第三节格林公式及应用分析
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格林公式
2
分析:曲线L围成圆环区域.函数在圆环区域有连续偏导. 且定向曲线是围成区域的负向.
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例3. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L
2x y d x x 2 d y 0
证: 令 P 2x y, Q x 2 , 则
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0 d x d y 0
xd y y d x y 2 x2 y 2 x2 L x2 y 2 ( ( x2 y 2 )2 ( x2 y 2 )2 )d D 0 d xd y 0 D
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证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 1 ( x) y 2 ( x) y E D: d a xb
L Pd x Qd y 0 .
L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
即
在 D 内是某一函数
的全微分,
d u( x, y) P d x Q d y P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
AB Pdx Qd y A Pdx Qd y
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B( x, y )
A( x0 , y0 )
( x x , y ) ( x, y )
2)若闭区域的边界曲线是负向则
Q P Pd x Qd y d xd y
分析:曲线L围成圆环区域.函数在圆环区域有连续偏导. 且定向曲线是围成区域的负向.
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例3. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L
2x y d x x 2 d y 0
证: 令 P 2x y, Q x 2 , 则
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0 d x d y 0
xd y y d x y 2 x2 y 2 x2 L x2 y 2 ( ( x2 y 2 )2 ( x2 y 2 )2 )d D 0 d xd y 0 D
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证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 1 ( x) y 2 ( x) y E D: d a xb
L Pd x Qd y 0 .
L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
即
在 D 内是某一函数
的全微分,
d u( x, y) P d x Q d y P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
AB Pdx Qd y A Pdx Qd y
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B( x, y )
A( x0 , y0 )
( x x , y ) ( x, y )
2)若闭区域的边界曲线是负向则
Q P Pd x Qd y d xd y
第三节 格林公式
− y2
其中D 其中 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . ,则
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
y= x
= ∫ xe
∂D
− y2
dy
o
x
=∫
OA
xe
− y2
dy = ∫ ye
0
1
− y2
dy = 1(1 − e−1 ) 2
16
3. 计算平面图形的面积
y
由于 ∫OA xdy = 0,
∫BO xdy = 0,
A
D
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
o
L
B
x
8
ydx − xdy L为以(1,0) , , 例2 计算第二型曲线积分 ∫ L x+ y
(0,1) , ( −1,0) , (0,−1)为顶点的正方形闭路， 取逆时针方向. 为顶点的正方形闭路，
推论: 推论 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A = ∫ xdy − ydx 2 L x = acosθ , 0 ≤ θ ≤ 2π 所围面积 例如, 例如, 椭圆 L : y = bsinθ
1 2π = ∫ (abcos2 θ + absin2 θ )dθ = π ab 20
6
二、简单应用
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂ y dxdy = ∫ Pdx + Qdy ( 格林公式 ) D L
或
∫∫ P D
∂ ∂x
∂ ∂y
Q
dxdy = ∫ Pdx + Qdy
L
2
其中D 其中 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . ,则
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
y= x
= ∫ xe
∂D
− y2
dy
o
x
=∫
OA
xe
− y2
dy = ∫ ye
0
1
− y2
dy = 1(1 − e−1 ) 2
16
3. 计算平面图形的面积
y
由于 ∫OA xdy = 0,
∫BO xdy = 0,
A
D
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
o
L
B
x
8
ydx − xdy L为以(1,0) , , 例2 计算第二型曲线积分 ∫ L x+ y
(0,1) , ( −1,0) , (0,−1)为顶点的正方形闭路， 取逆时针方向. 为顶点的正方形闭路，
推论: 推论 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A = ∫ xdy − ydx 2 L x = acosθ , 0 ≤ θ ≤ 2π 所围面积 例如, 例如, 椭圆 L : y = bsinθ
1 2π = ∫ (abcos2 θ + absin2 θ )dθ = π ab 20
6
二、简单应用
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂ y dxdy = ∫ Pdx + Qdy ( 格林公式 ) D L
或
∫∫ P D
∂ ∂x
∂ ∂y
Q
dxdy = ∫ Pdx + Qdy
L
2
格林公式及其应用
其中L是 D的取正向的边界曲线.
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重
积分之间的联系.
3. 简单应用
(1) 计算平面面积
格林公式
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
取 P y, Q x,
得
2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D的面积
A 1 xdy ydx 2L
例1 求椭圆 x a cos t, y bsint,0 t 2
解 由格林公式
(e x sin y my )dx (e x cos y m)Ody AO OA
A(a,0)x
mdxdy
1 8
ma 2
OA的方程为y 0, 0 x a
D
故
(e x sin y my )dx (e x cos y m)dy
a
0dx 0
OA
0
所以, I 1 ma2 0 1 ma2.
AO OA OA 8
8
(3) 简化二重积分
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
例5 计算 e y2dxdy, 其中D是
D
y 1B
A
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
D
为顶点的三角形闭区域.
解 令 P 0, Q xe y2
O
1x
则 Q P e y2 格林公式
x y
e y2dxdy
规定 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
y L
D
L
D
l
O
x
L+l 称为复合闭曲线
738-第三节 格林公式及其应用-PPT精选文档
解 用格林公式。 记右半圆域为 D。 A Q P ( )dxdy 原式 x y D D
OA
OA
L
D
3dxdy
D
3 2 1 . 3| D | 0 sinydy cos 2
2
5/23
OA : x 0
D
例2. 求 (2x y4 )dx (3x5y6 )dy , L:
L
(0 ,0 ) 、 (3 ,0 ) 、 (3 ,2 )为 顶 点 的 三 角 形 ， 的 顺 边 时针方向。 D。 解 用格林公式。 记 相 应 三 角 域 为
原式
D
Q P ( ) dxdy x y D
L
3) 在 D 上， Pdx Qdy 与路径无 ；
AB
4) 在 D 上， Pdx Qdy 是某个函数的全 ( x, y) （ Qdy 是一个原函 . 数 即 有原函数 (x ,y ) Pdx
0 0
8/23
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
P d xQ d y P dxQ dy AB A
21/23
r
x
Q P d x d y P d x Q d y 格林公式 x y D L
用格林公式易证： xOy 面上有界闭区 D 的面
| D| xdy D ydx
D
1 xdy ydx . 2 D
x a cos 所围面积 : ( 0 2 π) 例如, 椭圆 L y b sin 1 A x d y y d x 2L 2 π 1 2 2 πab ( ab cos ab sin ) d 0 2
第三节 格林公式及其应用
取 P = y , Q = x , 得 2 ∫∫ dxdy = ∫L xdy ydx
D
闭区域 D 的面积
1 A = ∫L xdy ydx . 2
取 P = 0, Q = x , 得 取 P = y , Q = 0, 得
A = ∫L xdy
A = ∫L ydx
例 4 计算抛物线( x + y ) 2 = ax ( a > 0) 与 x 轴所 围成的面积. 围成的面积.
(2) 当( 0,0) ∈ D 时,
o
x
作位于 D 内圆周 l : x + y = r ,
2 2 2
y
L
D1
所围成, 记 D1 由 L 和 l 所围成
应用格林公式,得 应用格林公式 得
o
l
r
x
xdy ydx xdy ydx ∫L x 2 + y 2 ∫l x 2 + y 2 = 0 xdy ydx xdy ydx ∫L x 2 + y 2 = ∫l x 2 + y 2
L1
C F
+ = { ∫AB ∫L+ ∫BA ∫AFC ∫CE ∫L+ ∫EC ∫CGA } ( Pdx + Qdy ) + + + +
3
= ( ∫L + ∫L + ∫L )( Pdx + Qdy )
2 3 1
= ∫L Pdx + Qdy
格林公式的实质: 格林公式的实质:
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D D
单连通区域
复连通区域
L1 L1
D
L2
D
L2
D
闭区域 D 的面积
1 A = ∫L xdy ydx . 2
取 P = 0, Q = x , 得 取 P = y , Q = 0, 得
A = ∫L xdy
A = ∫L ydx
例 4 计算抛物线( x + y ) 2 = ax ( a > 0) 与 x 轴所 围成的面积. 围成的面积.
(2) 当( 0,0) ∈ D 时,
o
x
作位于 D 内圆周 l : x + y = r ,
2 2 2
y
L
D1
所围成, 记 D1 由 L 和 l 所围成
应用格林公式,得 应用格林公式 得
o
l
r
x
xdy ydx xdy ydx ∫L x 2 + y 2 ∫l x 2 + y 2 = 0 xdy ydx xdy ydx ∫L x 2 + y 2 = ∫l x 2 + y 2
L1
C F
+ = { ∫AB ∫L+ ∫BA ∫AFC ∫CE ∫L+ ∫EC ∫CGA } ( Pdx + Qdy ) + + + +
3
= ( ∫L + ∫L + ∫L )( Pdx + Qdy )
2 3 1
= ∫L Pdx + Qdy
格林公式的实质: 格林公式的实质:
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D D
单连通区域
复连通区域
L1 L1
D
L2
D
L2
第三节格林公式及其应用
Qdx ddydy2(y)Q dx
Dx
c 1(y) x
d
d
cQ (2 (y )y ) ,d y cQ (1 (y )y ) ,dy
y
CQ B (x E ,y )d y CQ A (x E ,y )ddy
x1(y)
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy
y
L
D1
l
or
x
02r2co2sr2r2si2nd
2.
(其中l 的方向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
格 林 公 式 :D ( Q x P y )dx L d P y d Q xdy
取 Py,Qx, 得 2dxd yLxdyydx
即
(x2y3xex)d x1x3ysiyn d y
L
3
3e2π(12π)3.
xdy ydx
例 6
计算
L
x2 y2 , 其中 L 由点 A(- , - )
经曲线 y = cos x 到点 B(, - ) (如图).
（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是P Q 在G 内恒成立. y x
有关定理的说明：
( 1 ) 开 区 域 G 是 一 个 单 连 通 域 .
(2) 函 数 P (x,y),Q (x,y)在 G 内 具 有 一 阶 连
续 偏 导 数 . 两条件缺一不可
证 充分性：
因为 Q P , (x, y) G，所以对 G 内任
D
闭 区 域 D 的 面 积 A 1 2Lxd yyd . x
取 P0,Qx, 得ALxdy 取 Py,Q0, 得ALydx
第三节_格林公式及其应用
第三节_格林公式及其应用
格林公式是一个重要的微积分计算工具，用于计算微分方程在给定边
界条件下的解。
它可以用来解决一类非常有用的问题，例如求解复杂的微
分方程组、积分变分形式的物理问题。
此外，格林公式还可以应用于计算
微分函数在任意区间上的有限性以及在一些特定情况下的无穷性。
格林公式的主要思想是，给定边界以及满足一些条件的控制变量，可
以将一个微分方程组的解表示为不同常量的线性组合。
因此，可以通过解
决有限个简单的常系数非齐次线性微分方程来求解更复杂的微分方程组。
其中，常系数非齐次线性微分对应的格林公式是：
y(t) = A*exp(αt) + B*exp(βt)
其中，A、B是常数，α、β是解的根。
这个公式可以用来求解不同
类型的微分方程，包括拉普拉斯方程、伯努利方程、线性齐次微分方程组等。
应用：
1、求解拉普拉斯方程
拉普拉斯方程是一类重要的常微分方程，它可以用来描述物理系统的
传播过程以及电、热等物理场的扩散等现象。
拉普拉斯方程的一般形式为：y"+αy'+βy=f(t)
这里，α、β是常数，f(t)是一个任意函数。
可以用格林公式来求
解这个方程的解：
y(t) = A*exp(αt) + B*exp(-αt) + [1/α]*∫exp(-αt)f(t)dt
其中，A、B是常数，α是解的根。
2、求解伯努利方程。
第三节 格林公式及其应用
第三节 格林公式及其应用 ㈠．本课的基本要求掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数 ㈡．本课的重点、难点格林公式、平面上的曲线积分与路径无关的条件为本课重点，求全微分为难点 ㈢．教学内容一．格林公式及其应用微积分基本定理——牛顿-莱布尼兹公式确立了函数f(x)在闭区间上的定积分与它的原函数F(x)在这个区间的端点上的值之间的关系。
相仿的，在平面闭区域D 上的二重积分与沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分之间也有类似的关系。
格林（Green ）公式就是阐明它们之间关系的一个重要公式。
定义（单连通域） 一个平面区域D ，如果全落在此区域内的任何一条封闭曲线都可以不经过D 以外的点而连续地收缩为一点，则称此区域D 为单连通的，否则为复连通的。
（如图） 我们首先规定区域D 的边界曲线L 的正向：当观察者沿L 的某个方向行走时，区域D 总在它的左边（如图），则该方向即为L 的正方向。
定理1（格林定理） 设D 是以分段光滑曲线L 为边界的平面有界闭区域，函数P(x,y)及Q(x,y)在D 上具有一阶连续的偏导数，则⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂LQdy Pdx d yPx Q σ)(⑴其中符号⎰L表示沿L 正方向的曲线积分。
公式⑴称为格林公式。
证 先假设穿过区域D 内部且平行坐标轴的直线与D 的边界曲线L 的交点恰好为两点，即区域D 既是X ─型又是Y ─型的情形。
设}),()(|),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=ϕϕ。
因为yP∂∂连续，所以由二重积分的计算法有 ⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂=∂∂b a x x b a Ddx x x P x x P dy y y x P dx dxdy y P))}(,())(,({),(12)()(21ϕϕϕϕ 另一方向，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有⎰⎰⎰⎰⎰+=+=abbaL L Ldx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx ))(,())(,(2121ϕϕ⎰⎰-=babadx x x P dx x x P ))(,())(,(21ϕϕ因此，=∂∂-⎰⎰Ddxdy y P⎰L Pdx ⑵ 设}),()(|),{(21d y c y x y y x D ≤≤≤≤=ψψ，类似地可证=∂∂⎰⎰Ddxdy x Q⎰LQdy ⑶由于D 既是X ─型又是Y ─型的，⑵、⑶同时成立，合并后即得公式⑴。
第三节第三节格林公式及其应用
另一种记法 :
x
DP
Green 公式
y Q
dxdy
ÑL Pdx
Qdy.
分析：
待证表达式
D
(
Q x
P )dxdy y
L Pdx
Qdy
等价于证明
D
Q x
dxdy
L
Qdy
D
P y
dxdy
LPdx
Y型区域
X 型区域
证明依赖于区域的形状
既 X又 Y型
单连通 一般区域
复连通
证明:
y
1. 若区域 D既是 X 型
1r 2 dxdy xdy xdy xdy xdy
4
D
L
OA
AB
BO
xdy dxdy 1 r2.
AB D
4
例 2 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与 x轴所
围成的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO:
y ax x, x从a变到0.
M
L2
L3
L1
L Pdx Qdy
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
Pd
x
Qd
y
1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系; 2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系.
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
Pd
x
Qd
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A 1 xdy y dx A xdy, A ydx.
r2
d
2π
Ñ 例4 计算 L
xdy 4x2
第三节 格林公式
(cos 2x)e xdx
1 5
e x (cos 2x 2sin 2x)
12
例5. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则当x2 y2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时, 由格林公式知
y L
ox
13
当(0,0) D时, 在D 内作圆周 l : x2 y2 r 2, 取逆时
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域xd y ydx l x2 y2
xd y ydx Ll x2 y2
0d xd y 0
D1
lL
o
x
D1
2 0
r2
cos2 r 2
r2
sin2
d
2
14
2. 简化二重积分
例6. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
解: 令 P 0, Q xe y2 , 则 利用格林公式 , 有
y
B(0,1)
A(1,1)
D y x
x e y2 d y D
o
x
x ey2 dy
OA
1yey2 dy
0
1 (1 e1) 2
15
3. 计算平面图形的面积
格林公式:
D
(Q x
P y
)dxdy
解 L的方程为: x y 1 , 故所计算的第二型曲线积分为
I ydx xdy 是时, P y , Q x , 于是 有
L
y
Q P 2 , 又 D为L内的区域.
x y
L
则所求的曲线积分为
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（3） 为正向的封闭曲线， 在 内具有一阶连续偏导数，两者缺一不可．在利用格林公式计算曲线积分时，若 不封闭，则考虑适当补边使之封闭；若在 内函数有奇点，应考虑将奇点挖掉．
（4）当 时，可求出封闭曲线所围区域的面积
2.平面上曲线积分与路径无关的条件
设区域 是一个单连通域，函数 在区域 内具有一阶连续的偏导数，则曲线积分 在 内与路径无关（或沿 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是
在 内恒成立．
【注】若曲线积分与路径无关，在进行曲线积分的计算时，可以在 内选择简单路径，选择折线是常用的方法．
3.二元函数的全微分求积
设区域 是一个单连通域，函数 在区域 内具有一阶连续的偏导数，则 在 内为某一函数 的全微分的充要条件是
在 内恒成立．
或
．
其中 是区域 内适当选定的一点．
【注】设区域 是一个单连通域，函数 在区域 内具有一阶连续的偏导数，则以下四个命题等价：
3.3典型例题与方法
基本题型I：利用格林公式求第二类曲线积分
例1填空题
(1)设 在 内具有连续的二阶偏导数， 为顺时针方向的椭圆 ，则 ．
(2)设质点在力 作用下沿圆周 的顺时针方向运动一周，则力 所作的功 ．
解（1）由格林公式，注意到曲线 为顺时针方向，得
故应填 ．
（2）设曲线 围成的区域为 ，则
（1）
解：
，所以积分与路径无关.
取路径直线 从点 到点
（2）
解 ，
，所以积分与路径无关.
取积分路径
(3)
解：
显然 ，所以与积分路径无关。取积分路径为 的折线，则
5.利用格林公式，计算下列曲线积分．
（1） ，其中 为三顶点分别为 和 的三角形正向边界.
【分析】 为封闭光滑曲线取正向，符合格林公式的条件，可用格林公式进行计算.
解 = ，
其中 为椭圆域 .
例4计算 ，其中 为圆 的正向.
【分析】此题可直接用公式 计算.也可用积分曲线方程化简被积函数，再用格林公式计算．下面给出后一种解法.
解
.
【方法点击】该题不能直接利用格林公式计算，因为被积函数在 内不满足具有一阶连续偏导数的条件，但由曲线 的方程化简被积函数后，就满足了格林公式的条件，可再用格林公式计算.
例5计算 , 为从 到 再到 , 是半圆弧.
图3-1
【分析】显然 为从 到 的分段光滑曲线，可以直接化为定积分进行计算，但计算较复杂．如果补边 ，则可成为封闭曲线，利用格林公式计算后再减去 上的积分，可得所求积分值．但要注意曲线的方向．
解 , , , ,
.添加直线 ,利用格林公式得，
+ ．
所以, = - = .
命题1曲线积分 在 内与路径无关；
命题2在 内任意一条闭曲线 ，有 = ；
命题3表达式 在 内是某个二元函数的全微分，即存在 使得 ；
命题4 在 内每一点处成立．
4.计算 的一般步骤
（1）首先验证是否 ，
（2）若 ，考察 是否封闭，若封闭用格林公式；
若不封闭取参数 求，
（3）若 ，也考察 是否封闭，若封闭结果为 ；若不封闭，用折线或用补线来求．
【方法点击】补边是利用格林公式解决非封闭曲线积分的重要方法，但须满足格林公式的条件．
例6计算 ，其中 沿曲线 自点 到 的有向弧段.
图3-2
【分析】本题可利用 的方程直接求解，得到解法一．还可以通过补边，使其满足格林公式的条件，再利用格林公式计算.
解法一如图3-2所示， 的方程 ，
故 .
解法二补线 （方向与 轴的方向一致）， 与曲线 围成闭区域 ，
例11验证表达式 为全微分，并求原函数.
解
．
故一定有 ，使 ．
下面用两种方法来积分法：
由于 故两边对 积分可得:
=
= ，
又因为
所以 ，
故 = .
3.4教材习题解答
1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：
（1） ，其中 是由抛物线 所围成的区域的
解法一据题设可知，曲线积分满足格林公式的条件，记 是 围成的闭区域，于是
故应填 ．
例2选择题
（1）设曲线 为椭圆 ，并取正向，则曲线积分 等于（）.
（A） ；（B） ；（C） ；（D） ．
（2）已知 是某函数的全微分，则 等于（）.
（A） ；（B） ；（C） ；（D） ．
解（1）因为 ，代入得
．
故选（D）．
（2）
于是
由 可得 ，故选（D）．
例3计算 ，其中 为椭圆线 的正向.
由格林公式
而 .
.
从而 .
【方法点击】在计算第二类曲线积分时，若被积函数或积分曲线比较复杂，可考虑使用格林公式．但须注意：
①要求曲线封闭，否则应适当进行补边．
②闭曲线为正向．
③ 在闭曲线围成的区域内连续．
例7计算星形线 围成图形的面积.
【分析】作为格林公式的应用，可利用 求封闭曲线 所围区域的面积．
.
解法二设 ，则
（2）
2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：
(1)星形线
（2）椭圆
（3）圆 .
解（1）
（2）椭圆的参数方程为
（3）圆的参数方程为
3.计算曲线积分 ，其中 为圆周 （按逆时针方向）
解如图所示，
在 内作顺时针方向的小圆周 （ ）
在 与 上围成的区域 上，有 ，
由格林公式
所以
4.证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关，并计算积分值：
【分析】只要证明与路经无关，就可得出 .
证明由 可知， ，又 有一阶连续的导数，所以
，
故积分 与路经无关，从而对任何光滑闭曲线 ，有
.
基本题型III：二元函数全微分求积
例10验证: 是某一函数的全微分,并求出一个原函数.
图3-4
解 , , , ,所以原式在全平面上为某一函数的全微分.取 ,
= = .
第三节格林公式及应用
3.1 学习目标
掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.
3.2 内容提要
1.格林公式
设闭区域 由分段光滑的曲线 围成，函数 在 内具有一阶连续偏导数，则有
，
其中 是 的取正向的边界曲线．
【注】（1）格林公式揭示了二重积分与曲线积分的联系．
（2） 可以是复连通区域．
解 .
基本题型II：根据曲线积分与路径无关求第二类曲线积分
例8计算积分 , 为过 , 和 点的圆弧.
图3-3
【分析】该题的积分曲线方程和被积函数较复杂，若用参数方程解题很麻烦.考虑到
, , , ,积分与路径无关，采用折线法解之.
解 , , , ,所以 与路径无关.取折线 ，则 + = = .
例9设 有一阶连续的导数，证明对任何光滑闭曲线 ，有
（4）当 时，可求出封闭曲线所围区域的面积
2.平面上曲线积分与路径无关的条件
设区域 是一个单连通域，函数 在区域 内具有一阶连续的偏导数，则曲线积分 在 内与路径无关（或沿 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是
在 内恒成立．
【注】若曲线积分与路径无关，在进行曲线积分的计算时，可以在 内选择简单路径，选择折线是常用的方法．
3.二元函数的全微分求积
设区域 是一个单连通域，函数 在区域 内具有一阶连续的偏导数，则 在 内为某一函数 的全微分的充要条件是
在 内恒成立．
或
．
其中 是区域 内适当选定的一点．
【注】设区域 是一个单连通域，函数 在区域 内具有一阶连续的偏导数，则以下四个命题等价：
3.3典型例题与方法
基本题型I：利用格林公式求第二类曲线积分
例1填空题
(1)设 在 内具有连续的二阶偏导数， 为顺时针方向的椭圆 ，则 ．
(2)设质点在力 作用下沿圆周 的顺时针方向运动一周，则力 所作的功 ．
解（1）由格林公式，注意到曲线 为顺时针方向，得
故应填 ．
（2）设曲线 围成的区域为 ，则
（1）
解：
，所以积分与路径无关.
取路径直线 从点 到点
（2）
解 ，
，所以积分与路径无关.
取积分路径
(3)
解：
显然 ，所以与积分路径无关。取积分路径为 的折线，则
5.利用格林公式，计算下列曲线积分．
（1） ，其中 为三顶点分别为 和 的三角形正向边界.
【分析】 为封闭光滑曲线取正向，符合格林公式的条件，可用格林公式进行计算.
解 = ，
其中 为椭圆域 .
例4计算 ，其中 为圆 的正向.
【分析】此题可直接用公式 计算.也可用积分曲线方程化简被积函数，再用格林公式计算．下面给出后一种解法.
解
.
【方法点击】该题不能直接利用格林公式计算，因为被积函数在 内不满足具有一阶连续偏导数的条件，但由曲线 的方程化简被积函数后，就满足了格林公式的条件，可再用格林公式计算.
例5计算 , 为从 到 再到 , 是半圆弧.
图3-1
【分析】显然 为从 到 的分段光滑曲线，可以直接化为定积分进行计算，但计算较复杂．如果补边 ，则可成为封闭曲线，利用格林公式计算后再减去 上的积分，可得所求积分值．但要注意曲线的方向．
解 , , , ,
.添加直线 ,利用格林公式得，
+ ．
所以, = - = .
命题1曲线积分 在 内与路径无关；
命题2在 内任意一条闭曲线 ，有 = ；
命题3表达式 在 内是某个二元函数的全微分，即存在 使得 ；
命题4 在 内每一点处成立．
4.计算 的一般步骤
（1）首先验证是否 ，
（2）若 ，考察 是否封闭，若封闭用格林公式；
若不封闭取参数 求，
（3）若 ，也考察 是否封闭，若封闭结果为 ；若不封闭，用折线或用补线来求．
【方法点击】补边是利用格林公式解决非封闭曲线积分的重要方法，但须满足格林公式的条件．
例6计算 ，其中 沿曲线 自点 到 的有向弧段.
图3-2
【分析】本题可利用 的方程直接求解，得到解法一．还可以通过补边，使其满足格林公式的条件，再利用格林公式计算.
解法一如图3-2所示， 的方程 ，
故 .
解法二补线 （方向与 轴的方向一致）， 与曲线 围成闭区域 ，
例11验证表达式 为全微分，并求原函数.
解
．
故一定有 ，使 ．
下面用两种方法来积分法：
由于 故两边对 积分可得:
=
= ，
又因为
所以 ，
故 = .
3.4教材习题解答
1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：
（1） ，其中 是由抛物线 所围成的区域的
解法一据题设可知，曲线积分满足格林公式的条件，记 是 围成的闭区域，于是
故应填 ．
例2选择题
（1）设曲线 为椭圆 ，并取正向，则曲线积分 等于（）.
（A） ；（B） ；（C） ；（D） ．
（2）已知 是某函数的全微分，则 等于（）.
（A） ；（B） ；（C） ；（D） ．
解（1）因为 ，代入得
．
故选（D）．
（2）
于是
由 可得 ，故选（D）．
例3计算 ，其中 为椭圆线 的正向.
由格林公式
而 .
.
从而 .
【方法点击】在计算第二类曲线积分时，若被积函数或积分曲线比较复杂，可考虑使用格林公式．但须注意：
①要求曲线封闭，否则应适当进行补边．
②闭曲线为正向．
③ 在闭曲线围成的区域内连续．
例7计算星形线 围成图形的面积.
【分析】作为格林公式的应用，可利用 求封闭曲线 所围区域的面积．
.
解法二设 ，则
（2）
2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：
(1)星形线
（2）椭圆
（3）圆 .
解（1）
（2）椭圆的参数方程为
（3）圆的参数方程为
3.计算曲线积分 ，其中 为圆周 （按逆时针方向）
解如图所示，
在 内作顺时针方向的小圆周 （ ）
在 与 上围成的区域 上，有 ，
由格林公式
所以
4.证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关，并计算积分值：
【分析】只要证明与路经无关，就可得出 .
证明由 可知， ，又 有一阶连续的导数，所以
，
故积分 与路经无关，从而对任何光滑闭曲线 ，有
.
基本题型III：二元函数全微分求积
例10验证: 是某一函数的全微分,并求出一个原函数.
图3-4
解 , , , ,所以原式在全平面上为某一函数的全微分.取 ,
= = .
第三节格林公式及应用
3.1 学习目标
掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.
3.2 内容提要
1.格林公式
设闭区域 由分段光滑的曲线 围成，函数 在 内具有一阶连续偏导数，则有
，
其中 是 的取正向的边界曲线．
【注】（1）格林公式揭示了二重积分与曲线积分的联系．
（2） 可以是复连通区域．
解 .
基本题型II：根据曲线积分与路径无关求第二类曲线积分
例8计算积分 , 为过 , 和 点的圆弧.
图3-3
【分析】该题的积分曲线方程和被积函数较复杂，若用参数方程解题很麻烦.考虑到
, , , ,积分与路径无关，采用折线法解之.
解 , , , ,所以 与路径无关.取折线 ，则 + = = .
例9设 有一阶连续的导数，证明对任何光滑闭曲线 ，有