高等数学 第三节 格林公式及其应用

D D
单连通区域
复连通区域
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 复连通区域 ( 有“洞”区域 )
第十一章 第三节
2
若 L 是平面区域 D 的边界曲线，规定 L 的正向： 我们沿 L 的方向行走时，D 内在我们近处的那一 部分总在我们的左边。
例如: D 为复连通区域，其边界曲线为 L 与 l 。 作为 D 的正向边界，
第十一章 第三节
6
3) 若区域不止由一条闭曲线所围成 (复连通区域)。
添加直线段 AB , CE。
则 D 的边界曲线由 AB , L2 ， G BA , AFC , CE , L3 ，
D
EC 及 CGA 构成。
L2 B
由 2) 知
D
(
Q x
P y
)dxdy
L1 L3
E
C
F A
{ } (Pdx Qdy)
l L
L 的正向是逆时针方向，l 的正向是顺时针方向。
单连通域 D 的边界 L 的正向: 域的内部靠左
第十一章 第三节
3
二、格林公式
定理1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成， 函数 P(x , y) , Q(x , y) 在 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
(
Q x
P )dxdy y
L
Pdx
2xydx x2dy 0 L
第十一章 第三节
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Q P
D
(
x
y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
例2 求 L (2x y 4)dx (3x 5 y 6)dy ，L 是以
(0 , 0) , (3 , 0) , (3 , 2) 为顶点的三角形的边界，
顺时针方向。
(3 , 2)
D O(0 , 0) (3 , 0)
AB L2 BA AFC
CE L3 EC CGA
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
L Pdx Qdy
L1 , L2 , L3 对 D 来说为正方向
第十一章 第三节
7
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系。
便于记忆 x y dxdy L Pdx Qdy
D1
O
D1
x
2 0
r2
cos2 r 2
r2
sin2
d
2
第十一章 第三节
15
例6 计算
，其中
(1) L 是圆周 ( x 2)2 ( y 3)2 1 ，逆时针方向；
(2) L 是圆周 x2 y2 1 ，逆时针方向。
第十一章 第三节
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例7 计算 的正向。
，其中 L 为 x y 1
D
( Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
当 (0 , 0) D时 ，在 D 内作圆周 l : x2 y2 r2
取逆时针方向，记 L 和 l ˉ 所围的区域为 D1 ，
对区域 D1 应用格林公式， 得
xdy ydx
l x2 y2
y
L l
xdy ydx 0dxdy 0
Ll x2 y2
第十一章 第三节
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例3 计算 圆周
D
( Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
其中 L 为上半
从 O(0 , 0) 到 A(4 , 0)。
y
L D
O
Ax
能否直接用格林公式？
提示：连接 A , O 。则有向线段 AO 与有向弧段 L
构成闭曲线。利用格林公式可把在 L 上的
曲线积分转化为在 AO 上的曲线积分。
第三节 格林公式及其应用
教学内容
1 格林公式 2 平面上曲线积分与路径无关的条件 3 二元函数的全微分求积
考研要求
1 掌握格林公式并会应用平面上曲线积分 与路径无关的条件
2 会求全微分的原函数
第十一章 第三节
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一、区域连通性的分类
设 D 为平面区域， 如果 D 内任一闭曲线所围 成的部分都属于 D，则称 D 为平面单连通区域， 否则称为复连通区域。
(2) 对 D 中任一分段光滑曲线 L ， 曲线积分
L Pdx Qdy 与路径无关，只与起点及终点有关 ；
(3) Pdx Qdy 在 D 内是某一函数 u(x , y) 的全微分
即 du( x , y) Pdx Qdy ；
(4) 在 D 内每一点都有 P Q 。
y x
第十一章 第三节
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说明: 根据定理4 ， 若在某区域内 P Q ，则
5
2) 若 D 不满足以上条件，则可通过加辅助线将 其分割为有限个上述形式的区域 ，如图
D
(
Q x
P y
)dxdy
n Q P
( )dxdy k1 Dk x y
n
Pdx Qdy
k 1 Dk
y
D2 D1
Dn
L
O
x
Pdx Qdy L
(Dk 表示 Dk 的正向边界)
(相加时沿辅助线来回的曲线积分相互抵消)
在 D 内有 du Pdx Qdy
第十一章 第三节
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b
dx
2 ( x) P dy
D y
a
1 ( x) y
c
C 1( x)
b
Oa
bx
a (P( x , 1( x)) P( x , 2( x))dx
Pdx L
b
a P( x , 1( x)dx
a
b P( x , 2( x)dx
D
P dxdy y
Pdx
L
同理
D
Q x
dxdy
LQdx
第十一章 第三节
第十一章 第三节
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2. 简化二重积分
D
( Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
例4 计算
，其中 D 是以 O(0 , 0) , A(1 , 1) ,
B(0, 1) 为顶点的三角形闭域。
y
解 令 P 0 , Q x e y2 , 则
B(0 ,1)
D
A(1 , 1) y x
利用格林公式， 有
O
xe y2 dy xe y2 dy
y2
dy
其中 L 是摆线
x a(t sin t) a
y a(1 cos t)
(a 0)
从 t 0 到 t 2 的一段。
y 2a
L3
L1 L
a L2 r a x
第十一章 第三节
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四、二元函数的全微分求积
定理3 设开区域 G 是一个单连通域， 函数
P(x , y) , Q(x , y) 在 G 内具有一阶连续偏导
例如， 椭圆
L
:
x y
a cos b sin
,
0
2
所围面积
1
A 2 L xdy ydx
1 2 (ab cos2 ab sin2 )d ab 20
第十一章 第三节
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三、格林公式的简单应用
D
Q (
x
P )dxdy
y
L
Pdx
Qdy
1. 简化曲线积分
例1 设 L 是一条分段光滑的闭曲线， 证明:
2. 等价条件
Q P
L
Pdx
Qdy
D
(
x
y
)dxdy
其中L 是 D 的 P , Q 在 D 上具有
取正向的边界 一阶连续偏导数
设 P , Q 在 D 内具有一阶连续偏导数，则有：
L Pdx Qdy 在 D 内与路径无关
对 D 内任意闭曲线 L 有 L Pdx Qdy 0
在 D 内有
Q P x y
(或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零)的充要 条件是 P Q 在 G 内恒成立。
y x
说明：(1) 开区域 G 是个单连通域；
(2) 函数 P(x , y) , Q(x , y) 在 G 内具有 一阶连续偏导数。 两条件缺一不可
第十一章 第三节
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例8 计算积分
I
L
y x2 y2
dx
x2
x
否则便说与路径有关。
注：积分在 G 内与路径无关等价于沿 G 内任意闭曲线的
积分为零。ຫໍສະໝຸດ 第十一章 第三节18
2 曲线积分与路径无关的条件
定理2 设开区域 G 是一个单连通域，函数
P(x , y) , Q(x , y) 在 G 内具有一阶连续偏导数，
则曲线积分 L Pdx Qdy 在 G 内与路径无关
DP Q
应用格林公式要注意以下两点：
1 P(x , y) , Q(x , y) 在闭区域上处处有 连续的一阶偏导数；
2 积分曲线 L 为闭曲线且取正向。
第十一章 第三节
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格林公式
Q P
(
D
x
y
)dxdy
L Pdx
Qdy
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
1
A 2 L xdy ydx
D
OA
1 ye y2 dy 1 (1 e1 )
0
2
第十一章 第三节
x
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例5 计算
Q P
D
(
x
y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
，其中 L 为无重点且不过
原点的分段光滑正向闭曲线。
解令
当x2 y2 0时
设 L 所围区域为 D ，当(0 , 0) D时，由格林公式知