第3章函数的微分

y = f ( x ) 的导函数 导函数,记作 y ′, f ′ ( x ), 导函数
下，导函数也简称导数． 导函数也简称导数． 导函数也简称导数
df ( x ) dy 或 ． 在不引起混淆的情况 dx dx
f ′( x 0 ) 就是导函数 f ′ ( x )
显然，函数 y = f ( x ) 在点 x 0 的导数 的函数值，即
dy ， 也叫做函数在该点的变化 变化 dx
率.它表示函数值的变化相对于自变量变化的快慢程度.
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3.3(导函数) 定义 3.3(导函数)
如果函数 y = f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内的每一点
都可导，则称函数 y = f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内可导．这时,对 ( a , b ) 内每 一个确定的 x ,都有唯一的导数 f ′ ( x ) 与之对应,即 f (x + ∆x) − f (x) f ′ ( x ) = lim ∆x→ 0 ∆x 这样，就得到自变量 x 的一个新的函数 f ′ ( x ) ．我们称它为函数
x → x 0 ，所
记 x = x 0 + ∆x ，则 ∆x → 0 ⇔
以导数 f ' (x 0 ) 的定义式也可以表示为 (x ) = lim f (x ) − f (x 0 ) f'
0 x → x0
x − x0
如果上述极限不存在,则称函数 y = 导； 如果不可导的原因是当 ∆x → 0 时,
∆y ∆x
x → x0
lim
f (x ) − f (x0 ) x − x0
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这样，可以得到曲线 y = f (x) 在 ( x0 , y0 ) 处的切线方程 为
y − y0 = k ( x − x0 )
其中，
k = lim
∆x → 0
∆y f (x 0 + ∆ x ) − f (x 0 ) f (x ) − f (x 0 ) = lim x 0 + ∆ x = x lim x → x0 ∆ x ∆x → 0 ∆x x − x0
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3.1 导数的概念
3.3.1 曲线的切线
设曲线 C 的方程为 y = f (x) ， P0 (x0 , y0 ) 是曲线 C 上 的一点，求曲线在点 P0 处的切线的方程． 在曲线上另取一点 P( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ，如图所示，
连接 P0P 两点， 得到割线 P0 P ． 割线 P0 P 对 x 轴的倾角为 ϕ ， 其斜率为 QP ∆y f ( x0 + ∆x) − f (x0 ) tanϕ = = = , P0Q ∆x ∆x 当 ∆ x → 0 时，点 P 沿曲线 C 趋向于点 P0，此时定 义割线的极限位置 P0T 为曲线 y = f (x) 在点 P0 处的切 线．即曲线 C 在点 P0 处切线的斜率为 ∆y f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) k = lim = lim x0 + ∆ x = x ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x 这里 k = tan a ，其中 α 是切线 P0T 关于 x 轴的倾角．
高等应用数学基础
第3章 函数的微分 章
主讲教师 王洪明
教学要求: 教学要求 理解导数概念， 理解导数概念，会求曲线的切线和法线方程 熟记导数(微分 基本公式,熟练掌握导数 微分)的四 熟记导数 微分)基本公式 熟练掌握导数(微分 的四 微分 基本公式 熟练掌握导数 微分 则运算法则、复合函数的求导法则;掌握隐函数的求 则运算法则、复合函数的求导法则 掌握隐函数的求 导法, 导法 会求参数表示的函数的一阶导数 会用拉格朗日定理证明简单的不等式, 会用拉格朗日定理证明简单的不等式 会用洛比塔 法则, 会用一阶导数求函数单调区间与极值,会用二 法则 会用一阶导数求函数单调区间与极值 会用二 阶导数求曲线凹凸区间与拐点,能求解一些简单的实 阶导数求曲线凹凸区间与拐点 能求解一些简单的实 际问题中的最大值和最小值, 际问题中的最大值和最小值 会求经济函数的边际 值和边际函数,会求需求弹性 会求需求弹性． 值和边际函数 会求需求弹性．
[t 0 , t 0 + ∆t ] 的平均速度. 记作 v ，即
∆s
s (t 0 + ∆ t ) − s (t 0 ) ∆s v = = ∆t ∆t
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显然，当 ∆t 越来越小时， v 就很接近于 t 0 时刻的 瞬时速度；故在 ∆t → 0 时，若平均速度 v 的极限存在， 则该极限就为质点在 t 0 时刻的瞬时速度，即
f ( x ) 在点 x 0 不可
→ ∞ 所引起的,
我们也可称函数 f ( x ) 在点 x 0 的导数为无穷大．
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曲线 y = f ( x ) 在点 (x 0 , y 0 ) 的切线的斜率为函数 y = f ( x ) 在 x 0 的 导数 k = f ' ( x 0 ) =
dy ． dx
上述体现了函数 y = f ( x ) 在 x 0 的导数在几何上表示曲线 y = f ( x ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处切线的斜率，此为导数的几何意义 导数的几何意义．于是可知，函数在 导数的几何意义 某点可导，则其曲线在该点存在不与 y 轴平行的切线． 函数 y = f ( x ) 在 x 0 的导数 f ' ( x 0 ) =
∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) ；
∆y f ( x + ∆x) − f ( x) = ∆x ∆x
；
y ′ = lim
∆y ∆x → 0 ∆ x ．
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单侧导数
3.2 定义 3.2 如果 ∆lim x →0
−
∆y 存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 的左导数，记 ∆x
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*例 变速直线运动的瞬时速度． 例
设一质点作直线运动，从一定点 O 算起,经过时间 t , 质点离 O 点的距离是 t 的函数 s = s (t ) ．
质点在任意给定的时刻 t 0 ,就有一个确定的对应的距 离 s ( t 0 ) ；若给 t 0 一个改变量 ∆ t ,在新的时刻 t 0 + ∆t 时,距离 是 s (t0 + ∆t ) = s (t 0 ) + ∆s ；比值 ∆t 就是该质点在这一段时间
v(t0 ) = limv = lim
∆t →0
s(t + ∆t) − s(t0 ) ∆s = lim 0 ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t
将上述两个实例的解决方法、结果的计算形式一般 化，即可得到“函数的导数”的概念.
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3.1.2 导数的概念
3.1 当自变量 定义 3.1 设函数 y = f ( x ) 在点 x 0 处有定义， x 在点 x 0 处取得增量 ∆ x 时，相应的函数 y 取得增量 f (x 0 + ∆ x ) − f (x 0 ) ∆y lim = lim ∆y = f (x0 + ∆x) − f ( x0 ) ，如果极限 ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x 存在，则称函数 y = f ( x ) 在点 x 0 处可导，并称此极限值是 函数 y = f ( x ) 在点 x 0 处的导数，记作 f ' (x 0 ) ，即
+
作 f ' − ( x0 ) ；同样， 如果 ∆lim x →0 右导数，记作 f ' + ( x 0 ) ．即
f '− (x0 ) = lபைடு நூலகம்m−
∆x →0
∆y 存在，则称此极限值为 ∆x
f (x ) 在点 x 0 的
∆y f (x0 + ∆x ) − f (x0 ) f (x ) − f ( x0 ) = lim− = lim− x → x0 ∆x ∆x→0 ∆x x − x0 ∆y f ( x0 + ∆x ) − f (x0 ) f (x ) − f (x0 ) = lim+ = lim+ x → x0 ∆x ∆x→0 ∆x x − x0
由函数连续的定义知，函数 y = f (x ) 在点 x 0 连续． 注意,一个函数在某点处连续，但在该点处函数却不一定可导 即函数在某点连续是可导的必要条件，但不是充分条件．即 函数在某点连续是可导的必要条件，但不是充分条件 函数在某点连续是可导的必要条件
f (x) 在点 x0 处可导
f (x) 在点 x0 处连续
(uvw)′ = u ′vw + uv ′w + uvw' （ 2 ） 积 的 求 导 法 则 的 特 例 ： 若 u = C (C 为 常 数 ) 则 y′ = (Cv)′ = Cv′ ，即常数因子可以从导数记号里提出来 常数因子可以从导数记号里提出来. 常数因子可以从导数记号里提出来
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例题分析
f '+ (x0 ) = lim+
∆x →0
同时，由左、右极限与极限的关系可知： 定理 3.1 函数 y = f ( x ) 在某点可导的充要条件是函数 y = f ( x ) 在 该点的左、右导数都存在且相等． 该点的左、右导数都存在且相等．
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可导与连续的关系
定理 3.2 点 x 0 处连续．
在点 x 0
f ′( x 0 ) = f ′( x ) | x = x 0 或
y ′( x 0 ) =
dy dx
x = x0
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利用导数的定义求导数
求一个函数的导数的运算称为微分法．通常所说 的求导数,一般是指求函数的导函数．根据导数的定 的导数可以分为三个步骤： 义，求函数 y = f ( x ) 的导数可以分为三个步骤 求函数 （1）求增量 求增量 （2）算比值 算比值 （3）取极限 取极限 取极
P27） 例 3．1（P27）