新教材新高考一轮复习人教B版 第一章 第三节 等式的性质与不等式的性质 作业

第一章 第三节 等式的性质与不等式的性质基础夯实练1．若a ，b ∈R ，且a >|b |，则( ) A ．a <－b B ．a >b C ．a 2<b 2D.1a >1b解析：选B 由题意知a >|b |，当b ≥0时，a >b ，当b <0时，a >－b ，且a >0>b .综上可知，当a >|b |时，a >b 成立，故选B.2．(2021·绵阳南山中学月考)若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a <b ，则a ＋c <b ＋c C ．若a <b ，则ac >bc D ．若a <b ，则1a >1b解析：选B 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，排除A ；当c ＝0时，ac ＝bc ，排除C ；当a <0，b >0时，1a <1b，排除D ；由不等式的基本性质可知，B 正确．故选B.3．(2021·德州乐陵第一中学调研)已知－1<a <0，b <0，则b ，ab ，a 2b 的大小关系是( ) A ．b <ab <a 2b B ．a 2b <ab <b C ．a 2b <b <abD ．b <a 2b <ab解析：选D 因为－1<a <0，b <0，所以ab >0，a 2b <0，所以ab 为三者中的最大值．因为－1<a <0，所以0<a 2<1，所以a 2b －b ＝(a 2－1)b >0，所以a 2b >b ，所以b <a 2b <ab .故选D.4．设a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列不等式正确的是( ) A.1a <1b B ．ac 2<bc 2 C.b a >a bD ．a 2>ab >b 2解析：选D 对于A ，令a ＝－2，b ＝－1，1a ＝－12，1b ＝－1，故A 错误；对于B ，当c ＝0时，则ac 2＝bc 2＝0，故B 错误；对于C ，令b ＝－1，a ＝－2，则b a <ab ，故C 错误；对于D ，∵a <b <0，∴a 2>ab ，且ab >b 2，故D 正确，故选D.5．条件甲：a >b >0，条件乙：1a <1b ，则甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 条件乙：1a <1b ，即为1a －1b <0⇔b －a ab <0，若条件甲：a >b >0成立则条件乙一定成立；反之，条件乙成立不一定有条件甲：a >b >0成立．所以甲是乙成立的充分不必要条件，故选A.6．(2021·陕西西安质检)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由(a －b )a 2＜0可知a 2≠0，则一定有a －b ＜0，即a ＜b ；但是a ＜b 即a －b ＜0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2＜0不一定成立，故“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件，选A.7．(多选题)若不等式|x －a |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数a 的取值可以是( )A ．－43B.12C.43D ．0解析：选BCD 由|x －a |<1可得a －1<x <a ＋1，它的充分不必要条件是13<x <12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<x <12是{x |a －1<x <a ＋1}的真子集，则⎩⎨⎧a －1≤13，a ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤a ≤43.8．(2021·黑龙江大庆实验中学开学考试)已知a >b >1,0<c <1，则下列不等式成立的是( )A ．c a >c bB ．ac <bcC ．log c a >log b cD ．ba c <ab c解析：选D 对于A 项，由a >b >1,0<c <1知，c a <c b ，所以A 项错误；对于B 项，由a >b >1,0<c <1知，ac >bc ，所以B 项错误；对于C 项，由a >b >1,0<c <1知，log c a <log c b ＝1log b c ，无法判断log c a 与log b c 的大小，所以C 项错误；对于D 项，由a >b >1,0<c <1知，a c －1<b c －1，则ab ·a c －1<ab ·b c －1，即ba c <ab c ，所以D 项正确．故选D.9．能够说明“设a ，b 是任意非零实数．若ba >1，则b >a ”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________.解析：要使“设a ，b 是任意非零实数．若ba >1，则b >a ”是假命题，只需满足b <a <0且a ，b ∈Z 即可，故可以取a ＝－1，b ＝－2.答案：－1，－2(答案不唯一)10．已知－1≤x ＋y ≤1,1≤x －y ≤3，则8x ·⎝⎛⎭⎫12y 的取值范围是________. 解析：8x·⎝⎛⎭⎫12y＝(23)x ·(2－1)y ＝23x －y .设3x －y ＝A (x ＋y )＋B (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝3，A －B ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝2.所以3x －y ＝(x ＋y )＋2(x －y )．由题意，得1≤(x ＋y )＋2(x －y )≤7，即1≤3x －y ≤7，所以21≤23x －y ≤27，即2≤23x －y ≤128.所以8x ·⎝⎛⎭⎫12y 的取值范围是[2,128]． 答案：[2,128]综合提升练11．(2021·北京通州期末)第38届世界遗产大会宣布：中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目．随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头．已知游船在顺水中的速度为v 1，在逆水中的速度为v 2(v 1≠v 2)，则此次游船行程的平均速度v 与v 1＋v 22的大小关系是( )A.v >v 1＋v 22B.v ＝v 1＋v 22 C.v <v 1＋v 22D.v ≥v 1＋v 22解析：选C 设两码头之间的距离为s ，则v ＝2ss v 1＋s v 2＝2v 1v 2v 1＋v 2，∴v －v 1＋v 22＝2v 1v 2v 1＋v 2－v 1＋v 22＝4v 1v 2－(v 1＋v 2)22(v 1＋v 2)＝－(v 1－v 2)22(v 1＋v 2)<0(v 1≠v 2)， ∴v <v 1＋v 22.故选C. 12．(多选题)(2021·重庆巴蜀中学开学考试)下列命题为真命题的是( ) A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2 B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2 C ．若a >b >0且c <0，则c a 2>c b 2D ．若a >b 且1a >1b，则ab <0解析：选BCD 对于A 项，当c ＝0时，不等式ac 2>bc 2不成立，所以A 项是假命题．对于B 项，由⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ，a <0，得a 2>ab .由⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，b <0，得ab >b 2.所以a 2>ab >b 2，所以B 项是真命题．对于C 项，由a >b >0得a 2>b 2>0，所以0<1a 2<1b 2.因为c <0，所以c a 2>cb 2，所以C 项是真命题．对于D 项，由1a >1b ，得1a －1b >0，所以b －a ab >0.因为a >b ，所以b －a <0，所以ab <0，所以D 项是真命题．故选BCD.13．(多选题)若a <b <－1，c >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a －1a >b －1bB ．a －1b <b －1aC ．ln(b －a )>0D.⎝⎛⎭⎫a b c >⎝⎛⎭⎫b a c解析：选BD 由函数y ＝x －1x 在(－∞，－1)上单调递增，得当a <b <－1时，a －1a <b －1b ，所以A 项错误．由函数y ＝x ＋1x 在(－∞，－1)上单调递增，得当a <b <－1时，a ＋1a <b ＋1b ，即a －1b <b －1a ，所以B 项正确．由a <b <－1，得b －a >0.但不确定b －a 与1的大小关系，所以ln(b －a )与0的大小关系不确定，所以C 项错误．由a <b <－1，得a b >1,0<ba <1.而c >0，所以⎝⎛⎭⎫a b c>1>⎝⎛⎭⎫b a c >0，所以D 项正确．故选BD.14．(多选题)(2021·浙江温州七校期末)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，这种符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．若ab ≠0且a <b ，则1a >1bB ．若0<a <1，则a 3<aC ．若a >b >0，则b ＋1a ＋1>baD ．若c <b <a 且ac <0，则cb 2<ab 2解析：选BC 对于A 项，取a ＝－2，b ＝1，则1a >1b 不成立，故A 项错误．对于B 项，若0<a <1，则a 3－a ＝a (a 2－1)<0，∴a 3<a ，故B 项正确．对于C 项，若a >b >0，则a (b ＋1)－b (a ＋1)＝a －b >0，∴a (b ＋1)>b (a ＋1)，∴b ＋1a ＋1>ba ，故C 项正确．对于D 项，若c <b <a 且ac <0，则a >0，c <0.而b 可能为0，因此cb 2<ab 2不一定成立，故D 项错误．故选BC.15．(多选题)(2021·山东聊城期末)已知a >b >1，给出下列不等式：①a 2>b 2；②a －b >a －b ；③a 3＋b 3>2a 2b ；④a ＋1b >b ＋1a.其中一定成立的有( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选ABD 因为a >b >1，所以a 2>b 2，故①正确；若a －b >a －b 成立，则a－b >a ＋b －2ab 成立，即ab >b 成立，即a >b >0成立，该条件显然成立，故②正确；取a ＝2，b ＝32，则a 3＋b 3＝8＋278<2a 2b ＝12，故③错误；若a ＋1b >b ＋1a 成立，即a －b ＋1b －1a >0成立，即(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0成立，该式显然成立，故④正确．故选ABD. 16．设m ＝e 43＋1e 44＋1，n ＝e 42＋1e 43＋1，则m ________n .(用“>”，“<”填空)解析：∵m －n ＝(e 43＋1)2－(e 42＋1)(e 44＋1)(e 44＋1)(e 43＋1)＝e 86＋1＋2e 43－e 86－e 42－e 44－1(e 44＋1)(e 43＋1)＝(e 43－e 42)＋(e 43－e 44)(e 44＋1)(e 43＋1)＝e 42(e －1)＋e 43(1－e )(e 44＋1)(e 43＋1)＝(e 43－e 42)(1－e )(e 44＋1)(e 43＋1)<0，所以m <n .答案：<17．若a >b >0，给出以下几个结论： ①b a <b ＋5a ＋5； ②lga ＋b 2<lg a ＋lg b2； ③a ＋1b >b ＋1a ；④a －b >a －b .其中正确的是________.(请填写所有正确结论的序号)解析：因为a >b >0，所以b a －b ＋5a ＋5＝5(b －a )a (a ＋5)<0，则b a <b ＋5a ＋5，因此①正确；因为a >b >0，所以lg a ＋b 2>lg ab ＝lg a ＋lg b 2，因此②不正确；因为a >b >0，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1b －⎝⎛⎭⎫b ＋1a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0，因此③正确；因为a >b >0，所以可取a ＝2，b ＝1，则a －b ＝2－1<2－1＝1＝a －b ，因此④不正确．答案：①③18．为了满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400 m 2的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m 2，月租费为x 万元；每间肉食水产类店面的建造面积为20 m 2，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%.(1)两类店面间数的建造方案为________种．(2)市场建成后，所有店面全部租出，为了保证任何一种建设方案平均每间店面的月租费不低于每间蔬菜水果类店面的月租费的90%，则x 的最大值为________.解析：设蔬菜水果类和肉食水产类店面的间数分别为a ，b .(1)由题意得0.85×2400≥28a＋20b ≥0.8×2400.化简，得480≤7a ＋5b ≤510.又a ＋b ＝80，所以480≤7a ＋5(80－a )≤510，解得40≤a ≤55.所以a ＝40,41，…，55，共16种．(2)由题意得0.8b ＋ax 80≥0.9x .所以0.8b ＋(80－b )x ≥72x ，所以x ≤ 0.8b b －8＝0.8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋8b －8.因为b max ＝80－40＝40，所以x ≤0.8⎝⎛⎭⎫1＋832＝0.8×54＝1，即x 的最大值为1.答案：(1)16 (2)1。