求解解析几何中参数范围的一种基本思路
空间几何问题的解题思路与方法
空间几何问题的解题思路与方法空间几何问题是数学中重要的一个分支，涉及到解析几何、线性代数、微积分等多个数学学科。
解决空间几何问题需要运用一定的思路和方法，本文将介绍几种常见的解题思路和方法。
一、几何图形的性质与关系在解决空间几何问题时，首先需要熟悉各种几何图形的性质与关系。
比如直线与平面的相交情况，平面与平面的夹角关系等。
对于给定的几何图形，可以运用已知的性质和关系来推导出需要求解的结果。
二、坐标系与向量坐标系是解析几何中重要的工具，可以将几何图形与代数符号相联系。
通过引入坐标系，可以将空间几何问题转化为代数方程或方程组的求解。
在使用坐标系时，需要确定适当的坐标轴和坐标原点，并将几何图形的特征抽象为代数符号。
通过利用向量的性质，可以在坐标系中进行向量运算，计算两点距离、中点坐标等。
三、向量叉乘与双曲面交线向量叉乘是解决空间几何问题的常见方法之一。
通过向量叉乘可以求得两向量所夹平面的法向量，利用法向量可以进一步求解两平面的交线。
在求解双曲面交线问题时，可以将双曲面方程转化为标准形式，并应用向量叉乘的方法来求解交线的方程。
四、平面投影平面投影是解决空间几何问题的重要方法之一。
通过将空间中的几何体在一个平面上的投影，可以简化问题的处理。
平面投影可以应用于求解空间几何体的面积、体积以及几何体之间的位置关系等问题。
五、参数方程与参数化求解参数方程是描述几何图形的一种常用形式，通过引入参数，可以将几何图形的属性与参数相联系。
通过求解参数方程，可以得到几何图形的特征。
在解决空间几何问题时，可以运用参数方程来表示给定几何体之间的关系，并通过求解参数方程来得到结果。
六、三维几何题目的解题方法三维几何题目是空间几何问题的一种典型形式，解决三维几何题目需要清晰的思维和严密的推导。
一种常见的解题方法是利用立体几何中的立体角公式和公式组。
通过列出合适的公式组，可以将几何问题转化为方程组的求解问题。
综上所述，解决空间几何问题需要熟悉几何图形的性质与关系，运用坐标系与向量进行分析和计算，利用向量叉乘求解双曲面交线，应用平面投影简化问题的处理，运用参数方程与参数化求解等方法。
解析几何解答题技巧
解析几何解答题技巧
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。
在解析几何的解答题中，需要注意以下几点技巧：
1. 建立坐标系：根据题目的具体情况，选择适当的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或参数方程。
坐标系的建立有助于将几何问题转化为代数问题，便于进一步求解。
2. 设点坐标：根据题目要求，设出未知点的坐标。
设点坐标时需要注意，所设的坐标应尽量满足题目的条件，便于求解。
3. 列出方程：根据题目的已知条件和设定的坐标，列出所需的方程。
列方程时需要注意，方程应尽可能简单，便于求解。
4. 解方程：根据所列的方程，解出未知数的值。
解方程时需要注意，解方程的方法应尽可能简单，便于计算。
5. 验证答案：解出答案后，需要进行验证，确保答案符合题目的条件和已知条件。
验证答案时需要注意，答案应尽可能准确，避免出现误差。
6. 总结答案：最后需要对答案进行总结，写出完整的答案。
总结答案时需要注意，答案应尽可能清晰，便于阅读和理解。
总之，在解析几何的解答题中，需要注意建立坐标系、设点坐标、列出方程、解方程、验证答案和总结答案等技巧。
同时还需要注意计算准确、思路清晰、表达简洁等要求。
解析几何中的参数方程与极坐标系
解析几何中的参数方程与极坐标系在解析几何中，参数方程和极坐标系是两种常用的坐标系统，它们在描述曲线和曲面的特征方程中起到了重要作用。
本文将对参数方程和极坐标系进行解析和比较，并探讨它们在几何学中的应用。
一、参数方程参数方程是一种用参数表示的函数方程，其中自变量和因变量都是参数的函数。
在解析几何中，参数方程常用于描述平面曲线和空间曲线。
以平面曲线为例，设曲线上的点坐标为(x, y)，则可以用参数t表示，即x = x(t)，y = y(t)。
参数t的取值范围可以是一个区间，例如t∈[a, b]，也可以是整个实数集。
通过参数方程，我们可以灵活地描述各种曲线，包括直线、抛物线、椭圆等。
例如，对于直线来说，可以选择参数t为直线上的点到某一点的距离，这样就可以用参数方程表示直线的方程。
在空间曲线的描述中，参数方程同样起到了重要作用。
例如，对于螺旋线来说，可以选择参数t为螺旋线上的点到某一轴线的距离，这样就可以用参数方程表示螺旋线的方程。
参数方程的优点在于可以简化对曲线的描述，而且可以方便地求解曲线上的点和曲线之间的关系。
但是参数方程也存在一些问题，比如在计算曲线的长度和曲率时相对复杂。
二、极坐标系极坐标系是一种用极径和极角表示的坐标系统，常用于描述平面上的曲线和曲面。
在极坐标系中，一个点的坐标由极径r和极角θ确定，记作(r, θ)。
其中，极径表示点到原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。
通过极坐标系，我们可以方便地描述各种曲线，包括圆、椭圆、双曲线等。
例如，对于圆来说，可以选择极径r为圆心到圆上任一点的距离，这样就可以用极坐标系表示圆的方程。
在极坐标系中，曲线的方程通常是一个关于极径r和极角θ的函数。
通过改变极径和极角的取值，我们可以得到曲线上的不同点。
极坐标系的优点在于可以简化对曲线的描述，特别适用于具有对称性的曲线。
而且在计算曲线的长度和曲率时相对简单。
但是极坐标系也存在一些问题，比如在描述某些非对称曲线时相对困难。
解析几何求解技巧
解析几何求解技巧解析几何是高等数学的重要分支之一，它主要研究几何图形的性质和相关问题的解法。
解析几何的求解技巧是解决几何问题的关键，下面将介绍几种常用的解析几何求解技巧。
一、坐标法：坐标法是解析几何中最常见的求解技巧。
它利用坐标系和坐标代数的方法，通过确定几何图形上的点的坐标，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
具体的求解步骤可以概括为：1. 建立坐标系。
根据题目所给条件，确定适当的坐标系，并选择合适的单位长度。
2. 确定几何图形上的点的坐标。
根据题目所给条件，推导出几何图形上点的坐标关系。
可以运用平面几何中的基本性质和定理，通过代数方法求解。
3. 转化为代数方程。
根据几何图形的性质和定理，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
这一步骤需要灵活应用代数方程的解法技巧。
4. 求解代数方程。
根据所得的代数方程，运用代数解法将方程求解。
5. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
二、向量法：向量法是解析几何中另一种常用的求解技巧。
它运用向量的概念和运算，通过向量的相等、垂直、平行等性质，推导出几何图形和问题的解法。
具体的求解步骤可以概括为：1. 确定坐标系和向量的表示。
建立适当的坐标系，确定向量的表示方法。
常用的表示方法有坐标表示法、定点表示法和参数表示法等。
2. 利用向量的性质和运算推导条件。
根据题目所给条件，利用向量的性质和运算，推导出几何图形上的条件和关系。
3. 利用向量之间的关系求解。
根据所得的几何图形上的条件，利用向量的关系，运用向量的加减、数量积、向量积等运算进行求解。
4. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
三、分析法：分析法是解析几何中辅助性的求解技巧。
它通过对几何图形的分析，将几何问题转化为具有明确几何意义的问题，并通过几何性质和定理的应用，求解问题。
解析几何十一种方法
解析几何11种方法解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法来研究几何对象。
以下是11种解析几何的方法：1.坐标法：这是解析几何中最基本的方法，通过引入坐标系，将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
2.参数法：当某些几何量（如距离、角度等）不容易直接求出时，可以引入参数，将问题转化为参数的求解问题。
3.向量法：向量是解析几何中的重要工具，它可以表示点、方向、速度等几何概念，通过向量的运算可以方便地解决许多几何问题。
4.极坐标法：在平面几何中，除了直角坐标系外，还可以使用极坐标系。
通过极坐标，可以方便地表示点和线的方程，并解决相关问题。
5.复数法：复数在解析几何中也有广泛应用，例如在解决圆的方程时，可以通过复数的方法简化计算。
6.三角法：在解析几何中，三角函数是重要的工具，它可以用来表示角度、长度等几何量，并解决相关问题。
7.面积法：在解决几何问题时，有时可以通过计算面积来找到解决方案，例如在解决三角形问题时。
8.解析法：通过解析几何的方法，可以将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
9.代数法：代数法是解析几何中的一种重要方法，通过代数运算和代数方程的求解，可以解决许多几何问题。
10.对称法：在解析几何中，有时可以通过观察图形的对称性来找到解决方案，例如在解决关于对称点、对称线的问题时。
11.数形结合法：数形结合是解析几何中的一种重要思想，通过将代数与几何相结合，可以更方便地解决许多问题。
以上就是解析几何的11种方法。
需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的问题选择合适的方法来解决。
参数思想在解析几何中的应用研究
般应 尽 量 少 设
如果要把参数方程 转化 为普通方程 ． 其基本方法 是“ 消去参数” ． 解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题 ． 形成数形结 消去参数 的具体方法要根 据参数方程 的特点来考虑 一般地说 ． 当 合的数学思想 ． 使几何 图形的直观性与代数式子 的抽象性得到更好的 Ｓ （ ｔ ） ， ｇ （ ） 都是多项式时 ， 常采用代人消元法 ； 当ｆ （ ｔ ） ， （ ￡ ） 都是 ｔ 的三角 融和 。笛卡尔的理论 以两个概念为基础： 坐标概念和利用坐标方法把 函数时 ， 常借助三角恒等式 。 在转化的时候 ． 还必须使两种方程 的变量 两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条 曲线的概念。因此 ， 解 的取值一致 。 析几何就是在采用坐标方法 的同时 ． 运用代数方 法研究几何对象。 ２ － ２ 选取参数 的一般方法 众所周知 ．由所给条件求动点的轨迹是解析几何的基本问题之一［ １ ＿ 参数方程在建立 轨迹方程 、 计算有关几 何量 、 证明几何量之 间的 在探究轨迹方程时． 除了 一些比较简单的曲 线外 ． 要直接用变量 问的函数 关系 、 研究曲线 的性态等方面应用较广 学生在学习中常感到参数难 关系来表示曲线上的运动规律．即建立曲线的普通方程往往是 比较困难 选又难消。 因此 ． 掌握选择参数 的一般规律和消去参数的一般方法 ． 对 的． 这时—般需要借助于参数建立曲线的参数方程 有时建立和运用曲线 培养学生分析 问题和解决问题的能力很有益处 的普通方程虽然不是太难 ． 但 是在解题时却很 困难 ． 如果在解题 时选 参数思想 和参数方法在解 析几何 中有着广泛的应用 比如利用参 用参数 方程 ． 通过参数来联 系几个变量的变化 ． 便把几 个变量的变化 数方程可以求动点的轨迹问题 ， 变量 的范围及 最值问题 ． 定点和定值 归结 为参数 的变化 ． 这样便 能化简为繁地解决问题 问题等等。 为建立参数方程 － ｆ （ ） ， ＝ 中（ ） （ ｔ 为参数 ） 应 选影响动点成 解析几何 中的参数 问题 是一类 综合性强 、 变量 多、 涉及 知识面广 迹， 起制约作用的那些关键量作为参数 ， 如角度 、 点、 斜率 、 截距 、 长度 的课题 ． 因而而成为了解 析几 何教学时的一个难点 问题 ． 特别是近几 等等 具体怎样选择要根据题给条件 ． 结合 图形特点进行 运用参数方 年来 ． 以解 析几 何知识 为载体 的求参数取值范 围问题 ． 经常出现在 中 法 的关键在 于参数 的选择 ， 即如何 引参 （ 常 见的引参方式有 ： ①点 参 高考 中． 很好地考查了学 生的创新 ｑ能力和解决 问题的能力 。参数思 数； ②斜率参数 ； ③截距参数 ； ④距离参数 ； ⑤ 比例参数 ； ⑥角参数 ； ⑦ 想和参数方法在数学中有着广泛的应用 ． 比如用参数方程可 以求轨迹 时间参数 等） 。 然后通 过必要 的运算和推理 ． 建立 目标变量与参数的某 问题 、 最值 问题 、 定点问题和定值问题等等 。 通过探讨和研究这一课 种联系 ． 最后又消去参数只保留 目标变量而获解 解题 时应注 意参数 题． 以便我们能在平时的数 学教学 中不断提升学生 的思维 品质 使同学 范围的限定 ． 以确保变形过程的等价性 们获得必要 的和较高的数学素养 ２ － ３ 参数方程 的建立 参数方法是解析几何 中经常用到的解 决问题 的一种方法 这种方 曲线的普通方程 Ｆ （ ｘ ． Ｙ ） ＝ ０ 是相对参数方 程而言 ， 它反映 了坐标 法内容丰富、 应用广泛。 掌握 了这种方法 ． 就等于掌握了一把开启解析 “ ．、 之间的直接联系；而参数方程｛ ｔ Ｄ是通过参数 ｔ 几何 问题锯决 之门的钥匙 ． 本课题 当前在 国内也是一个非常热 门的研 变量 与Ｙ ｌ ｙ （ ｔ ） 究课题 反映坐标变量 与 Ｙ之间的间接联系 曲线 的普 通方 程中有两个 变 数。 变数的个数 比方程的个数多 １ 曲线的参数方程 中， 有 三个变数两 １ 参 数 思 想 的 概念 个方程 ． 变数 的个数 比方程的个数 多 １ 个 从这个 意义上讲 ． 曲线的普 在 直角坐标系下 ， 坐标平 面上的点与有序实数对之间存在着一一 通方程和参数方程是“ 一致” 的 对应 的关系 。 当一个点 的位置被确定 时 ． 它 的坐标也就被 唯一地确定 ； 恰当选择参数 参数 参 数 方 程塑 圭 墨 茎 普 通 方 程； 普 通 方 程 当点 的位置变动时 ． 点的坐标也相应地变动 在平面解析几何 中． 点 的 变动形 成一条 曲线． 由点的变 动规律 ． 求 出它 的横坐标 与纵坐标 Ｙ 方程。 这时普通方程和参数方程是同一 曲线 的两种不同表达形式 之间的关系 ， 就得到一个关 于 ， ｙ的方程 这样 ， 曲线与方程之 间就有 求曲线参数方程一般程序 ： 了一定 的对应关系 当直接 寻找变量 ． Ｙ 之 间的关系很难确定时 ， 恰 （ １ ） 设点 ： 建立适 当的直角坐标系 ， （ ， ｙ ） 表示 曲线 上任意一点 当地引入一个 中间变量 ｔ （ 参数 ） ． 分别建立起 变量 ． ｙ 与参数 ｔ 之间
“解析几何”中常用的数学思想方法
“解析几何”中常用的数学思想方法数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略．《解析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：1.数形结合的思想数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.例1．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =,试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝PN 2,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：)1(212221-=-PO PO ,设P(x ,y ),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x ,y ）则（x +2）2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1]，即33)6(22=+-y x综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）． 2.分类讨论的思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
例2．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值。
数学解析几何题解题技巧
数学解析几何题解题技巧解析几何作为高中数学重要的一部分，是数学中的一门重要学科。
解析几何题目通常涉及到点、线、面等几何元素，并结合数学分析的方法进行求解。
解析几何题解题技巧的掌握对于学生的考试成绩和数学水平有着重要的影响。
本文将介绍一些解析几何题解题的常见技巧和方法。
一、坐标表示法在解析几何中，常常使用坐标表示法来解决问题。
坐标表示法利用数轴上的点与数的对应关系，将几何问题转化为数学问题进行求解。
在解析几何题目中，常用的坐标表示法包括直角坐标系、极坐标系等。
直角坐标系是最常见的坐标表示法之一。
在直角坐标系中，我们用x和y两个坐标轴来表示二维平面上的点。
在解析几何题目中，可以通过设定坐标原点，确定x轴和y轴的正负方向，来表示点的位置。
利用直角坐标系，我们可以计算线的斜率、距离等问题，从而解决解析几何题目。
极坐标系是另一种常用的坐标表示法。
在极坐标系中，我们用极径和极角来表示平面上的点。
极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。
利用极坐标系，我们可以更方便地表示圆、曲线等等问题，从而解决解析几何题目。
二、方程表示法方程表示法是解析几何题目中另一个重要的解题方法。
通过建立方程，可以用代数的方法求解几何问题。
在解析几何题目中，常常利用点、线、曲线的方程来表示几何元素的性质和关系。
例如，对于一条直线，可以通过两点式、点斜式、一般式等不同形式的方程来表示。
在解析几何题目中，可以通过已知条件，建立直线的方程，并结合其他几何元素的方程，解得问题的答案。
对于一条曲线，通常可以通过解析几何的知识，建立其方程，并通过求解方程，得到曲线上的点坐标等问题。
在解析几何题目中，方程表示法是解决问题的重要手段之一。
三、向量表示法向量表示法是解析几何题目中另一个常用的技巧。
向量表示法利用向量的性质和运算，可以更方便地表示点、线、面等几何元素，从而解决解析几何问题。
在解析几何题目中，常常通过设立向量的起点和终点，来表示点或线段。
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求解解析几何中参数范围的一种基本思路
黄石三中 郝海滨
在解析几何教学中，求解参数范围或与参数有关的题目是一类既富有思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、
灵活性高、难度颇大的挑战性问题，许多学生面对这些题目往往感到心中无数，甚至有些不知所措，有的学生还由此产生恐
惧情绪，造成解题的心理障碍。笔者从教学实践中感到，要克服学生的心理障碍，必须着力向学生讲清楚解决此类问题的基
本的思考途径。事实上，我们知道，学代数时，求解一个参数的范围，往往是通过建立关于这个参数的不等式或不等式组来
解决，那么，解析几何中，是否也同样适用呢？本文以实例充分揭示活跃在解析几何中的参数范围的求解思路——通过建立
不等式（组）来求解。
一.利用题设中已有的不等关系建立不等式
若题设中已有关于一个参数的不等关系，则只要考虑能否找到所求参数和已知参数之间的关系，从而把关于已知参数的
不等关系转化为关于所求参数的不等关系即可。
例1.（2000年理科高考题）如图1，已知梯形ABCD中CDAB2,点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、
D、E三点，且以A、B为焦点。当32≤≤43时，求双曲线离心率e 的范围。
（略解）如图1，建立直角坐标系，设双曲线方程为12222byax，),2(hcC，由定比分点公式得)1,)1(2)2((hcE，
由C、E在双曲线上，
有1)1()1(4)2(1422222222222bhacbhac 消去22bh， 可得2312e
代入 32≤≤43 ，可得32≤2312e≤43 10,7e
二.根据圆锥曲线自身范围建立不等式
对于椭圆、双曲线它们的自身都包含了一些不等关系。如椭圆的长轴长大于短轴长，也大于焦距长，双曲线的实轴、虚
轴长小于焦距长；它们的离心率都有一定的范围；对于椭圆、抛物线，当点位于其内部或外部时，都满足一定的不等关系。
另外，圆锥曲线上的点的横坐标或纵坐标是有界的，因而也可以根据它的有界性建立不等关系。
例2.已知双曲线1322yx的右焦点F，右准线l ，直线3kxy 通过以F、l为对应焦点和准线的椭圆的中心，求
k
的取值范围。
解：双曲线1322yx的焦点F（2，0），准线23:xl，设),(yxP为椭圆上任意一点，由定义得
D
AEOCB
Y
X
)10(,23)2(22ee
x
yx
，
化简得0449)34()1(22222exeyxe，可得椭圆中心为)0,)1(234(22eeO，由直线3kxy过椭圆的中心，
有03)1(23422eek，求出63642kke，而10e，
∴163640kk，从而求出k的范围为：023k
三.利用判别式建立不等式
若题设中给出直线（或曲线）与曲线有公共点或无公共点时，可以把直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立起来，消
去某一未知数，得到所含另一个未知数的一元二次方程，就能利用判别式建立起所含参数的不等式。
例3.（96年高考理科24题）已知1l、2l是过点)0,2(P的两条互相垂直的直线，且1l、2l与双曲线122xy各有
两个交点，分别为1A、1B和2A、2B。求直线1l的斜率1k的取值范围。
解：依题设1l、2l的斜率都存在，把)2(:11xkyl代入122xy得01222)1(2121221kxkxk
∴0121k 且 0)13(421k …①
同理1)0(),2(2222xykxky 得 01222)1(2222222kxkxk
∴0122k 且 0)13(422k …②
又∵21ll ∴121kk …③
由①②③得 110130131212221kkkkk 解得133311kk
∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1k
四.利用区间根原理建立不等式（组）
当直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立，通过消去一个未知数，得到所含另一个未知数的一元二次方程，而这个未
知数有条件限制时，必须用区间根原理来建立所求参数的不等式组。
例4.已知点A（0，2），B（4，0），抛物线C的方程为12mxxy，若抛物线C与线段AB相交于两个不同的点。
求m的取值范围。
解：线段221:xyAB （0≤x≤4），代入12mxxy
得02)12(22xmx
设2)12(2)(2xmxxf （0≤x≤4），则方程 02)12(22xmx 在区间4,0上有两个不等的实根，由
区间根原理得：
016)12(2m
0≤412m≤4 解得：m23≤415
2)0(f
≥0
2)2(432)4(mf
≥0
五.利用代数基本不等式或者利用几何不等关系建立不等式
例5.如图F为抛物线)0(,42aaxy的交点，M点的坐标为)0,2(a，若A、B、C、D四点都在该抛物线上，且A、M、C，
B、M、D，A、F、B分别共线。求直线AB与CD夹角的取值范围。
解：（1）当AB垂直于轴x时，显然CD也垂直于轴x ，则0 。
（2）当AB不垂直于轴x时，设)2,(121atatA)2,2(222attB
由A、B、F三点共线，得BFAFKK 即
aatataatat
2222
1
1
22
121tt
…①
又设C点的坐标为)2,(323atat， 由A、M、C三点共线，
得：aatataatat2222233211 232tt …②
由 ① ②得232tt ， ∴ C点坐标为)4,4(222atat
同理，D点坐标为)4,4(121atat
∵21222121222ttatatatatKAB ，同理 211ttKCD
∴2121221212121)(2112tttttttttttg
x
y
A
B
C
D
M
F
O
∵21212tttt与同号 ∴2121212122tttttttt≥22
∴tg≤42221 42,0arctg故
例6.已知双曲线)0,0(,1babyax的左右两个焦点分别为1F、2F，P为双曲线左支上一点，它到左准线的距离为
d，且使d
、1PF、2PF成等比数列，求离心率e的取值范围。
解：由双曲线的两个定义可得：aPFPFedPFPFPF212112121eaPF，122eaePF ∵21PFPF≥
eacFF2221
∴1212eaeea≥ae2
又因为0a，01e ∴122ee≤0 ∴e1≤21
以上所提供的例子都只用一种建立方式即可求解，当然要注意对有些题目需用多种方式联合运用方可。
2004/8/19
y
x
1
F
2
F
P
O
E
l
d