高考专题23填空题解题方法(押题专练)高考理数二轮复习精品资料含答案
2023高考数学押题试卷【含答案】
2023高考数学押题试卷【含答案】2023高考数学押题试卷【含答案】对于数学，还是要多刷刷题目，检查关键结果。
解题过程中得到关键结果，要审查一下这个结果有没有错。
一旦出错，后面的解答也是费力不讨好。
下面是小编为大家整理的2023高考数学押题试卷，希望对您有所帮助!2023高考数学押题试卷2023高考数学押题试卷答案高考数学答题窍门1、审题要慢，答题要快有些考生只知道一味求快，往往题意未清，便匆忙动笔，结果误入歧途，即所谓欲速则不达，看错一个字可能会遗憾终生，所以审题一定要慢，有了这个“慢”，才能形成完整的合理的解题策略，才有答题的“快”。
2、运算要准，胆子要大高考没有足够的时间让你反复验算，更不容你一再地变换解题方法，往往是拿到一个题目，凭感觉选定一种方法就动手做，这时除了你的每一步运算务求正确外，还要求把你当时的解法坚持到底，也许你选择的不是最好的方法，但如回头重来将会花费更多的时间，当然坚持到底并不意味着钻牛角尖，一旦发现自己走进死胡同，还是要立刻迷途知返。
3、先易后难，敢于放弃能够增强信心，使思维趋向，对发挥水平极为有利;另一方面如果先做难题，可能会浪费好多时间，即使难关被攻克，却已没有时间去得那些易得的分数，所以关键时刻，敢于放弃，也是一种明智的选择。
有些解答题第一问就很难，这时可以先放弃第一问，而直接使用第一问的结论解决第2问、第3问。
4、先熟后生，合理用时面对熟悉的题目，自然象吃了定心丸，做起来得心应手，会使你获得好心情，并且可以在最短时间内完成，留下更多的时间来思考那些不熟悉的题目。
有些题目需花很多时间却只得到很少分数，有些题目只要花很少时间却有很高的分值。
所以应先把时间用在那些较易题或分值较高题目上，最大限度地提高时间的利用率。
高考数学答题方法1、函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2、如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法;3、面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
23全国统一考试冲刺押题卷2
23全国统一考试·冲刺押题卷二数学一.选择题:每小题5分.1.已知集合A={x ∣∣x ∣<1},B={y ∣y=2x+1},则(C R A)∩B=( ) A. (1,+∞) B. [1,+∞) C. (-1,1) D. (2,+∞)2.若复数a+bi 4+3i(i 为虚数单位,a,b ∈R 且b ≠0)为纯虚数,则ab=( ) A. 43B. -43C. 34D. -343.生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响,常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位:mg)与时间t(单位:年)近似满足关系式y=λ(1-3-t λ),λ≠0,其中λ为抗生素的残留系数.当t=8时,y=89λ,则λ=( )A.12B.13C.23D.144.角谷猜想,也叫3n+1猜想,是由日本数学家角谷静夫发现的,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1;如果它是偶数,则对它除以2,如此循环最终都能够得到1,如:取n=10,根据上述过程,得出10,5,16,8,4,2,1,共7个数.上述过程得到的7个整数中,随机选取两个不同的数,则两个数都是奇数的概率为( ) A. 115B. 215C. 121D. 2215.在△ABC 中,D 为线段BC 上一点,且BD=2CD,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ 6.在△ABC 中，“tanAtanB=1”是“Sin 2A+sin 2B=1”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设a=0.98+sin0.01,b=e-0.01,c=12(log 20222023+log 20232022),则( ) A. a>b>c B. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a8.已知函数f(x)=sin(2x+ψ+π3)(∣ψ∣<π2)的一个极大值点为x=π3,若f(x)在区间[-a,a](a>0)上单调递增,则a 的最大值为( ) A. π6B. π3C. π2D. 2π3二.选择题:全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知A,B 是抛物线C:y 2=4x 上两动点,F 为抛物线C 的焦点,则下列说法正确的是( )A.直线AB 过焦点F 时,∣AB ∣最小值为4B.直线AB 过焦点F 且倾斜角为60o时(点A 在第一象限),∣AF ∣=2∣BF ∣ C.若AB 中点M 的横坐标为3,则∣AB ∣最大值为8D.点A 坐标(4,4),且直线AF,AB 斜率之和为0,AF 与抛物线的另一交点为D,则直线BD 的方程为4x+8y+7=0 10.如图,已知正四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1的上下底面边长分别为√2,2√2,其顶点都在同一球面上,且该球的表面积为20π, 则侧棱长为( ) A. √2B. 2C. √6D. √1011.已知R 上的偶函数y=f(x)在区间[-1,0]上单调递增,且恒有f(1-x)+f(1+x)=0成立,则下列说法正确的是( ) A. f(x)在[1,2]上是增函数 B. f(x)的图象关于点(1,0)对称 C.函数f(x)在x=2处取得最小值D.函数y=f(x)没有最大值12.若实数x,y 满足4lnx+2ln(2y)≥x 2+8y-4,则( ) A. xy=√24 B. x+y=√2 C. x+2y=12+√2 D. x 2y=1三.填空题:每小题5分.13.已知二项式(√x +√x )n(n ∈N *)的展开式中最后三项的二项式系数和为79,则n=______.14.已知函数f(x)=sinx+cosx+2sinxcosx+2,则f(x)的最大值为______.15.边长为2的正方形,经如图的方式裁剪后,可围成一个正四棱锥,则此正四棱锥的外接球的表面积的最小值为______. 16.已知椭圆C: x 2a2+y 2b2=l(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F ’,离心率为23,A 为椭圆C 的左顶点,且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5,过原点的直线交椭圆C 于M,N 两点,则1|FM|+4|FN|的取值范围为______. 四.解答题.17.(10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n=1=λS n -1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n =λ;(2)当数列{a n }为 等差数列时,记数列{an 3n}的前n 项和为T n ,证明:T n <1.18.(12分)如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,AF ∥DE,DE=2AF=2AD,DE ⊥AD,AC ⊥BE.(1)证明:平面ADEF ⊥平面ABCD;(2)求平面ACE 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值.19.(12分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且2sinA−sinC sinC =CA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CB ⃗⃗⃗⃗⃗ BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)求角B 的大小;(2)若D 是AC 边上的一点,且AD:DC=1:2,BD=1,当a+3c 取最大值时,求△ABC 的面积.20.(12分)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果,需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内,一段时间后测量小白鼠的某项指标值,按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组,绘制频率分布直方图如图.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只,其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立. (1)填写下面的2×2列联表,并根据列联表及α=0.05的独立性检验, 判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关. (2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性,对第一次注射疫苗后没有 产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗,结果又有20只小白 鼠产生抗体.(ⅰ)用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后 产生抗体的概率p;(ⅱ)以(ⅰ)中确定的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率.进行人体接种试验,记n 个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示.当x=99时,P(X)取最大值,求参加人体接种试验的人数n 及E(X).参考公式:χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d);(其中n=a+b+c+d 为样本容量).21.(12分)已知双曲线C: x 2a2-y 2b 2=l(a>0,b>0)的离心率是√5,点F 是双曲线C 的一个焦点，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离是2.(1)求双曲线C 的标准方程;(2)设点M 在直线x=14上,过点M 作两条直线l 1,l 2,直线l 1与双曲线C 交于A,B 两点,直线l 2与双曲线C 交于D,E 两点,若直线AB 与直线DE 的倾斜角互补,证明:|MA||MD|=|ME||MB|.22.(12分)已知函数f(x)=e x-12x 2(e 为自然对数的底数).(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)设g(x)=f(x)+3x+1,当x 1+x 2≥0,求证:g(x 1)+g(x 2)≥4.抗体指标值合计 小于60 不小于60有抗体 没有抗体 合计α 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025x α 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024。
最新高三高考数学二轮复习专题训练 23 Word版含答案
最新高三高考数学二轮复习专题训练+23+Word 版含答案8、已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是。
C 1(30)F -，20y -= （1）求双曲线的方程；C（2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围。
(0)k k ≠l C N M ,MN812k 解：（1）设双曲线的方程为，C 22221(00)x y a b a b-=>>，由题设得解得，229a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线的方程为；C 22145x y -=（2）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组，将①式代入②式，得，l (0)y kx m k =+≠11()M x y ，22()N x y ，221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩， ① ②22()145x kx m +-= 整理得，222(54)84200k x kmx m ----= 此方程有两个不等实根，于是，2540k -≠ 且，222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+> 整理得......③22540m k +->由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，，MN 00()x y ，12024254x x km x k +==-002554my kx m k=+=- 从而线段的垂直平分线的方程为，MN 225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭此直线与轴，轴的交点坐标分别为，，x y 29054kmk ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，29054mk ⎛⎫⎪-⎝⎭， 由题设可得，整理得，，2219981254542kmm k k =--222(54)k m k -=0k ≠将上式代入③式得，222(54)540k k k-+->整理得，，解得或，22(45)(45)0k k k --->0k ≠02k <<54k > 所以的取值范围是。
2020年高考数学(理)二轮专题学与练 23 填空题解题方法与技巧(高考押题)(解析版)
高考押题专练1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B)＝_________. 【解析】因为A ＝{1,4}，B ＝{3,4}， 所以A ∪B ＝{1,3,4}， 因为全集U ＝{1,2,3,4}， 所以∁U (A ∪B)＝{2}． 【答案】{2}2．已知复数z ＝1－i2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为________．【解析】z ＝1－i 2i ＝i 1－i 2i 2＝1＋i －2＝－12－12i.所以z 的虚部为－12.【答案】－123．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取________人．【解析】设足球兴趣小组中抽取人数为n ，则n 24＝40120，所以n ＝8.【答案】84．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．【解析】由题意，n ＝1，a ＝1，第1次循环，a ＝5，n ＝3，满足a ＜16，第2次循环，a ＝17，n ＝5，不满足a ＜16，退出循环，输出的n 的值为5.【答案】55．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为__________． 【解析】从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2个，故这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13.【答案】136．设x ∈R ，则p ：“log 2x<1”是q ：“x 2－x －2<0”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)【解析】由log 2x<1，得0<x<2，由x 2－x －2<0可得－1<x<2，所以p ⇒q ，q ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件．【答案】充分不必要7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为________．【解析】由题意，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离d ＝bca 2＋b2＝b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率e ＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.【答案】58．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________． 【解析】由题意q≠1，设等比数列的公比为q(q≠1)， 由a 1＝1，S 4－5S 2＝0，得1－q 41－q －5(1＋q)＝0，化简得1＋q 2＝5，解得q ＝±2. ∵数列{a n }的各项均为正数， ∴q ＝2.故S 5＝1－251－2＝31.【答案】319.已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x<π)，且f(α)＝f(β)＝13(α≠β)，则α＋β＝__________. 【解析】由0≤x<π，知π3≤2x ＋π3<7π3，因为f(α)＝f(β)＝13<32，所以⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋⎝⎛⎭⎫2β＋π3＝2×3π2，所以α＋β＝7π6. 【答案】7π610．不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________． 【答案】(－∞，－12]∪[12，＋∞)【解析】由4－x 2－kx ＋1≤0，得4－x 2≤kx －1，设f(x)＝4－x 2，g(x)＝kx －1，显然函数f(x)和g(x)的定义域都为[－2,2]．令y ＝4－x 2，两边平方得x 2＋y 2＝4，故函数f(x)的图象是以原点O 为圆心，2为半径的圆在x 轴上及其上方的部分．而函数g(x)的图象是直线l ：y ＝kx －1在[－2,2]内的部分，该直线过点C(0，－1)，斜率为k. 如图，作出函数f(x)，g(x)的图象，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点，可知k 的几何意义就是半圆上的点与点C(0，－1)连线的斜率．由图可知A(－2,0)，B(2,0)，故k AC ＝0－－1－2－0＝－12，k BC ＝0－－12－0＝12.要使直线和半圆有公共点，则k≥12或k≤－12.所以k 的取值范围为(－∞，－12]∪[12，＋∞)．11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac ＝b 2－a 2，A ＝π6，则B ＝________.【答案】π3【解析】由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2＋ac 2bc ＝a ＋c 2b ＝32，∴a ＋c ＝3b ，由正弦定理得：sinA ＋sinC＝3sinB ，又C ＝5π6－B ，∴sinA ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－B ＝3sinB ，即12＋12cosB ＋32sinB ＝3sinB ，即12cosB －32sinB ＝cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－12，∴B ＋π3＝2π3，B ＝π3. 12．a ＝ln 12012－12012，b ＝ln 12013－12013，c ＝ln 12014－12014，则a 、b 、c 的大小关系为________．【答案】a>b>c【解析】令f(x)＝lnx －x ，则f ′(x)＝1x －1＝1－x x .当0<x<1时，f ′(x)>0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数． ∵1>12012>12013>12014>0，∴a>b>c. 13.如图，已知球O 的球面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．【答案】6π【解析】如图，以DA 、AB 、BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD|＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.14．设(x －3)2＋(y －3)2＝6，则yx 的最大值为________．【答案】3＋22【解析】设yx ＝k ，则可转化为直线kx －y ＝0与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点时k 的取值范围，用代数法(Δ≥0)或几何法(d≤r)解决．15.已知P(x ，y)是椭圆x 216＋y 29＝1上的一个动点，则x ＋y 的最大值是________．【答案】5【解析】令x ＋y ＝t ，则问题转化为直线x ＋y ＝t 与椭圆有公共点时，t 的取值范围问题． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 29＝1y ＝－x ＋t 消去y 得，25x 2－32tx ＋16t 2－144＝0， ∴Δ＝(－32t)2－100(16t 2－144)＝－576t 2＋14400≥0， ∴－5≤t≤5，∴x ＋y 的最大值为5.16．已知a 、b 是正实数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的取值范围是________． 【答案】[6，＋∞)【解析】∵a 、b 是正实数且ab ＝a ＋b ＋3，故a 、b 可视为一元二次方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两个根，其中a ＋b ＝m ，ab ＝m ＋3，要使方程有两个正根，应有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4m －12≥0，m>0，m ＋3>0.解得m≥6，即a ＋b≥6，故a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)．17.已知x>0，比较x 与ln(1＋x)的大小，结果为________． 【答案】x>ln(1＋x)【解析】解法一：令x ＝1，则有1>ln2， ∴x>ln(1＋x)．解法二：令f(x)＝x －ln(x ＋1)． ∵x>0，f′(x)＝1－11＋x ＝x 1＋x >0，又因为函数f(x)在x ＝0处连续， ∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 从而当x>0时，f(x)＝x －ln(1＋x)>f(0)＝0. ∴x>ln(1＋x)．解法三：在同一坐标系中画出函数y ＝x 与y ＝ln(1＋x)的图象，可见x>0时，x>ln(1＋x)．18．在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的正切值为________．【答案】2【解析】将此三棱锥补成正方体，如图所示．连接CM ，过点O 作ON ⊥CM 于N ，则ON ⊥平面ABC ．∴OM 与平面ABC 所成的角是∠OMC ．在Rt △OMC 中，tan ∠OMC ＝OC OM ＝OC22OC ＝2，即OM 与平面ABC 所成角的正切值为 2.19．sin 2(α－30°)＋sin 2(α＋30°)－sin 2α的值等于________． 【答案】12【解析】问此式的“值”等于多少？隐含此结果与α无关，于是不妨对α进行特殊化处理．不妨取α＝0°，则sin 2(α－30°)＋sin 2(α＋30°)－sin 2α＝14＋14－0＝12.20．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于________．【答案】1【解析】依题意，可取一个特殊的等差数列：13,11,9,7,5,3,1，－1，－3，其中a 5＝5，a 3＝9满足条件．可求得S 9＝S 5＝45，故S 9S 5＝1.21．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lnx －x 2＋2x x>02x ＋1 x≤0的零点个数为________个．【答案】3【解析】依题意，在x>0时可以画出y ＝lnx 与y ＝x 2－2x 的图象，可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，所以函数f(x)有3个零点．22.已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．【答案】212【解析】a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝n 2－n ＋33. 所以a n n ＝33n ＋n －1，设f(x)＝33x ＋x －1(x>0)，令f ′(x)＝－33x 2＋1>0，则f(x)在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n ∈N *，所以当n ＝5或6时f(x)有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以a n n 的最小值为a 66＝212.23．已知函数f(x)＝(2x ＋1)e x ，f′(x)为函数y ＝f(x)的导函数，则f′(0)＝________． 【解析】∵f(x)＝(2x ＋1)e x ， ∴f′(x)＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， ∴f′(0)＝3e 0＝3. 【答案】324．在平面直角坐标系中，点A ，点B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．【解析】由题意，以AB 为直径的圆过坐标原点O(0，0)，当O(0，0)到直线2x ＋y －4＝0距离为圆的直径时，圆C 的面积最小． 由点到直线的距离2r ＝|2×0＋0－4|22＋12＝45，因此r ＝25，圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝4π5.【答案】4π525．若函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f(2)＝________． 【解析】∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2， 又f(2)＝f(0)＝0，因此f ⎝⎛⎭⎫－52＋f(2)＝－2＋0＝－2. 【答案】－226．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．【解析】用正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．【答案】①②④27．如图所示，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为________．【解析】∵S 扇形＝2×12×12×π4＋14×π×12＝π2，∴S M ＝12×2×2－S 扇形＝2－π2，∴所求概率为P ＝2－π22＝1－π4.【答案】1－π428．知函数f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【解析】由题意可以画出函数f(x)在[－3，4]上的图象，如图所示，函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点，即y ＝f(x)与y ＝a 有10个交点，由图可知实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.【答案】⎝⎛⎭⎫0，12 29．若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b)⊥(a －2b)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是________．【解析】由(a ＋2b)⊥(a －2b)，得(a ＋2b)·(a －2b)＝0，即|a|2－4|b|2＝0，则|a|＝2|b|， cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(a ＋b)·(a －b) |a ＋b||a －b|＝a 2－b 2a 2＋2a·b ＋b 2·a 2－2a·b ＋b 2＝3b 221b 2＝217. 【答案】21730．已知函数f(x)＝e x －1－tx ，∃x 0∈R ，f(x 0)≤0，则实数t 的取值范围为________．【解析】若t ＜0，令x ＝1t ，则f ⎝⎛⎭⎫1t ＝e 1t －1－1＜1e －1＜0；若t ＝0，f(x)＝e x －1＞0，不合题意；若t ＞0，只需f(x)min ≤0，求导数，得f′(x)＝e x －1－t ，令f′(x)＝0，解得x ＝ln t ＋1.当x ＜ln t ＋1时，f′(x)＜0，f(x)在区间(－∞，ln t ＋1)上是减函数；当x ＞ln t ＋1时，f′(x)＞0，f(x)在区间(ln t ＋1，＋∞)上是增函数．故f(x)在x ＝ln t ＋1处取得最小值f(ln t ＋1)＝t －t(ln t ＋1)＝－tln t ．所以－tln t≤0，由t ＞0，得ln t≥0，所以t≥1，综上，t 的取值范围为(－∞，0)∪[1，＋∞)．【答案】(－∞，0)∪[1，＋∞)31．已知数列{a n }是一个等差数列，首项a 1＞0，公差d≠0，且a 2，a 5，a 9依次成等比数列，则使a 1＋a 2＋…＋a k ＞100a 1的最小正整数k 的值是________．【解析】设数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 5＝a 1＋4d ，a 9＝a 1＋8d. 由a 2，a 5，a 9依次成等比数列得a 2a 9＝a 25， 即(a 1＋d)(a 1＋8d)＝(a 1＋4d)2， 化简上式得 a 1d ＝8d 2， 又d ＞0，所以a 1＝8d.所以a 1＋a 2＋…＋a ka 1＝a 1k ＋k(k －1)2da 1＝k ＋k(k －1)16＞100，k ∈N *，解得k min ＝34.【答案】34 32．抛物线y 2＝2px(p ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有一个相同的焦点F 2(2,0)，而双曲线的另一个焦点为F 1，抛物线和双曲线交于点B ，C ，若△BCF 1是直角三角形，则双曲线的离心率是________．【解析】由题意，抛物线方程为y 2＝8x ，且a 2＋b 2＝4，设B(x 0，y 0)，C(x 0，－y 0) (x 0＞0，y 0＞0)．则可知∠BF 1C 为直角，△BCF 1是等腰直角三角形，故y 0＝x 0＋2，y 20＝8x 0，解得x 0＝2，y 0＝4，将其代入双曲线方程得4a 2－16b 2＝1.再由a 2＋b 2＝4，解得a ＝22－2，所以e ＝222－2＝2＋1.【答案】2＋133．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c6cos C ，则cos Acos Bcos C＝________.【解析】由题意及正弦定理得tan A 2＝tan B 3＝tan C6，可设 tan A ＝2k ，tan B ＝3k ，tan C ＝6k ，k ＞0，而在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan Atan Btan C ，于是k ＝116，从而cos Acos Bcos C ＝320×215×112＝110. 【答案】11034．已知函数f(x)＝2x 3＋7x 2＋6xx 2＋4x ＋3，x ∈[0,4]，则f(x)最大值是________．【解析】法一：当x ＝0时，原式值为0；当x≠0时，由f(x)＝2x 3＋7x 2＋6xx 2＋4x ＋3＝2x ＋7＋6x x ＋4＋3x ，令t ＝2x ＋7＋6x ，由x ∈(0,4]，得t ∈[2＋3，＋∞)，f(x)＝g(t)＝2t t 2＋1＝2t ＋1t .而t ＋1t ≥4，当且仅当t ＝2＋3时，取得等号，此时x ＝3，所以f(x)≤12.即f(x)的最大值为12.法二：f(x)＝2x(x 2＋4x ＋3)－x 2x 2＋4x ＋3＝2x x 2＋4x ＋3－⎝⎛⎭⎫x x 2＋4x ＋32， 于是令t ＝xx 2＋4x ＋3，所求的代数式为y ＝2t －t 2.当x ＝0时，t ＝0；当x≠0时，有t ＝1x ＋4＋3x ≤123＋4＝2－32，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－32，当t ＝2－32时， 2t －t 2有最大值12，此时x ＝ 3.【答案】1235．已知复数z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，满足z －2＋az ＝0，则|z ＋a |＝________.【解析】由题意得z －＝1＋3i ，所以z －2＋az ＝－2＋23i ＋a －a 3i ＝(a －2)－(a －2)3i ＝0，所以a ＝2，则|z ＋a |＝|1－3i ＋2|＝32＋(3)2＝2 3.【答案】2336．如果函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)且f (t )＝2，那么a ＝________；f (－t )＝________. 【解析】因为函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)，所以f (π)＝π2sin π＋a ＝1，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2sin x ＋1.设g (x )＝x 2sin x ，则易得函数g (x )为奇函数，又因为f (t )＝g (t )＋1＝2，所以g (t )＝1，g (－t )＝－g (t )＝－1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－1＋1＝0.【答案】1 037．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)．若S n ＝32n 2＋12n ，b 1＝a 1，b 2＝a 3，则a n ＝________，T n ＝________.【解析】由题意得a 1＝S 1＝32×12＋12×1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2－12(n －1)＝3n－1，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3n －1(n ∈N *)，所以b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝8，所以等比数列{b n }的公比为4，则T n ＝2(1－4n )1－4＝23(4n －1)(n ∈N *)． 【答案】3n －1 23(4n －1) 38．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积为________；体积为________．【解析】由三视图知，该几何体为长、宽、高分别为2,2,3的长方体挖去同底等高的正四棱锥后所得．因为四棱锥的侧棱长为32＋(2)2＝11，所以四棱锥的侧面高为(11)2－12＝10，所以该几何体的表面积S ＝22＋4×2×3＋4×12×2×10＝28＋410，体积V ＝22×3－13×22×3＝8. 【答案】28＋410 839．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017x 2 017，则各项系数之和为________，a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为________．【解析】令x ＝1，则各项系数之和为(1－2×1)2 017 ＝－1.令x ＝0得a 0＝(1－2×0)2 017＝1，令x ＝12得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝⎝⎛⎭⎫1－2×12 2 017＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 017a2 017＝－a 0＝－1. 【答案】－1 －140．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋3y ＝42，则xy ＋5x ＋4y 的最小值为________．【解析】因为x ，y 为正实数，所以由xy ＋2x ＋3y ＝42得y ＝42－2x x ＋3>0，所以0<x <21，则xy ＋5x ＋4y ＝x (42－2x )x ＋3＋5x ＋4(42－2x )x ＋3＝3⎝⎛⎭⎫x ＋3＋16x ＋3＋31≥3×2 (x ＋3)·16x ＋3＋31＝55，当且仅当x ＋3＝16x ＋3，即x ＝1时等号成立，所以xy ＋5x ＋4y 的最小值为55.【答案】5541．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将△ABD 沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC 长度在⎣⎡⎦⎤102，132内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为________．【解析】如图①，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为点O ，过点C 作直线AO 的垂线，垂足为点E ，则易得AO ＝OE ＝32，CE ＝1.在图②中，由旋转的性质易得点A 在以点O 为圆心，AO 为半径的圆上运动，且BD 垂直于圆O 所在的平面，又因为CE ∥BD ，所以CE 垂直于圆O 所在的平面，设当A 运动到点A 1处时，CA 1＝132，当A 运动到点A 2处时，CA 2＝102，则有CE ⊥EA 1，CE ⊥EA 2，则易得EA 1＝32，EA 2＝62，则易得△OEA 2是以O 为顶点的等腰直角三角形，在△OEA 1中，由余弦定理易得cos ∠EOA 1＝－12，所以∠EOA 1＝120°，所以∠A 1OA 2＝30°，所以点A 所形成的轨迹为半径为OA ＝32，圆心角为∠A 1OA 2＝30°的圆弧，所以轨迹的长度为30°180°×π×32＝312π.【答案】312π。
高考数学(理)二轮专题练习：填空题的解法(含答案)
填空题的解法【题型特色概括】1．填空题的特色填空题是不要求写出计算或推理过程，只要要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的差别：第一，填空题没有备选项，所以，解答时有不受诱误扰乱之利处，但也出缺少提示之不足；第二，填空题的结构常常是在一个正确的命题或断言中，抽出此中的一些内容(既能够是条件，也能够是结论)，留下空位，让考生独立填上，考察方法比较灵巧．从历年高考成绩看，填空题得分率向来不是很高，因为填空题的结果一定是数值正确、形式规范、表达式最简，稍出缺点，即是零分．所以，解填空题要求在“快速、正确”上下功夫，由于填空题不需要写出详细的推理、计算过程，所以要想“快速”解答填空题，则千万不行“小题大做”，而要达到“正确”，则一定合理灵巧地运用适合的方法，在“巧”字上下功夫．2．解填空题的基根源则解填空题的基根源则是“小题不可以大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法：直接法、特例法、数形联合法、结构法、归纳推理法等．方法一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法例等知识，经过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要擅长透过现象看本质，自觉地、存心识地采纳灵巧、简捷的解法．例 1已知椭圆 C：x2＋y2＝ 1 的左，右焦点分别为F1， F2，椭圆 C 上点 A 知足 AF2⊥ F1F2 .若43→ →)点 P 是椭圆 C 上的动点，则 F1P·F2A的最大值为 (分析由椭圆方程知 c＝4－ 3＝1，所以 F1 (－1,0)，F2(1,0)，因为椭圆 C 上点 A 知足 AF2⊥ F 1F2，则可设 A(1， y0)，代入椭圆方程可得y02＝9，所43以 y0＝±2.设 P(x1， y1)，→→→ →则 F 1P＝ (x1＋1， y1)，F 2A＝ (0，y0)，所以 F 1P·F2A＝ y1y0，因为点 P 是椭圆 C 上的动点，所以－ 3≤y1≤→ → 3 3. 3， F1P·F2A的最大值为2答案33 2思想升华直接法是解决心算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要依据题目的要求灵巧办理，多角度思虑问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵巧应用，将计算过程简化进而获得结果，这是快速正确地求解填空题的重点．已知复数 z＝ a＋ (a－ 1)i(a∈R，i 为虚数单位 )为实数，则复数zi 在复平面上所对应的点的坐标为 ________．答案(0,1)分析因为复数 z＝a＋ (a－ 1)i( a∈R，i 为虚数单位 )为实数，所以 a－1＝ 0，解得 a＝1.所以复数 z＝ 1，所以 zi ＝i.所以复数 zi在复平面上所对应的点的坐标为 (0,1)．方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确立的量，但填空题的结论独一或题设条件中供给的信息暗示答案是一个定值时，能够将题中变化的不定量选用一些切合条件的适合特别值(或特别函数，或特别角，特别数列，图形特别地点，特别点，特别方程，特别模型等)进行办理，进而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例 2以下图，在平行四边形ABCD中， AP⊥ BD，垂足为 P，且→ →AP＝ 3，则 AP ·AC＝ ________.分析方法一→ →→→→→→ →→∵ AP·AC＝ AP·(AB ＋BC) ＝ AP·AB＋ AP·BC→ →→→→→ →→ →＝ AP·AB＋AP ·(BD ＋ DC )＝ AP·BD ＋2AP·AB，→ →∵ AP⊥ BD ，∴AP·BD ＝ 0.→ →→ →→ 2又∵ AP·AB＝ |AP||AB|cos∠ BAP＝ |AP|，→ →→ 2∴ AP·AC＝2|AP| ＝ 2×9＝ 18.方法二把平行四边形 ABCD 当作正方形，则 P 点为对角线的交点，→ →AC＝ 6，则 AP·AC＝ 18.答案18思想升华求值或比较大小等问题的求解均可利用特别值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或许有多种答案的填空题，则不可以使用该种方法求解．此题中的方法二把平行四边形看作正方形，进而减少了计算量．→→ →→ →(1) 如图，在△ ABC 中，AD ⊥ AB，BC＝ 3 BD，|AD|＝ 1，则 AC·AD＝________.(2)cos2α＋ cos2(α＋120 °)＋ cos2( α＋ 240 °)的值为 ________________ ．3答案(1) 3(2)→分析(1) 不如取 |BD |＝ 2，→π则 |BC|＝ 23，∠ ADB＝，3→ →→ → →→→ →→∴ AC·AD＝ (BC－ BA ) ·AD＝ BC·AD － BA·ADπ＝ 2 3×1×cos ＋0＝ 3.3(2) 令α＝0°，则原式＝2223 cos 0°＋ cos 120 °＋ cos 240 °＝ 2.方法三数形联合法 (图解法 )对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则常常能够借助图形的直观性，快速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn 图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．例 3已知函数f(x)＝ x|x－ 2|，则不等式f(2－ x) ≤f(1)的解集为 ________．分析函数 y＝ f(x)的图象如图，由不等式f( 2－ x)≤f(1) 知， 2－x≤ 2＋ 1，进而获得不等式f(2－ x)≤f(1) 的解集为 [－ 1，＋∞)．答案[－1，＋∞)思想升华图解法本质上就是数形联合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并联合所学知识即可直接获得相应的结论，这也是高考命题的热门．正确运用此类方法的重点是正确掌握各样式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的有关结论求出结果．x≥0，(2013 ·北京 )设 D 为不等式组 2x－ y≤0，表示的平面地区．地区 D 上的点与点 (1,0)x＋ y－3≤0之间的距离的最小值为 ________．答案255分析作不等式组表示的平面地区，以下图 (△OAB 及其内部 )，易察看知，所求最小值为点 P(1,0)到 2x－ y＝0|2 ×1－ 0|＝2 5 .的距离 d＝22＋－25方法四结构法结构型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特别性结构出新的数学模型，进而简化推理与计算过程，使较复杂的数学识题获得简捷的解决，它根源于对基础知识和基本方法的累积，需要从一般的方法原理中进行提炼归纳，踊跃联想，横向类比，从以前碰到过的近似问题中找寻灵感，结构出相应的函数、概率、几何等详细的数学模型，使问题快速解决．例 4 (1)如图，已知球O 的球面上有四点 A ， B ，C ， D ， DA ⊥平面 ABC ，AB ⊥BC ， DA ＝ AB＝ BC ＝ 2，则球 O 的体积等于 ________．e 4 ， e 5， e 6(2) 16 25 36(此中 e 为自然对数的底数 )的大小关系是 ________． 分析 (1) 如图，以 DA ，AB ，BC 为棱长结构正方体，设正方体的外接球球 O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以 |CD|＝2 2＋2 2＋2 2＝ 2R ，所以 R ＝6，故球 O 的体积V ＝4πR 323＝ 6π.e 4 e 4 e 5 e 5 e 6 e 6e xe 4，f(5)＝ e 5，f(6)＝ e 6(2) 因为 16 ＝ 42，25 ＝ 52， 36 ＝ 62，故可结构函数 f(x)＝ x 2，于是 f(4) ＝ 16 25 36.e x e x ·x 2－ e x ·2x e x x 2－ 2x 而f ′(x)＝ ( x 2) ＝′ x 4＝x 4，令 f ′(x)>0 得 x<0 或 x>2，即函数 f(x)在 (2，＋ ∞)上单一递加，所以有f(4)< f(5)< f(6)，即e 4e 5 e 616<25<36.e 4 e 5 e 6答案(1) 6π (2)16<25<36思想升华 结构法本质上是化归与转变思想在解题中的应用，需要依据已知条件和所要解决的问题确立结构的方向，经过结构新的函数、不等式或数列等新的模型，进而转变为自己熟习的问题．第 (1)题奇妙地结构出正方体，而球的直径恰巧为正方体的体对角线，问题很简单获得解决．1 －1 ， b ＝ ln1 － 1， c ＝ ln1 －1，则 a ， b ，c(1)已知 a ＝ ln 2 013 2 0132 0142 014 2 015 2 015的大小关系为 ________．(2) 已知 a 、b 为不垂直的异面直线， α是一个平面，则 a 、b 在 α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条相互垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上边的结论中，正确结论的序号是________( 写出全部正确结论的序号 )．答案 (1) a>b>c (2) ①②④分析(1) 令 f(x)＝ ln x － x ，则 f ′(x)＝ 1－ 1＝1－xxx.当 0<x<1 时， f ′(x)>0 ，即函数 f(x)在 (0,1)上是增函数．∵1>111， ∴ a>b>c. 2 013>2 014>2 015>0(2) 用正方体 ABCD — A 1B 1C 1 D 1 例 明 A 1 D 1 与 BC 1 在平面 ABCD 上的投影 相互平行， AB 1 与 BC 1 在平面ABCD上的投影相互垂直， BC 1 与DD 1 在平面ABCD上的投影是一条直 及其外一点．故①②④ 正确．方法五推理法做对于 推理的填空 的 候，一般是由 目的已知能够得出几个(或直接 出了几个)，而后依据 几个 能够 出一个更一般性的 ，再利用 个一般性的 来解决 ． 推理是从个 或特别 到一般性 的推演 程， 里能够勇敢地猜想．例 5察以下算式： 13 ＝1,23＝ 3＋ 5,33＝ 7＋ 9＋ 11,43＝ 13＋ 15＋ 17＋ 19，⋯ ，若某数 m 3按上述 律睁开后， 等式右 含有“2 015 ”个数，m ＝ ________.分析由 意可得第n 个算式的左 是 n 3，右 是n 个 奇数的和， 第 n 个算式的第一个数 a n ， 有 a 2－ a 1＝3－ 1＝ 2，a 3－ a 2＝ 7－ 3＝ 4，⋯，a n － a n － 1＝2(n － 1)，以上 n － 1 个式n －＋n －＝ 1 981，a 46＝ 2 071，子相加可得a n － a 1＝，故 a n ＝ n 2－ n ＋ 1，可得 a 452故可知 2 015 在 453 的睁开式中，故 m ＝45.答案 45思 升 推理主要用于与自然数有关的等式或不等式的 中，一般在数列的推理中常波及．即通 前几个等式或不等式出 ，找出其 律，即找出一般的 与 数之 的关系，一般的有平方关系、立方关系、指数 化关系或两个相 的自然数或奇数相乘基本关系，需要 相 的数字的 律 行 察、 ，一般 等式或不等式中的 的 构保持一致．(1) 古希腊 达哥拉斯学派的数学家研究 各样多 形数，如三角形数 1,3,6,10，⋯，第 n 个三角形数nn ＋＝ 1n 2＋ 1n ， 第 n 个 k 形数 N(n ， k)( k ≥ 3)，以以下出了部分222k 形数中第 n 个数的表达式：三角形数1 21N(n,3)＝n＋ n ，22正方形数 N(n,4)＝ n 2，五 形数3 21N(n,5)＝n－ n ，22六 形数N(n,6)＝ 2n 2－ n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯能够推N(n ， k)的表达式，由此 算N(10,24)＝ ____________.(2) 用火柴棒 “金 ”，如 所示：依据上边的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ________．答案(1)1 000 (2)6n＋ 2分析22k－ 22＋4－ k(1) 由 N(n,4)＝ n ，N(n,6)＝ 2n － n，能够推断：当 k 为偶数时， N(n，k)＝n2n，2∴ N(10,24)＝24－2×100＋4－ 24×1022＝ 1 100－ 100＝ 1 000.(2) 察看题图①，共有 8 根火柴，此后挨次增添 6 根火柴，即组成首项为8，公差为6 的等差数列，所以，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋ 2.1．解填空题的一般方法是直接法，除此之外，对于带有一般性命题的填空题可采纳特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形联合法．解题时，经常需要几种方法综合使用，才能快速获得正确的结果．2．解填空题不要求求解过程，进而结论是判断能否正确的独一标准，所以解填空题时要注意以下几个方面：(1)要仔细审题，明确要求，思想谨慎、周祥，计算有据、正确；(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；(3)要重视对所求结果的查验及书写的规范性．。
2023年高考数学押题预测卷及答案解析(全国甲卷理科)
2023年高考数学押题预测卷及答案解析（全国甲卷理科）第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合{}0,2,4A =，{}(3)0B x x x =-≤，则A B = （）A ．{}0,2B ．{}2,4C ．{}0,2,4D ．{}2【答案】A【分析】根据二次函数不等式求得B ，再求得A B ⋂即可.【详解】由题意，{}{}(3)003B x x x x x =-≤=≤≤，又{}0,2,4A =故A B = {}0,2故选：A 2．复数12i1iz +=-，则z =（）A B ．52C ．2D 【答案】C【分析】利用复数除法运算，化简复数，再计算求得复数的模.【详解】()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222z +++-+====-+--+，13i 22z =--，z ∴==故选：C3．已知非零向,a b 满足|2|||a b a b -=+ ，且3a b ⋅= ，则向量b的模长为（）A ．2B ．3CD【分析】设,a b θ= ，由向量数量积的运算律计算可得选项.【详解】解：设,a b θ= ，因为|2|||a b a b -=+，所以2222||4||4||||2a b a b a b a b +-⋅=++⋅，又3a b ⋅=，所以23||618b a b =⋅=，解得||b 故选：D.4．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间计划表，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量C （单位：A h ⋅）、放电时间t （单位：h ）、放电电流I （单位：A ）三者之间满足关系 1.5log 2C I t =⋅．假设某款电动汽车的蓄电池容量为3074A h ⋅，正常行驶时放电电源为15A ，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据： 1.5log 36103074⨯≈）（）A ．60hB ．45hC ．30hD ．15h【答案】C【分析】根据题意蓄电池的容量C ，再把15A I =代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】由32log 2C It =，3074A h C =⋅,15I =时，32log 215C t =⋅；32log 2307415t ∴=⋅，32log 2307415t ∴=.又 1.5log36103074⨯≈,3333322223332223332222log 2log 2log 2log log 3log 3log 33log 3log 222og 2g l lo 30743315151.5102161061061010103t -∴======⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯5．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（）A ．–10B ．14-C ．–18D ．–20【答案】D【解析】利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得n S ，再利用二次函数的性质，可得当4n =或5时，n S 取到最小值.【详解】根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，由134,,a a a 成等比数列，可得2314a a a =，∴1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-.∴22(1)981829(224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--.根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-.故选：D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n =或5时同时取到最值.6．在中国唐、宋时期的单檐建筑中存在较多的2：1的比例关系，常用的A 4纸.的矩形称做和美矩形.如图，1111ABCD A B C D -是长方体，AB =，12AD AA ==，2A ，2B ，2C ，2D 分别是棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 的中点.把图中所有的矩形按是否为和美矩形分成两类，再用分层抽样的方法在这两类矩形中共抽取5个，抽得的矩形中和美矩形的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】利用列举法把所有的长方形分类，用分层抽样的概念即可求解.【详解】由题意可知，1222211111112AA DD AD A D BB CC BC B C A D B C ==========，2122222221111B B B B C A A A A D C D C D D C ========，11221122AB A B A B DC D C D C ======，能够称为和美矩形的有11，ABA B 22，ABA B ,ABDC ABCD ，1111A B C D ，2222A B C D ，22CC D D ，11CC D D ，2211C C D D ，共9个；不能称为为和美矩形的有1122B B ，22BB C C ，11B BCC ，11ADD A ，22ADD A ，2121A D D A 共6个；所以用分层抽样的方法在这两类矩形中共抽取5个，抽得的矩形中和美矩形的个数是95369⨯=+个.故选：B.7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，虚轴长为若其渐近线上横坐标为1的点P 恰好满足120PF PF ⋅=，则双曲线的离心率为（）A ．2BC ．4D【答案】A【分析】先求得b 的值，利用一条渐近线方程求得点P 坐标，然后利用数量积得2122310PF PF c a⋅=-+= ，结合222c a b =+求得离心率.【详解】解：虚轴长为b =:bl y x a =，则P ⎛ ⎝⎭，121,,1,PF c PF c a a ⎛⎛=--=--- ⎝⎭⎝⎭，2122310PF PF c a⋅=-+= 又222c a b =+，解得21a =，24c =故2ce a==，故选：A.8．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别为边AD 、BC 上的点，且3AD AE =，3BC BF =，设P 、Q 分别为线段AF 、CE 的中点，将四边形ABFE 沿着直线EF 进行翻折，使得点A 不在平面CDEF 上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（）A ．直线//AB 直线CD B ．直线//PQ 直线EDC ．直线AB ⊥直线PQD ．直线//PQ 平面ADE【答案】B【分析】由3AD AE =，3BC BF =，可得四边形ABFE 和EFCD 都为矩形，进而得到//AB EF ，//EF CD ，进而得证即可判断A ；根据异面直线的定义即可判断B ；设EF 中点为H ，连接PH ，HQ ，由P 、Q 分别为线段AF 、CE 的中点，可得//PH AE ，//HQ ED ，进而得到AB PH ⊥，AB HQ ⊥，可得AB ⊥平面PHQ ，进而即可判断C ；连接FD ，AD ，可得//PQ AD ，进而证明//PQ 平面ADE ，即可判断D.【详解】在矩形ABCD 中，3AD AE =，3BC BF =，可得四边形ABFE 和EFCD 都为矩形，所以//AB EF ，//EF CD ，翻折后仍然成立，所以直线//AB 直线CD ，故A 正确；翻折前，//PQ ED ，翻折后直线PQ 和直线ED 为异面直线，故B 错误；设EF 中点为H ，连接PH ，HQ ，因为P 、Q 分别为线段AF 、CE 的中点，所以//PH AE ，//HQ ED ，而AB AE ⊥，ED EF ⊥，//AB EF ，所以AB PH ⊥，AB HQ ⊥，又PH HQ H = ，PH ⊂平面PHQ ，HQ ⊂平面PHQ ，所以AB ⊥平面PHQ ，又PQ ⊂平面PHQ ，所以AB PQ ⊥，故C 正确；连接FD ，AD ，因为P 、Q 分别为线段AF 、CE 的中点，所以//PQ AD ，又PQ ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以//PQ 平面ADE ，故D 正确.故选：B.9．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =（）A ．ln 21-B ．ln 2-C ．ln 21+D ．1ln 2-【答案】D【分析】设出两个切点坐标,求得两个曲线的导数,根据导数的几何意义可得12111k x x ==+.将切点代入两条曲线,联立方程可分别求得12,,k x x ,代入其中一条曲线即可求得b 的值.【详解】直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线,也是曲线ln(1)y x =+的切线,则两个切点都在直线y kx b =+上,设两个切点分别为()()1122,,,,x kx b x kx b ++则两个曲线的导数分别为1'y x=,1'1y x =+由导数的几何意义可知12111k x x ==+,则121x x =+且切点在各自曲线上,所以()1122ln 2,ln 1,kx b x kx b x +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩①②则将121x x =+代入①可得()()22ln 12,1x k x b +=+++③-③②可得2k =由12111k x x ==+可得1211,22x x ==-代入①中可知112ln 2,b +=+③所以11ln 221ln b =-=+故选:D【点睛】本题考查了导数的几何意义,两条曲线的公切线性质及求法,参数较多,化简较为繁琐,属于中档题.10．已知点()()2,0,2,0M N -，若圆()2226900x y x r r +-+-=>上存在点P (不同于,M N )，使得PM PN ⊥，则实数r 的取值范围是A ．()1,5B ．[]1,5C ．()1,3D ．[]1,3【答案】A【分析】由题意可得两圆相交，而以MN 为直径的圆的方程为x2+y2=4，圆心距为3，由两圆相交的性质可得|r ﹣2|＜3＜|r+2|，由此求得r 的范围．【详解】根据直径对的圆周角为90°，结合题意可得以MN 为直径的圆和圆（x ﹣3）2+y2=r2有交点，显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交．而以AB 为直径的圆的方程为x2+y2=4，两个圆的圆心距为3，故|r ﹣2|＜3＜|r+2|，求得1＜＜5，故选A ．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，两圆相交的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．11．三棱锥S -ABC 的底面ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，且SA SC AC ===，SB =S -ABC 外接球表面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】B【分析】依题意将三棱锥放到棱长为1的正方体中，则正方体的体对角线即外接球的直径，再根据球的表面积公式计算可得；【详解】解：由题意知，可以把三棱锥S-ABC 按如图所示的位置放到棱长为1的正方体中，则正方体的体对角线长为l =，∴三棱椎S-ABC 外接球表面积为2)3π2=.故选：B【点睛】本题考查多面体的外接球，属于中档题.12．若函数()f x 的定义域为R ，且()21f x +偶函数，()1f x -关于点()3,3成中心对称，则下列说法正确的个数为（）①()f x 的一个周期为2②()223f =③()f x 的一条对称轴为5x =④()19157i f i ==∑A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由题意，根据函数的对称性，可得()()11f x f x -=+，()()262f x f x -=-+，且()23f =，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得()()136f f +=，()()246f f +=，可判④的正误.【详解】因为()21f x +偶函数，所以()()1212f x f x -=+，则()()11f x f x -=+，即函数()f x 关于直线1x =成轴对称，因为函数()f x 的图象是由函数()1f x -的图象向左平移1个单位，所以函数()f x 关于点()2,3成中心对称，则()()262f x f x -=-+，且()23f =，对于①，()()()()()()2626116116f x f x f x f x f x +=--=---=-+-=-，()()()()()()4226226611f x f x f x f x f x +=++=---=--=--+()()6112f x f x =-++=-()()()1111f x f x f x =+-=-+=，则函数()f x 的周期4T =，故①错误；对于②，()()()2224523f f f =+⨯==，故②正确；对于③，()()()()()()51411145f x f x f x f x f x f x +=++=+=-=-+=-，故③正确；对于④，()()()121621f f f =-=-+，则()()136f f +=，()()()()()40111123f f f f f ==-=+==，则()()246f f +=，由19443÷= ，则()()()()1911219i f i f f f ==+++∑ ()()()()()()()()41234171819f f f f f f f =++++++()()()()466123486357f f f =⨯++++=++=，故④正确.故选：C.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值是______.【答案】9【解析】做出可行域，根据可行域的图像特征，即可求出线性目标函数的最大值.【详解】做出可行域如下图所示：当目标函数3z x y =+过点(3,0)A 时，取最大值为9.故答案为:9【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题.14．已知5x ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中的常数项为5-，则3a =______．【答案】16【分析】根据二项式定理写出其通项公式，令x 的指数幂为零即可求得常数项解得316a =.【详解】5x ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()55531552C 1C rrr r r rr r T x x a --+⎛⎫⎛⎫=-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⎝，令5503r-=，解得3r =，所以()333521C 5a ⎛⎫-⋅⋅=- ⎪⎝⎭，得316a =．故答案为：1615．已知正项数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且12023lg lg 0a a +=，若()221f x x =+，则()()()122023f a f a f a ++⋯+=__________.【答案】2023【分析】根据对数运算法则可得120231a a ⋅=，再利用等比数列性质和函数()221f x x =+可得()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用倒序相加即可得()()()1220232023f a f a f a ++⋯+=.【详解】由题意可知，()1202312023lg lg lg 0a a a a ⋅+==，所以120231a a ⋅=；由等比数列性质可得120232022202110101231221a a a a a a a a ⋅=⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=；又因为函数()221f x x =+，所以222122111x f x x x ⎛⎫== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即()222122211x f f x x x x ⎛⎫+=+= ⎪++⎝⎭，所以()()120232f a f a +=；令()()()122023T f a f a f a =++⋯+，则()()()202321T f a f a f a =+⋯++；所以()()()()()()120232202220231222023T f a f a f a f a f a f a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⋯++=⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即()()()1220232023T f a f a f a =++⋯+=.故答案为：202316．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，其焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线C 于点A 、B （其中A 在x 轴上方），A ，B 两点在抛物线的准线上的投影分别为M ，N ，若||MF =，||2NF =，则||||AF BF =____________.【答案】3【分析】根据抛物线的的定义可得2MFN π∠=，利用直角三角形可求出||4MN =，由面积等积法求出p =求出直线AB 的倾斜角3πθ=，利用公式||1cos pAF θ=-，||1cos pBF θ=+计算.【详解】由抛物线的定义得：||||AF AM =，||||BF BN =，易证2MFN π∠=，∴222||||||16MN NF MF =+=，∴||4MN =∵11||||||22MNF S p MN MF NF =⋅=⋅=∴p =，.∴3MFO π∠=，∵||||AF AM =，∴AMF 为等边三角形.∴直线AB 的倾斜角3πθ=.∴||1cos p AF θ=-，||1cos pBF θ=+.∴||3||AF BF =.故答案为：3【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、简单几何性质，过焦点直线与抛物线相交的性质，属于难题.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．记ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知()21cos 4bc A a +=.(1)证明：3b c a +=；(2)若2a =，7cos 9A =，角B 的内角平分线与边AC 交于点D ，求BD 的长.【答案】(1)证明见解析；(2)5.【分析】（1）利用余弦定理结合条件即得；（2）利用余弦定理结合条件可得3==b c ，然后利用角平分线定理及余弦定理即得.【详解】（1）证明：因为()21cos 4bc A a +=，所以2222142b c a bc a bc ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，所以222242b c a bc a +-+=，即()229b c a +=，所以3b c a +=；（2）由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，()222222927149b c bc b c bc bc ==+-⋅+--，又36b c a +==，所以9bc =，3==b c ，由角平分线定理可得，32AB AD AC DC ==，39355AD =⨯=，在ABD △中，由余弦定理得：222997323559BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以BD =18．在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为(01)p p <<，它们之间相互不影响.(1)当0.9p =时，求能正常工作的设备数X 的分布列和数学期望；(2)已知深圳某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：2.7(2)从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2【分析】(1)由题意可知()3,0.9X B ，即得；(2)分别计算两种方案的损失期望值，即可做出决策.（1）X 为正常工作的设备数，由题意可知()3,0.9X B .()003300.9(10.9)0.001P X C ==⨯⨯-=，()112310.9(10.9)0.027P X C ==⨯⨯-=，()()22320.910.90.243P X C ==⨯⨯-=，()330330.9(10.9)0.729P X C ==⨯⨯-=，从而X 的分布列为X123P0.0010.0270.2430.729由()3,0.9X B ，则()30.9 2.7E X =⨯=；（2）设方案1､方案2的总损失分别为12,X X ，采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到0.9，由（1）可知计算机网络断掉的概率为0.001，不断掉的概率为0.999，故()1800000.00150000080500E X =+⨯=元；采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，可知计算机网络断掉的概率为00330.8(10.8)0.008C ⨯⨯-=，故()2500000.00850000054000.E X =+⨯=元因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2.19．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形CDEF 是边长为2的正方形，AD DE ⊥，AB CD ∥，AE =，1AB BD ==．(1)求证：平面BCE ⊥平面BDF ．(2)求直线BC 与平面BEF 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)25【分析】（1）首先利用面面垂直的判定证明平面CDEF ⊥平面ABCD ，再利用勾股定理得AB BD ⊥，从而利用面面垂直的性质定理得到BD ⊥平面CDEF ，则BD CE ⊥，最后再利用面面垂直的判定即可.（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面BEF 的一个法向量，利用线面角的夹角公式即可得到答案.【详解】（1）因为四边形CDEF 是正方形，所以DE DC ⊥，DF CE ⊥．因为AD DE ⊥，AD DC D = ，AD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面ABCD ．因为DE ⊂平面CDEF ，所以平面CDEF ⊥平面ABCD ．因为AE =，2DE =，所以AD ==因为1AB BD ==，所以222AB BD AD +=，所以AB BD ⊥．因为AB CD ∥，所以BD DC ⊥．因为平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF 平面ABCD CD =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面CDEF ．因为CE ⊂平面CDEF ，所以BD CE ⊥．因为，BD ，DF ⊂平面BDF ，所以CE ⊥平面BDF ．因为CE ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面BDF ．（2）由（1）知，直线DB ，DC ，DE 两两互相垂直，以D 为坐标原点，直线DB ，DC ，DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，则()0,0,0D ，()1,0,0B ，()0,0,2E ，()0,2,2F ，()0,2,0C ，所以()0,2,0= EF ，()1,0,2BE =-，()1,2,0BC =- ．设平面BEF 的法向量为(),,n x y z = ，则有0,0,n EF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020y x z =⎧⎨-+=⎩所以0y =．取1z =，得2x =，所以可取()2,0,1n =．设直线BC 与平面BEF 所成的角为θ，则2sin cos ,5BC n BC n BC nθ⋅====，所以直线BC 与平面BEF 所成角的正弦值为25．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)C b b x a a y+>>=的上焦点为F ，且C 上的点到点F 的距离的最大值与最小值的差为F 且垂直于y 轴的直线被C 截得的弦长为1.(1)求C 的方程；(2)已知直线l ：(0y kx m m =+≠）与C 交于M ,N 两点，与y 轴交于点P ，若点P 是线段MN 靠近N 点的四等分点，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2214y x +=(2)(2,1)(1,2)--⋃【分析】（1）利用椭圆的性质可列出方程组，得到a ，b ，即得椭圆的方程.（2）根据题中位置关系，得到关于两交点横坐标的对称式，利用韦达定理代入可得.【详解】（1）设C 的焦距为2c，由题意知2222()()21a c a c ba abc ⎧+--=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故C 的方程为2214y x +=．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2224240k x mkx m +++-=，所以()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+．因为点P 是线段MN 靠近点N 的四等分点，所以3MP PN =，所以123x x =-，所以()()()221222212332434x x x x x x x +=⨯-=-⨯-=-．所以()21212340x x x x ++=所以()()2222224412044m k m k k-+=++，整理得222240m k m k +--=，显然21m =不成立，所以22241m k m -=-．因为3240k m -+>，所以2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-．解得21m -<<-，或12m <<，所以实数m 的取值范围为(2,1)(1,2)--⋃．【点睛】关键点点睛：本题解题关键是找到1x ，2x 的对称式．本题中通过四等分点得到1x 和2x 之间的关系，再根据，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12x x +和12x x ，然后代入后可以得到m 的取值范围．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于难题．21．已知函数()eln e =-x xf x a．(1)若()f x 在[)1,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数()1e ,e e g x x a x=-=-，证明：当0x >时，()()g x f x <恒成立．【答案】(1)(,0)[1,)-∞+∞ (2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，依题意()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，参变分离可得ee x x a≤在[)1,+∞上恒成立，令()e ,[1,)x t x x x =∈+∞，利用导数说明函数的单调性求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；（2）先构造函数利用导数证明当0x >时，不等式e e x x ≥成立，则问题转化为证明1e e ln e x x x x-<+恒成立，即证21e ln e e x x x x x -<+恒成立，即证1ln e x x ≥-在()0,∞+上恒成立，再构造函数利用导数证明即可．【详解】（1）（1）∵()eln e xx f x a =-，∴()e e (0)xf x x ax'=->．∵()f x 在[)1,+∞上是增函数，∴()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，可得e e xx a≤在[)1,+∞上恒成立．令()e ,[1,)x t x x x =∈+∞，则()e e x x t x x '=+，当[1,)x ∈+∞时，()0t x '>，∴()t x 在[1,)+∞上是增函数，∴min ()(1)e t x t ==．∴e e a≤，解得1a ≥或a<0，即实数a 的取值范围是(,0)[1,)-∞+∞ ．（2）若a e =-，则()e ln x f x x =+．下面证明当0x >时，不等式e e x x ≥成立，令()e e x h x x =-，()0,x ∈+∞，则()e e x h x '=-．令()0h x '>，得1x >，令()0h x '<，得01x <<，故()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故min ()(1)0h x h ==，所以当0x >时，()0h x ≥，即e e x x ≥①恒成立．要证当0x >时，()()g x f x <恒成立，即证1e e ln e x x x x-<+恒成立，即证21e ln e ex x x x x -<+恒成立．结合①式，现证221e ln e e x x x x -≤+成立，即证1ln ex x ≥-在()0,∞+上恒成立，令()ln m x x x =，则()1ln m x x '=+，当10,ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，故()m x 在0,1e⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()min 11,e e m x m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭即1ln e x x ≥-恒成立．因为①②两式取等号的条件不一致，故21e ln e ex x x x x -<+恒成立．即当0x >时，()()g x f x <恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系Ox 中，点()4,πA ，曲线M 是以OA 为直径，1O 为圆心的半圆，点B 在曲线M 上，四边形OBCD 是正方形．(1)当π6AOB ∠=时，求B ，C 两点的极坐标；(2)当点B 在曲线M 上运动时，求D 点轨迹的极坐标方程．【答案】(1)点B的极坐标为5π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，点C的极坐标为7π12⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)π4sin 02ρθθ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭【分析】（1）连接,AB OC ，可得到AB BO ⊥，通过数据可得到OB =到点B 的极坐标，再算出OC ，即可得到点C 的极坐标；（2）设(),D ρθ，()00,B ρθ，通过题意可得到00π2ρρθθ=⎧⎪⎨=+⎪⎩，通过求出曲线M 的极坐标方程即可得到点B 的极坐标方程，将上式关系代入即可得到答案【详解】（1）连接,AB OC ，因为OA 是直径，所以AB BO ⊥，在Rt AOB △中，4OA =，π6AOB ∠=，∴4cos 6OB π=⨯=B的极坐标为5π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，在正方形OBCD中，OC ==π56412AOC ππ∠=+=，∴点C的极坐标为7π12⎛⎫ ⎝⎭；（2）设(),D ρθ，()00,B ρθ，且00π2ρρθθ=⎧⎪⎨=+⎪⎩①，由题意可得1O 的直角坐标为()2,0-，所以曲线M 的普通方程为()()22240x y y ++=≥，即()22400x x y y ++=≥，将0000cos ,sin x y ρθρθ==代入曲线M 的普通方程得极坐标方程为000π4cos π2ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，当0π2θ=时，O ，B 两点重合，不合题意，∴点B 的极坐标方程为000π4cos π2ρθθ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭，将①式代入得点D 的极坐标方程为ππ4cos 4sin 022ρθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()||,f x x x a a R =-∈.（1）当(1)(1)1f f +->，求a 的取值范围；（2）若0a >，对,(,]x y a ∀∈-∞，都有不等式5()||4f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）(0,5].【分析】（1）结合a 取不同范围，去绝对值，计算a 的范围，即可．（2）结合函数性质，计算()f x 的最大值，结合题意，建立关于a 的不等式，计算a 的范围，即可．【详解】（1）(1)(1)|1||1|1f f a a +-=--+>，若1a ≤-，则111a a -++>，得2>1，即1a ≤-时恒成立；若11a -<<，则1(1)1a a --+>，得12a <-，即112a -<<-；若1a ≥，则(1)(1)1a a ---+>，得21->，此时不等式无解.综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）由题意知，要使不等式恒成立，只需max min5[()]||4f x y y a ⎡⎤≤++-⎢⎥⎣⎦.当(,]x a ∈-∞时，2()f x x ax =-+，2max [()]24a a f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.因为55||44y y a a ++-≥+，所以当5,4y a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，min55||44y y a a ⎡⎤++-=+⎢⎥⎣⎦54a =+.于是2544a a ≤+，解得15a -≤≤.结合0a >，所以a 的取值范围是(0,5].【点睛】本道题考查了绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，考查绝对值三角不等式．难度较大．不等式恒成立问题的关键在于转化，象本题转化为求max [()]f x 和min5||4y y a ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦．。
【精品】备战2020高考理科数学二轮考点专题突破 专题23 填空题解题方法与技巧(教学案)(教师版)
专题23 填空题解题方法与技巧数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备．解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求．填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点．(1)根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：①定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系；②定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质．(2)根据填空题出题设问的多少，又可以将填空题分成两类形式：①单空题：与全国卷出题方式相同，一题一空，根据一般填空题的特点，四招速解；②多空题：是浙江高考填空题的一大特色，一题多空，出题的目的是提高知识覆盖面的考查，降低难度，让学生能分步得分；本质上来说和单空题区别无非就是多填一空，其解题方法和单空题相同，但多空题有它自身的特色，搞清多空之间设问的关系能使我们的解题事半功倍．一、单空题解题方法一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果．例1、若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________. 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，所以a 2b 2＝1. 【答案】1【变式探究】设a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m ＝________．【解析】a ＋b ＝(m ＋2)i ＋(m －4)j ，a －b ＝m i －(m ＋2)j .∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴m(m ＋2)i 2＋[－(m ＋2)2＋m(m －4)]i ·j －(m ＋2)(m －4)j 2＝0，而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得m(m ＋2)－(m ＋2)(m －4)＝0，∴m ＝－2.【答案】－2【变式探究】已知函数f(x)＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是__________． 【解析】a ＋b ＝(m ＋2)i ＋(m －4)j ，a －b ＝m i －(m ＋2)j .∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴m(m ＋2)i 2＋[－(m ＋2)2＋m(m －4)]i ·j －(m ＋2)(m －4)j 2＝0，而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得m(m ＋2)－(m ＋2)(m －4)＝0，∴m ＝－2.【答案】⎝⎛⎭⎫12，＋∞解题方法二、特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．例2、若函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，则f (2 018)＝________.【解析】取x ＝1，y ＝0时，有f (0)＝f (1)＋f (1)＝12，取x ＝1，y ＝1时，有14＝f (2)＋f (0)，f (2)＝－14.取x ＝n ，y ＝1，有f (n )＝f (n ＋1)＋f (n －1)，同理f (n ＋1)＝f (n ＋2)＋f (n )，联立得f (n ＋2)＝－f (n －1)，可得f (n ＋6)＝f (n )，所以f (x )是以6为周期的函数，故f (2 018)＝f (2)＝－14.【答案】－14【变式探究】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos Acos C＝__________．【解析】特殊化：令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形，cos A ＝35，cos C ＝0，从而所求值为35.【答案】35 【变式探究】过抛物线y ＝ax 2(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p ，q ，则1p ＋1q＝________． 【解析】设k ＝ 0，因抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a 把直线方程y ＝14a 代入抛物线方程得x ＝±12a，∴|PF|＝|PQ|＝12a ，从而1p ＋1q＝4a. 【答案】4a解题方法三、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果．例3、 如果不等式4x －x 2＞(a －1)x 的解集为A ，且A {x|0＜x ＜2}，那么实数a 的取值范围是________．【解析】根据不等式解集的几何意义，作函数y ＝4x －x 2和y ＝(a －1)x 的图象(如图)，从图上容易得出实数a 的取值范围是[2，＋∞)．【答案】[2，＋∞)【变式探究】已知实数x ，y 满足(x －3)2＋y 2＝3，则y x －1的最大值是__________． 【解析】y x －1可看作是过点P(x ，y)与M(1，0)的直线的斜率，其中点P 在圆(x －3)2＋y 2＝3上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率y x －1最大，最大值为tan θ＝ 3.【答案】3解题方法四、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果．例4、不等式x ＞ax ＋32的解集为(4，b)，则a ＝__________，b ＝__________． 【解析】设x ＝t ，则原不等式可转化为：at 2－t ＋32＜0，∴a ＞0，且2与b(b ＞4)是方程的两根，由此可得a ＝18，b ＝36.【答案】18 36【变式探究】不论k 为何实数，直线y ＝kx ＋1与曲线x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值范围是__________．【解析】题设条件等价于点(0，1)在圆内或圆上，∴a 2＋1≤2a ＋4.∴－1≤a≤3.【答案】[－1，3]解题方法五、图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．例5、已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________．【解析】如图，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，∵(a －c )·(b －c )＝0，∴点C 在以AB 为直径，AB 的中点为圆心的圆上，故|OC |的最大值为圆的直径，即|AB |的长为 2.【答案】2【感悟提升】图象分析法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．【变式探究】不等式⎝⎛⎭⎫|x |－π2·sin x <0，x ∈[－π，2π]的解集为________．【解析】在同一坐标系中分别作出y ＝|x |－π2与y ＝sin x 的图象：根据图象可得不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2∪(π，2π)． 【答案】⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2∪(π，2π) 解题方法六、构造法用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．例6、如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．【解析】如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.【答案】6π【感悟提升】构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.【变式探究】在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.【解析】由a n ＋1＝2a n ＋3，则有a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，即a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以数列{a n ＋3}是以a 1＋3＝4为首项，公比为2的等比数列，即a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.【答案】2n ＋1－3解题方法七、并列式此种类型多空题的特点是：根据题设条件，利用同一解题思路和过程，可以一次性得出两个空的答案，两空并答，题目比较简单，会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解，一般是多空题的第一个题目．例7、已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.【解析】∵2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，∴1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，∴A ＝2，b ＝1. 【答案】2 1【变式探究】双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是________________．【解析】由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x 轴上，且a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3，即c ＝3，∴焦距2c ＝23，渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±22x . 【答案】23 y ＝±22x解题方法八、分列式此种类型多空题的特点是：两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问．例8、(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg x 2＋1，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 【解析】(1)由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,4 cm,2 cm ，右边也是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,2 cm ，4 cm.几何体的表面积为(2×2＋2×4＋2×4)×2×2－2×2×2＝72(cm 2)，体积为2×2×4×2＝32(cm 3)．(2)∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0.当x ≥1时，x ＋2x －3≥2 x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立， 此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.【答案】(1)72 32 (2)0 22－3【变式探究】函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是____________．【解析】∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解之可得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)．【答案】π ⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)解题方法九、递进式此种类型多空题的特点是：两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答，第一空是解题的关键也是难点，只要第一空会做做对，第二空便可顺势解答．例9、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.【解析】∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1，∴S 5＋12＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121.【答案】1 121【变式探究】以坐标原点O 为圆心，且与直线x ＋y ＋2＝0相切的圆方程是________，圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________．【解析】由题意所求圆的半径等于原点O 到直线x ＋y ＋2＝0的距离，即r ＝21＋1＝2，则所求圆的方程为x 2＋y 2＝2；因为圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的圆心和半径分别为O (0,0)，r 1＝2，C 2＝(0,1)，r 2＝2，且r 2－r 1<|OC 2|＝1<r 1＋r 2＝2＋2，所以两圆相交．【答案】x 2＋y 2＝2 相交。
高考二轮数学步步高专题 填空题的解法答案
高考二轮数学步步题 高考填空题的常用方法答案1解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴0)()(=-⋅+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-⋅-++-++j m m j i m m m j m m ，而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。
2解：22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x a x g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a 。
3解：由题设，此人猜中某一场的概率为31，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为1331。
4．解：特殊化：令5,4,3===c b a ，则△ABC 为直角三角形，0cos ,53cos ==C A ，从而所求值为53。
5．解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为),41,0(a 把直线方程a y 41=代入抛物线方程得ax 21±，∴a FQ PF 21||||==，从而a qp 411=+。
6．分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令 0=a ，得结果为23。
7．解：根据不等式解集的几何意义，作函数24x x y -=和函数x a y )1(-=的图象（如图），从图上容易得出实数a 的取值范围是[)+∞∈,2a 。
8．解：=+)21arctan3sin(π)21sin(arctan 21)21cos(arctan 23+， 构造如图所示的直角三角形，则其中的角θ即为21arctan ，从而 .51)21sin(arctan ,52)21cos(arctan ==所以可得结果为101525+。
9．解：1-x y 可看作是过点P （x ，y ）与M （1，0）的直线的斜率，其中点P 的圆3)3(22=+-y x 上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率1-x y 最大，最大值为3tan =θ。
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1．如下图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为________．【答案】9【解析】由三视图可知，该几何体是斜四棱柱，四棱柱底面是矩形，长3，宽3，四棱柱的高h ＝＝，∴体积V ＝3×3×＝9.2.已知△ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为________．【答案】12π【解析】由已知得：BC ＝2，球O 的半径R ＝＝，故其表面积S ＝4πR 2＝4π·()2＝12π. 3.已知椭圆4x2＋3y2＝1，A 、C 分别是椭圆的上、下顶点，B 是左顶点，F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则∠BDF 的余弦值是________．【答案】1474.设0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是________(填序号)．①a 1b 1＋a 2b 2 ②a 1a 2＋b 1b 2 ③a 1b 2＋a 2b 1 ④21 【答案】①【解析】取a 1＝31，b 1＝41，则a 1b 1＋a 2b 2＝121＋21＝127>21，a 1a 2＋b 1b 2＝14459<21，a 1b 2＋a 2b 1＝125<21，故最大的是a 1b 1＋a 2b 2.5.已知函数y ＝f (x )，对任意的两个不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)成立，且f (0)≠0，则f (－2014)·f (－2013)·…·f (2013)·f (2014)的值是________．【答案】1【解析】f (x )为抽象函数，只知满足条件f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，且f (0)≠0，故可取满足此条件的特殊函数来求解．令f (x )＝2x ，则对任意的两个不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)成立，f (0)＝20＝1，f (－2014)·f (2014)＝f (0)＝1，f (－2013)·f (2013)＝f (0)＝1，…，所以f (－2014)·f (－2013)·…·f (2013)·f (2014)＝1.6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高相交于点H ，若＝m (＋＋)，则实数m ＝________.【答案】1【解析】如图在Rt △ABC 中，外接圆圆心O 为斜边AB 的中点，垂心H 即为C 点，由已知＝m (＋＋)＝m ，则m ＝1.7．直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线，若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．【答案】348.已知椭圆C ：9x2＋4y2＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A 、B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.【答案】12 【解析】如图．设MN 与椭圆的交点为D ，由中位线定理． |AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|) 由椭圆的定义知|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6. ∴|AN |＋|BN |＝12.9.向量＝(1,0)，＝(＋cos θ，1＋sin θ)，则与夹角的取值范围是________． 【答案】[0，3π]【解析】依题意在坐标系中B (1,0)、A (＋cos θ，1＋sin θ)，点A 在圆(x －)2＋(y －1)2＝1的圆周上运动，如图，当A 点为切点M 时，与的夹角取最大值，容易求得为3π；当A 点为切点N 时，夹角取最小值0，故取值范围是[0，3π]．10．不等式－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________． 【答案】(－∞，－21]∪[21，＋∞)由图可知A (－2,0)，B (2,0)，故k AC ＝－2－00－(－1＝－21，k BC ＝2－00－(－1＝21.要使直线和半圆有公共点，则k ≥21或k ≤－21. 所以k 的取值范围为(－∞，－21]∪[21，＋∞)．11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac ＝b 2－a 2，A ＝6π，则B ＝________. 【答案】3π12．a ＝ln20121－20121，b ＝ln20131－20131，c ＝ln20141－20141，则a 、b 、c 的大小关系为________．【答案】a >b >c【解析】令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝x 1－1＝x 1－x. 当0<x <1时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数． ∵1>20121>20131>20141>0，∴a >b >c .13.如图，已知球O 的球面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝，则球O 的体积等于________．【答案】π【解析】如图，以DA 、AB 、BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝＝2R ，所以R ＝26，故球O 的体积V ＝34πR3＝π.14．设(x －3)2＋(y －3)2＝6，则x y的最大值为________．【答案】3＋2【解析】设x y＝k ，则可转化为直线kx －y ＝0与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点时k 的取值范围，用代数法(Δ≥0)或几何法(d ≤r )解决．15.已知P (x ，y )是椭圆16x2＋9y2＝1上的一个动点，则x ＋y 的最大值是________． 【答案】516．已知a 、b 是正实数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的取值范围是________． 【答案】[6，＋∞)【解析】∵a 、b 是正实数且ab ＝a ＋b ＋3，故a 、b 可视为一元二次方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两个根，其中a ＋b ＝m ，ab ＝m ＋3，要使方程有两个正根，应有m ＋3>0.m>0，解得m ≥6，即a ＋b ≥6，故a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)．17.已知x >0，比较x 与ln(1＋x )的大小，结果为________． 【答案】x >ln(1＋x )【解析】解法一：令x ＝1，则有1>ln2， ∴x >ln(1＋x )．解法二：令f (x )＝x －ln(x ＋1)． ∵x >0，f ′(x )＝1－1＋x 1＝1＋x x>0， 又因为函数f (x )在x ＝0处连续， ∴f (x )在[0，＋∞)上是增函数．从而当x >0时， f (x )＝x －ln(1＋x )>f (0)＝0. ∴x >ln(1＋x )．解法三：在同一坐标系中画出函数y ＝x 与y ＝ln(1＋x )的图象，可见x >0时，x >ln(1＋x )． 18．在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的正切值为________．【答案】【解析】将此三棱锥补成正方体，如图所示．连接CM ，过点O 作ON ⊥CM 于N ，则ON ⊥平面ABC ．∴OM 与平面ABC 所成的角是∠OMC ．在Rt △OMC 中，tan ∠OMC ＝OM OC ＝2＝，即OM 与平面ABC 所成角的正切值为.19．sin 2(α－30°)＋sin 2(α＋30°)－sin 2α的值等于________． 【答案】2120．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a3a5＝95，则S5S9等于________． 【答案】1【解析】依题意，可取一个特殊的等差数列：13,11,9,7,5,3,1，－1，－3，其中a 5＝5，a 3＝9满足条件．可求得S 9＝S 5＝45，故S5S9＝1.21．函数f (x )＝2x ＋1 (x≤0lnx －x2＋2x (x>0的零点个数为________个． 【答案】3【解析】依题意，在x >0时可以画出y ＝ln x 与y ＝x 2－2x 的图象，可知两个函数的图象有两个交点，当x ≤0时，函数f (x )＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，所以函数f (x )有3个零点．22.已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则n an的最小值为________． 【答案】22123．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为函数y ＝f (x )的导函数，则f ′(0)＝________． 解析：∵f (x )＝(2x ＋1)e x ，∴f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， ∴f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：324．在平面直角坐标系中，点A ，点B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：由题意，以AB 为直径的圆过坐标原点O (0，0)，当O (0，0)到直线2x ＋y －4＝0距离为圆的直径时，圆C 的面积最小． 由点到直线的距离2r ＝22＋12|2×0＋0－4|＝54， 因此r ＝52，圆C 面积的最小值为π52＝54π. 答案：54π25．若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f 25＋f (2)＝________．解析：∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f 25＝f 21＝－f 21＝－421＝－2， 又f (2)＝f (0)＝0，因此f 25＋f (2)＝－2＋0＝－2. 答案：－226．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：用正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．答案：①②④27．如图所示，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为________．28．知函数f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝21，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可以画出函数f (x )在[－3，4]上的图象，如图所示，函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点，即y ＝f (x )与y ＝a 有10个交点，由图可知实数a 的取值范围是21.答案：21。