第十七章反比例函数期末复习
反比例函数复习
6 3
o
x(min) 8
y
m
Ａ
O x
Ｂ
引入
已知点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴 的垂线PA交双曲线 y
3 x
于点A，过点A作AB⊥y轴于B
点。在点P运动过程中，矩形OPAB的面积是否发生变 化？若不变，请求出其面积；若改变，试说明理由。
y
B
A
O
P
x
面积性质（一）
设 P ( m , n ) 是双曲线 y
A S3
B C
o
A1 B1 C1
x
综合训练
5、如图，在x轴上点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂 线交双曲线 关系是S1
y 1 x
于点B，连结BO交AP于C，设 S2。（选填“>”“<”或“＝”）
y
△AOP的面积为S1，梯形BCPD面积为S2，则S1与S2的大小
A B C D O P x
综合训练
人教版八年级数学 第十七章 反比例函数复习
五莲三中 张作忠
一、复习引例
已知一个长方形草坪的面积为6m2，其 中长为xm，宽为ym，试问x与y之间有什么 关系？它们是函数关系吗？如果是，它是什 么函数？
二、复习旧知
1.反比例函数的定义与表达式;
y是x的反比例函数.
y k x
K是常数，k≠0， k叫做比例系数 x≠0
增 减 y随x的增大而增大 性
位 置
二四 象限
K<0
增 减 y随x的增大而减小 性
三、基础训练
1、下列函数中哪些y是x的反比例函数?比例系数是多少？ ① y = 3x-1 ⑤ y = 3x ② y= ⑥ y=
《第十七章反比例函数》专项复习
（3）若与成正比例，与成反比例，则与成什么比例呢？ 设，，则，即即与成反比例关系 可以把正比例当成“＋”，反比例当成“－”，然后在运用乘法法则判断 所求关系．如上述（3）中，“＋”ד—”＝“－”，所以结果为反比例．
2.反比例函数的图像和性质
（1）画反比例函数图象：描点法（先列表，再描点，后连线）． 注意：①列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的的 一对一对的数值，这样既可简化计算，又方便描点，作出的图象对称； ②在列表、描点时要尽可能地多取一些数值，多描一些点，这样便于连 线；③连线时，必须用光滑的曲线连接各点；④由于反比例函数中的， 故函数图象与轴、轴都没有交点，所画出的双曲线的两个分支要分别体 现无限接近坐标轴，但永远不能到达轴、轴的变化趋势. （2）反比例函数的性质： ①反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线； 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限内，在每个象限 内y随x的增大而减小； 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限内，在每个象限 内y随x的增大而增大． ②由于反比例函数的图象是双曲线，所以它是一个以原点为中心的 中心对称图形. ③双曲线除上面的主要性质外还具有：随着|k|的增大，双曲线的位 置相对于坐标原点越来越远；双曲线关于直线y=±x对称；双曲线与关 于坐标轴对称． 上述性质的理解与应用含两个方面：①已知k的符号，可用反比例函 数图象所在的象限或增减性解决有关问题；②已知反比例函数图象所在 的位置或增减性，可得到k的取值范围，进而解决有关问题．这是中考 主要考查的内容之一． 例3若反比例函数的图象在第一、三象限，则k值为_______．（写 出满足条件的一个k的值即可） 析解：因为反比例函数图象在第一、三象限，所以，即k>2．故本题 填大于2的任何数皆可，如3. 例4若、、三点都在函数（k＜０）的图象上，则y1、y2、y3的大小 关系为（ ）. Ａ． Ｂ． C． D．
八年级数学下册 第17章 反比例函数复习练习题(二)(答案不全) 试题
第17章 反比例函数复习练习题（二）一、填空题1．已知反比例函数y=2x的图像经过点A （m ，1）,则m 的值为 。
2．若反比例函数1k y x -=（k 为常数，1k ≠），若点2A (1 )，在这个函数的图象上，求k 的值；若在这个函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；3.已知反比例函数 y=x m 12+的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是 ． 4.在反比例函数1my x -=图象每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，则m 的取值范围 ．5．根据反比例函数xy 3=和一次函数12+=x y 的图象，请写出它们的一个共同点 ________________________ ；一个不同点 _____ _______________ . 6.正比例函数y kx =的图象与反比例函数my x=的图象有一个交点的坐标是（12--，），则另一个交点的坐标为 。
7．若1122()()A x y B x y ，，，是双曲线3y x=上的两点，且120x x >>，则12_______y y . 8．反比例函数xn y 1-=的图象在第二、四象限，则n 的取值范围为 ， ),3(),,2(21y B y A 为图象上两点，则y 1 y 2（用“<”或“>”填空）9．已知点),2(),,1(),,1(321y C y B y A -在反比例函数)0(<=k xky 的图象上，则321,,y y y 的大小关系为 （用“>”或“<”连接） 10．),(),,(2211y x B y x A 都在反比例函数xy 6=图象上。
若321-=x x ，则21y y 的值为 。
11．函数1(0)y x x =≥ , xy 92=(0)x >的图象如图所示，则结论： ① 两函数图象的交 点A 的坐标为（3 ,3 ) ② 当3x >时，21y y > ③ 当 1x =时， BC = 8 ④当 x 逐渐增 大时，1y 随着x 的增大而增大，2y 随着x 的增大而减小．其中正确结论的序号是 .12．两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图7所示，点P 在ky x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；其中一定正确的是 .13．函数y= 4x 和y=1x 在第一象限内的图像如图，点P 是y= 4x 的图像上一动点，PC⊥x 轴于点C ，交y=1x的图像于点B.给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA= 13AP.其中所有正确结论的序号是______________.14.如图，一次函数y 1=ax+b （a ≠0）与反比例函数y 2=()0≠k xk的图象交于A （1,4）、B （4,1）两点，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是15.近视眼镜的度数y (度)与镜片焦距x (m )成反比例(即)0(≠=k xky )，已知200度近视眼镜的镜片焦距为m 5.0,则y 与x 之间的函数关系式是 . 16.反比例函数ky =x的图象与一次函数21y =x +的图象的一个交点是(1，k )，则反比例函数的解析式是 ．17. 14、点P 在反比例函数)0(≠=k xky 的图像上，点Q （2,4）与点P 关于y 轴对称，则反比例函数的解析式为18.若点Ｐ()2,a 在一次函数42+=x y 的图象上，它关于y 轴的对称点在反比例函数xky =的图象上，则反比例函数的解析式为 . 19.已知点()P a b ，在反比例函数2y x =的图象上，若点P 关于y 轴对称的点在反比例函数k y x=的图象上，则k 的值为____________.20.若一次函数的图象经过反比例函数4y x=-图象上的两点（1，m ） 和（n ，2），则这个一次函数的解析式是 _.21.已知：多项式x 2－kx ＋1是一个完全平方式，则反比例函数y =1k x-的解析式为_ __。
第17章反比例函数期末复习
拓展提高
（2010·济宁中考）如图， 正比例函数y= y=
k x 1 2
x的图象与反比例函数
(k≠0)在第一象限的图象交于A点，
过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知 △OAM的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A
不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最 小.
1 x 2x2
③ xy=1 ⑦
④ y = 2x
3
y = 3x
2.若 y ( m 1) x
y=
m 2
1 y = 3x
为反比例函数，则
m＝______ .
知识点归纳
y y
0
4、性质：
位
x
0
x
k>0
k<0
当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内; 置： 当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内.
y 4 x
.
的图象上,则y1
与y2的大小关系(从大到小)
8、已知点A(-2,y1),B(-1,y2) C(4,y3)都在反比
例函数
k x
(k 0) 的
图象上,则y1、y2 与y3
y
-2 -1 y3 o
的大小关系(从大到小)
y3 ＞y1＞y2 为____________ .
C 4
A
B
y=x
0
12
x
例
题
当堂达标
－１
h
10 2r 1 2
10 2r
h
(
, 2)
(
1 2
, 2)
Ｂ
反比例函数知识点梳理
反比例函数知识点梳理
1. 反比例函数的定义
反比例函数是指当自变量 x 不为零时，函数值 y 的变化遵循比例关系，其中比例常数 k 不等于 0，即 y = k/x。
通常我们把它写成y = k/x+b，其中 b 为常数。
2. 反比例函数的图像
反比例函数的图像在 x 轴上有一个垂线渐近线，而在 y 轴上具有一个水平渐近线。
当 x 接近 0 时，y 显著变化，而当 x 变得很大时，y 变得很小。
例如，如果 k = 1，则函数 y = 1/x+b 的图像看起来如下：
3. 反比例函数的性质
反比例函数的图像不会穿过垂线渐近线和水平渐近线。
当自变量 x 非常大或非常小时，反比例函数的值渐近于 0。
反比例函数也不具有最大值或最小值。
4. 反比例函数的应用
反比例函数有很多实际应用，如工业、商业、科学等领域。
例如，在数学中，它可用于表征第一定律的 Ohm 定律，即电流与电压成反比例关系。
5. 反比例函数的问题解决
解决反比例函数问题的关键在于找到比例常数 k 和常数 b。
这可以通过已知的点对、图像或其他信息来确定。
以上是反比例函数的知识点梳理，希望对您有所帮助。
反比例函数知识归纳
第十七章、反比例函数第一节、知识梳理反比例函数一、学习目标：１. 掌握用描点法画反比例函数图象的方法和步骤，并结合函数图象正确理解和掌握反比例函数的概念和性质．２. 能根据已知条件确定反比例函数的解析式，重点掌握待定系数法求反比例函数的解析式．３. 能用反比例函数解决生活实际问题，在解决物理问题，日常生产、生活问题的时候构建反比例函数模型．二、知识概要：三、要点点拨：１. 反比例函数自变量x的取值范围为x≠０．２. 反比例函数的图象为两支，这两支不连续，且以原点为对称中心成中心对称．与坐标轴无限接近但不能相交．３. 反比例函数值的变化规律要在同一支曲线上去研究．四、中考视点：有关反比例函数的试题主要出现在客观题中，但在解答中也时有出现，考查的主要内容有：1. 反比例函数的图象及性质是中考命题的重点．2. 求反比例函数的解析式（重点考查待定系数法），并与现实生活中的问题相联系，有增加的趋势.3. 借助于交点坐标，构建与正比例函数、一次函数的综合题，是中考命题的热点.实际问题与反比例函数一、学习目标：１.能够分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决实际问题．２. 能够画出描述实际问题的函数图象，并根据图象反应出的量的变化规律去解决实际问题.二、知识概要：１.根据实际情景构建反比例函数关系式（１）数学中常用的反比例函数关系式．（２）物理学中常用的反比例函数关系式．（３）利用实际问题情境中给出的数量关系，建立反比例函数关系式．２.利用反比例函数关系解决实际问题．３.有关实际问题中的反比例函数图象.（１）作出实际问题的函数图象.（２）利用实际问题的函数图象解决问题．三、知识链接：“反比例关系”和“反比例函数”的联系与区别：反比例关系是小学的概念：如果xy＝k（k是常数，k≠０），那么x与y这两个量成反比例关系．这里x，y既可以代表单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式．例如y＋１与x ＋３成反比例，即反比例的关系式为，但x和y不一定是反比例函数．但反比例函数中的两个变量必成反比例关系．四、中考视点：由实际问题中给出的数量关系写出反比例函数，再由反比例函数的性质去解决实际问题是本节考查的重点.第二节、教材解读一、【例1】已知y关于x的反比例函数的图象过点Ｐ（３，６）．（１）求y与x的函数解析式；（２）求当x ＝２时y的值．【思考与分析】由反比例函数的形式y=（k是常数，k≠0），可知求解析式的关键是确定系数k的值，所以我们可以根据条件用待定系数法求之．解：（１）设y=，将Ｐ（３，６）代入可得：６=，解得k＝１８，所以函数解析式为：y=．（２）把x＝２代入y=，得y=＝９．【小结】待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1）设出含有待定系数的解析式y=（k≠0，k为待定系数）；（2）将已知条件代入（只需知道一个点的坐标）；（3）解出待定系数；（4）将求得的值代回所设解析式.二、要点收藏夹反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线.（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；（2）当k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x值的增大而增大；（3）双曲线的两支无限接近x轴和y轴，但永远达不到x轴和y轴（即双曲线的两支与x轴和y轴没有交点）；（4）双曲线的两支关于直线y＝±x对称.三、典型例题剖析【例2】①如果反比例函数的图象经过点（1，－2），那么k的值是（）②写出一个图象位于第二、四象限的反比例函数的表达式.③当a ____时，反比例函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小.【思考与分析】我们知道在反比例函数解析式中，如果常数k确定了，则这个反比例函数关系式就确定了.①由的图象经过点（1，－2），故将x＝1，y＝－2同时代入解析式便可求出k值；②由反比例函数的图象位于第二、四象限，可知k＜0，因此所写的函数关系式只要满足k＜0就行；③由反比例函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小可知k＞0，即1－a＞0，从而求出a应满足的条件.解：①C；②如（答案不惟一，只要满足k＜0 即可）；③a＜1．【小结】求反比例函数解析式的关键是借助已有的条件，如过已知某点，或两个分支所在的象限或图象在每一个象限内y值随x值的变化情况等信息求出k的值或k满足的条件.四、在构建反比例函数模型解决实际问题的时候需注意分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型．（在反比例函数关系中，两个变量的积是定值）【例3】已知某盐厂晒出了3000吨盐，厂方决定把盐全部运走.（1）运走所需的时间t（天）与运走速度v（吨/天）有什么样的函数关系？（2）若该盐厂有工人80名，每天最多共可运走500吨盐，则预计盐最快可在几日内运完？（3）若该盐厂的工人工作了3天后，天气预报预测在未来的几天内可能有暴雨，于是盐厂决定在２天内把剩下的盐全部运走，则需要从其它盐厂调过多少人？【思考与分析】我们知道这是一道工程问题，关键是要熟悉本类问题中各量之间的关系.（1）盐的总量＝运走所有的盐所需的时间×运盐的速度，可得t与v的函数关系式；（2）每天运盐500吨，即v=500，把v=500代入（1）中函数关系式可求得对应的t；（3）设从其它盐厂调过n人，依据剩下的盐＝80个工人运走的盐+n 个工人运走的盐，列方程求出n即可.解：（1）由题意，得t ＝（2）当v=500时，t ＝＝6，即盐最快可在6日内运完.（3）设需从其它盐厂调过n个人，则根据题意，得：解得n=40，即需从其它盐厂调过40人.【小结】本题的关系式是：盐的总量＝运走所有的盐所需的时间×运盐的速度，当然，这三者之间的关系还可以相互转化，通常只要知道其中的两个量就可求出或表示出第三个量；第（2）题实际上是求值问题，只要代入（1）即可；第（3）题借助了方程进行解答.第三节、错题剖析一.反比例函数中，切记k≠0【例1】若函数为反比例函数，则m= .错解：因为为反比例函数，所以|m|=1，所以m=±1.错解剖析：反比例函数的定义是：一般地，形如（k≠0，k为常数）的函数叫做反比例函数.定义中强调了系数k≠0，k为常数这一条件.错解忽视了k≠0这个条件.在本题中m-1相当于定义中的k，这里应有m-1≠0，所以m≠1.正解：由|m|=1，得m=±1．又因为m-1≠0，所以m≠1．所以m=-1.反思：解决反比例函数中的字母取值问题，一定要注意k≠0这一限制条件，否则容易出现错误. 二.注意自变量的取值范围【例2】一矩形的面积是10，则这个矩形的一组邻边长y与x的函数关系的图象大致是（）错解：选C.错解剖析：本题是一道实际问题，已知矩形的面积是10，两邻边长分别是x，y，所以xy=10，所以（x>0），此函数是反比例函数，由于自变量x的取值范围是x>0，所以函数的图象只有一个分支，且在第一象限.而错解忽视了实际问题中自变量的范围.正解：选D.反思：在具体问题中确定反比例函数的图象，一定要注意自变量的取值具有实际意义.三、对反比例函数概念理解不透【例3】在下列函数关系式：，，，2xy＝1中，y是x 的反比例函数的个数是（）A.2B.3C.4D.5错解：选D.错解剖析：选D是因为对反比例函数概念理解不透.反比例函数的概念是：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.反比例函数通常有3种表达形式：1：（上述三个式子中k都为常数，且k≠0）.正解：选B四、对反比例函数图象及其性质理解不透【例4】若点（－1，y1），（－2，y2），（2，y3），在反比例函数的图象上，则（）A.y1＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3C. y3 ＞y1＞y2D.y3＞y2＞y1错解：选C.错解剖析：对反比例函数图象及其性质理解不透，误认为y随x的增大而增大.反比例函数图象的增减性为：当k>0时，在同一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一象限内，y随x的增大而增大.这里要特别注意“在同一象限内”这一点，本题中三个点并不在同一象限内.可以用函数的增减性来解决问题，也可以直接代入，求出这三个点的纵坐标的值，来比较函数值的大小.正解：选A.【小结】反比例函数的概念和图象及性质是我们学习这一章内容应该牢牢把握的，很多题目会考查到这些知识，我们要能正确应用.五、将反比例函数与正比例函数混为一谈【例5】近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y与x的函数关系式为.错解：因为度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，所以设反比例函数解析式为：y＝kx.又因为200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，所以200＝0.5k，解得k＝400.所以y与x的函数关系式为y＝400x.错解剖析：本题是以物理中的物理现象与定律为背景，考查反比例函数的解析式的确定，其中反比例与正比例是两个不同的概念，错解正是混淆了这两个概念而导致的错误.正解：设反比例函数解析式为，根据题意，得２00＝，解得k＝100.所以y与x 的函数关系式为六、错误地理解题意，得到不切实际的答案【例6】某学校食堂为方便学生就餐，同时又节约成本，常根据学生多少决定开放多少个售饭窗口，假定每个窗口平均每分钟可以售饭给3个学生，开放10个窗口时，需1小时才能使全部学生就餐完毕.（1）共有多少学生就餐？（2）设开放x个窗口时，需要y小时才能使当天就餐的同学全部吃上饭，试求出y与x之间的函数关系式.（3）已知该学校最多可以同时开放20个窗口，那么最少多长时间可以使当天就餐的学生全部就餐？错解：（1）可先计算出每分钟10个窗口可售给的学生数再乘以就餐所需的时间就能求得全部学生数，即3×10×60＝1800（名）.（2）当天就餐的人数由（1）已经确定，每分钟可以售给的学生个数也是固定的，所以由题意，得y＝3×60x+1800，即y与x之间的函数关系式为：y＝180x+1800.（3）由（2）知，当x＝20时，y＝5400.即当同时开放20个窗口时，最少需5400小时可以使当天就餐的学生全部就餐.错解剖析：本题中的第（1）问是没有错的，问题是在（2）问上，由于当天就餐的人数由（1）已经确定，每分钟可以售给的学生个数也是固定的，则由题意列出的等式应该是3×60xy＝1800，化简后应是反比例函数，若能正确地求出（2），问题（3）也就不会再出现错误了.正解：（1）可先计算出每分钟10个窗口可售给的学生数再乘以就餐所需的时间就能求得全部学生数，即3×10×60＝1800（名）.（2）当天就餐的人数由（1）已经确定，每分钟可以售给的学生个数也是固定的，所以由题意，得3×60xy＝1800，即y与x 之间的函数关系式为（3）由（2）知，当x＝20时，y＝0.5.即当同时开放20个窗口时，最少需0.5小时可以使当天就餐的学生全部就餐.第四节、思维点拨【例1】如图，如果函数y=kx＋k 和函数（其中k为不等于０的常数）的图象在同一坐标系中，其图象为（）.【思考与分析】本例是一次函数与反比例函数的图象综合题，我们把函数解析式与函数图象有机结合起来解决这类问题.一般解法：1.我们可以分k＞0和k＜0两种情况，由k的符号确定图象的位置；2．可以由一个图象在坐标系中的位置，确定k的取值范围，再判断另一图象画得是否正确；3.由两图象的位置分别确定k 的取值范围，最后看它们是否一致.解法1: 当k＞0时,一次函数y=kx＋k 的图象经过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限，故选Ｂ.当k＜0时，一次函数的图象经过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选Ｃ.解法2: 图A中由的图象在第二、四象限可知k＜0，所以一次函数y=kx＋k的图象经过二、三、四象限，所以A不符合，得到答案C．同样的分析方法排除D，得到答案Ｂ.解法3:图A中由一次函数y=kx＋k的图象经过一、二、四象限，得前面的k＜0而后面截距k>0，自身出现矛盾，故排除Ａ，同样的分析方法排除D，得到答案Ｂ，Ｃ.【例2】已知反比例函数和一次函数y=mx+n的图象的一个交点是A（－3，4），且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的解析式.【思考与分析】已知双曲线和直线都经过点A（－3，4），可将A点分别代入解析式用待定系数法确定k，而一次函数与x轴的交点到原点的距离为5，可知交点为（5，0）或（－5，0），然后联立组成方程组，求出m，n的值.解：因为反比例函数的图象过点A（－3，4），所以所以这个反比例函数的解析式为又由题意知，一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（5，0）或（－5，0）.当直线y=mx+n的图象过点（－3，4）和（5，0）时，有当y=mx+n的图象过点（－3，4）和（－5，0）时，有所以y=2x+10.所以这个一次函数的解析式为y=-x+或y=2x+10.【小结】方程思想是重要的数学思想之一，它是在所给定的数学问题中挖掘并找出已知量与未知量之间的等量关系，再通过对未知量设元，构成方程或方程组，解出未知量，从而达到解决问题的目的.在函数这一部分，许多需要我们确定函数解析式的考题都需要我们根据题中条件构建方程来解决．【例3】某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55至0.75元之间.经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y亿度与（x－0.4）成反比例，又当x＝0.65元时，y＝0.8．（１）求y与x的函数关系式；（２）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益是多少？［收益＝用电量×（实际电价－成本价）］【思考与分析】本题y与x虽不是反比例函数，但根据题意y与（x－0.4）成反比例，根据反比例的特点列出关系式，用待定系数法就可确定函数关系式．用电量为，实际电价减去成本价为x－0.3，二者乘积即为收益．根据题意列出方程解之即可得到结果．解：（1）因为y与（x－0.4）成反比例，0.8代入可以求出k＝0.2．（２）根据题意，收益将x＝0.6代入，收益为0.6亿元.所以当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益是0.6亿元．【小结】反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一．很多实际问题都可以归结为反比例函数的问题来解决．用反比例函数解决实际问题的具体步骤是：（１）认真分析实际问题中变量之间的关系；（２）若变量之间是反比例关系，则建立反比例函数模型（即确定反比例函数解析式）；（３）利用反比例函数的性质去解决实际问题．反比例函数的应用中经常用到数形结合思想.数形结合思想就是在研究问题时把数与形结合起来考虑，不是把问题的数量关系转化为图形的性质，就是把图形的性质转化为数量关系来考虑，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化.【例4】某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？（3）如果限定汽车的速度不超过30米/秒，则F在什么范围内？【思考与分析】（1）首先观察图象得到F是v的反比例函数，同时该函数图象通过点（3000，20），然后把F=3000，v=20代入函数关系式P=Fv中得到功率P的值；（2）把F=1200牛代入（1）中求得的函数关系式就能求出速度v的值；（3）由于车速v不超过30米／秒，所以v≤30，即≤30，然后根据函数图象及性质知：F随着v的增大而减小即可得到F的范围.解：（1）由P= Fv=20 ×3000=60000，v=；（2）当F=1200时，v==50（米/秒）=180（千米/时），所以当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时；（3）当v=30米/秒时，代入v=则F=2000（牛）所以当v≤30米/秒时，即≤30，则F≥2000（牛）．所以如果限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应大于等于2000牛．【小结】解决这道题的关键是读懂题意，看懂图象，充分挖掘图象中隐含的已知条件，然后根据函数图象，确定函数解析式，并利用图象及性质解题.第五节、竞赛数学一、【例1】一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数的图象交与M，N两点.如图所示：（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.【思考与分析】将（-1，-4）代入反比例函数解析式求出k值，再将x=2代入其中求出m的值，然后把M，N两点坐标代入y=ax+b解二元一次方程组，求出a、b的值.解：（1）将N（-1，-4）代入，得k=4．从而反比例函数的解析式为：.将M（2，m ）代入到中，解得：m=2.将M（2，2）、N（-1，-4）代入y=ax+b中，解得：a=2，b=-2.所以一次函数的解析式：y=2x－2.（2）由图象可知，当x＜-1或0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值.【小结】数形结合思想是重要的数学思想，函数图象和几何图形一样具有直观形象的特征，如果能发现函数解析式及式子中的相关系数的几何意义，将数量关系借助图象使之形象化、直观化，就可以简化求解过程．二、反比例函数图象的对称性反比例函数（k≠0）的图象是双曲线，它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，它有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，都过原点且互相垂直；坐标原点是它的对称中心.三、反比例函数（k≠0）中的比例系数k的几何意义1．如图1，过双曲线上的任意一点P分别作x轴和y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN，而PM=∣y∣，PN=∣x∣，所以矩形PMON的面积S=PM·PN=∣x∣·∣y∣＝∣xy∣.因为,所以xy = k，S=PM·PN=k.即过双曲线上的任意一点作x轴和y轴的垂线，所得的矩形面积为∣k.∣2．如图1过双曲线上的任意一点E作其中一个坐标轴的垂线EF，连接OE，则△OEF的面积为【例2】如图2，直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝。
第十七章反比例函数全章小结
第十七章反比例函数全章小结从容说课本章的基础知识总结：1．反比例函数的概念：如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx（k•为常数且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不为零．2．反比例函数的图象和性质:（1）反比例函数y=kx的图象是双曲线．（2）当k>0时双曲线位于第一、三象限；•当k<0时，双曲线位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．3．反比例函数的应用：列反比例函数关系式，并用反比例函数的性质解决生活中特别是物理学中的问题．课程标准知识和能力总结．1．结合具体情况领会反比例函数作为一种数学模型的意义．2．会画反比例函数的图象，从函数图象中敏锐地获取函数的相关信息．3．逐步提高我们的观察、归纳、分析问题的能力，•体验数形结合的数学思想方法．4．我们要善于用函数的观点处理实际问题．教学时，教师应关注学生运用自己的语言回答有关问题的过程，关注学生举例说明对有关知识的理解；通过一些问题向学生强调利用图象了解函数的性质，并进一步发展从图象中获取信息的能力．教学时间第8课时三维目标一、知识与技能1．反比例函数的图象和性质．2．反比例函数的应用：解决实际问题，学科内部的应用．二、过程与方法1．反思在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，•理解反比例函数的概念，领会反比例函数作为一种数学模型的意义．2．能画出反比例函数的图象，•并根据图象和解析式掌握反比例函数的主要性质．3．培养学生观察、分析、归纳的能力，感悟数形结合的数学思想方法．4．能根据所给的条件，确定反比例函数，体会函数在实际问题中的应用价值．三、情感、态度与价值观1．面对困难，培养学生克服困难的勇气和战胜困难的信心．2．培养学生的合作交流意识和运用数学问题解决实际问题的意识，•认识数学的实用性．教学重点反比例函数的概念、图象和主要性质．教学难点对反比例函数意义的理解．教具准备教学投影仪．教学过程一、创设问题情境，引入新课问题1：你能举出现实生活中有关反函数的几个例子吗？问题2：说一说函数y=2x和y=-2x的图象的联系和区别．（先由学生小组交流本单元的小结，再进行小组汇报，教师在旁适时引导，提问，鼓励．学生分四人小组合作交流，归纳出本单元的知识体系，以及对每一个知识块的认识，由上面两个问题作牵引，完成本单元的知识体系）．教师应重点关注：①关注学生的复习过程，观察学生智力、情感的达标水平．②对函数概念及图象、性质的理解．③关注数学活动对学生发展的影响，学生能否从函数图象中敏锐地获取函数的相关信息，是否善于对实际问题进行分析，并灵活运用所学知识解决问题．二、单元知识结构图三、巩固、延伸、提高做一做：1．已知y=y 1+y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x=2时，y=14；x=3时，y=2813，•求y 与x 的函数表达式．分析：依据正、反比例函数的定义，利用待定系数法求得其比例系数，•从而求出y 与x 之间的函数关系式．解：设y 1=1k x ，y 2=k 2x 2，则y=1k x +k 2x 2，将（2，14），（3，2813）代入上式 得121122414421392833k k k k k k ⎧+=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩解得∴函数关系式为y=4x+3x 2． 点评：（1）一个反比例函数和一个正比例函数相加，构成一个新的函数，从形式上较为复杂，但是用待定系数法求系的方法都一样． （2）要将k 1，k 2设成不同的两个参数． 2．若反比例函数y=kx（k ≠0），当x>0，y 随x 的增大而增大，则一次函数y=kx-k 的图象经过第几象限（ ）A ．一，二，三B ．一，二，四C ．一，三，四D ．二，三，四 解：∵x>0时，y 随x 的增大而增大． ∴k<0，∴一次函数y=kx-k 的图象过一，二，四故选B ． 点评：要判断y=kx-k 的位置，需知道k 的符号，由已知y=kx，当x>0时，y 随x•的增大而增大，所以k<0．3．如下图，在同一直角坐标系中，正比例函数y=（m-1）x 与反比例函数y=4mx的图象的大体位置不可能是（ ）解析：当m-1>0时m>1时，4m>0，此时直线过一、三象限．双曲线位于第一、三象限，A 可能，D 不可能；当m-1<0时，即m<1，分两种情况：0<m<1或m<0．当m<0时，直线过二、四象限，•双曲线位于二、四象限；当0<m<1时，直线过二、四象限，此时，4m>0，双曲线在第一、三象限，所以B 、C 都有可能，故不可能的是D ．点评：要判断直线和双曲线的位置关系，借助于它们的字母系数的符号，在这里，要判断m-1与4m 的符号，进而选择合理答案，因不确定其符号，•所以分两种情况进行讨论，当m-1>0时，4m>0，故A 对，D 不对；当m-1<0又有两种情况：0<m<1或m<0，•而前者又4m>0，故B 对，后者又4m<0，故C 对．4．（1）若点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）都是反比例函数y=-1x的图象上的点，并且x 1<0<x 2<x 3，则下列各式中正确的是（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 3<y 1C ．y 3<y 2<y 1D ．y 1<y 3<y 2 （2）已知反比例函数y=kx（k<0）的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1<x 2，则y 1-y 2值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．不能确定（3）如图，正比例函数y=kx （k>0），与反比例函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，•过A 作x 轴垂线交x 轴于B ，连接BC ，若△ABC 的面积为S ，则（ ）A ．S=1B ．S=2C ．S=3D ．S 的值不确定解：（1）方法一：用图象解法，作出y=-1x的草图，即得三点的大致位置，观察图象，直接得到y 2<y 3<y 1，故选B ．方法二：将三个点的坐标直接代入反比例函数表达式中， 得y 1=-23123111,,y y x x x =-=-，由于x 1<0<x 2<x 3，所以y 2<y 3<y 1，故选B ． （2）∵k<0，∴图象在二、四象限内，y 随x 的增大而增大，当AB •是同一象限内的点时， ∵x 1<x 2，∴y 1<y 2，∴y 1-y 2<0． 当A 、B 不是同一象限内的点时， ∵x 1<x 2，∴A 在第二象限，B 在第四象限． ∴y 1>y 2，∴y 1-y 2>0． ∴选D ．（3）∴A 和C 关于O 对称，∴AO=CO ，设A （x 0，y 0），则y 0=01x ，∴x 0·y 0=1．∴S △AOB =12x 0y 0=12． ∵△AOB 和△BOC 若分别把AO 、CO 看作底，那么底上的高相等， ∴S △AOB =S △BOC ．∴S △ABC =1，故选A ．点评：（1）因反比例函数的表达式具体，所以其图象具体，因x 1<0<x 2<x 3，•所以三点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）的前后位置可确定于是可得y 1，y 2，y 3的关系，•也可直接代入表达式内和实数大小比较方法判定；（2）由A 、B 两点的横坐标没有和O 作比较，所以A 、B •两点的位置可分为两种情况讨论； （3）因△AOB 的面积易求，要求△ACB 的面积只需找到△AOB 和△BOC 的关系，•发现AO=CO ，而且高相同，所以面积相等．5．（2005年山西省实验区初中毕业生学业考试）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积V （m 3）的反比例函数，•其图象如下图所示．当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸，为了完全起见，气体体积应（• ）A ．不大于2435m 3B ．不小于2435m 3C．不大于2437m 3 D ．不小于2437m 3解：因为当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积V （m 3）的反比例函数． 设p=kV因为函数图象过A （0.8，120），代入p=kV中得120=0.8k所以k=96,即p=96V． ∵96>0，所以p 随V 的增大而减小，当p=140kPa 时，V=96140=2435．所以为了完全起见，•气球内的气压应不大于140kPa ，气体的体积应不小于2435m 3． 或根据图象回答，所以应选B ．板书设计活动与探究已知反比例函数y=2mx和一次函数y=-2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+1，b+m ）两点． （1）求反比例函数的解析式；（2）如右图所示，已知点A 在第二象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标；（3）利用（2）的结果，试判断在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形，若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．解：（1）依题意可得212(1)1b a b m a =--⎧⎨+=-+-⎩解得m=-2，∴反比例函数的解析式为y=-1x， （2）由21,1,y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩解得121211,21, 2.x x y y ⎧=-=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎩ 经检验121211,21, 2.x x y y ⎧=-=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎩ 都是原方程组的解． ∵A 点在第二象限，∴A 点坐标为（-1，1）．（3），OA 与x 轴所夹锐角为45°．①当OA 为腰时，由OA=OP ，得P 1，0），P 2（，0），由OA=AP ，得P 3（-2，0）． ②当OA 为底时，得P 4（-1，0）．∴这样的点有4，0），（，0），（-2，0），（-1，0）．习题详题 复习题17 1．（1）a=24150;(2)h h h S=2．>，-；>，=3．（1）一，三，减小；（2）二，四，增大 4．（B ）5．由题意得k-1>0，所以k>1 6．p=F S设A 、B 、C 三个面的面积分别为4k ，2k ，k （k>0）由题意得S=2k 时，p=a 得F=2ka ，•所以p=2kaS所以当S=4k 时，p=242ka ak =帕； 当S=k 时，p=2kaS=2a （帕）． 7．（1）d=4210t⨯（2）当t=10时，d=421010⨯（天）约为421010⨯=2×103（天）则这个电视机大约可使用2×103（天）8．两个不同的反比例函数不会相交，设这两个反比例函数为y=1k x ，y=2kx（k 1，k 2为常数且k 1≠k 2）．若有交点，则12,k y xk y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩有解，但此方程组无解． 所以不同的反比例函数不会相交．9．正比例函数y=k 1x 与反比例函数y=2kx无交点，则12y k k y x =⎧⎪⎨=⎪⎩把①代入②得k 1x=2k x，k 1x 2=k 2，∵k 1≠0， ∴x 2=21k x 若x 无解，则<0，即R 1和R 2异号，所以R 1R 2<0 10．（1）→（B ）；（2）→（A ）；（3）→（C ）；（4）→（D ）11．（1）V=610t（2）当V=104立方米时，代入V=610t 得t=641010=102（天）．（3）当公司以104立方米/天，工作40天后，共运送土方40×104=4×105立方米，•剩下106-4×105=6×105（立方米）土石方在50天运送完，则每天需送561050=12 000（立方米）．而每辆卡车一天可运送土石方104÷100=100（立方米），所以每天运送12 000立方米的土石方需12000100=120辆车，而现在有100辆，公司至少需要再增加20•辆卡车才能按时完成任务．。
反比例函数综合复习
反比例函数综合复习一、反比例函数的概念：一般地，形如y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数，k是比例系数.注意：1、正比例函数为y=kx （k 是常数，且k ≠0）；反比例函数可化为xy=k （k 是常数，且k ≠0）；2、要求出反比例函数的解析式，只要求出k 即可；3、反比例函数的自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数；4、自变量x 若乘以一个常数，仍然是反比例函数，但自变量x 加减一个常数，则不是反比例函数。
二、反比例函数的图像与性质：反比例函数y ＝kx 的图像是有两支曲线组成的，这两支曲线称为双曲线.当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内； 当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内. 反比例函数y ＝kx的性质：当k ＞0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小； 当k ＜0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大。
三、关于比例系数k 的理解：1、反比例函数的图像上的任意一点的横纵坐标之积都等于k2、过反比例函数图象上的任意一点分别作两坐标轴的垂线， 由这点和两垂足以及原点构成的矩形面积为|k|；3、|k|越大，双曲线离原点越远。
巩固练习 一、选择题1、若函数231(1)m m y m x ++=+是反比例函数，则m 的值为（ ）A 、m ＝－2B 、m ＝1C 、m ＝2或m ＝1D 、m ＝―2或m ＝―1 2、在同一直角坐标系中，函数y=kx-k 与(0)ky k x=≠的图像大致是（ ）POB xyCA3、如右图，A 为反比例函数xky =图象上一点，AB 垂直x 轴于B 点， 若AOB S ∆＝3，则k 的值为（ ） A 、6B 、3C 、23 D 、不能确定4．如图，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ．2S = B ．4S = C ．24S << D ．4S > 5．如图，直线y=mx 与双曲线y=xk交于A 、B 两点，过点A 作 AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是（ ） A ．2B 、m-2C 、mD 、46．如图，点P 在反比例函数1y x =(x > 0)的图象上，且横坐标为2.若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P '.则在第 一象限内，经过点P '的反比例函数图象的解析式是（ ）A ．)0(5>-=x xy B .)0(5>=x x yC . )0(6>-=x x yD . )0(6>=x xy7．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若210x ≤≤，则y 与x 的函数图象是（ ） 8．如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线3y x=（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时， OAB △的面积将会（ ）A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先增大后减小210 5 O x y210 5O x y210 10O x y 210 10O xy yx 2 2A ．B ．C ．D ．yO ABABOxy9．如图，双曲线)0(＞k xky =经过矩形QABC 的边BC 的中点E ， 交AB 于点D 。
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5.
y
k1 x
和
y
k2 x
y
k3 x
和
y
k4 x
的图象如图所示，则 K1、k2的大小关系怎样？
y k2 x
0 y
y
k1 x
x
K3、k4的大小关系怎样？
你发现什么规律？
y
k3 x
y
k4 x
| k | 越大，图像离原点越远
6.如下图是三个反比例函数 y
k1 x
y
k2 x
-1
反思：正比例函数过原点，所以与反比例函数的 两个来自点是关于原点对称的。练习
走进名校
知识点7：
实际问题与 反比例函数
【例7】一辆汽车从甲地开往乙地，随着汽车平均速度v(km/h) 的变化，到达时间t(h)的变化情况如图所示。 (1)甲乙两地相距多少千米？ (2)写出t与v之间的函数关系式； (3)当汽车的平均速度为75km/h时，到达时间为几小时？ (4)如果准备5小时内到达，那么汽车的平均速度至少为多少？
无论时间和速度如何变化，他们的乘积却是一个 常数——两地之间的路程
第十七章
反比例函数
梳理本章知识结构
反比例函数的解析式: 意义 定义域 ：x≠0 图象：双曲线 图象和性质 性质
K>0时，双曲线两支分别在 第一、三象限，在每个象限 内，y随x增大而减小 K<0时，双曲线两支分别在 第二、四象限，在每个象限 内，y随x增大而增大 你能列出另外 的两种形式吗？
反思：理解反比例函数的定义及其三 种形式是我们解决此类问题的关键
知识点2：
反比例函数自变 量的取值范围
反思：反比例函数的解析式实质是分 式，所以必须考虑分母 0 ,此外，有 时还需要把自变量的次数的要求结合 起来考虑。试试下面的练习:
函数 y ( a 2 ) x 的值是（ A．－1
a 2
反 比 例 函 数
实际问题与反比例函数
知识点扫描典型例题分析
知识点1：
反比例函数的判定 及比例系数的确定
【例1】 下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是， 比例系数k是多少？
①
x( y 2) 1
②
⑤
y
1 x
2
③
⑥
y
1 x 1
④ y 2x
1
y
x 2
y
1 3x
综合应用
A．互为倒数 B．符号相同
C．绝对值相等 D．符号相反
4.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是 坐标原点）． ① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； ② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若 存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
y
k3 x
在x轴上方的图象，由此观察得到的k1，k2，k3大小关系为 ， ( B ) y
A. k1 k 2 k 3
B. k 3 k 2 k1
y
k1 x y
O
y k2 x
x
k3 x
C . k 2 k 3 k1 D . k k k 3 1 2
思考
两个不同的反比例函数的图像是否会相交，为什么？
练习
3.已知a· b＜0，点P（a，b）在反比例函数 则直线 不经过的象限是（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
的图象上， D．第四象限
归纳： K值的大小 函数的象限 函数的增减性
5.在反比例函数 且 ，则
A．正数 B．负数
的图象上有两点， 的值为（ ）．
C．非正数 D．非负数
，
练习
y 1.反比例函数 k x ( k 0） 的图象经过（—2，5）和（
2
， ) n
求（1） n 的值； （2）点B（4 2 ,
2 ）是否在这个函数图象
上，说明理由
知识点4：
反比例函数图象、 性质的简单应用
反思：当反比例函数的解析式被确定后， 就知道比例系数k，由比例系数k便可知道 其图象的位置，从而进一步判断函数值y 随自变量x如何的变化情况，试试下面几 道练习，体会解决这类问题的过程，相信 你能很好的解决…
练习1图
练习2图
练习3图
练习4图
知识点6：
正比例函数、一次函数 与反比例函数的综合
k
【例6】如图反比例函数 y x 与直线y=－2x相交于点A，点 A的横坐标为－1，则反比例函数的解析式为（ ）
( A) y
2 x 2 x
(B) y
1 2x
A
1 2x
(C ) y
(D ) y
6.在函数 ，
（a为常数）的图象上有三个点 ，则函数值 、 、 的大小关系是
， ．
知识点5：
反比例函数的 图象与面积
A、 C、
B、 D、
反思：由xy=k可知，在反比例函数图象上的点的横 纵坐标乘积为一定值k，而计算面积时可以把长宽 当成是坐标的绝对值
1.如图，A、B是函数 的图象上关于原点O对称的任意 两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，求S
2
是反比例函数，则 a C．2 D．2或－2
） B．－2
知识点3：
用待定系数法求反 比例函数的解析式
【例3】 如果y是x的反比例函数，且x=2时，y=-100. （1）求y与x的函数关系式；（2）x=3 时y的值； （3）x取什么值时，y=10？
反思：反比例函数的解析式只需要知 道一对对应的函数值和自变量的值就 能确定比例系数k，也就确定了解析式， 从而可以利用解析式求其它的数据， 试试下面两道练习，体会解决这类问 题的过程，相信你能很好的解决…