高中数学人教A版选修2-2课件：1.7.2 定积分在物理中的应用
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高中数学人教A版选修2-2课件：1-7-2 定积分在物理中的应用
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
反思1.用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时,将物理问 题转化为数学问题是关键. 2.在变速直线运动中,路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时, 要先判断速度在区间内是否恒正,若符号不定,应求出使速度非负 或非正的区间,然后分别计算,否则会出现计算失误.
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
求变力所做的功 【例2】 设有一长25 cm的弹簧,若加以100 N的力,则弹簧伸长到30 cm,又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比,求使弹 簧由25 cm伸长到40 cm所做的功. 分析:先根据拉长弹簧所用的力与其伸长的长度成正比求拉力 F(x)的表达式,然后用积分求变力所做的功. 解:设x表示弹簧伸长的量(单位:m),F(x)表示加在弹簧上的力(单 位:N).由题意,得F(x)=kx, 且当x=0.05 m时,F(0.05)=100 N, 即0.05k=100, 所以k=2 000.所以F(x)=2 000x. 故将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为
25 11
解析:由于 v(t)=7-3t+ 1+t , 且汽车停止时速度为0, 因此由 v(t)=0 可解得 t=4, 即汽车从刹车到停止共用 4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离 s=
4 0
7-3t + 1+t dt
25
3t2 = 7t+ 25ln(t + 1) 2
|
4 0
栏目 导引
=(4+25ln 5)(m). 答案:C
W=
0.1500x2|0 = 22.5(J). 0
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
反思1.用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时,将物理问 题转化为数学问题是关键. 2.在变速直线运动中,路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时, 要先判断速度在区间内是否恒正,若符号不定,应求出使速度非负 或非正的区间,然后分别计算,否则会出现计算失误.
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
求变力所做的功 【例2】 设有一长25 cm的弹簧,若加以100 N的力,则弹簧伸长到30 cm,又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比,求使弹 簧由25 cm伸长到40 cm所做的功. 分析:先根据拉长弹簧所用的力与其伸长的长度成正比求拉力 F(x)的表达式,然后用积分求变力所做的功. 解:设x表示弹簧伸长的量(单位:m),F(x)表示加在弹簧上的力(单 位:N).由题意,得F(x)=kx, 且当x=0.05 m时,F(0.05)=100 N, 即0.05k=100, 所以k=2 000.所以F(x)=2 000x. 故将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为
25 11
解析:由于 v(t)=7-3t+ 1+t , 且汽车停止时速度为0, 因此由 v(t)=0 可解得 t=4, 即汽车从刹车到停止共用 4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离 s=
4 0
7-3t + 1+t dt
25
3t2 = 7t+ 25ln(t + 1) 2
|
4 0
栏目 导引
=(4+25ln 5)(m). 答案:C
W=
0.1500x2|0 = 22.5(J). 0
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
定积分在物理中的应用》课件(新人教A版选修2—2)
l
例 4 如图 1.7 4, 在弹性限 度内, 将一弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置l m 处, 求弹 力所作的功 . 解 在弹性限度内 ,拉伸(或 压缩 ) 弹簧所需的力 Fx 与 弹簧拉伸 或压缩 的长度 x 成正比 , 即Fx kx, 其中常 数k是比例系数 .
Q
l
图1.7 4
b a
例3 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1.7 3所示.求汽车在 这1min 行驶汽车行 驶路程的关系 . 2018/10/14
v /m/s
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
解 由速度 时间曲线可知 : 3t , 0 t 10 ; 10 t 40; vt 30 , 1.5t 90, 40 t 60.
因此汽车在这 1min 行驶的路 程是 :
10 40 60 0 10 40
v /m/s
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
S 3tdt 30dt 1.5t 90dt
3 2 40 3 2 t 30t 10 t 90t 1350m. 2 0 4 40 答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m. 2 018/10/14
全国名校,高中数学优质学案,（附详解）
1.7.2 定积分在物理中的应用
2018/10/14
1.
变速直线运动的路程
我们知道 , 作变速直线运动的物体 所经过的路 程s.等于其速度函数 v v t v t 0 在时间区 间a, b上的定积分 , 即 s v t dt.
例 4 如图 1.7 4, 在弹性限 度内, 将一弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置l m 处, 求弹 力所作的功 . 解 在弹性限度内 ,拉伸(或 压缩 ) 弹簧所需的力 Fx 与 弹簧拉伸 或压缩 的长度 x 成正比 , 即Fx kx, 其中常 数k是比例系数 .
Q
l
图1.7 4
b a
例3 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1.7 3所示.求汽车在 这1min 行驶汽车行 驶路程的关系 . 2018/10/14
v /m/s
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
解 由速度 时间曲线可知 : 3t , 0 t 10 ; 10 t 40; vt 30 , 1.5t 90, 40 t 60.
因此汽车在这 1min 行驶的路 程是 :
10 40 60 0 10 40
v /m/s
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
S 3tdt 30dt 1.5t 90dt
3 2 40 3 2 t 30t 10 t 90t 1350m. 2 0 4 40 答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m. 2 018/10/14
全国名校,高中数学优质学案,（附详解）
1.7.2 定积分在物理中的应用
2018/10/14
1.
变速直线运动的路程
我们知道 , 作变速直线运动的物体 所经过的路 程s.等于其速度函数 v v t v t 0 在时间区 间a, b上的定积分 , 即 s v t dt.
高中数学 1.7.2 定积分在物理中的应用课件 新人教A版 选修22
第二十五页，共29页。
解析： 设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在 弹簧上的力(单位：N)．
由题意，得F(x)＝kx， 且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N， 即0.05k＝100，∴k＝2 000，∴F(x)＝2 000x. ∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为 W＝∫00.152 000xdx＝1 000x2| 00.15＝22.5(J)．
＝
3 8 (1
250＋1
000)＋
2 8 (2
800＋800)＋20(120－90)
＝1
125 4
3＋450
2＋600(N·cm)．
第二十三页，共29页。
用定积分求变力做功：
(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的
表达式，这是求功的关键．
(2)由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力
F(x)的方向做直线运动，使物体从x＝a移到x＝b(a<b)．因此，
求功之前还应求出位移起始位置与终止位置．
b
(3)根据变力做功公式W＝
a
f(x)dx即可求出变力F(x)所做的
功．
第二十四页，共29页。
2．设有一长25 cm的弹簧(tánhuáng)，若加以100 N的力， 则弹簧(tánhuáng)伸长到30 cm，又已知弹簧(tánhuáng)伸长所需 要 的 拉 力 与 弹 簧 (tánhuáng) 的 伸 长 量 成 正 比 ， 求 使 弹 簧 (tánhuáng)由25 cm伸长到40 cm所做的功．
解析： 在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力 F(x)(单位：N)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x(单位：m)成正比， 即F(x)＝kx(常数k是比例系数)．由题意知，当F(x)＝1时，x＝ 0.01，可得k＝100.由变力作功公式，得到将弹簧拉长6 cm耗费 的功W＝∫00.06100xdx＝50x2| 00.06＝0.18(J)．
解析： 设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在 弹簧上的力(单位：N)．
由题意，得F(x)＝kx， 且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N， 即0.05k＝100，∴k＝2 000，∴F(x)＝2 000x. ∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为 W＝∫00.152 000xdx＝1 000x2| 00.15＝22.5(J)．
＝
3 8 (1
250＋1
000)＋
2 8 (2
800＋800)＋20(120－90)
＝1
125 4
3＋450
2＋600(N·cm)．
第二十三页，共29页。
用定积分求变力做功：
(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的
表达式，这是求功的关键．
(2)由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力
F(x)的方向做直线运动，使物体从x＝a移到x＝b(a<b)．因此，
求功之前还应求出位移起始位置与终止位置．
b
(3)根据变力做功公式W＝
a
f(x)dx即可求出变力F(x)所做的
功．
第二十四页，共29页。
2．设有一长25 cm的弹簧(tánhuáng)，若加以100 N的力， 则弹簧(tánhuáng)伸长到30 cm，又已知弹簧(tánhuáng)伸长所需 要 的 拉 力 与 弹 簧 (tánhuáng) 的 伸 长 量 成 正 比 ， 求 使 弹 簧 (tánhuáng)由25 cm伸长到40 cm所做的功．
解析： 在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力 F(x)(单位：N)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x(单位：m)成正比， 即F(x)＝kx(常数k是比例系数)．由题意知，当F(x)＝1时，x＝ 0.01，可得k＝100.由变力作功公式，得到将弹簧拉长6 cm耗费 的功W＝∫00.06100xdx＝50x2| 00.06＝0.18(J)．
推荐-高中数学人教A版选修2-2课件1.7.2定积分在物理中的应用
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
混淆路程与位移而致误
典例做变速直线运动的物体的速度为v(t)=t2-3t,则从t=2到t=5,
该物体经过的路程为
.
错解该物体经过的路程为
s=
5 2
v(t)dt=
5 2
(t2-3t)dt=
1 3
������
3
-
3 2
������2
答案:7.5
5
2=7.5.
正解∵当 2≤t≤3 时,v(t)≤0;当 3≤t≤5 时,v(t)≥0,
4 0
-(6t2-t3)
5 4
=32-(-7)=39.
(4)依题意有 s=
������ 0
(12t-3t2)dt=0,即 6t2-t3=0,解得 t=0 或 t=6,
所以 P 从原点出发,经过时间 t 后又返回原点时 t=6.
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
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课前预习 案
课堂探究案
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探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
解:(1)由 v(t)=12t-3t2≥0 可得 0≤t≤4, 因此当 0≤t≤4 时,点 P 向 x 轴正方向运动, 当 t>4 时,P 点向 x 轴负方向运动.所以当 t=2 时,
点
P
离开原点的路程为
s=
2 0
(12t-3t2)dt=(6t2-t3)
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课前预习 案
课堂探究案
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课前预习 案
课堂探究案
做一做1 已知一个质点做直线运动
A.5 B.10 C.15 D.20
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：1.7.2定积分在物理中的应用
0
4
＝ 4t2－23t340＋ 23t3－4t254＝26.
(4)依题意知t (8t－2t2)dt＝0， 0
即4t2－23t3＝0.解得t1＝0或t2＝6. t1＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况， t2＝6是所求的t.
物体做变速直线运动经过的路程s＝
4t2－23t330＝18.
(2)s2＝5(8t－2t2)dt＝ 0
4t2－32t350＝530.
(3)当v(t)＝8t－2t2≥0时，即运动，因此，
所求路程应为
s3＝4(8t－2t2)dt＋5[－(8t－2t2)]dt
2
2
而43t32 ＋12t2＋2t′＝2 t＋t＋2，
所以s＝ 34t32 ＋21t2＋2t82＝536 2＋42.
所以汽车在2～8 s这段时间内走过的路程为536 2＋42 m.
求变力所做的功
【例2】 设有一长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则 弹簧伸长到30 cm，求使弹簧伸长到40 cm所做的功．
C．e3＋2
D．e3＋1
【答案】B
4 ． (2017 年 湖 南 模 拟 ) 自 由 落 体 的 运 动 速 度 v ＝ gt(g 为 常 数)，则当t∈[1,2]时，物体下落的距离为________.
【答案】32g
点击进入WORD链接
＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即_____a _____．
2．变力做功 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着
与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做 W＝bF(x)dx
的功为_______a _______．
人教版高中数学选修2-2《1.7.2定积分在物理中的应用》
类型二 变力做功问题 如图,在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置 l m处,求克服弹力所做的功.
l
三、巩固练习、体验新知
类型一、变速直线运动问题 某点在直线上从时刻 t 0( s) 开始，以速度运 动v t 2 4t 5(m / s),求该点前4秒行驶的路程.
解：由题可知
F ( x) kx
其中常数k 是比例系数.
由变力做功公式可得
l
l
1 2 答：克服弹力所做的功为 kl J . 2
1 2l 1 2 W kxdx kx 0 kl ( J ) 0 2 2
四、拓展练习、应用新知
1、帮扶干部在实施国家精准扶贫的路途中，他驾
3t , (0 t 10) (10 t 40)（单位：m/s） 车沿直线以v(t ) 30, 1.5t 90, ( 40 t 60)
谢 谢！
a
类型二
变力做功问题
一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如 果物体沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所做的功 为
b a
F(x)dx
三、巩固练习、体验新知
类型一、变速直线运动问题 某点在直线上从时刻 t 0( s) 开始，以速度运 动v t 2 4t 5(m / s),求该点前4秒行驶的路程.
1.7.2 定积分在物理中的应用
一、创设情境、导入新课
1、理解应用定积分解决求变速直线运动的路程， 求变力做功等问题的实质。 2、应用定积分的思想方法，解决一些简单的变速 直线运动的路程、变力作功等实际问题。 3、在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方 法，加深对定积分的几何意义的理解。 重点：应用定积分的思想方法，解决一些简单的 变速直线运动的路程、变力作功等实际问题。 难点：把实际问题抽象为定积分的数学模型。
2015高中数学 1.7.2定积分在物理中的应用 课件(人教A版选修2-2)(1)
【例1】 列车以速度72 km/h行驶，当制动时列车获得加
速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站
多远开始制动．
【分析】 将速度转化为20 m/s，设制动后t s内速度为0，
路程为t
v(t)dt且v(t)＝v0＋t
adt.
0
0
【解】 (1)a＝－0.4 m/s2，v0(t)＝72 km/h＝20 m/s，设t s
(1)A，C间的距离； (2)B，D间的距离； (3)电车从A站到B站所需的时间．
【分析】 做变速运动的物体所经过的距离S，等于其速度
函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的积分，即S＝
b
a
v(t)dt，需根据题意写出函数v(t)．
【解】 (1)设A到C经过t1s，由1.2t1＝24， 得t1＝20(s)． ∴AC＝∫2001.2tdt＝0.6t2 |200＝240(m)， 即A，C间的距离为240m. (2)设从D到B经过t2 s，由24－1.2t＝0， 得t2＝20(s)． ∴B，D间的距离为 DB＝∫200(24－1.2t)dt ＝(24t－0.6t2) |200＝240(m)．
(3)CD＝7200－2×240＝6720(m)． 从C到D的时间t3＝672240＝280(s)． 于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．
规律技巧 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程 问题时，将物理问题转化为数学问题是关键；(2)路程是位移 绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒 正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别 计算，否则会出现计算失误.
A．s＝12at2
B．s＝v0t＋12at2
( 人教A版)高中数学选修22：1.7.2定积分在物理中的应用课件 (共24张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
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探究一 求变速直线运动的路程、位移 [典例 1] 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向 与 x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
0
答案：45 J
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021
人教A版数学 ·选修2－2 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 6:43:55 PM
即在 t＝4 s 时运动的路程为 4 m.
探究二 求变力做的功 [典例 2] 如图所示，一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B， C 运动到 D，其中 AB＝50 cm，BC＝40 cm，CD＝30 cm，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90， 在 AB 段运动时 F 与运动方向成 30°
20，90≤x≤120. 角，在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45°，在 CD 段 F 与运动方向相同，求物体由 A 运动到 D 所做的功．
[解析] 设活塞活动的距离为 x m，则活塞受到的压强为： P＝8V0＝0.01π800.8－x…………………………………………………………………3 分 从而活塞受到的压力为： F＝PS＝0.01π800.8－x×0.01π＝0.88－0 x，……………………………………………6 分 ∵温度保持不变，气体的体积缩小一半． ∴活塞的位移为 0.4 m. 活塞克服气体压力所做的功为 W＝0.40.88－0 xdx＝[－80ln(0.8－x)]00.4 ＝80ln 2.
•
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探究一 求变速直线运动的路程、位移 [典例 1] 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向 与 x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
0
答案：45 J
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021
人教A版数学 ·选修2－2 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 6:43:55 PM
即在 t＝4 s 时运动的路程为 4 m.
探究二 求变力做的功 [典例 2] 如图所示，一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B， C 运动到 D，其中 AB＝50 cm，BC＝40 cm，CD＝30 cm，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90， 在 AB 段运动时 F 与运动方向成 30°
20，90≤x≤120. 角，在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45°，在 CD 段 F 与运动方向相同，求物体由 A 运动到 D 所做的功．
[解析] 设活塞活动的距离为 x m，则活塞受到的压强为： P＝8V0＝0.01π800.8－x…………………………………………………………………3 分 从而活塞受到的压力为： F＝PS＝0.01π800.8－x×0.01π＝0.88－0 x，……………………………………………6 分 ∵温度保持不变，气体的体积缩小一半． ∴活塞的位移为 0.4 m. 活塞克服气体压力所做的功为 W＝0.40.88－0 xdx＝[－80ln(0.8－x)]00.4 ＝80ln 2.
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v(t)dt − v(t)dt, s1 = v(t)dt. 对于给出速度—时间曲线的问题,关键是由图象得到速度的解 析式及积分的上、下限,需要注意的是分段函数需分段求路程,然后 求和.
题型一
题型二
题型三
求变速直线运动的路程、位移
【例 1】有一动点 P 沿 x 轴运动,在时间 t 时的速度为 v(t)=8t-2t2(速 度的正方向与 x 轴正方向一致).求: (1)点 P 从原点出发,当 t=6 时,求点 P 离开原点的路程和位移; (2)点 P 从原点出发,经过时间 t 后又返回原点时的 t 值. 分析:(1) 解不等式 v(t)≥0 或 v(t)≤0 → 确定积分区间 → 求 t=6 时的路程以及位移 (2) 求定积分
题型一
题型二
题型三
求变力所做的功 【例2】 设有一长25 cm的弹簧,若加以100 N的力,则弹簧伸长到30 cm,又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比,求使弹 簧由25 cm伸长到40 cm所做的功. 分析:先根据拉长弹簧所用的力与其伸长的长度成正比求拉力 F(x)的表达式,然后用积分求变力所做的功.
25 11
解析:由于 v(t)=7-3t+ 1+t , 且汽车停止时速度为0, 因此由 v(t)=0 可解得 t=4, 即汽车从刹车到停止共用 4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离 s=
4 0
7-3t + 1+t dt
25
3t2 = 7t+ 25ln(t + 1) 23;25ln 5)(m). 答案:C
题型一
题型二
题型三
反思解决变力做功注意以下两个方面: (1)要将变力用其方向上的位移表示出来,这是关键的一步. (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题.
题型一
题型二
题型三
【变式训练 2】 如图,在某一温度下,直径为 0.2 m,高为 0.8 m, 上端为活塞的圆柱体内某气体的压强 P(单位:N/m2)与体积 V(单 位:m3)的函数关系式为 P= : N/m2)的函数关系为 F = ������ ������, 其中������(单位: m2)为受力面积. 设温度保持不变, 要使气体的体积缩小为原来的一半, 活塞克服气体压力要做多少功?
题型一
题型二
题型三
反思1.用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时,将物理问 题转化为数学问题是关键. 2.在变速直线运动中,路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时, 要先判断速度在区间内是否恒正,若符号不定,应求出使速度非负 或非正的区间,然后分别计算,否则会出现计算失误.如本例第(1)小 题求解时,易出现路程和位移相同的错误.
������ a
v(t)dt, s1 =
������
(2)若 v(t)≤0(a≤t≤b),则 s=− a (3)若在区间[a,c]上 v(t)≥0,在区间[c,b]上 v(t)<0,则 s=
c a ������ c ������ a
������ v(t)dt. a ������ v(t)dt, s1 = a v(t)dt.
1.在变速直线运动中,如何求路程、位移? 剖析:在用定积分解决变速直线运动的位移与路程的问题时,分 清运动过程中的变化情况是解题的关键,做变速直线运动的物体所 经过的路程是位移的绝对值之和,从时刻 t=a 到时刻 t=b 所经过的路 程 s 和位移 s1 分别为 (1)若 v(t)≥0(a≤t≤b),则 s=
因为温度保持不变,气体的体积缩小一半. 所以活塞的位移为 0.4 m. 活塞克服气体压力所做的功为 W=
0.4 80 dx 0 0.8-x .4 = [−80ln(0.8 − x)]|0 = 80ln 2(J). 0
故活塞克服气体压力做 80ln 2 J 的功.
题型一
题型二
题型三
利用定积分求解其他物理问题 【例3】 A,B两站相距7.2 km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t s 后到达途中的点C处,这一段速度为1.2t(m/s),到C处的速度达24 m/s. 从C处到B站前的D处以等速行驶,从D处开始刹车,经t s后,速度为 (24-1.2t)(m/s),在B处恰好停车.试求: (1)A,C间的距离; (2)B,D间的距离; (3)电车从A站到B站所需的时间.
1.7.2 定积分在物理中的应用
1.通过具体实例了解定积分在物理中的应用. 2.会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题.
定积分在物理中的应用
变速 做变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0) 直 b 线运 在时间区间[a,b]上的定积分,即 s= a ������(������)d������ 动 如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与力 F(x)相同 变力 的方向从 x=a 移动到 x=b(a<b),那么变力 F(x)所做的功为 W= 做功 b ������ (������)d������ a
24
题型一
题型二
题型三
反思本题是利用定积分解决物理问题,分清运动过程中的变化情况 是解题的关键.
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情 况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ A.1+25ln 5 C.4+25ln 5
25 (t 1+t
的单位: s, v 的单位: m/s) )
行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位: m)是( B.8+25ln 3 D.4+50ln 2
题型一
题型二
题型三
解:(1)设 A 到 C 经过 t1 s,由 1.2t1=24,得 t1=20(s), 20 所以 AC= 0 1.2tdt = 0.6t2|20 = 240(m). 0 (2)设从 D→B 经过 t2 s,由 24-1.2t2=0,得 t2=20(s), 20 所以 DB= 0 (24 − 1.2t)dt = 240(m). (3)CD=7 200-2×240=6 720(m). 6 720 从 C 到 D 的时间为 t3= = 280(s). 于是所求时间为 20+280+20=320(s).
解:设 x 表示弹簧伸长的量(单位:m),F(x)表示加在弹簧上的力 (单位:N).由题意,得 F(x)=kx, 且当 x=0.05 m 时,F(0.05)=100 N, 即 0.05k=100, 所以 k=2 000.所以 F(x)=2 000x. 故将弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 时所做的功为 0.15 .15 W= 0 2 000xdx=1 000x2|0 = 22.5(J). 0
2
2 3 4 2 3 6 128 2 = 4t - t |0 − 4t - t |4 = . 3 3 3
6
当 t=6 时,点 P 的位移为
0 t 0
2 3 6 (8t − 2t2)dt = 4t - t |0 = 0. 3
2
(2)依题意
2 3
(8t − 2t2)dt = 0,
即 4t2− t3 = 0, 解得t=0 或 t=6,t=0 对应于点 P 刚开始从原点 出发的情况. 故 t=6 是所求的值.
������ 0 ������ 0
������(������)d������ → 令
������(������)d������ = 0, 求t
题型一
题型二
题型三
解:(1)由 v(t)=8t-2t2≥0,得 0≤t≤4, 即当 0≤t≤4 时,点 P 向 x 轴正方向运动, 当 t>4 时,点 P 向 x 轴负方向运动. 故当 t=6 时,点 P 离开原点的路程为 4 6 s1= 0 (8t − 2t2)dt − 4 (8t − 2t2)dt
80 , 而正压力 F(单位: N)与压强������ (单位 ������
题型一
题型二
题型三
解:设活塞运动的距离为 x m,
80
则活塞受到的压强为 P= ������ = . 0.01π(0.8-x) 从而活塞受到的压力为 F=PS=
80 × 0.01π(0.8-x)
80
0.01π =
80 . 0.8-x