高三上学期理数第五次月考试卷真题

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2021-2022年高三上学期第五次月考数学(理)试题含答案

2021-2022年高三上学期第五次月考数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至5页.考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷的答题卡上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卷面清洁，不折叠，不破损.一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，若为实数，则A. B. C. D.实用文档实用文档2.下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是A ．B ．C ．D ．3.已知实数、满足02010x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则的最大值为A. B. C. D.4.直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是A ．B ．C ．D ．5.已知，则A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值分别为A.5，1B.5，2C.15，3D.30，67.将函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称，则函数在上的最小值为A. B. C. D.8.在菱形中，对角线，为的中点，则A. 8B. 10C. 12D. 149.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 6B. 5C. 4D. 5.510.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有A.144种B.150种C.196种D.256种11.设为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的最小值为A. B. C. D.12.设函数，其中，若关于不等式的整数解有且只有一个，则实数的取值范围为A. B． C． D．一、CDCAB DACBB DA二、13. 14. 15. 16.4实用文档实用文档第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.请将答案填写在答题纸上.14.已知数列满足，，则的最小值为．15.已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，则三棱锥外接球体积为．16.是双曲线的右焦点，的右支上一点到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点满足，则．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在锐角中，角的对边分别为，已知依次成等差数列，且求的取值范围.17.解：角成等差数列 ……………………………2分根据正弦定理的2sin 2sin 2sin 2sin()3a c A C A A π∴+=+=++实用文档32(sin ))26A A A π=+=+ …………………………6分又为锐角三角形，则2,62363A A πππππ<<<+< …………… ……8分 …………………………10分18.（本小题满分12分）已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.18.解：（1）由，得，解得…………2分而1111(4)(4)n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-，即………………………………4分可见数列是首项为2，公比为的等比数列.； ……………………………… 6分（2）21112log 2(2)n n b a n n===--- 21111()(2)22n n b b n n n n +∴==-++， ………………8分实用文档故数列的前项和 111111111111[(1)()()()]23243546112n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭11111311(1)()22122212n n n n =+--=--++++ ………10分 31113()42124n n =-+<++ ……………………12分19.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学实用文档生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在的学生人数为，求的分布列和数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19. （1）设各组的频率为，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， ……1分因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为……………………………2分所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，故全年级视力在5.0以下的人数约为…………………………3分（2）22100(4118329)3004.110 3.8415050732773k⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.……………6分（Ⅲ）依题意9人中年级名次在名和名分别有3人和6人，可取0、1、2、3 …………………7分，，，的分布列为………………11分的数学期望2045181()0123184848484E X=⨯+⨯+⨯+⨯=………………12分实用文档20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，，且22,42===，，点在上.AD CD BC（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.20.解：⑴取中点，连结,则，所以四边形为平行四边形，故，又,所以,故,又，,所以,故有………………5分实用文档实用文档 ⑵如图建立空间直角坐标系则()()()(),2,0,0,0,22,22,0,22,22,0,0,0P C B A - 设()()102,22,0≤≤-==λλλλPD PM ,易得设平面的一个法向量为，则()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=+=⋅022220222211z y AM n y x AC n λλ令12,2,2-=-==λλz x y 得，即………………8分又平面的一个法向量为，45cos 12412,cos 2212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⋅⋅=λλλλn n n n n n ，解得，即，，而是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则935334128,sin =⨯--==AB BM θ. 故直线与平面所成的角的正弦值为…………………12分实用文档21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且，判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．（1）由题意知，∴，即又， 2分 ∴，椭圆的方程为 4分(2)设，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，.212122284(3),.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++ 6分22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+,, ,222223(4)34(3)34434m k m k k --=-⋅++，, 8分AB===10分12S AB d∆====分22.（本小题满分12分）已知函数211()ln()4f x x x x aa=-++，其中常数.（1）讨论函数的单调性；（2）已知，表示的导数，若，且满足，试比较与的大小，并加以证明. 22．解：（1）函数的定义域为，2111(2)()(,0)22()x ax af x x x a aa x a a x a-+'=-+=>->++由得，，……………2分当时，，所以在上为增函数；……3分当时，，所以在，上为增函数；在上为减函数；………4分当时，，所以在，上为增函数；在上为减函数；…………5分实用文档实用文档（2）令111()()()2g x f x x a x a a x a'==-+-<<+ 则22211()2()2()2()x a g x x a x a +-'=-=++ 221,02,()41(0)2a x a x a a x a a a -<<∴<+<∴+<<<<，在上为减函数，即在上为减函数以题意，不妨设，又因为12(0)0,()()0f f x f x '''=+=，………8分所以，，所以，且，由，得12122112x x a x a x a+=--++， 12121211()2x x f x x a x x a+'∴+=-+++， 12121111a x x a x a x a=+--++++， ………10分令，221111()(0)h t t a a t x t x a=+--<<++ 则22222222222222()(2)11()0()()()t x t t x x h t t x t t x t t x t +-+'=-+==>++⋅+⋅， ………11分所以，在内为增函数，又因为所以，，实用文档即：121211110a x x a x a x a+--<++++ 所以，. ……………12分高三第五次月考数学（理）答案一、CDCAB DACBB DA二、13. 14. 15. 16.4三、17.解：角成等差数列 ……………………………2分根据正弦定理的2sin 2sin 2sin 2sin()3a c A C A A π∴+=+=++32(sin ))26A A A π=+=+ …………………………6分又为锐角三角形，则2,62363A A πππππ<<<+<…………… ……8分…………………………10分 18.解：（1）由，得，解得…………2分实用文档而1111(4)(4)n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-，即………………………………4分可见数列是首项为2，公比为的等比数列.； ……………………………… 6分（2）21112log 2(2)n n b a n n===---21111()(2)22n n b b n n n n +∴==-++， ………………8分故数列的前项和111111111111[(1)()()()]23243546112n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭11111311(1)()22122212n n n n =+--=--++++ ………10分 31113()42124n n =-+<++ ……………………12分 19. （1）设各组的频率为，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， ……1分因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为 ……………………………2分所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，故全年级视力在5.0以下的人数约为…………………………3分（2）22100(4118329)3004.110 3.8415050732773k⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.……………6分（Ⅲ）依题意9人中年级名次在名和名分别有3人和6人，可取0、1、2、3 …………………7分，，，的分布列为………………11分的数学期望2045181()0123184848484E X=⨯+⨯+⨯+⨯=………………12分20.解：⑴取中点，连结,则，所以四边形为平行实用文档实用文档四边形，故，又,所以,故 ,又，,所以,故有………………5分⑵如图建立空间直角坐标系则()()()(),2,0,0,0,22,22,0,22,22,0,0,0P C B A - 设()()102,22,0≤≤-==λλλλPD PM ,易得设平面的一个法向量为，则()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=+=⋅022220222211z y AM n y x AC n λλ令12,2,2-=-==λλz x y 得，即………………8分又平面的一个法向量为，45cos 12412,cos 2212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⋅⋅=λλλλn n n n n n ，解得，即，，而是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，实用文档则935334128sin =⨯--==θ. 故直线与平面所成的角的正弦值为…………………12分 21.【解析】（1）由题意知，∴，即又， 2分 ∴，椭圆的方程为 4分(2)设，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，.212122284(3),.3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 6分 22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+,, ,222223(4)34(3)34434m k m k k --=-⋅++，, 8分AB ===10分实用文档12S AB d ∆====分22．解：（1）函数的定义域为，2111(2)()(,0)22()x ax a f x x x a a a x a a x a -+'=-+=>->++由得，，……………2分当时，，所以在上为增函数；……3分当时，，所以在，上为增函数；在上为减函数；………4分当时，，所以在，上为增函数；在上为减函数；…………5分（2）令111()()()2g x f x x a x a a x a'==-+-<<+ 则22211()2()2()2()x a g x x a x a +-'=-=++ 221,02,()41(0)2a x a x a a x a a a -<<∴<+<∴+<<<<，在上为减函数，即在上为减函数以题意，不妨设，又因为12(0)0,()()0f f x f x '''=+=，………8分所以，，所以，且，实用文档由，得12122112x x a x a x a+=--++， 12121211()2x x f x x a x x a+'∴+=-+++， 12121111a x x a x a x a=+--++++， ………10分令，221111()(0)h t t a a t x t x a=+--<<++ 则22222222222222()(2)11()0()()()t x t t x x h t t x t t x t t x t +-+'=-+==>++⋅+⋅， ………11分所以，在内为增函数，又因为所以，，即：121211110a x x a x a x a+--<++++ 所以，. ……………12分39577 9A99 骙Y}IV35028 88D4 裔37429 9235 鈵 m26629 6805 栅,*ll)。

2021年高三(上)第五次月考数学试卷(理科) 含解析

2021年高三（上）第五次月考数学试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}．则∁UA=（）A．∅B． {3}C． {10} D． {3，4，5，6，7，8，9}2．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A． f（x）= B． f（x）=﹣x3C． f（x）=﹣tan x D． f（x）=3．已知数列{an }满足an+1=3an（n∈N*），且a2+a4+a6=9．则log（a5+a7+a9）的值是（）A．﹣5 B．﹣C． 5 D．4．如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，其正视图，侧视图，俯视图均为全等的正方形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D． 26．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（）A．B．C．D．7．将函数y=sinx的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[﹣1+2k，1+2k]，k∈Z B．[1+4k，3+4k]，k∈ZC．[﹣1+4k，1+4k]，k∈Z D．8．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D． 49．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C，D不重合）若，则λ的取值范围（）A．（0，1）B．C．（﹣1，0）D．10．已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C． 2 D．二、填空题：本大题共1小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）（坐标系与参数方程）11．若直线ρsin（θ+）=与直线3x+ky=1垂直，则常数k=．（几何证明选讲）12．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为．（不等式选讲）1015•郴州模拟）若不等式|x+3|+|x﹣7|≥a2﹣3a的解集为R，则实数a的取值范围是．三.必做题（14～16题）14．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）=．15．设（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…a n（x+2）n则a0+a1+a2+…a n=．16．定义[x]表示不超过x的最大整数（x∈R），如：[﹣1.3]=﹣2．[0.8]=0，[3.4]=3．定义{x}=x ﹣[x]．（1）…+=；（2）若x∈[0，316]，函数f（x）=sin2[x]+sin2{x}﹣1的零点个数为m，则m=．三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．根据空气质量指数AQJ（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：某市xx年11月1日﹣11月30日，对空气质量指数AQI进行监测，获得数据后得到如条形图：（1）市教育局规定在空气质量类别达到中度污染及以上时学生不宜进行户外跑步活动，估计该城市本月（按30天计）学生可以进行户外跑步活动的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个，设ξ为空气质量类别颜色为绿色的天数，求ξ的分布列与数学期望．AQI（数值）0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色18．已知函数f（x）=sin（ωx），其中常数ω＞0．（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，求ω的值；（2）在（1）的条件下，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（1）求证：BD⊥平面AED；（2）求二面角F﹣BD﹣C的正切值．20．已知S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，点（a n，S n）都在函数f（x）=﹣x+的图象上．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=loga2n+1，T n为数列{b n}的前项和，且+…+≤x2+ax+1对任意正整数n和任意x∈R 恒成立，求实数a的取值范围．21．已知两个定点A1（﹣2，0），A2（2，0），动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积是定值（m≠0）．（1）求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；（2）若m=﹣3，过点F（﹣l，0）的直线交曲线C于A与B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S l，△OED（O为坐标原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S l=S2？说明理由．22．已知f（x）=ke x﹣ex2（x∈R，）其中无理数e是自然对数的底数．（1）若k=1，求f（x）的图象在x=1处的切线l的方程；（2）若f（x）有两个不同的极值点x1，x1′，求实数k的取值范围；（3）若k依序取值1，，…，（n∈N*）时，分别得到f（x）的极值点对（x1，x1′），（x2，x2′），…（x n，x n′），其中x i＜x i′（i=1，2，…，n），求证：对任意正整数n≥2，有（2﹣x1）（2﹣x2）…（2﹣x n）＜=．xx学年湖南师大附中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}．则∁U A=（）A．∅B．{3}C．{10} D．{3，4，5，6，7，8，9}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：先求出不等式x2≥10的解集A，再由补集的运算求出∁U A．解答：解：由x2≥10得或，则集合A={x|或}，又全集U={x|x≥3，x∈N}，所以∁U A={x|3≤x，x∈N}={3}，故选：B．点评：本题考查补集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）= B．f（x）=﹣x3C．f（x）=﹣tan x D．f（x）=考点：正切函数的奇偶性与对称性；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．解答：解：A．由﹣x≥0，解得x≤0，则函数的定义域为（﹣∞，0]，关于原点不对称，故函数为非奇非偶函数，不满足条件．B．f（x）=﹣x3为奇函数，则定义域上为减函数，满足条件．C．f（x）=﹣tanx为奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．D．f（x）=为奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．故选：B点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，比较基础．3．已知数列{a n}满足a n+1=3a n（n∈N*），且a2+a4+a6=9．则log（a5+a7+a9）的值是（）A．﹣5 B．﹣C． 5 D．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a n+1=3a n，因此数列{a n}是等比数列，则公比为q=3．再利用等比数列的性质、对数的运算性质即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a n+1=3a n，∴数列{a n}是等比数列，则公比为q=3．∵a2+a4+a6=9，∴a5+a7+a9=q3（a2+a4+a6）=27×9=35，则log3（a5+a7+a9）==5．故选：C．点评：本题考查了等比数列的定义及其性质、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4．如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第五次不满足判断框中的条件，执行输出结果．解答：解：经过第一次循环得到S=，满足进入循环的条件，k=2，经过第二次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=3，经过第三次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=4，经过第四次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=5，经过第五次循环得到S=+=，不满足进入循环的条件，执行输出，故输出结果为：，故选：D点评：解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．5．某几何体的三视图如图所示，其正视图，侧视图，俯视图均为全等的正方形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D． 2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为，棱锥的高为1，即可求出体积．解答：解：该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为，棱锥的高为1，所以，其体积为，故选：A．点评：本题主要考查三视图，几何体的体积计算．要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题．6．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．分析：三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，基本事件总数n==720，同校学生排在一起包含的基本事件个数m==72，由此利用等可能事件概率计算公式能求出同校学生排在一起的概率．解答：解：三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，基本事件总数n==720，同校学生排在一起包含的基本事件个数m==72，∴同校学生排在一起的概率P===．故选：C．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意古典概型及其概率计算公式和排列组合知识的合理运用．7．将函数y=sinx的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[﹣1+2k，1+2k]，k∈Z B．[1+4k，3+4k]，k∈ZC．[﹣1+4k，1+4k]，k∈Z D．考点：复合三角函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先通过平移变缓得到f（x）的解析式，进一步利用整体思想求出单调递减区间．解答：解：函数y=sinx的图象向右平移2个单位后，得到：f（x）=，令：（k∈Z），解得：4k+3≤x≤4k+5，令k=k﹣1既得选项C故选：C点评：本题考查的知识点：函数图象的变换符合左加右减的性质，利用整体思想求函数的单调区间．8．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D． 4考点：基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A．点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．9．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C，D不重合）若，则λ的取值范围（）A．（0，1）B．C．（﹣1，0）D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：函数的性质及应用．分析：根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的相等关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果．解答：解：=+=+y=+y（﹣）=﹣y+（1+y），再根据=，可得y∈（0，1），∴λ∈（﹣1，0），故选：C．点评：本题考查向量的基本定理，是一个基础题，这种题目可以出现在解答题目中，也可以单独出现，注意表示向量时，一般从向量的起点出发，绕着图形的边到终点，属于中档题．10．已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C． 2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣=1，①；﹣=1，②，①﹣②得=，∵点P（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵直线l的斜率为2，∴=2，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=．故选A．点评：本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．二、填空题：本大题共1小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）（坐标系与参数方程）11．若直线ρsin（θ+）=与直线3x+ky=1垂直，则常数k=﹣3．考点：两条直线垂直的判定．专题：计算题；转化思想．分析：先根据两角和的正弦函数公式化简已知，然后把极坐标方程化为普通直线方程，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1得到k的值即可．解答：解：把ρsin（θ+）=利用两角和的正弦函数公式化简得：ρsinθcos+ρcosθsin=，即为x+y=1，直线的斜率为﹣1；因为该直线与直线3x+ky=1垂直，即斜率乘积为﹣1，所以由×（﹣1）=﹣1，解得k=﹣3．故答案为：﹣3点评：考查学生会根据两角和的正弦函数公式化简求值，会将极坐标方程化为普通直线方程．学生做题时必须会根据两直线垂直得到斜率乘积为﹣1．（几何证明选讲）12．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；选作题；直线与圆．分析：利用弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质即可得出．解答：解：直线MN切⊙O于点C，∴∠MCB=∠BAC，∵BE∥MN交AC于点E，∴∠MCB=∠EBC．∴△ABC∽△BCE．∴，∴==．∴．点评：熟练掌握弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．（不等式选讲）1015•郴州模拟）若不等式|x+3|+|x﹣7|≥a2﹣3a的解集为R，则实数a的取值范围是[﹣2，5]．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用绝对值三角不等式可求得|x+3|+|x﹣7|≥10，依题意，解不等式a2﹣3a≤10即可．解答：解：∵|x+3|+|x﹣7|≥|（x+3）+（7﹣x）|=10，∴|x+3|+|x﹣7|≥a2﹣3a的解集为R⇔a2﹣3a≤10，解得﹣2≤a≤5．∴实数a的取值范围是[﹣2，5]．故答案为：[﹣2，5]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查对值三角不等式的应用，求得|x+3|+|x﹣7|≥10是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．三.必做题（14～16题）14．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）=0.8413．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据随机变量ξ～N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（ξ＞1）=P（ξ＜3），即可求概率．解答：解：∵随机变量ξ～N（2，1），∴正态曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞3）=0.1587，∴P（ξ＞1）=P（ξ＜3）=1﹣0.1587=0.8413．故答案为：0.8413点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性，考查根据对称性求区间上的概率，本题是一个基础题．15．设（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…a n（x+2）n则a0+a1+a2+…a n=﹣2．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：令已知等式中的x等于﹣1，即得到﹣2=a0+a1+a2+…a n，解答：解：因为（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…a n（x+2）n令x=﹣1得到﹣2=a0+a1+a2+…a n，故答案为：﹣2．点评：求二项展开式的系数和，一般先通过观察给二项式中的未知数x赋合适的值，通过赋值法求出系数和．16．定义[x]表示不超过x的最大整数（x∈R），如：[﹣1.3]=﹣2．[0.8]=0，[3.4]=3．定义{x}=x ﹣[x]．（1）…+=500；（2）若x∈[0，316]，函数f（x）=sin2[x]+sin2{x}﹣1的零点个数为m，则m=101．考点：根的存在性及根的个数判断；二项式定理的应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；二项式定理．分析：（1）由==可得=，{}=，{}=1，…，从而求得；（2）由函数f（x）=sin2[x]+sin2{x}﹣1=0可得2[x]﹣x=+kπ（k∈Z），作函数y=2[x]﹣x的图象，利用数形结合求解即可．解答：解：（1）=，==1000﹣2+，∴=．再由==，可得{}=，{}=1，…，∴…+=（+）+（+1）+…（+）=500，故答案为：500．（2）∵函数f（x）=sin2[x]+sin2{x}﹣1=0，∴sin2[x]=cos2{x}=cos2（x﹣[x]），∴2[x]=x++kπ（k∈Z），∴2[x]﹣x=+kπ（k∈Z），作函数y=2[x]﹣x的图象如下，结合图象可知，若x∈[0，316]，则2[x]﹣x∈[﹣1，315]，故，+π，+2π，…，+100π∈[﹣1，315]，故m=101；故答案为：101．点评：本题考查了二项式定理的应用及数列求和方法的应用，同时考查了方程的根与函数的关系应用，属于中档题．三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．根据空气质量指数AQJ（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：某市xx年11月1日﹣11月30日，对空气质量指数AQI进行监测，获得数据后得到如条形图：（1）市教育局规定在空气质量类别达到中度污染及以上时学生不宜进行户外跑步活动，估计该城市本月（按30天计）学生可以进行户外跑步活动的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个，设ξ为空气质量类别颜色为绿色的天数，求ξ的分布列与数学期望．AQI（数值）0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由条形统计图知空气质量类别达到中度污染及以上的天数为12天，由此利用对立事件概率计算公式能求出该城市本月学生可以进行户外跑步活动的概率．（2）由已知得ξ的可能可值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与数学期望．解答：解：（1）由条形统计图知：空气质量类别达到中度污染及以上的天数为：6+4+2=12天，∴该城市本月学生可以进行户外跑步活动的概率P=1﹣=．（2）由已知得ξ的可能可值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P∴Eξ==．点评：本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．18．已知函数f（x）=sin（ωx），其中常数ω＞0．（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，求ω的值；（2）在（1）的条件下，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，确定函数的周期，即可求ω的值；（2）利用三角函数的平移关系求出g（x）的表达式，由g（x）=0，求出零点方程即可得到结论．解答：解：（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，则函数的周期T=2×=π，即=π，解得ω=2；（2）∵ω=2，∴函数f（x）=sin2x，将y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=sin2（x﹣），再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）=sin2（x﹣）+1=sin（2x﹣）﹣1．由g（x）=sin（2x﹣）﹣1=0．得sin（2x﹣）=．即2x﹣=2kπ+或2x﹣=2kπ+，即x=kπ+或x=kπ+，∵区间为[0，b]，∴当k=0，1，2，3，4时，有10个零点，第10个零点为x=4π+=，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，则b≥，即b的最小值为．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数图象变换，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（1）求证：BD⊥平面AED；（2）求二面角F﹣BD﹣C的正切值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）由已知条件利用余弦定理求出BD==，从而得到△ABD是直角三角形，且AD ⊥DB，由此能够证明BD⊥平面AED．（2）过C作CM⊥BD交BD于M，由已知条件推导出FC⊥BD，从而得到∠FMC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角F﹣BD﹣C的正切值．解答：（1）证明：在等腰直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD，由余弦定理得BD2=CD2+CB2﹣2CD•CB•cos（180°﹣∠DAB）=3CD2，∴BD==，在△ABD中，∠DAB=60°，BD=，∴△ABD是直角三角形，且AD⊥DB，又AE⊥BD，AD⊂平面AED，且AD∩AE=A，∴BD⊥平面AED．（2）解：过C作CM⊥BD交BD于M，∵FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FC⊥BD，又FC∩CM=C，∴BD⊥平面FCM，∴CM⊥BD，FM⊥BD，故∠FMC为二面角F﹣BD﹣C的平面角．…（9分）在△CDB中，CD=CB，∠DCB=120°，∴CM=，∴tan∠FMC==2．即二面角F﹣BD﹣C的正切值为2．…（12分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，点（a n，S n）都在函数f（x）=﹣x+的图象上．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=loga2n+1，T n为数列{b n}的前项和，且+…+≤x2+ax+1对任意正整数n和任意x∈R 恒成立，求实数a的取值范围．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由点（a n，S n）都在函数f（x）=﹣x+的图象上，可得S n=﹣，利用递推式可得，再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n=loga2n+1==2n+1．利用等差数列的前n项和公式可得T n=n（n+2），．利用“裂项求和”可得+…+=＜，+…+≤x2+ax+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立⇔x2+ax+1对任意x∈R 恒成立⇔4x2+4ax+1≥0对任意x∈R恒成立⇔△≤0，解出即可．解答：解：（1）∵点（a n，S n）都在函数f（x）=﹣x+的图象上，∴S n=﹣，当n=1时，a1=S1=﹣+，解得a1=．当n≥2时，S n﹣1=，∴a n=S n﹣S n=，化为，∴数列{a n}是等比数列，首项为，公比为，∴．（2）b n=loga2n+1==2n+1．∴=n（n+2），∴．∴+…+=+…+==，+…+≤x2+ax+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立⇔x2+ax+1对任意x∈R恒成立，⇔4x2+4ax+1≥0对任意x∈R恒成立，∴△=16a2﹣16≤0，解得﹣1≤a≤1．∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．点评：本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、递推式的应用、对数的运算性质、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知两个定点A1（﹣2，0），A2（2，0），动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积是定值（m≠0）．（1）求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；（2）若m=﹣3，过点F（﹣l，0）的直线交曲线C于A与B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S l，△OED（O为坐标原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S l=S2？说明理由．考点：圆锥曲线的轨迹问题；轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设动点M（x，y），依题意有，（m≠0），由此能求出动点M的轨迹方程，并能指出随m变化时方程所表示的曲线的形状．（2）m=﹣3时，动点M的轨迹方程为+=1（x≠±2），设设AB方程为y=k（x+1），代入+=1，利用根与系数之间的关系进行转化求解即可．解答：解：（1）设动点M（x，y），依题意有，（m≠0），整理，得，m≠2．∴动点M的轨迹方程为．m＞0时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线，m∈（﹣4，0）时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆，m=﹣4时，轨迹是圆，m∈（﹣∞，﹣4）时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且点A1（﹣2，0），A2（2，0）不在曲线上．（2）m=﹣3时，动点M的轨迹方程为+=1（x≠±2），假设垂直直线AB，使S l=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直，∴直线AB的斜率存在且不为0，设AB方程为y=k（x+1），代入+=1并整理得（3+4k2）x2+8kk2x+4k2﹣12=0设A（x E1E，y E1E），B（x E2，y E2），则x E1E+x E2=，y E1E+y E2=，则G（，），∵DG⊥AB，∴•k=﹣1，解得x ED=﹣，即D（﹣，0），∵△GFD～△OED，∴=，又S l=S2，∴|DG|=|OD|，∴=|﹣|，整理得8k2+9=0，∵此方程无解，∴不存在直线AB，使S l=S2点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系的应用，利用直线和圆锥曲线的位置关系转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强运算量较大．22．已知f（x）=ke x﹣ex2（x∈R，）其中无理数e是自然对数的底数．（1）若k=1，求f（x）的图象在x=1处的切线l的方程；（2）若f（x）有两个不同的极值点x1，x1′，求实数k的取值范围；（3）若k依序取值1，，…，（n∈N*）时，分别得到f（x）的极值点对（x1，x1′），（x2，x2′），…（x n，x n′），其中x i＜x i′（i=1，2，…，n），求证：对任意正整数n≥2，有（2﹣x1）（2﹣x2）…（2﹣x n）＜=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；证明题；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出导数，求出切线的斜率，切点，运用点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求出导数，f（x）有两个不同的极值点x1，x1′，则f′（x）=0有两个不相等的实根．即有k=有两解，令g（x）=，求出g（x）的导数，求出极值、最值，即可得到k的范围；（3）运用零点存在定理，得到x i∈（0，1），再由基本不等式证得0＜x i（2﹣x i）＜（）2=1，再由累乘法即可证得原不等式成立．解答：（1）解：k=1时，f（x）=e x﹣ex2，导数为f′（x）=e x﹣2ex，则f（x）在x=1处的切线斜率为e﹣2e=﹣e，切点为（1，0），则切线方程为：y=﹣e（x﹣1）即为ex+y﹣1=0；（2）解：f（x）=ke x﹣ex2（x∈R）的导数为f′（x）=ke x﹣2ex，由于f（x）有两个不同的极值点x1，x1′，则f′（x）=0有两个不相等的实根．即有k=有两解，令g（x）=，g′（x）=，当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0，则有g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值，即为2．且x→+∞，g（x）→0，则有0＜k＜2；（3）证明：由f′（x）=ke x﹣2ex=0，可得，ke x=2ex，k=，由于f′（0）=k＞0，f′（1）=ke﹣2e＜0，则极值点x i∈（0，1）．由于0＜x i（2﹣x i）＜（）2=1，则有x1（2﹣x1）•x2（2﹣x2）•…•x n（2﹣x n）＜1，即有（2﹣x1）（2﹣x2）…（2﹣x n）＜，又1•=2ex1，=2ex2，=2ex3，…，=2ex n，相乘，可得，=e n•x1x2…x n，则有=．则原不等式成立．点评：本题考查导数的运用：求切线方程、求单调区间和求极值，考查基本不等式的运用，累乘法的运用，考查运算能力，属于中档题．27192 6A38 樸(27361 6AE1 櫡$39694 9B0E 鬎27808 6CA0 沠~39610 9ABA 骺} 37015 9097 邗24598 6016 怖22896 5970 奰"20941 51CD 凍。

2021年高三上学期第五次月考数学(文)试卷含解析

2021年高三上学期第五次月考数学（文）试卷含解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知M={x||x﹣3|＜4}，N={x|＜0，x∈Z}，则M∩N=（） A．ϕ B． {0} C． {2} D． {x|2≤x≤7}2．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．命题“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题D．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题3．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A． 8 B． 7 C． 6 D． 54．圆（x﹣1）2+y2=1被直线x﹣y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（）A． 1：2 B． 1：3 C． 1：4 D． 1：55．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．设a=30.5，b=log32，c=log0.53，则（）A． c＜b＜a B． c＜a＜b C． a＜b＜c D． b＜c＜a7．各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值是（）A． B． C． D．或8．若函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g （x）=log a（x+k）的图象是（）A． B．C． D．9．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．﹣ B．﹣ C． D．10．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S n，则S10=（）A． 45 B． 55 C． 90 D． 110二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.答案须填在答题纸相应的横线上. 11．将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数g（x），则g（x）的最小正周期是．12．已知直线l：3x+y﹣6=0和圆心为C的圆x2+y2﹣2y﹣4=0相交于A，B两点，则线段AB 的长度等于．13．若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为．14．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为．15．（5分）（xx•凉州区二模）对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7…23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19…根据上述分解规律，若m2=1+3+5+…+11，p3分解中最小正整数是21，则m+p= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知向量=（sin，cos），=（cos，cos），函数f（x）=•，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）如果△ABC的三边a、b、c，满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．17．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，f（1））处的切线方程为y=﹣3x+1，函数g（x）=f（x）﹣ax2+3是奇函数．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数f（x）的极值．19．已知双曲线=1的一个焦点为，一条渐近线方程为y=x，其中{a n}是以4为首项的正数数列．（Ⅰ）求数列{c n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式对一切正常整数n恒成立，求实数x的取值范围．20．在直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2．其中F2也是抛物线C2：y2=4x 的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若过点D（4，0）的直线l与C1交于不同的两点E，F．E在DF之间，试求△ODE 与△ODF面积之比的取值范围．（O为坐标原点）21．已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．（Ⅰ）求证：函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x2﹣ax+5a）＜f（m）的解集为{x|﹣3＜x＜2}，求m的值．（Ⅲ）若f（1）=2，求f（xx）的值．xx学年山东省菏泽市曹县三桐中学高三（上）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知M={x||x﹣3|＜4}，N={x|＜0，x∈Z}，则M∩N=（）A．ϕ B． {0} C． {2} D． {x|2≤x≤7}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合M，N，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．解答：解：∵M={x||x﹣3|＜4}=（﹣1，7），N={x|＜0，x∈Z}={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，∴M∩N={0}故选B点评：本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合M，N，是解答本题的关键．2．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．命题“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题D．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：根据原命题与否命题的关系，可得A选项不正确；根据含有量词的命题否定的规律，得到B选项是不正确的；根据原命题与逆否命题真值相同，可知C选项不正确；对于D，得到复合命题p或q的真值表，可得D选项正确．解答：解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”所以A错误．命题“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”，所以B错误．命题“若x=y，则sinx=siny”正确，则命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题也正确，所以C错误．若“p或q”为真命题，根据复合命题p或q的真值表，则p，q至少有一个为真命题，故D 为真．故选D．点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了四种命题及其相互关系和含有量词的命题的否定等知识点，属于基础题．3．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A． 8 B． 7 C． 6 D． 5考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出程序框图输出的k值是什么．解答：解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下；n=3，k=0，3不是偶数，n=3×3+1=10，k=0+1=1，10≠1；10是偶数，n==5，k=1+1=2，5≠1；5不是偶数，n=3×5+1=16，k=2+1=3，16≠1；16是偶数，n==8，k=3+1=4，8≠1；8是偶数，n==4，k=4+1=5，4≠1；4是偶数，n==2，k=5+1=6，2≠1；2是偶数，n==1，k=6+1=7，1=1；输出k：7．故选：B．点评：本题考查了求程序框图的运行结果的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出结论，是基础题．4．圆（x﹣1）2+y2=1被直线x﹣y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（） A． 1：2 B． 1：3 C． 1：4 D． 1：5考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得．解答：解：圆的圆心为（1，0）到直线x﹣y=0的距离为=∴弦长为2×=根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为×2π×1=，较长的弧长为2π﹣=∴较短弧长与较长弧长之比为1：3故选B点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．一般采用数形结合的方法，在弦与半径构成的三角形中，通过解三角形求得问题的答案．5．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z；令复数的实部、虚部大于0，得到不等式无解，即对应的点不在第一象限．解答：解：由已知z==[（m﹣4）﹣2（m+1）i]在复平面对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A点评：本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数；考查复数的几何意义：复数与复平面内的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应．6．设a=30.5，b=log32，c=log0.53，则（）A． c＜b＜a B． c＜a＜b C． a＜b＜c D． b＜c＜a考点：对数值大小的比较．专题：计算题．分析：根据指数函数和对数函数的性质，得到三个数字与0，1之间的大小关系，利用两个中间数字得到结果．解答：解：∵a=30.5＞10＜b=log32＜1c=log0.53＜0∴三个数字的大小根据三个数字的范围得到c＜b＜a故选A．点评：本题考查对数值的大小比较，本题解题的关键是找出一个中间数字，使得三个数字利用中间数字隔开．7．各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值是（）A． B． C． D．或考点：等差数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a2，a3，a1成等差数列可得a1、a2、a3的关系，结合等比数列的通项公式即可求出q，而由等比数列的性质可得则 =，故本题得解．解答：解：设{a n}的公比为q（q＞0），由a3=a2+a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=．∴则 ==．故答案为．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．8．若函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g （x）=log a（x+k）的图象是（）A． B．C． D．考点：奇偶性与单调性的综合；对数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．解答：解：∵函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，∴f（0）=0∴k=2，又∵f（x）=a x﹣a﹣x为减函数，所以1＞a＞0，所以g（x）=log a（x+2）定义域为x＞﹣2，且递减，故选：A点评：本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．9．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．﹣ B．﹣ C． D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出ϕ，即可求解f（）的值．解答：解：因为f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜ϕ＜π，所以ϕ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=cos=．故选：D．点评：本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力．10．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S n，则S10=（）A． 45 B． 55 C． 90 D． 110考点：数列的求和；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由分段函数解析式得到函数f（x）在x＞0时的分段解析式，首先求得函数g（x）=f（x）﹣x在（﹣2，0]上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数g（x）=f（x）﹣x 在（0，2]，（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n项和得答案．解答：解：当0＜x≤2时，有﹣2＜x﹣2≤0，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2，当2＜x≤4时，有0＜x﹣2≤2，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣4+1，当4＜x≤6时，有2＜x﹣2≤4，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣6+2，当6＜x≤8时，有4＜x﹣1≤6，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣8+3，以此类推，当2n＜x≤2n+2（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2n﹣2+n，∴函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（﹣1，），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x 的图象，取x≤0的部分，可见它们有两个交点（0，0），（﹣1，）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有两个根x=﹣1，x=0；当0＜x≤2时，由函数图象平移可得g（x）=f（x）﹣x的零点为1，2；以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点分别为：3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；综上所述函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2，4，…，其通项公式为：a n=2（n﹣1），前10项的和为S10=．故选：C．点评：本题考查了分段函数的应用，考查了函数零点的判断方法，考查了等差数列的和的求法，是中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.答案须填在答题纸相应的横线上. 11．将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数g（x），则g（x）的最小正周期是π．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：由左加右减上加下减的原则，函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，得到新函数g（x），然后利用函数的周期公式求解即可．解答：解：将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，得到函数g（x）=，所以g （x）的最小正周期是：=π；故答案为：π．点评：本题是基础题，考查三角函数的图象的变换，三角函数的周期的求法，注意平移与伸缩变换的差别．12．已知直线l：3x+y﹣6=0和圆心为C的圆x2+y2﹣2y﹣4=0相交于A，B两点，则线段AB 的长度等于．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．解答：解：圆的标准方程为x2+（y﹣1）2=5，则圆心为C（0，1），半径R=，则圆心到直线的距离d=，则线段AB的长度|AB|=2==，故答案为：点评：本题主要考查直线和圆相交以及弦长的求解，根据弦长公式是解决本题的关键．13．若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为﹣15 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：根据展开式的各项系数绝对值之和为4n=1024，求得n=5．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求得r的值，可得展开式中x项的系数．解答：解：在的展开式中，令x=1，可得展开式的各项系数绝对值之和为4n=22n=1024=210，∴n=5．故展开式的通项公式为T r+1=令=1，求得r=1，故展开式中x项的系数为﹣15．故答案为：﹣15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：利用微积分基本定理即可求出．解答：解：如图所示：联立解得，∴M（4，2）．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积S===．故答案为．点评：熟练掌握微积分基本定理是解题的关键．15．（5分）（xx•凉州区二模）对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7…23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19…根据上述分解规律，若m2=1+3+5+…+11，p3分解中最小正整数是21，则m+p= 11 ．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：根据m2=1+3+5+…+11，p3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、p，即可求得m+p的值．解答：解：∵m2=1+3+5+…+11==36，∴m=6∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，∴53=21+23+25+27+29，∵p3的分解中最小的数是21，∴p3=53，p=5∴m+p=6+5=11故答案为：11点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、p的值是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知向量=（sin，cos），=（cos，cos），函数f（x）=•，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）如果△ABC的三边a、b、c，满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．专题：综合题．分析：（1）利用向量的数量积公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数f（x）的单调递增区间；（2）通过b2=ac，利用余弦定理求出cosx的范围，然后求出x的范围，进而可求三角函数的值域．解答：解：（1）∵向量=（sin，cos）=（cos，cos），∴函数f（x）=•=sin（）+，令2kπ﹣≤≤2kπ+，解得．故函数f（x）的单调递增区间为．（2）由已知b2=ac，cosx==≥=，∴≤cosx＜1，∴0＜x≤∴∴＜sin（）≤1，∴＜sin（）+≤1+∴f（x）的值域为（，1+]点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理的应用，正弦函数的值域的求法，考查计算能力．17．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由AD∥EF，EF∥BC，知AD∥BC．由BC=2AD，G是BC的中点，知四边形ADGB 是平行四边形，由此能证明AB∥平面DEG．（Ⅱ）由EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，知EF⊥AE，EF⊥BE，由AE⊥EB，知EB，EF，EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角C﹣DF﹣E的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．…（6分）（Ⅱ）解：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．…（7分）以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由已知得A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0），由已知得=（2，0，0）是平面EFDA的法向量，设平面DCF的法向量=（x，y，z），∵=（0，﹣1，2），=（2，1，0），∴，解得=（﹣1，2，1）．设二面角C﹣DF﹣E的平面角为θ，则cosθ=cos＜，＞==﹣．∴二面角C﹣DF﹣E的余弦值为﹣．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，f（1））处的切线方程为y=﹣3x+1，函数g（x）=f（x）﹣ax2+3是奇函数．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；转化思想．分析：（1）由题意先求f（x）的导函数，利用导数的几何含义和切点的实质及g（x）为奇函数建立a，b，c的方程求解即可；（2）有（1）可知函数f（x）的解析式，先对函数f（x）求导，再利用极值概念加以求解即可．解答：解：（1）f′（x）=﹣3x2+2ax+b，∵函数f（x）在x=1处的切线斜率为﹣3，∴f′（1）=﹣3+2a+b=﹣3，即2a+b=0，又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1，又函数g（x）=﹣x3+bx+c+3是奇函数，∴c=﹣3．∴a=﹣2，b=4，c=﹣3，∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3．（2）f′（x）=﹣3x2﹣4x+4=﹣（3x﹣2）（x+2），令f（x）=0，得x=或x=﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增；当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；所以f（x）极小=f（﹣2）=﹣11，f（x）极大=f．．点评：（1）此问重点考查了导函数的几何意义，奇函数的概念和切点的定义，还考查了方程的数学思想；（2）此问考查了函数的极值的定义和求极值的方法．19．已知双曲线=1的一个焦点为，一条渐近线方程为y=x，其中{a n}是以4为首项的正数数列．（Ⅰ）求数列{c n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式对一切正常整数n恒成立，求实数x的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由于双曲线方程为的一个焦点为（，0），可得c n=a n+a n﹣1．由于一条渐近线方程为，可得，即=2，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）设T n=+…+，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得T n=﹣﹣，故原不等式等价于+log a x恒成立，化为log a x≥0．由于a＞1，即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵双曲线方程为的一个焦点为（，0），∴c n=a n+a n﹣1．又∵一条渐近线方程为，∴，即=2，∴=2n+1．∴=3×2n．（II）设T n=+…+①，=②，①﹣②得，•==，∴T n=﹣﹣，故原不等式等价于+log a x恒成立，∴log a x≥0．∵a＞1，∴x≥1，∴实数x的取值范围是[1，+∞）．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”，考查了不等式恒成立的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．在直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2．其中F2也是抛物线C2：y2=4x 的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若过点D（4，0）的直线l与C1交于不同的两点E，F．E在DF之间，试求△ODE 与△ODF面积之比的取值范围．（O为坐标原点）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．分析：（Ⅰ）依题意知F2（1，0），设M（x1，y1）．由抛物线定义得，即．由此能够求出C1的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=sy+4，代入，得（3s2+4）y2+24sy+36=0，由△＞0，解得s2＞4．设E（x1，y1），F（x2，y2），再结合韦达定理能够导出△ODE与△ODF面积之比的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依题意知F2（1，0），设M（x1，y1）．由抛物线定义得，即．将代入抛物线方程得（2分），进而由及a2﹣b2=1解得a2=4，b2=3．故C1的方程为（4分）（Ⅱ）依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=sy+4代入，整理得（3s2+4）y2+24sy+36=0（6分）由△＞0，解得s2＞4．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，（1）（8分）令且0＜λ＜1．将y1=λy2代入（1）得消去y2得（10分），即，即3λ2﹣10λ+3＜0解得．∵0＜λ＜1，故△ODE与△ODF面积之比的取值范围为（12分）点评：本题考查轨迹方程的求法和求△ODE与△ODF面积之比的取值范围．解题时要认真审题，注意培养直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．21．已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．（Ⅰ）求证：函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x2﹣ax+5a）＜f（m）的解集为{x|﹣3＜x＜2}，求m的值．（Ⅲ）若f（1）=2，求f（xx）的值．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）直接利用函数单调性的定义进行判定即可；（Ⅱ）利用函数单调性去掉“f“，然后根据解集可求出m的值；（Ⅲ）令x=n，y=1，得f（n+1）﹣f（n）=1，然后利用累加法可求出所求．解答：（Ⅰ）证明：设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，从而f（x1﹣x2）＞1，即f（x1﹣x2）﹣1＞0．f（x1）=f[x2+（x1﹣x2）]=f（x2）+f（x1﹣x2）﹣1＞f（x2），故f（x）在R上是增函数．（Ⅱ）解：f（x2﹣ax+5a）＜f（m）．由（1）得x2﹣ax+5a＜m，即x2﹣ax+5a﹣m＜0．∵不等式f（x2﹣ax+5a）＜f（m）的解集为{x|﹣3＜x＜2}，∴方程x2﹣ax+5a﹣m=0的两根为﹣3和2，于是，解得，（Ⅲ）解：若f（1）=2，在已知等式中令x=n，y=1，得f（n+1）﹣f（n）=1，所以累加可得，f（n）=2+（n﹣1）×1=n+1，故f（xx）=xx．点评：本题主要考查了抽象函数的应用，以及一元二次不等式的求解，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力．| 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黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2,3,5,7,8,9A =，{}31,B x x k k ==-∈Z ，则A B =I （） A ．{}5,8B ．{}7C ．{}2,5,8D ．{}3,5,7,92．等差数列{}()*n a n ∈N 中，274110,2a a a a =-=，则7a =（）A ．40B ．30C ．20D ．103．已知函数()e e 2x xa f x x -+=为偶函数，则a =（）A ．2B ．1C ．0D ．1-4．已知α是第二象限的角，(,8)P x 为其终边上的一点，且4sin 5α=，则x =（） A ．6-B ．6±C ．323±D ．323-5．已知()311sin ,25tan tan αβαβ+=-+=，则sin sin αβ=（） A ．310-B ．15C ．15-D ．3106．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．若125n n a a n ++=+，11a =，则8S =（） A ．48B ．50C ．52D ．547．正整数1,2,3,,n L 的倒数的和111123n++++L 已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n 很大时，1111ln 23n nγ++++≈+L .其中γ称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈L ，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数.设[]x 表示不超过x 的最大整数，用上式计算1111232024⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦L 的值为（）（参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln10 2.30≈） A ．10B ．9C ．8D ．78．数列 a n 的前n 项和为n S ，满足{}111,3,2n n n a a d a +-=∈=，则10S 可能的不同取值的个数为（） A ．45B ．46C ．90D ．91二、多选题9．已知函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论成立的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．曲线()y f x =关于直线π2x =对称C ．点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线()y f x =的对称中心 D ．()f x 在(0,π)上单调递增10．下列命题正确的（）A ．ABC V 中，角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，若cos =c b A ，则ABC V 一定是直角三角形B ．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4,30a c A ===︒时，有两解 C ．命题“()00,x ∞∃∈+，00ln 1x x =-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∞∀∉+=-”D ．设函数()()()24f x x a x =--定义域为R ，若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为{|4x x ≥或1}x =，则点()2,2-是曲线y =f x 的对称中心11．如图，某旅游部门计划在湖中心Q 处建一游览亭，打造一条三角形DEQ 游览路线．已知,AB BC 是湖岸上的两条甬路，120,0.3km,0.5km,60ABC BD BE DQE ∠=︒==∠=︒（观光亭Q 视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（）A ．0.7km DE =B ．当45DEQ ∠=︒时，DQ =C ．DEQ V 2D ．游览路线DQ QE +最长为1.4km三、填空题12．已知函数()ln f x x x =，角θ为函数()f x 在点(e,(e))f 处的切线的倾斜角，则sin 2cos sin cos θθθθ+=-．13．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知14733a a a ++=，25827a a a ++=，若存在正数k ，使得对任意N*n ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为． 14．设a b c ，，是正实数，且abc a c b ++=，则222111111a b c -++++的最大值为.四、解答题15．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为cos π,,,2sin cos 6A a b c C B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． (1)求B ；(2)若ABC VAC 边上的高为1，求ABC V 的周长．16．已知数列{}n a ，{}n b 中，14a =，12b =-，{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n n a b +是公比为2的等比数列. (1)求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n b 的前n 项和n T .17．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+． (1)若π2π,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域；(2)若关于x 的方程()0f x a -=有三个连续的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x<<，31223x x x +=，求a 的值．18．已知函数()sin ln(1),R f x x x ax a =++-∈.(1)当0a =时，求()f x 在区间()1,π-内极值点的个数； (2)若 ()0f x ≤恒成立，求a 的值； (3)求证：2*1121sin2ln ln 2,N 11ni n n n i n =+-<-∈--∑. 19．对于数列{}n a ，若存在常数T ，*00)(,N n T n ∈，使得对任意的正整数0n n ≥，恒有n T na a +=成立，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列．当01n =时，称数列{}n a 为纯周期数列；当02n ≥时，称数列{}n a 为混周期数列．记[]x 为不超过x 的最大整数，设各项均为正整数的数列{}n a 满足：[]21log ,212,2n nnn a n n a a a a a +⎧⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数. (1)若对任意正整数n 都有1n a ≠，请写出三个满足条件的1a 的值； (2)若数列{}n a 是常数列，请写出满足条件的1a 的表达式，并说明理由； (3)证明：不论1a 为何值，总存在*,N ∈m n 使得21m n a =-．。

北京市中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷含答案

北京35中2025届10月月考数学（答案在最后）2024.10本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}212,340,ZA x xB x x x x =-≤≤=--<∈，则A B = （）A.{}0,1B.{}11x x -≤<C.{}0,1,2 D.{}12x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】计算{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2340,Z 14,Z 0,1,2,3B x x x x x x x =--<∈=-<<∈=，{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2A B = .故选：C.2.已知223,tan2,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】D 【解析】【分析】确定19a =，0b <，1c >，得到答案.【详解】2139a -==，tan20b =<，22log 3log 21c >==，故c a b >>.故选：D.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是A.3()f x x = B.()lg ||f x x = C.()f x x=- D.()cos f x x=【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在()0,1上的单调性，得到答案.【详解】选项A 中，()3f x x =，是奇函数，但在()0,1上单调递增，不满足要求；选项B 中，()lg f x x =，是偶函数，不满足要求，选项C 中，()f x x =-，是奇函数，在()0,1上单调递减，满足要求；选项D 中，()cos f x x =，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.在621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A.20-B.15- C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令360r -=，则2r =，故常数项为()2236115T C =-=，故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题.5.已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （）A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由偶函数的定义判断函数()f x 的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数()f x 的单调性.【详解】∵||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x xxf x e e e e -=--，∵函数x y e =在(0,+∞)上单调递增，函数1x y e=在(0,+∞)上单调递减，∴()e e x x f x -=-在(0,+∞)上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6.阅读下段文字：“为无理数，若a b ==ba 为有理数；若则取无理数a =，b =，此时(22ba ====为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数B.C.存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数 D.对任意无理数a ，b ，都有b a 为无理数【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【详解】这段文字中，没有证明AB 错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C 正确；这段文字中只提及存在无理数a ，b ，不涉及对任意无理数a ，b ，都成立的问题，D 错误.故选：C 7.若点5π5πsin,cos 66M ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan2α=（）A.33 B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数定义得到tan α=.【详解】5π5πsin ,cos 66M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5πcos6tan 5πsin6α==，22tan 23tan21tan 13ααα-===--故选：C.8.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.【详解】当0a <时，作出ln ,ay x y x==-的图像，可以看出0a <时，函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点，反之也成立，故选C.【点睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v =时，其耗氧量的单位数为（）A.1800 B.2700C.7290D.8100【答案】D 【解析】【分析】设3log 100Qv k =，利用当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900求出k 后可计算2m /s v =时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设3log 100Q v k =，因为1v m /s =时，900Q =，故39001log 2100k k ==，所以12k =，故2m /s v =时，312log 2100Q =即8100Q =.故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.10.已知各项均为整数的数列{}n a 满足()*12121,2,3,n n n a a a a a n n --==>+≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（）A.520a >B.10100a <C.151000a >D.202000a <【答案】C 【解析】【分析】依题意根据数列的递推公式可分别判断各选项，再利用各项均为整数即可判断只有C 选项一定正确.【详解】根据题意可知3123a a a >+=，又数列的各项均为整数，所以3a 最小可以取4，即34a ≥；同理可得4236a a a >+≥，所以4a 最小可以取7，即47a ≥；同理53411a a a >+≥，所以5a 最小可以取12，即512a ≥，即520a <可以成立，因此可得A 不一定正确；同理易得645619,20a a a a >+≥≥；756732,33a a a a >+≥≥；867853,54a a a a >+≥≥；978987,88a a a a >+≥≥；108910142,143a a a a >+≥≥，即10100a <不成立，B 错误；又1191011231,232a a a a >+≥≥；12101112375,376a a a a >+≥≥；131********,609a a a a >+≥≥；14121314985,986a a a a >+≥≥，151314151595,1596a a a a >+≥≥，即可得151000a >一定成立，即C 正确；显然若32000a =，则202000a <明显错误，即D 错误.故选：C第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数1ii+的虚部为________.【答案】－1【解析】【详解】试题分析：1ii 1i+=-+，所以其虚部为－1考点：复数的虚部12.函数()f x =的定义域为R ，请写出满足题意的一个实数a 的值______．【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的定义域求解即可.【详解】因为()f x =R ，所以20x a -≥在R 上恒成立，即2a x ≤，由于20x ≥在R 上恒成立，故实数a 的取值范围为(],0-∞.故答案为：1-（答案不唯一）.13.已知数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，{}n b 的通项公式为12n b n =-．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S =____；n S 的最小值为____．【答案】①.1-②.2-【解析】【分析】（1）由题可得1212n n n n a b c n -+==+-，根据等比数列及等差数列的求和公式可得n S ，利用数学归纳法可得3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，进而即得.【详解】由题可知1212n n n a b n -+=+-，所以()()()()()423441712112325271122S +-++-++-++-+-==--=，()()()()1212112112321221122n n n n n n n S n -+--+-++-+++-=-=---= ，令1212n n c n -=+-，则123450,1,1,1,7c c c c c ==-=-==，当4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，下面用数学归纳法证明当4n =时，1221n n ->-成立，假设n k =时，1221k k ->-成立，当1n k =+时，()()()122222121123211k k k k k k -=⋅>-=+-+->+-，即1n k =+时也成立，所以4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，所以3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，由当3n =时，n S 有最小值，最小值为3322132S =--=-.故答案为：1-；2-.14.已知函数()e ,,x x x af x x x a⎧<=⎨-≥⎩，()f x 的零点为__________，若存在实数m 使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.0②.11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导函数判断函数单调性，利用求解极值的方法画出函数的大致图象，分析运算即可得出结果.【详解】令()e xg x x =，可得()()1e xg x x +'=，由()0g x '=可得1x =-，当(),1x ∞∈--时，()0g x '<，此时()g x 在(),1∞--上单调递减，当()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，此时()g x 在()1,∞-+上单调递增，因此()g x 在1x =-处取得极小值，也是最小值，即()()min 11eg x g =-=-，又()00g =，且0x <时，()10eg x -≤<，当0x >时，>0，令()h x x =-，其图象为过原点的一条直线，将()(),g x h x 的大致图象画在同一直角坐标系中如下图所示：当0a <时，如下图，在[),+∞a 上()()f x h x x ==-的零点为0，当0a =时，如下图，在[)0,∞+上()()f x h x x ==-的零点为0当0a >时，如下图，在(),a ∞-上()()e xf xg x x ==的零点为0，综上可知，()f x 的零点为0；当1a ≤-时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点，当11ea -<<时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有三个交点，当1ea ≥时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点；综上可知，若使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：0；11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭15.已知函数()()e 111xf x k x =----，给出下列四个结论：①当0k =时，()f x 恰有2个零点；②存在正数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有2个零点；④对任意()0,k f x <只有一个零点.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】把函数()f x 的零点个数问题，转化为函数e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，作出图象分类讨论可得结论.【详解】令()()e 1110xf x k x =----=，得()e 111xk x -=-+，函数()f x 的零点个数，即为方程()e 111xk x -=-+的根的个数，方程()e 111xk x -=-+根的个数，即为e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，又函数()11y k x =-+是过定点(1,1)A 的直线，作出e 1xy =-的图象如图所示，当0k =直线()11y k x =-+与函数e 1xy =-有一个交点，故()()e 111xf x k x =----有一个零点，故①错误；当()11y k x =-+在第一象限与函数e 1xy =-相切时，函数()()e 111xf x k x =----有一个零点，故②正确；函数()11y k x =-+绕着A 顺时针从1y =转到1x =时，两图象只有一个交点，故0k <时，函数()()e 111xf x k x =----只有一个零点，故③错误，④正确.故答案为：②④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点.点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-.（1）求cos2α的值；（2）求()sin βα-的值.【答案】（1）725-（2）5665.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可得4sin 5α=，再由二倍角公式计算可得7cos225α=-；（2）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角差的正弦公式计算可得结果.【小问1详解】由题可知，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点；点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-，所以45sin ,cos 513αβ==-.即可得27cos212sin 25αα=-=-.【小问2详解】由于22sin cos 1αα+=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23cos 1sin 5αα=-=，同理由于2π12,π,sin 1cos 213βββ⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，所以()56sin sin cos cos sin 65βαβαβα-=-=.17.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对,,A B C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目A B C做对的概率451214获得的奖金/元204080规则如下：按照,,A B C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]（1）求甲没有获得奖金的概率；（2）求甲最终获得的奖金X 的分布列及期望；（3）如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）【答案】（1）15（2）分布列见解析，40（元）（3）不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，从而求得对应的概率；（2）易知X 的可能取值为0，20，60，140，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期望值；（3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知.【小问1详解】甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，设甲没有获得奖金为事件M ，则()41155P M =-=.【小问2详解】分别用,,A B C 表示做对题目,,A B C 的事件，则,,A B C 相互独立.由题意，X 的可能取值为0,20,60,140.41412(0)()1;(20)()155525P X P A P X P AB ⎛⎫===-====⨯-= ⎪⎝⎭;4134111(60)()1;(140)()52410524101P X P ABC P X P ABC ===⨯⨯-===⨯⎛⎫ ⎪⎝=⎭=⨯.所以甲最终获得的奖金X 的分布列为X02060140P 1525310110()12310206014040551010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：由（2）知，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望为40元，若按照,,A C B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,20,100,140.141(0)1;(250)1554435P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;41411(100)1;(140)5105421011142P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为110201001403613110550⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B A C 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,60,140.1114(0)1;(400)1212125P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;143141(60)1;(140)254102541011P X P X ==⨯⨯-===⨯⎛⨯ ⎝=⎫⎪⎭.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B C A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,120,140.1111(0)1;(480)122432P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(120)1;(140)24024510141145P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C A B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,100,140.1314(0)1;(800)1414245P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1141(100)1;(140)10452104111452P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为1080100140284101311200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C B A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,120,140.1311(0)1;(880)144214P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(100)1;(140)40425101411425P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为5311108010014026.401048⨯+⨯+⨯+⨯=元，显然按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大.18.已知()2cos sin ,f x ax x x x a =++∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上为增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2y =（2）[)1,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）将()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数转化为sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数()sin cos g x x x x =-并求导得出其单调性，求出最大值可得实数a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()2cos sin f x x x x =+，易知()2sin sin cos cos sin f x x x x x x x x'=-++=-可得()()00,02f f ='=，所以切线方程为2y =.【小问2详解】易知()sin cos f x a x x x=+'-由函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，可得′≥0在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()ππsin cos ,sin ,,22g x x x x g x x x x ⎡⎤=-=∈-⎢⎣'⎥⎦法一：令()sin 0g x x x '==，得0x =，()(),g x g x '的变化情况如下：x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭0π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x '+0+()g x所以()g x 为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.法二：当π02x -<<时，sin 0,sin 0x x x <>；当π02x ≤<时，sin 0,sin 0x x x ≥≥.综上，当ππ22x -<<时，()()0,g x g x '≥为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.19.现有一张长为40cm ，宽为30cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为cm x ，高为y cm ，体积为()3cm V .（1）求出x 与y 的关系式；（2）求该铁皮盒体积V 的最大值.【答案】（1）21200,0304x y x x-=<≤；（2）34000cm .【解析】【分析】（1）由题意得到244030x xy +=⨯，化简得到212004x y x -=，并由实际情境得到030x <≤；（2）表达出()()3112004V x x x =-，求导得到其单调性，进而得到最大值.【小问1详解】因为材料利用率为100%，所以244030x xy +=⨯，即212004x y x -=；因为长方形铁皮ABCD 长为40cm ，宽为30cm ，故030x <≤，综上，212004x y x-=，030x <≤；【小问2详解】铁皮盒体积()()222312*********x V x x y x x x x -==⋅=-，()()21120034V x x '=-，令()0V x '=，得20,x =()(),V x V x '的变化情况如下：x ()0,2020()20,30()V x +0-()V x '()V x 在()0,20上为增函数，在()20,30上为减函数，则当20x =时，()V x 取最大值，最大值为()3311200202040040cm ⨯⨯-=.20.已知函数1e ()x f x x-=.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）当211x x >>时，判断21()()f x f x -与2122x x -的大小，并说明理由.【答案】（1）230x y +-=；（2）单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞；（3）212122()()f x x x f x -->，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）利用导数求出函数()f x 的单调区间.（3）构造函数2()(),1g x f x x x=->，利用导数探讨函数单调性即可判断得解.【小问1详解】函数1e ()x f x x -=，求导得12(1)e ()xx f x x---='，则()12f '=-，而(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=.【小问2详解】函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且12(1)e ()x x f x x---='，当1x <-时，()0f x '>，当10x -<<或0x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞.【小问3详解】当211x x >>时，212122()()f x x x f x -->，证明如下：令2()(),1g x f x x x =->，求导得12(1)e 2()x x g x x-'--+=，令1()(1)e 2,1x h x x x -=--+>，求导得1()e 0x h x x -='>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0h x h >=，即()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上为增函数，当211x x >>时，21()()g x g x >，所以212122()()f x x x f x -->.21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈= ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m = 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>；（III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33.【解析】【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值.【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-，又因为12m a a a <<< ，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j i i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>> ，所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--.因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++- ()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤.由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.。

高三上学期第五次月考数学(理)试题

高三上学期第五次月考数学（理）试题分值：150分时间：120分钟命题人：第I 卷（选择题满分60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合{|0}1xA x x R x =≥∈-，,2{y |31}B y x x R ==+∈，则A B ⋂= .A φ .B (1,+)∞ .C [1+∞，） .D ∞⋃∞（-,0)(1,+) 2. 下列函数是偶函数，且在区间()0+∞，上单调递增的是（）.A sin y x x = .B 3y x = .C 2ln y x = .D 2x y =3．设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则“a b ⊥”的一个充分条件是 ( ) A ．,,a b αβαβ⊥⊥∥ B ．,,a b αβαβ⊥⊥∥ C ．,,a b αβαβ⊂⊥∥ D ．,,a b αβαβ⊂⊥∥4. 已知a ＞0，x ，y 满足1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B ．12C ．1D ．2 5．四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是 ( ) AC6.已知定义域为[]1,21a a -+的奇函数32()(1)f x x b x x =+-+，则(2)()0f x b f x -+≥的解集为（）A ．[]1,3B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[]1,2 D ．113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7.函数，的图象大致是A. B. C. D.8．在ABC ∆中，为AC 上一点，AC=3AE →→，为BE 上任意一点，若AP m AB n AC →→→=+（0,0m n >>），则31m n+的最小值是（） A ．9 B ． 12 C ． 10 D ． 119．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（）A ．B ．C ．D ．10.已知函数()=xf x e x +. 若关于x 的方程()=f x k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．()1,0- C ． ()1+∞， D ．(),1-∞- 11. 给出下列两个命题: 命题1p : 函数)(x f 是定义在(-2,2)上的奇函数,当 x ∈(0,2)时,12)(-=xx f .则)31(log 2f 的值为-2；命题2p :函数xxy -+=11ln 是偶函数,则下列命题是真命题的是,.A 21p p ∧ .B )()(21p p ⌝∧⌝ .C 21)(p p ∧⌝ .D )(21p p ⌝∧12.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c 222sin B B =，4a =，ABC S ∆=，则b =（）A. C.第II 卷（非选择题满分90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上.） 13. 已知向量(2,4)a =，b (1,1)=，若向量()b a b λ⊥+，则实数的值为 . 14. 曲线3y x =与直线y x =在第一象限所围成的封闭图形的面积为 15. 设函数()()311log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩,2(1)(log 12)f f -+的值等于 .16. 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥外接球的表面积为三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明和演算步骤.）17．（本小题满分10分）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

高三数学上学期第五次月考试题理PDF

高三理科数学参考答案一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.6π 14. 15.2218y x -= 16.522或三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分〕17、 (10 分〕设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1，且S 2 0182 018－S 2 0172 017＝1.(1)求S n ； (2)求数列{1S n S n ＋1}的前n 项和T n .解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，因为S n n＝na 1＋n (n －1)2dn＝a 1＋(n －1)d2，所以{S n n}为一个等差数列，所以S 2 0182 018－S 2 0172 017＝d2＝1，所以d ＝2，故S n n＝n ，所以S n ＝n 2.(2)因为1S n S n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以T n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

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高三数学上学期第五次月考试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校南康2021～2021第一学期高三第五次大考数学〔理科〕试卷一、选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项符合题目要求.)1A x x ，3sin 1B y y x ，那么A B〔〕A.[1,2]B.[1,)C.(,1][1,2]D.[0,1]【答案】A 【解析】【分析】先求得集合A 中绝对值不等式的解集，再求的集合B 中函数的值域，最后取它们的交集. 【详解】对于集合A ，1x或者1x ，对于集合B ，由于03sin 14x ，所以02y .所以1,2A B .应选A.【点睛】本小题主要考察集合的交集，考察集合的研究对象，考察绝对值不等式的解法等知识，属于根底题.含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间〞，即x a 的解是a x a ，x a 的解是x a 或者x a .在研究一个集合时，要注意集合的研究对象，如此题中集合B ，研究对象是函数的值域.32iz i〔i 为虚数单位〕，那么z 的虚部为〔〕32 C. D.32i 【答案】B 【解析】【分析】利用复数除法的运算化简复数z ，然后求得其虚部.【详解】依题意i i13i13i 2ii222z，故虚部为32，所以选B. 【点睛】本小题主要考察复数的除法和乘法运算，考察复数实部和虚部的识别，属于根底题.2018log 2019a 2019log 2018b ，120192018c ，那么,,a b c 的大小关系是〔〕A.ab c B.a c b C.c a b D.c b a【答案】C 【解析】【分析】先确定1,,1ca b ，然后将,a b 利用对数的运算，求得11,22ab ，从而得到,,a bc 的大小关系. 【详解】由于02018201920181,log 20181,log 20191c a b ，所以c 为三个数中最大的.由于20182018111log 2019log 2018222a，而20192019111log 2018log 2019222b，故a b .综上所述c a b ，应选C.【点睛】本小题主要考察指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如此题中的“12和1〞作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于1的，有一个是介于12和1之间的，还有一个是小于12的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.540()3xx x f x x ，假设角的终边经过点(3,4)P ，那么[(cos )]f f 的值是〔〕A.1B.3C.4D.9 【答案】B 【解析】【分析】先根据角的终边经过的点，求得cos 的值，然后代入函数的解析式，求得对应的函数值.【详解】由于角的终边经过点3,4P ，故2233cos534，故3cos 3415f f，1133f .应选B.【点睛】本小题主要考察三角函数的定义，考察复合函数求值以及分段函数求值，属于根底题.sin 23cos2,f x x x x R ，那么以下结论不正确的选项是〔〕A.最大值为2B.最小正周期为C.把函数2sin 2y x 的图象向右平移3个单位长度就得到f x的图像D.单调递增区间是5,1212kk，k Z【答案】C 【解析】【分析】将函数f x转化为sin A x的形式，然后根据三角函数的图像与性质对选项逐一进展判断，从而得出正确选项.【详解】依题意π2sin 23f x x，所以函数的最大值为2，A 选项正确；函数的最小正周期为2ππ2，故B 选项正确.函数2sin2y x的图象向右平移3个单位长度得到π2π2sin 22sin 233y xxπππ2π22π232k xk ，解得函数的递增区间为5,1212kk，故D 选项正确.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考察利用辅助角公式化简三角函数解析式为sin A x，考察三角函数的图像与性质，包括最值、最小正周期，单调区间以及图像变换等知识，属于根底题.对于三角函数含有多个正弦、余弦符号的，需要利用辅助角公式、和差角公式、二倍角公式等，将其化简为一个角的形式，这样才可以去研究它的图像与性质.2ymx 与2213y x双曲线有一样的焦点，点00(2,)(0)P y y 在抛物线上，那么点P 到该抛物线的准线的间隔为〔〕 A.1B.2C.3D.4 【答案】D 【解析】【分析】先求得双曲线的焦点，由此可得抛物线的焦点坐标，进而求得m 的值，根据抛物线的定义求得P 到准线的间隔.【详解】双曲线的右焦点为2,0，故24m ，8m ，故抛物线的准线为2x，点P 的横坐标为2，故P 到准线的间隔为224.应选D.【点睛】本小题主要考察双曲线的几何性质，考察抛物线的方程的求解，考察抛物线的定义，属于根底题. 7.周碑算经中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,那么小满日影长为() A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺【答案】B 【解析】设各节气日影长依次成等差数列n a ，n S 是其前n 项和，那么9S =199()2a a =59a ，所以5a ，由题知147a a a =43a ，所以4a ，所以公差54d a a =−1，所以12a =57a d ，应选B ． 8.正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为〔〕A.3B.43C.32D.1【答案】B 【解析】【分析】画出图像，得到该几何体是由两个四棱锥构成，利用锥体体积公式计算得几何体的体积.【详解】画出图像如以下列图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形，且边长为22112，故底面积为222；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为122133.那么几何体的体积为24233.应选B. 【点睛】本小题考察空间几何体的构造，考察锥体的体积计算，考察数形结合的数学思想方法，属于根底题.22221x y a b 〔0a b 〕的中心点在原点，1F ，2F 分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x 轴，2PF AB ，那么此椭圆的离心率为〔〕A.13B.1225【答案】D 【解析】如下列图,把x =−c 代入椭圆HY 方程：222210x y a b a b .那么22221c y a b ,解得2b ya.取2,b Pc a,又A (0,b ),B (a ,0),F 2(c ,0)，∴222,2ABPF b b b a k k a c cac. ∵PF 2∥AB ,∴22b b aac，化为：b =2c . ∴4c 2=b 2=a 2−c 2,即a 2=5c 2,∴2255c ea . 此题选择D 选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c ea； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或者a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．22221(0,0)x y a b a b 的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a 的切线，交双曲线右支于点M ，假设1245F MF ，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A.2y x B.3y x C.y x D.2y x【答案】A 【解析】【分析】作OA⊥1F M 于点A ，21F B F M于点B ，可得2a 2OAF BBMa ，，222F Ma ，12F Bb ，结合双曲线定义可得2ba 从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA⊥1F M 于点A ，21F BF M于点B ，∵1F M 与圆222x y a 相切，1245F MF∴2a 2OAF BBMa ，，222F M a ，12F Bb又点M 在双曲线上， ∴1222222a F M F Ma b a整理，得2b a ，∴2b a∴双曲线的渐近线方程为2yx应选：A【点睛】此题考察了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a ，b 的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.y f x 的定义域为R ，且x f x f x a 其中0a ，a 为常数，假设对任意1212,x x x x ，都有12120x x x x ，那么函数y f x的图象可以是〔〕A.B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】条件12120x x x x 表示函数x为单调递增函数，对x求导后，利用导数大于零，判断出f x为单调递增函数，然后对选项利用对应的函数进展判断，从而得出正确选项.【详解】因为对任意1212,x x x x ，都有12120x x x x ，所以函数x为单调递增函数，即0x f x f x a ，所以fx f x a ，因为0,a x x a ，故f x为单调递增函数，选项A 为指数型函数，不妨设x ye ，满足题意，应选A ．【点睛】本小题主要考察对2121y y x x 的理解，考察导数与单调性的对应关系.2121y y x x 是斜率的公式，根据21210y y x x 或者者21210y y x x 可以判断出函数的单调性，前者为增函数，后者为减函数.这个条件还可以改为21210y y x x ，或者者21210y y x x 同样也是说明单调性的.21()()f x x ax xe e与()x g x e 的图象上存在关于直线yx 对称的点，那么实数a 的取值范围是〔〕 A.1[,]ee e B.1[1,]e e C.11[,]e e e e D.1[1,]e e【答案】D 【解析】【分析】e x g x关于yx 对称的函数为ln y x ，将问题转化为f x与ln y x 图像有交点的问题来解决.令ln f x x ，将其变为两个函数，利用导数研究这两个函数的图像，由此求得a 的取值范围. 【详解】e x gx关于yx 对称的函数为ln y x ，所以原问题等价于f x与ln y x 图像有交点，令ln f xx 化简得2ln ax x x ，对于2ln y xx ，221x yx ，故其在12,e 2上递减，在2,e 2上递增，由此画出y ax 和2ln yx x 的图像如以下列图所示.要使2ln axx x有解，直线y ax 的斜率要介于切线OB 的斜率OB k 和直线OA 的斜率OAk 之间.当1ex时，22111ln1e eey，即211,1e eA，所以2111e e 1e eOAk .设2,ln B n n n，12OBk nn，故切线OB的方程为21ln 2yn nnx nn，将原点坐标代入得210ln 20n n n nn，解得1n ，故2111OBk ，所以斜率的取值范围是11,e e，应选D.【点睛】本小题主要考察利用导数研究存在性问题，考察化归与转化的数学思想方法，考察数形结合的数学思想方法，属于中档题.由于题目涉及e x y还有yx 这两个条件，可以想到e x y和ln yx 互为反函数，它们的图像关于y x 对称.由此将问题转化为f x和ln y x 图像有交点的问题来解决.二、填空题：(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．),a b满足26a b a b ，且2,1a b ，那么a 与b的夹角为__________.【答案】23【解析】【分析】将条件展开后化简，求得a b 的值，利用夹角公式求得两个向量的夹角.【详解】根据26a b a b 得，2226a ab b ，即1a b ，故1cos ,2a b a ba b ，故两个向量的夹角为2π3. 【点睛】本小题主要考察向量的数量积运算，考察向量的夹角公式，考察运算求解才能，属于根底题. 1021年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修.为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000元，即如表中“全月应纳税所得额〞是纳税者的月薪金收入减去5000元后的余额．某企业员工今年10月份的月工资为15000元，那么应缴纳的个人所得税为______元. 【答案】790 【解析】【分析】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级，可得应缴纳的个人所得税为150005000300010%30003%，计算即可．【详解】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级，那么应缴纳的个人所得税为150005000300010%30003%70090790元故答案为：790【点睛】此题考察了函数模型的选择与应用，属于根底题． 15.1,0A ，B 是圆F ：222110x x y 〔F 为圆心〕上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，那么动点P 的轨迹方程为__________．【答案】22413x y 【解析】试题分析：由题意作出辅助图，知，所以，故P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，且，所以，故P 的轨迹方程为22413x y 考点：轨迹方程、椭圆定义ABC 沿斜边上的高AD 折成120的二面角，直角边3,6AB AC ，那么下面说法正确的选项是_________．〔1〕平面ABC平面ACD 〔2〕四面体D ABC 6〔3〕二面角A BC D 的正切值是423〔4〕BC 与平面ACD 21 【答案】〔3〕〔4〕【解析】【分析】画出图像，由图像判断〔1〕是否正确；计算D ABC 的体积来判断〔2〕是否正确；依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法判断〔3〕，〔4〕是否正确.【详解】画出图像如以下列图所示，由图可知〔1〕的判断显然错误.由于,AD CD ADBD ，故BDC 是二面角C AD B 的平面角且AD 平面BCD ，故60BDC .过B 作BECD 交CD的延长线于E，由于AD BE，故BE是三棱锥B ACD的高.在原图中，363BC ，3623AB AC ADBC,321BD ,622CD ,33sin60122BE BD ，所以111362232626DABCBACDV V AD CD BE ，故〔2〕错误.以D 为坐标原点，,,DA DCDz分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系.13,0,,,0,2,022A B C ,132,,,2,2,022AB AC ，设平面ABC的法向量为,,n x y z，那么132022220n ABxy z n ACx y ，令2x ，那么562,3y z,即562,2,3n.平面BCD 的法向量是2,0,0DA.设二面角A BC D 的平面角为，由图可知为锐角，故3cos17n DA nDA ，那么其正切值为423ACD 的法向量为0,0,1，530,,22BC，设直线BC 和平面ACD 所成的角为，那么530,,2221sin14530,,22，故〔4〕判断正确.综上所述，正确的有〔3〕，〔4〕.【点睛】本小题主要考察折叠问题，考察空间面面垂直的判断，考察锥体体积计算，考察二面角的计算以及线面角的计算，属于中档题.三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕ABC 中，点D 在边BC 上，且0AD AC ，22cos 3DAB，32AB ．〔1〕假设43BC ，求sin C 的值；〔2〕假设2AC，求BC 边上的中线AE 的长．【答案】3〔2〕2.【解析】【分析】〔1〕利用诱导公式求得sin BAC 的值，然后在ABC 中利用正弦定理求得sin C 的值.〔2〕由sin BAC 的值求得cos BAC 的值.利用1=+2AE AB AC 两边平方后根据向量数量积的运算，求得AE 的长.【详解】(1)22sinsin 90cos 3BACDABDAB由条件得 3433,sin sin 322ABC C C在中，则．〔2〕221sin 3BAC 由∵BAC 为钝角∴1cos 3BAC又2,32ACAB ，222222111=+22cos 4444AE AB AC AB AC AB AC AB ACAB AC A 所以2AE【点睛】本小题主要考察三角函数诱导公式，考察利用正弦定理解三角形，还考察了向量的线性运算以及数量积的运算，属于中档题.n a 中，122,3a a ，其前n 项和n S 满足1121(2,)n nn S S S nn N .〔1〕求证：数列n a 为等差数列，并求na 的通项公式；〔2〕设3n nn b a ，求数列n b 的前n 项和n T .【答案】〔1〕1n a n ；〔2〕333T ()3244n nn 【解析】【分析】〔1〕根据题干所给的条件得到11nn a a 〔2n ，*n N 〕，且211a a ，可得到数列为等差数列，进而得到通项；〔2〕错位相减求和即可. 【详解】〔1〕由，111n n n n S S S S 〔2n ，*n N 〕，即11nn a a 〔2n ，*n N 〕，且211a a ．∴数列n a 是以12a 为首项，公差为1的等差数列．∴1na n〔2〕由〔Ⅰ〕知13n nb n 它的前n 项和为n T12312341T 23334331313T 2333433132n n n n n n n n n n ，333T 3244nnn .【点睛】这个题目考察的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1nS 做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等. 19.在如下列图的空间几何体中，平面ACD平面ABC ，ACD 与ACB 都是边长为2的等边三角形，2BE ，BE 和平面ABC 所成的角为60，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC 的平分线上．〔1〕求证：//DE 平面ABC ；〔2〕求二面角EBC A 的余弦值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2. 【解析】试题分析：〔1〕AC 的中点O ，连接,BO DO ，根据等边三角形的性质可知DO平面ABC ，作EF平面ABC ，那么//EF DO ，通过计算证明四边形DEFO 是平行四边形，故//DE OF ，由此可得//DE 平面ABC ；〔2〕以O 为坐标原点，,,OA OB OD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，通过平面EBC 和平面ABC 的法向量，计算得二面角的余弦值为13. 试题解析：〔1〕由题意知ABC ACD 、为边长2的等边取AC 的中点O ，连接BO ，那么,BOAC DOAC ，又平面ACD平面ABC ，∴DO平面ABC ，作EF平面ABC ，那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上，∵BE 和平面ABC 所成的角为60°，∴060EBF，∵2BE ，∴3EFDO ，∴四边形DEFO 是平行四边形，∴//DE OF ．∴DE平面,ABC OF 平面ABC ，∴//DE 平面ABC 4分〔2〕建立空间直角坐标系O xyz ，那么0,3,0,1,0,0,0,31,3B CE ，∴， ∴，平面ABC 的一个法向量为．设平面BCE 的法向量，那么，∴，取1z ，∴，∴，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角EBC A 13．．12分考点：空间向量与立体几何.220y px p ，过,0M a 且斜率为1的直线l 与抛物线交于不同的两点,,2A B AB p〔1〕求a 的取值范围；〔2〕假设线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB 面积的最大值。

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高三上学期理数第五次月考试卷
一、单选题
1. 复数的虚部是（）
A .
B .
C .
D .
2. 若集合，非空集合，若，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
3. 若，命题甲：“ 为实数，且”；命题乙：“ 为实数，满足，且”，则甲是乙的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D . 即不充分也不必要条件
4. 表示求除以的余数，若输入
，，则输出的结果为（）
A . 0
B . 17
C . 21
D . 34
5. 已知椭圆的离心率为，双曲线
的离心率为，抛物线的离心率为，，，，则之间的大小关系是（）
A .
B .
C .
D .
6. 若，则函数在区间内单调递增的概率是（）
A .
B .
C .
D .
7. 下列选项中为函数的一个对称中心为（）
A .
B .
C .
D .
8. 九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则_____天后，蒲、莞长度相等？参考数据：，
，结果精确到0.1．（注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．）（）
A . 2.8
B . 2.6
C . 2.4
D . 2.2
9. 某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为，且直线与以
为圆心的圆交于两点，且，则圆的方程为（）
A .
B .
C .
D .
10. 已知，实数满足约束条件
，且的最小值为，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
11. 某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是（）
A . 16
B . 24
C . 8
D . 12
12. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若函数
有7个零点，则实数的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题
13. 若二次函数有两个零点、
，则，类比此，若三次函数
有三个零点、、，则________．
14. 若的展示式中的系数为4，则
________．
15. 如图所示，在棱长为6的正方体中，点
分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．
16. 已知向量夹角为，，对任意
，有，则的最小值是________．
三、解答题
17. 某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数（Air
Pollution Index）的监测数据，结果统计如下：
大于300
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重
污染
重度污染
天数
10
15
20
30
7
6
12
（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有7天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
非供暖季
合计
100
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
附：
（Ⅱ）政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当在区间时企业正常生产；当在区间时对企业限产（即关闭的产能），当在区间
时对企业限产，当在300以上时对企业限产，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润2万元，若以频率当概率，不考虑其他因素：
①在这一年中随意抽取5天，求5天中企业被限产达到或超过的恰为2天的概率；
②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值．
18. 已知锐角的三个内角、、
满足．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的外接圆的圆心是，半径是1，求
的取值范围．
19. 已知直角梯形中，，，
，、分别是边、
上的点，且，沿将折起并连接成如图的多面体，折后．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若折后直线与平面所成角的正弦值是，求证：平面平面．
20. 如图，已知曲线，曲线的左右焦点是，，且就是的焦点，点是与的在第一象限内的公共点且，过的直线分别与曲线、交于点和．
（Ⅰ）求点的坐标及的方程；
（Ⅱ）若与面积分别是、，求的取值范围．
21. 已知函数，（为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）若函数恰有两个不同极值点．
①求的取值范围；
②求证：．
22.
在极坐标系中曲线的方程是，点是上的动点，点满足（为极点），点的轨迹为曲线，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，已知直线的参数方程是，（为参数）．
（Ⅰ）求曲线直角坐标方程与直线的普通方程；
（Ⅱ）求点到直线的距离的最大值．
23. 选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知函数．解不等式；（Ⅱ）已知均为正数．求证：．。