (M0 , )的 正 向 边 界 曲 线, 是U (M0 , )的 面 积.
条曲线,若 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
则 称 该 曲 线 积 分 在G内 与 路 径
无 关, 否 则 便 说 与 路 径 有 关.
B
L2
L1
AG
；.
18
曲线积分在G内与路径无关,
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L
xdy y dx x2 y2
D
( Q x
P
Q P x y
)dxdy
0
y ；.
为 错 误 结 果.
14
课堂练习
P214.3
求
L
ydx xdy 2( x 2 y2 )
,
其
高等数学第十一章第三节格林公式课件.ppt
3. 计算
• 对光滑曲线弧
f (x, y) ds
f [ (t ), (t )]
L
2 (t ) 2 (t ) d t
• 对光滑曲线弧
b
f (x, y)ds f (x, (x) )
L
a
1 2(x) dx
• 对光滑曲线弧
L f (x, y)ds
f (r( ) cos , r( )sin )
r 2 ( ) r2 ( ) d
•
对有向光滑弧
L
:
x y
(t) (t)
,
t :
P[
(t),
(t )] (t )
Q[
(t),
(t)]
(t)d
t
• 对有向光滑弧 L : y (x) , x : a b
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y P d x Q d y R d z
next
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L2
B
A
L1
L1
L
2
Pdx
Qd
y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
Pdx Qdy
B
Pdx Qdy
Q y
( x 0 ) o (1,0)
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数
x
0 dx
1
x
y dy 0 x2 y2
• 对光滑曲线弧
f (x, y) ds
f [ (t ), (t )]
L
2 (t ) 2 (t ) d t
• 对光滑曲线弧
b
f (x, y)ds f (x, (x) )
L
a
1 2(x) dx
• 对光滑曲线弧
L f (x, y)ds
f (r( ) cos , r( )sin )
r 2 ( ) r2 ( ) d
•
对有向光滑弧
L
:
x y
(t) (t)
,
t :
P[
(t),
(t )] (t )
Q[
(t),
(t)]
(t)d
t
• 对有向光滑弧 L : y (x) , x : a b
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y P d x Q d y R d z
next
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L2
B
A
L1
L1
L
2
Pdx
Qd
y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
Pdx Qdy
B
Pdx Qdy
Q y
( x 0 ) o (1,0)
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数
x
0 dx
1
x
y dy 0 x2 y2
738-第三节 格林公式及其应用-PPT精选文档
解 用格林公式。 记右半圆域为 D。 A Q P ( )dxdy 原式 x y D D
OA
OA
L
D
3dxdy
D
3 2 1 . 3| D | 0 sinydy cos 2
2
5/23
OA : x 0
D
例2. 求 (2x y4 )dx (3x5y6 )dy , L:
L
(0 ,0 ) 、 (3 ,0 ) 、 (3 ,2 )为 顶 点 的 三 角 形 ， 的 顺 边 时针方向。 D。 解 用格林公式。 记 相 应 三 角 域 为
原式
D
Q P ( ) dxdy x y D
L
3) 在 D 上， Pdx Qdy 与路径无 ；
AB
4) 在 D 上， Pdx Qdy 是某个函数的全 ( x, y) （ Qdy 是一个原函 . 数 即 有原函数 (x ,y ) Pdx
0 0
8/23
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
P d xQ d y P dxQ dy AB A
21/23
r
x
Q P d x d y P d x Q d y 格林公式 x y D L
用格林公式易证： xOy 面上有界闭区 D 的面
| D| xdy D ydx
D
1 xdy ydx . 2 D
x a cos 所围面积 : ( 0 2 π) 例如, 椭圆 L y b sin 1 A x d y y d x 2L 2 π 1 2 2 πab ( ab cos ab sin ) d 0 2
第三节格林公式及其应用.
例4. 计算 圆周
其中L 为上半
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L 所围 区域为D , 则
原式
L AO
( x 3 y ) d x ( y x) d y
OA
2
2
( x 2 3 y ) d x ( y 2 x) d y
A
D
B
bx
c
2 ( y ) Q Q d 则 d xd y d y dx D x 1 ( y) x c
d d c c
o a
C
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y
CBE
Q( x, y )d y
EAC
l
o D1
L
x
L l
2 0
r 2 cos 2 r 2 sin 2 d 2 2 r
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关
设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一 阶连续偏导数 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A 到点B的任意两条曲线L1、L2 等式
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
格林公式的应用
1. 简化二重积分
例1. 计算 解: 令 P 0, Q xe
y2
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . ,则
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
第三节格林公式及其应用
Qdx ddydy2(y)Q dx
Dx
c 1(y) x
d
d
cQ (2 (y )y ) ,d y cQ (1 (y )y ) ,dy
y
CQ B (x E ,y )d y CQ A (x E ,y )ddy
x1(y)
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy
y
L
D1
l
or
x
02r2co2sr2r2si2nd
2.
(其中l 的方向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
格 林 公 式 :D ( Q x P y )dx L d P y d Q xdy
取 Py,Qx, 得 2dxd yLxdyydx
即
(x2y3xex)d x1x3ysiyn d y
L
3
3e2π(12π)3.
xdy ydx
例 6
计算
L
x2 y2 , 其中 L 由点 A(- , - )
经曲线 y = cos x 到点 B(, - ) (如图).
（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是P Q 在G 内恒成立. y x
有关定理的说明：
( 1 ) 开 区 域 G 是 一 个 单 连 通 域 .
(2) 函 数 P (x,y),Q (x,y)在 G 内 具 有 一 阶 连
续 偏 导 数 . 两条件缺一不可
证 充分性：
因为 Q P , (x, y) G，所以对 G 内任
D
闭 区 域 D 的 面 积 A 1 2Lxd yyd . x
取 P0,Qx, 得ALxdy 取 Py,Q0, 得ALydx
《格林公式及其应用》PPT课件
n (cos,cos).
v nds L
(P cos Q cos)ds
L
由格林公式
Pdy Qdx =========
(P Q )d .
L
D y x
（格林公式的另一种形式）
称函数
为平面向量场 v (P(x, y),Q(x, y))
的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等
于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
0dxdy 0.
D1
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结束
铃
这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按 逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
0
2
0 1dt 2.
例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶
偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明：
u
L
u n
ds
y
x
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy, AO
oA
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy
AO
0 x2dx 8 .
2
3
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结束
铃
当曲线积分 (x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy 与路径无 AB
高等数学格林公式PPT课件
正向闭路.
解: 令 P x ,yy2 ,Q x ,yx2
y
L
则 P2y,Q2x
y
x
在L所围成的区域D上连续
D x
由格林公式得ID 2x2ydxdy 2d0 2Rcos2cossind 2 R3
2
5
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例3.求 I y x 3 e y d x x y 3 x e y 2 y d y , L
其中L是圆周 x2y2 a2的顺时针方向.
y
解:令 Px,yyx3ey
L
Q x,yxy3xey2y
D x
则 Px3ey,Qy3ey
y
x
在L所围成的区域D上连续, 由格林公式得
I L P x ,y d x Q x ,y d y Dy3x3dxdy 0
注:用格林公式时,一定要注意曲线积分的方向性.
y
0, a
Dl x
0, a
7
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则
P 2 y , Q a 2 y 1
y a 2x2 x
a 2x2
在 l L 所围成的闭区域D上连续,
L
y
0, a
所以由格林公式得:
I lL
l
Dadxdy aa2ylnady
1 2
a
3
Dl x
0, a
注: 用格林公式时, 若L非闭, 则可使用补边法使积分
注:使用格林公式时,若 P , Q 闭曲线所围区域上不 y x
连续, 可先挖去不连续的点后, 再使用格林公式.
11
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三、平面曲线积分与路径无关的等价条件
1.定义:设A,B为D内任意两点, 若从
格林公式及其应用(课堂PPT)
式得：
xdy
x2
ydx
y2
0
10
当 (0,0) D 时，选取适当的 r>0 ，作为于D内的
圆周 l : x2 y2 r2 记 L 和 l 所围得闭区域为 D1 (如图)。
y
D1
0
x
lL
对复连通区域 D1 应用格林公式，得
11
L
xdy
x2
ydx
y2
l
xdy
x2
ydx
y2
0
其中 l 的方向取逆时针方向，于是：
x2 y2 2ax
解：
y a 圆 ： (x a)2
2
2
的参数方程为：
x a a cos, y asin,0 2 ,
30
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2
[a(1 cos )a cos a sin (a sin )]d
20
2
a
2
(1 cos )d
2
a 2 0
3 . 证明下面曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积 分值：
x
为任意可导函数。 如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式
左端沿折线 OAB ,右端沿折线 OCD直线进行曲线积分，得
y t 1
o
1t
x
18
t
1
1
t
0 0dx 0 Q(t, y)dy 0 0dx 0 Q(1, y)dy.
将前面得到的 Q (x,y) 代入上式，得
5
定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有
《高等数学教学课件》 第三节 格林公式及其应 用31页PPT文档
L x2y2
c x2y2
2 0 co t((c so itt))2 n s (ssiti(tn )n 2 co t)d s t022co2ts22si2ntdt
2
0 dt2.
例 3、 计算 (ey1x 2)d y x(xyecoy)d s,其 y L 是 中 L 曲y线 11x2上A 从 (1,1)到 B (1,1)一.段
(1).A(D)Lydx
(2).A(D)Lxdy
(3).A(D)12
xdyydx
L
证明 ( 1 )令 .:P ( x ,y ) y ;Q ( x ,y ) 0
由 格 林:公 式 Q P
yd x P (x ,y)d x Q (x ,y)dy ( )dxdy dxdyA(D).
L
L
D x y
(2).L包含原点 ,按逆时针方向
令:c: xy csion tts20
x d yy dx x d yy dx
P (x ,y )d x Q (x ,y )dy
Lx 2 y 2 cx 2 y 2 L c
由格林公式 Q P
( )dxdy 0dxdy0.
D x y
D
xdyydx xdyydx
证明与引1的 理证明类. 似
实际上引 2的理 条(件 1)可推广: 为 D是有界闭,L区 是D 域 的正向边界则结 正论 确 . 依然
格林公式：
定 理(格 林 公 式 )、设
(1).D是 有 界 闭,区 L是域D的 分 段 光 滑 的 正曲向线 ;边 界
(2)函 . 数P(x, y),Q(x, y)在D上 有 连 续 的 偏. 导 数
b P (x ,y )d xa[P (x , 1 (x ) )P (x , 2(x )d ).]x
《格林公式证明》课件
在工程领域的应用
电气工程
在电气工程中，格林公式被用来计算电路中 的电压和电流，从而帮助我们设计更有效的 电路。
机械工程
在机械工程中，格林公式被用来分析旋转机械的扭 矩和功率，从而帮助我们设计更高效的机械。
航空航天工程
在航空航天工程中，格林公式被用来计算飞 行器的空气动力学特性，从而帮助我们设计 更优秀的飞行器。
格林公式是微积分基本定理的一个重要推论，它提供了计算二重积分的另一种方法，通 过将二重积分转化为曲线积分，使得计算过程更加简便。
求解偏微分方程
在求解偏微分方程时，格林公式常常被用来转化偏微分方程为一组更容易处理的常微分 方程组。
向量场的分析
通过格林公式，我们可以更好地理解向量场在区域边界上的行为，从而对向量场进行更 深入的分析。
公式中的L是区域D的边界曲线，U和 V是定义在D上的函数，dU/dx和 dV/dy分别表示U和V对x和y的偏导数 。
格林公式的重要性
格林公式是微积分学中的重要公式之一，它揭示了二维平面上的积分与边界曲线 上的线积分之间的关系，对于解决某些复杂的积分问题具有重要意义。
通过格林公式，可以将平面区域内的积分转化为边界曲线上的线积分，从而简化 计算过程，提高解决问题的效率。
04
习题与思考
习题
请解释格林公式在数学分 析中的应用。
请写出格林公式的数学表 达式。
请简述格林公式的定义。
习题1
习题2
习题3
思考题
思考题1
如何理解格林公式的物理意义？
思考题2
请举例说明如何利用格林公式解决实际问题。
思考题3
请探讨格林公式在数学和物理领域的重要性和影响。
思考题4
请思考如何改进格林公式的证明方法，并提出自己的见解。
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一、 格林公式
区域 D 分类
单连通区域 ( 无“洞”区 域 多连) 通区域 ( 有“洞”区
L D
域 D 边界L 的正域向) : 域的内部靠左
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
D Q x P ydxdyLPdxQ dy( 格林公式 )
x
y
x0 P(x, y0)dx
Q(x, y)dy
y0
y0
或
y
x
u(x,y)y0Q(x0,y)dy
P(x, y)dx
x0
x0 x
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L 所围
区域为D , 则
原式 (x 2 3 y )d x (y 2 x )d y L AO
或
x y dxdy PdxQdy
DP Q
L
பைடு நூலகம்
证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
D:1(xa)yx b2(x)
y d
E
AD B
cC
则
Q dxdy
d
dy
2(y) Qdx
D x
c
1(y) x
oa b x
cdQ(2(y),y)dy cdQ(1(y),y)dy
x 0 dx
y x2y dy
。
(0,0)
0
0
( x,0)
y x2y dy 0
例6.
验证
xd y x2
yd y2
x
在右半平面
(
x
>
0
)
内存在原函
数 , 并求出它.
y
(x, y)
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D 1 , 对区域 D 1 应用格
林公式 , 得
y
xdy ydx l x2 y2
xdyydx Ll x2 y2
0dxdy0
D1
lL
ox D1
0 2r2co 2sr 2r2si2n d2
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
P Q y x
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 DD (如图) , 因此D在 上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得
L P dx Q dy D ( Q x Q x)d x d y
0
证毕
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
u limxu lim P (x x,y)P(x,y)
x x0 x x 0
同理可证 u y
Q(x,y),因此有 d u P d x Q d y
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
d u P d x Q d y
则
uP(x,y), uQ (x,y)
x
y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有
o
Dn x
n
PdxQdy
k1 Dk
(Dk表示 Dk的正向) 边
LPdxQdy
证毕
格林公式 D Q x P ydxdyLPdxQ dy
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A12Lxdyydx
例如, 椭圆 L: xy a bcsions, 02所围面积
1 20 2 (acb2 o sasbi2n )d ab
证明 (2)
(3)
在D内取定点
与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B(x, y) C (x x,y)
A(x0,y0)
则 x u u ( x x ,y ) u ( x ,y )
(xx,y)
(xx, y)
PdxQdy
Pdx
(x,y)
(x, y)
P (x x ,y ) x
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xydxx2dy0 L
证: 令 P2xy,Qx2,则
利用格林公式 , 得
2xydxx2dy L
0dxdy
0
D
例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
解: 令P0, Qxey2, 则
利用格林公式 , 有
(x2 3 y)d x (y2 x)d y OA
4Ddxdy
4
0 x
2
d
x
8 64 3
y L
D
o
Ax
例5. 验证
是某个函数的全微分, 并求
出这个函数.
证: 设Pxy2,Qx2y,则 P2xyQ
y
x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
duxy2dxx2ydy
(x, y)
。
x
y
B(0,1)
A(1,1)
D yx
xey2 dy D
o
x
xey2 dy 1yey2 dy
OA
0
1(1e1) 2
例3. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则x当 2y20时 ,
设 L 所围区域为D, 当 (0,0)D时 ,由格林公式知 y L
ox
当 (0,0)D时 ,在D 内作圆周 l:x2y2r2,取逆时
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点(x0,y0)D及动点 (x,y)D,则原函数为
(x ,y )
u (x ,y ) P (x ,y )d x Q (x ,y )d y y (x 0 ,y 0 )
Q(x,y)dy Q(x,y)dy
CBE
EAC
即
①
同理可证 ②
①、②两式相加得:
D Q x P yd xdyLP d x Q dy
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图
DQ xP ydxdy
y D2 D1 L
n
QPdxdy
k1 Dk x y
y x
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
P dxQ dy P dxQ dy
L 1
L 2
L2
B
A
L1
L1L 2PdxQdy
(根据条件(1))
PdxQdy L2
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
PdxQdy
B
PdxQdy
AB
A
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 LPdxQdy0.
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 PdxQdy L
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
在 D 内是某一函数
的全微分,
即 d u ( x ,y ) P d x Q d y (4) 在 D 内每一点都有 P Q .
区域 D 分类
单连通区域 ( 无“洞”区 域 多连) 通区域 ( 有“洞”区
L D
域 D 边界L 的正域向) : 域的内部靠左
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
D Q x P ydxdyLPdxQ dy( 格林公式 )
x
y
x0 P(x, y0)dx
Q(x, y)dy
y0
y0
或
y
x
u(x,y)y0Q(x0,y)dy
P(x, y)dx
x0
x0 x
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L 所围
区域为D , 则
原式 (x 2 3 y )d x (y 2 x )d y L AO
或
x y dxdy PdxQdy
DP Q
L
பைடு நூலகம்
证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
D:1(xa)yx b2(x)
y d
E
AD B
cC
则
Q dxdy
d
dy
2(y) Qdx
D x
c
1(y) x
oa b x
cdQ(2(y),y)dy cdQ(1(y),y)dy
x 0 dx
y x2y dy
。
(0,0)
0
0
( x,0)
y x2y dy 0
例6.
验证
xd y x2
yd y2
x
在右半平面
(
x
>
0
)
内存在原函
数 , 并求出它.
y
(x, y)
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D 1 , 对区域 D 1 应用格
林公式 , 得
y
xdy ydx l x2 y2
xdyydx Ll x2 y2
0dxdy0
D1
lL
ox D1
0 2r2co 2sr 2r2si2n d2
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
P Q y x
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 DD (如图) , 因此D在 上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得
L P dx Q dy D ( Q x Q x)d x d y
0
证毕
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
u limxu lim P (x x,y)P(x,y)
x x0 x x 0
同理可证 u y
Q(x,y),因此有 d u P d x Q d y
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
d u P d x Q d y
则
uP(x,y), uQ (x,y)
x
y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有
o
Dn x
n
PdxQdy
k1 Dk
(Dk表示 Dk的正向) 边
LPdxQdy
证毕
格林公式 D Q x P ydxdyLPdxQ dy
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A12Lxdyydx
例如, 椭圆 L: xy a bcsions, 02所围面积
1 20 2 (acb2 o sasbi2n )d ab
证明 (2)
(3)
在D内取定点
与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B(x, y) C (x x,y)
A(x0,y0)
则 x u u ( x x ,y ) u ( x ,y )
(xx,y)
(xx, y)
PdxQdy
Pdx
(x,y)
(x, y)
P (x x ,y ) x
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xydxx2dy0 L
证: 令 P2xy,Qx2,则
利用格林公式 , 得
2xydxx2dy L
0dxdy
0
D
例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
解: 令P0, Qxey2, 则
利用格林公式 , 有
(x2 3 y)d x (y2 x)d y OA
4Ddxdy
4
0 x
2
d
x
8 64 3
y L
D
o
Ax
例5. 验证
是某个函数的全微分, 并求
出这个函数.
证: 设Pxy2,Qx2y,则 P2xyQ
y
x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
duxy2dxx2ydy
(x, y)
。
x
y
B(0,1)
A(1,1)
D yx
xey2 dy D
o
x
xey2 dy 1yey2 dy
OA
0
1(1e1) 2
例3. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则x当 2y20时 ,
设 L 所围区域为D, 当 (0,0)D时 ,由格林公式知 y L
ox
当 (0,0)D时 ,在D 内作圆周 l:x2y2r2,取逆时
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点(x0,y0)D及动点 (x,y)D,则原函数为
(x ,y )
u (x ,y ) P (x ,y )d x Q (x ,y )d y y (x 0 ,y 0 )
Q(x,y)dy Q(x,y)dy
CBE
EAC
即
①
同理可证 ②
①、②两式相加得:
D Q x P yd xdyLP d x Q dy
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图
DQ xP ydxdy
y D2 D1 L
n
QPdxdy
k1 Dk x y
y x
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
P dxQ dy P dxQ dy
L 1
L 2
L2
B
A
L1
L1L 2PdxQdy
(根据条件(1))
PdxQdy L2
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
PdxQdy
B
PdxQdy
AB
A
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 LPdxQdy0.
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 PdxQdy L
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
在 D 内是某一函数
的全微分,
即 d u ( x ,y ) P d x Q d y (4) 在 D 内每一点都有 P Q .