复数的运算说课稿

复数的运算说课稿林萍萍2012-10-21一、说教材（一）教材的地位与作用：1、依据新大纲及教材分析，复数四则运算是本章知识的重点。

2、新教材降低了对复数的要求，只要求学习复数的概念，复数的代数形式及几何意义，加减乘除运算及加减的几何意义。

因此，复数的概念，复数的代数运算是重点，在教学中要注意与实数运算法则和性质的比较，多采用类比的学习方法，在复数的概念和复数的代数运算的教学中，应避免烦琐的计算，多利用复数的概念解决问题。

3、将实数的运算通性、通法扩充到复数，是对数学知识的一种创新，有利培养学生的学习兴趣和创新精神。

（二）学情分析：1、学生以了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位。

2、学生知识经验与学习经验较为丰富，以具有类比知识点的学习方法。

3、学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

4、学生层次参差不齐，个体差异比较明显。

（三）教学目标：1、知识目标：掌握复数代数形式的加、减、乘、除、乘方运算法则。

2、能力目标：培养学生运算的能力。

3、情感、价值观目标培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神。

（四）教学重点：复数的概念，复数的代数运算是重点（五）教学难点：复数代数形式的乘、除法法则。

教学方法：（六）启发式教学法关键：掌握复数加法、减法的定义和复数相等定义的运用。

二、说教法：1、本节课通过复习整式的运算，复数的运算，通过类比思想体会整式的运算与复数的运算的共性，使学生体会其中的思想方法，培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。

2、例题的学习，使学生在学会复数运算的基础上归纳计算方法，提高运算能力，归纳、概括能力。

三、说学法：1、复习已学知识，为本节课学习作铺垫。

通过对数系学习的回忆，引出课题，激发学生学习动机。

2、让学生板演运算法则，有利于培养学生创新能力和主动实现学习目标。

3、通过例题学会复数的运算，归纳运算简便方法。

培养学生归纳问题、转化问题的努力。

四、说课过程：（一）、复习提问：1、1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2、i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3、复数的概念：形如a+bi (a ，b ∈R)叫做复数，a ，b 分别叫做它的实部和虚部。

4、复数的分类：复数a+bi (a ，b ∈R)，当b=0时，就是实数;当b ≠0时，叫做虚数; 当a=0，b ≠0时，叫做纯虚数;5、复数Z1=a1+b1i 与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是a1=a2，b1=b2。

6、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ⎧⎪=+≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b虚数不能比较大小，只有等与不等。

即使是 也没有大小。

7、复数的模：若向量u u r OZ 表示复数z ，则称u u r OZ 的模r 为复数z的模，||z a bi =+=积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ⋅=⋅⋅⋅L L ，（2）()112220z z z z z =≠8、复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b （二）类比代数式，引入复数运算：一、复数代数形式的加减运算类似根据代数式的加减法，则复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (),,,a b c d R ∈复数z 1与z 2的差：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (),,,a b c d R ∈二、复数的加法运算满足交换律和结合律1、复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R ). ∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i .z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i .又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1.∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律.2、 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 证明：设z 1=a 1+=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ).∵(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )］+(a 3+b 3i )=［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i=［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i .z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］=(a 1+b 1i )+［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］=［a 1+(a 2+a 3)］+［b 1+(b 2+b 3)］i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i∵(a 1+a 2)+a 3=a 1+(a 2+a 3)，(b 1+b 2)+b 3=b 1+(b 2+b 3).∴(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).即复数的加法运算满足结合律三、复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i . 与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r3.复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z u u u u r u u u r，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i 例2计算：(1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i .解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i例3已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？解：z=z2－z1=(1+2i)－(2+i)=－1+i，∵z的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0，∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB所表示的复数是z B－z A. ，而所表示的复数是z A－z B，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关5、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.(),,,a b c d R ∈复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。

实数集R 中正整数指数的运算律,在复数集C 中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C 及m,n ∈N*有: z m z n =z m+n , (z m )n =z mn ,(z 1z 2)n =z 1n z 2n .6、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；(),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。

||z z ==2222,z z a b R z z z z ⋅=+∈⋅==，111212121222,,z z z z z z z z z z z z ⎛⎫±=±⋅=⋅= ⎪⎝⎭7、复数的除法：12z z =(a+bi)÷(c+di)=di c bi a ++=2222ac bd bc ad i c d c d +-+++(),,,a b c d R ∈，分母实数化是常规方法复数的运算，典型例题精析：例4．（1）复数(1+i)21－i等于( ) －i +i C.－1+ i D.－1－i解析: 复数(1+i)21－i =2(1)11ii i i i =+=-+-，选C ． （2）若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ．解：已知2211i Z iZ i Z i i ⇒-=⇒==--；（3）设复数z 满足关系i z z +=+2||，求z ；解：设z=a+bi （a,b 为实数），由已知可得i b a bi a +=+++222 由复数相等可得：⎪⎩⎪⎨⎧==++1222b b a a ，解得1,43==b a ，所以i z +=43 设z=a+bi-x+yi （a,b 为实数）复数问题实数化。